2023届高考数学二轮复习12平面向量综合100题教师版

专题12平面向量综合必刷IOO题

任务一:善良模式(基础)1-30题

一、单选题

1.已知m≠0,向量。=(肛屋),/?=(一2,小)，^∖a+b∖=∖a-b∖,则实数及=()

A.±√2B.√2C.-2D.2

【答案】D

【分析】

由∣4+W-b∣,可得Qm=O,用坐标表示数量积，即得解

【详解】

^∖a+b∖=la-b∖

可得3÷b)2=(a-b)2

■22-2.2

:.a-∖-2a∙b+b=a-2a∙b+b.,.a∙b=O

:.ah=-2m+nm=O»因为m≠O,所以〃=2.

故选：D

2.设ABC中BC边上的中线为AO,点。满足AO=-2。。，贝IJoC=()

A.--AB+-ACB.-AB--AC

3333

C.—AB—ACD.—ABH—AC

3333

【答案】A

【分析】

由中线向量公式得到A方=；(AB+AC)；山A0=-2L>0,利用线型运算得到A。=IAO,

进而利用向量的减法运算OC=AC-AO得到结论.

【详解】

因为ABe中BC边上的中线为AD,

所以AD=g(A8+AC),

因为AO=—2DO，所以AO=200，

所以AO=2(Ao-AO),

2211

所以Ao=WAo=]X∕(A8+AC)=§(A6+AC),

1112

所以OC=AC-Ao=AC--AB--AC=--AB+-AC.

故选：A.

1

3.若平面向量”也C两两的夹角相等，且Ial=Ibl=IJCl=3,则∣α+6+c∣=()

A.2B.5C.2或5D.历或亚

【答案】C

【分析】

分类讨论，再由向量求模公式，即可求解.

【详解】

当","c两两的夹角均为0°时，显然∣α+b+c∣=5;当α,b,c两两的夹角均为120°时,

Γ-2ʒ^2

∖a+b+c∖=∖a+b+c+2α∙h+2α∙c+2h∙c=2，

故选：C.

JT

在菱形中，分别是、。的中点，贝

4.ABCZ)M、N8CC若AB=2,ADAB=-9MAN=

()

313

A.0B.-C.4D.—

22

【答案】B

【分析】

以A3=α,AO=匕为基底表示有关向量，然后利用数量积的运算和定义求解.

【详解】

设AB=4,AO=b,则同=网=2,aΦb=2×2×cos-=2.

:.DM*AN=DC+CM

故选：B.

TT

5.如图，点C在半径为2的AB上运动，^aobOC=mOA+nOB，则他+〃的最大值

为()

2

B

A.1B.√2C.竺■D.√3

3

【答案】C

【分析】

建立适当的坐标系，设NAoC=α,利用向量的坐标运算得到必,〃与。的关系，进而得到

如〃关于4的三角函数表达式，利用辅助角公式整理后，根据三角函数的性质求得其最大值.

【详解】

以。为原点、砺的方向为X轴的正方向，建立平面直角坐标系，

则有OA=(2,0),0B=(l,√3).

设NAoC=α,则OC=(2COSa,2Sina).

2m+〃=2cosa

由题意可知＜

∖∣3n=2sina

所以〃?+〃=CoSα+——Sina=——-sina+一

33I3

因为aeθ,ɪ,所以a+,

故加+〃的最大值为攻.

3

6.已知向量满足∣"∣=1,∣6∣=J∑M∙6=1,贝!∣aj与。夹角为()

2πn3πC冗、兀

Aa.--B.—C.-D.一

3424

【答案】B

【分析】

先求得口一,，再利用向量夹角公式，结合向量数量积的运算计算即可得到答案.

【详解】

卜-|2-2---2

∖a-h∖=a-2a∙b+h=1-2+2=1,

3

(a_b).b=a∙b_b=1-2=-1

/∖(a-〃卜b_-1_√2

所以——7

-⅛∣∙∣⅛∣^1×√2~-V,

故向量a-〃与〃的夹角为-7.

故选：B.

7.已知a=(T,2),1=(1,3),,则2〃-人在a+Z?方向上的投影为()

A.1B.5C.—D.√5

2

【答案】A

【分析】

由a力的坐标求出(2a-6>(a+b)和卜+小进而利用投影的定义求解即可.

【详解】

Va=(-1,2),1=(1,3),

则2：J=(-3,l),a+b=(0,5)

.∙.(2L-⅛)∙(a+⅛)=5,卜+0=5,

(2a-b\[a+b\

・•・2a-匕在a+b方向上的投影为：ʌ~~rn-ŋ——i=L

∖cι+b∖

故选：A.

8.在ABC中，AB=2,AC=3,且AB∙4C=3,则IAC-2AB∣a∈R)取最小值时ZI的值

为()

a-ɜr3r3n√3

4424

【答案】B

【分析】

对IAd@平方，利用平面向量的数量积公式和已知条件，可知

IAC-九AB『=4(2-(1+?，根据二次函数的性质，即可求出结果.

【详解】

β∣⅜∣ΛC-ΛAB∣2=∣ΛC∣2+22∣AB∣2-22AB∙AC=4Λ2-6∕l+9=4U-∣j+日

4

所以当；I=：时∙，IAC-∕IAB∣(;IeR)取最小值.

故选:B.

9.在A8C中，点。是线段BC上靠近点C的三等分点，点E在线段AO上，AE.ED=3:5,

则E8+EC=()

1331

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

2442

1233

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4342

【答案】B

【分析】

根据平面向量的三角形法则可得EB=AB-AEEC=AC-AE,进而

EB+EC=AB+AC-2AE^再根据AE:a=3:5和点D是线段3C上靠近点C的三等分点,

一31

利共线定理可得=CD=-CB,再结合平面向量的三角形法则，即可求出结果.

o3

【详解】

根据题意，作出图形，如图所示.

因为EB=AB-AER=AC-AE

所以E8+EC=AB-AE+AC-AE=AB+AC-2AE

3

又AE:ED=3:5,所以AE=WAo

8

所以石8+EC=A8+4C—=34O=A8+4C—=3(AC+CO)=48—23CO+-]4C

44v744

又点。是线段BC上靠近点C的三等分点，所以CD=gcB,

Ol111O1

所以E8+EC=AB--×-CB+-AC=AB+-AC——(AB-AC∖=-AB+-AC.

43444、>42

故选:B.

10.已知点M(2,4),若过点N(4,0)的直线/交圆于G。一①?+丁=9于4E两点,则

∣M4+MB∣的最大值为()

A.12B.8√2C.10D.6√2

【答案】A

5

【分析】

设出AB的中点P(X,y),根据垂径定理即可求出点P的轨迹方程是以(5,0)为圆心，1为半径

的圆，再利用圆的性质求出IMPI的最大值，再由向量的运算性质即可求解.

【详解】

由己知圆的方程可得：圆心C(6,0),半径为r=3,

设AB的中点为尸(x,y),则由圆的性质可得：NPlCP,

即NP∙CP=0,而NP=(X-4,y),CP=(X-6,y),

所以(X-4)(x-6)+y?=0,

即点P的轨迹方程为(X-5)2+y2=↑,

设E为NC的中点，则E(5,0),半径为1,

所以IMPl的最大值为IMEl+1=J(2-5>+4?+1=5+1=6,

.又IMA+M3∣=2∣MP∣,

所以IMA+M8∣的最大值为12,

故选：A

11.以下四个命题中正确的是()

A.若OP=gθ4-gθ8,贝!]P,A8三点共线

B.若｛〃，b,c｝为空间的一个基底，贝∣]｛α+Ab+c,c+α｝构成空间的另一个基底

C.∣(α∙⅛)∣∙c=α∙∣⅛∣∙∣c∣

D.ABC为直角三角形的充要条件是AaAC=O

【答案】B

【分析】

对于4,P,A,B三点共线时，OP=/1。A+〃OB(4+〃=1),故A不正确；

对于8,4+A,6+C,C+Q不共线，所以｛α+b力+c,c+α｝构成空间的另•个基底，故5正

确；

对于c,1(”.杨I.工表示与联共线的向量，GwH表示与£共线的向量，故C不正确；

对于。，AB∙AC=OH'J.NA为直角，反之也可以是DB,NC为直角，故。不正确.

【详解】

对于A：P,A，B三点共线时，OP=λOA+μOB(λ+μ=∖),

OP=-OA--OB,

23

:.P,A,8三点共线不成立，故A不正确；

6

对于B：若他,b,c｝为空间的一个基底，

则〃力,c不共线，

.,.a+b,b+c,c+a不共线，

∙,∙｛α+A,b+c,W+α｝构成空间的另一个基底，故B正确；

对于c：假设Mb)I∙c=α∙WHd,

不妨设∣(α∙6)∣=叫MM=〃，

则me=na>

因为向量α,c不一定共线，故C不正确；

对于∙D,ABAC=O时，NA为直角，

故，ABC为直角三角形，反之也可以是DB,NC为直角，

故D不正确.

故选:B.

12.已知向量外b满足|"+q=W，且14=2,贝Ub在α方向上的投影是()

A∙2B.—2C.1D.—1

【答案】D

【分析】

II

在等式∣α+N=W两边同时平方，求出α力的值，进而可得出分在£方向上的投影为力.

【详解】

.2

H=2,在等式∣“+q=W两边平方并化简得J+20∙Z>=0,.∙.“∕=-∙^=-2,

a∙b4

因此，6在α方向上的投影为仃=T.

故选：D.

13.在%1中，已知止3,AC-5,△胸的外接圆圆心为0,贝i∣A0∙8C=

A.4B.8C.10D.16

【答案】B

【分析】

画出图形，并将。和AC中点£>,。和AS中点E连接，从而得到。QLAC,OELAB,根

259

据数量积的计算公式以及条件即可得出QAC=',AOAB=^,从而

AO-BC=AO-(AC-AB),从而可得到Ao∙BC的值.

7

【详解】

如图，取AC中点O,AB中点E,并连接0。，0E,

则0£>_LAC,OELAB,

1Q25

.∙.AO∙AC=-AC'

22

AOBC=AO-(AC-AB)=AO-AC-AO-AB=^--^=S.

故选：B

14.已知向量α与向量〃不共线，⅛=(1J),对任意feR,恒有Ia-叫≥k-2b∣,则()

A.a±hB.〃_L(a-2b)C.⅛l(0-2⅛)D.(a+28)J_(a-2b)

【答案】C

【分析】

设向量”的坐标为(χ,y),代入题中向量等式，解出χ,y之间的关系式，再逐项验证答案.

【详解】

设α=(x,y),^a-tb=(x-t,y-t),a-2b=(x-2,j-2)

.•.卜_仍卜,_2可可化简为(XV)2+(yT)24x_2)2+(y_2)2

根据题意，∀reR,(xτ)2+(yτ)2>(x-2)2+(y-2)2恒成立

即，Vfe尺/一(χ+y"+2(χ+y)-4≥0恒成立

.∙..=(x+y)2-4x2[(x+y)-4]≤0,解得x+y=4

a∙b=(XJM),)=x+⅛,=0≠,选项A错误;

8

α∙(α-2Zj)=(x,y),(x-2,y-2)=x2+y2-2(x+y)≠0,选项B错误:

力(α-2∕>)=(U)'(x—2,y-2)=x+y-4=0,选项C正确；

(a-2b'^a+®=(①？>2,)(父+y+)=^+Q'2-≠,选项D错误.

故选：C.

15.如图所示，矩形ABC。的对角线相交于点。，点E在线段OB上且OE=gθB,若

【答案】A

【分析】

21

以A8,4。为基底表示出AE,求得2=μ=~,从而确定正确答案.

【详解】

因为四边形ABCO为矩形，OE=gθB,所以DE=gθ8=∣(A8-AZ)),所以

ɔɔ1

AE=AD+DE=AD+—^AB—AZ))=—AB+—AD,因为AE-ΛAB+fjAD(λ.»〃eR),

所以义=；2,μ=1J,所以彳一〃=2；_1：=1；.

33333

故选：A

二、多选题

16.已知平面向量04、OB、OC为三个单位向量，且CMO8=0,若OC=XOA+），。8

（x,yeR）,则x+y的取值可能为（）

9

A.--B.1C.√2D.√3

2

【答案】ABC

【分析】

建立如图坐标系，以向量。4、OB作为一组垂直的单位基底可以表示单位圆上任一点C

(CoSaSine)(。表示由X轴非负半轴旋转到宏所形成的角)构成的向量0C,6e[0,2τ),

求出。4、OB、Oe的坐标，列出等式，结合两角和的正弦公式和正弦函数的值域即可得出

结果.

【详解】

依题意，04、OQ是一组垂直的单位向量，如图建立坐标系，

向量。4、OB作为一组垂直的单位基底可以表示单位圆上任一点“cos。,sin。)(。表示由X

轴非负半轴旋转到％所形成的角)构成的向量OC，Θφ2π),

因为OA=(1，())，03=(0,1),OC=(CoSe,sin6),OC=xOA+yOB,

所以X=CoS6,y=sin4,故x+y=cose+sine=&sin(®+?J,θ∈[0,2Λ^),

⅛x+y∈[-√2,√2],故可以是选项中的-丰，1,√2.

故选:ABC.

17.下列说法中错误的是()

A.已知α=(l,-3),⅛=(lf-3),贝!]〃与。可以作为平面内所有向量的一组基底

B.若“与〃共线，则”在8方向上的投影为I“I

C.若两非零向量α,b满足Ia+BHa-方I,则a_Lb

D.平面直角坐标系中，A(l,l),B(4,2),C(5,0),则ABC为锐角三角形

【答案】ABD

【分析】

结合向量基底定义，投影的运算，及模的转化，夹角的运算分别检验各选项即可判断.

【详解】

对于A,h=a,所以故。泊不能作为平面内所有向量的一组基底，A错误：

10

对于B,α与人共线，则α在匕方向上的投影为±∣α∣,所以B错误；

对于C,两非零向量2,b满足∣α+bHα-b∣,则∣α+邸=Ia-Hna$=0,则a_Lb，

C成立；

对于D，A(l,l),8(4,2),C(5,0),则48=(3,1),BC=(1,-2),AC=(4,-1),

ABAC

cos<ABAC>=

y∖ΛB∖-∖AC∖

cos<AB,CB>=d∙CB=E

<0,

∖AB∖-∖CB∖√IO∙√5

cos<BC,AC>=BC"C=ð>。

IBCHACl√Γ7-√5

所以DB为钝角，

则,ABC为钝角三角形，D错误；

故选：ABD.

18.设“，h是两个非零向量，下列四个命题为真命题的是()

A.若向=M=F-则〃和〃的夹角为W

B.若W=M=Ia+陷，贝IJa和〃的夹角为事

C.若∣α+0=W+W,贝和/,方向相同

D.若ab<0,则〃和6的夹角为钝角

【答案】ABC

【分析】

利用向量加减法的几何意义，判断A、B的正误；两向量模的性质判断C,由向量的夹角与

数量积间的关系判定判断D.

【详解】

解：W=M=k-b∣,a，b，α-5构成等边三角形，A正确；

M=W=Ia+N由向量加法的平行四边形法则可知，°和b的夹角为整，B正确；

∣a+⅛∣=∣α∣+∣⅛∣=>∣α+⅛∣2=^|«|+|/?|^=4力="1。|=(4,"=0,则α与〃同向，C正确；

若α∙]<0,则α和I的夹角为钝角或者7t,D错误,

故选:ABC.

19.在ABC中，有如下四个命题正确的有()

A.若ACA3>0,则MC为锐角三角形

11

B.若∣B4+BCl=IAe∣,则ABC的形状为直角三角形

C.ABC内一点G满足GA+GB+GC=O,则G是ABC的重心

D.若PA∙PB=PB∙PC=PC∙PA，则点尸必为ABC的外心

【答案】BC

【分析】

对于A,由AC∙AB>O可得角A为锐角，从而可判断，对于B,对忸+罔=罔两边平方

化简，再结合余弦定理可得结论，对于C,由向量加法和共线及三角形重心概念判断，对于

D,由向量运算性质和三角形垂心概念可判断

【详解】

解：对于A,由AC∙AB>O,得H4|AqcosA>0,所以CoSA>0,所以角A为锐角，但不

能判断三角形为锐角三角形，所以A错误，

对于B,因为忸+8C∣=kc∣,所以β42+2β4.3C+Bc2=Ac2,即

∣2Iɔp

∣∣∣

222BA^+BC^-AC^

∣BΛ∣+2∣BΛ∣∙∣BC∣COSB+∣BC∣=∣AC∣,所以-COSB==cosB,得cosB=O,

2网BC

因为Be（O,万），所以B=],所以三角形为直角三角形，所以B正确，

对于C,因为GA+GB+GC=O,所以GA+GB=-GC,所以2G。=-GC（O为明的中点），

所以G,C,D三点共线，所以点G在54边的中线8上，同理，可得点G在其它两边的中线

上，所以G是，ABC的重心，所以C正确，

对于D,因为PA∙PB=PRPC，所以「4∙PB-P8∙PC=0,PB〈PA-PC）=PB-CA=Q,所

以PBLC4,所以点尸在边C4的高上，同理可得点尸也在其它两边的高上，所以点P为

ABC的垂心，所以D错误，

故选：BC

20.已知向量“,。是两个非零向量，在下列条件中，一定能使〃共线的是（）

A.2a-3l>=4eS-a+2b=-2e

B.存在相异实数人〃，使∕lα-9=0

C.xa+yb=O（其中实数x,y满足x+y=O）

D.已知梯形眼力，其中4B=“,C。=%

【答案】AB

【分析】

选项4：根据24-3i>=4eα+2。=-2e，即口]得出5=-4"，从而得出共线；选项8：可

12

得出入〃都不等于0,并得出。=斗6,从而得出α,b共线；选项G当x=y=O,时，满足

Λ

选项的条件，显然得不出〃力共线；对于选项〃：显然得不出〃力共线.

【详解】

解：A,联立2Q-3h=4e和〃+2∕7=-2e消去向量e可得出4〃+〃=0，

∙*∙b=-ACL，且“≠O,所以a,b共线.

B.Y出方都是非零向量，且义工〃，λa-μb=O,

.∙.尢〃都不为0,所以。=夕，所以”,6共线.

Λ

C.当x=y=O时，满足x+y=O,此时对任意的向量α,b都有M+乃=0,得不出α力

共线；

〃.：在梯形中必与切不一定平行，,得不出枕,6共线.

故选：AB.

第II卷(非选择题)

三、填空题

TT

21.已知在ABC中，AB=3,AC=I,ABAC=-,BD=DC,AE=2ED,贝(∣CE∙8C=

【答案】-匚13

O

【分析】

12

设A8=",4C=八根据BO=£>C,AE=2EQ,得到5C=。一。和=，结合向量的

数量积的运算公式，即可求解.

【详解】

如图所示，设A8=α,AC=h,可得IABI=3,卜。=1,卜力)=(,

因为8。=QC,AE=2E。，可得5C=AC-AB=8-α,

CE=AE-AC=-AD-AC=-×-(AB+AC)-AC=-AB--AC=-a--b,

3323333

19122`211213

所以CE∙8C=(-4——b)∖b-a)=a∙b——a——b=3×1×------×9——×1=---.

33332336

13

故答案为：-^~.

6

13

A

Ei

BDV

22.在ABC中，点。满足8Q=1BC,当E点在线段AQ上移动时，AE=λAB+μAC,

则r=(2-球+的最小值是.

【答案】ɪ/o,ə

【分析】

LiiuUiiai

根据题意画出图形，利用A8,AC表示出A。，再设AE=kAO，O≤Λ≤1;用k分别表示出

求出2与〃，再将其代入r=p-i)2+z?,可得f=丝一2+i,然后利用二次函数的性质即

82

可求f=(∕l-l)2+"2的最小值.

【详解】

如图所示，

OOIO

/.AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB]=-AB+-AC

44、,44f

ULUlLIlIU

又点E点在线段A。上移动，设AE=ZA。，O≤k≤l,

kAk

：.AE=-AB+-AC

441

Lk

Z=—

4

5LAE=λAB+μAC,/J

14

2

•/O,√2(kY/34丫5kk1

•"=(R)+λz^=k1J⅜J-^2+*1

29

.∙.当氏=；时，f取到最小值，最小值为a

故答案为：ɪ9.

23.在ABC中，点〃是边BC的中点，点G在Ao上，且是ABC的重心，则用向量AB.AC

表示BG为.

2——11一2

【答案】BG=——AB+-AC^BG=-AC——AB

3333

【分析】

根据三角形重心的性质可知，AG=g(AB+AC),再根据向量减法BG=AG-AB即可求出.

【详解】

在1A8C中，点。是边BC的中点，点。在A。上，且是eABC的重心，

2211

所以AG=—AO=—x—(A3+AC)=—(43+AC),

3323

121

BG=AG-AB=-(AB+AC)-AB=--AB+-AC.

21

故答案为：BG=--AC.

24.已知点G为△放的重心,过G作直线与必4C两边分别交于风〃两点,且AM=XAB，

AN=YAC9求一+一的值为_______.

Xy

【答案】3

【分析】

以AN,4M为基底，由G是A48C的重心和也G,N三点共线，可得;+；=1,即求.

3x3y

【详解】

根据条件：AC=-ANAB=-AM,

yyX

15

如图设〃为比'的中点，则4Z)=1A8+!AC

22

21I

因为G是ΔA8C的重心，AG=-AD=-AB+-AC,

333

.∖AG=-AM+-AN,

3x3y

又机G,N三点共线，

二；+；=1,即L，=3.

3x3yXy

故答案为：3.

25.如图，在菱形A8C。中，AB=2,NfiAD=60。.已知BE=3BC,DF=FC，EG=；EF,

贝UAG∙EF=

【答案嫌

【分析】

利用向量的线性运算以及向量数量积的定义即可求解.

【详解】

因为BE=；8C,DF=FC，

11

所以AE=AB+BE=AB+—A£>,AF=AD+DF=-AB+AD,

32

12

所以EF=AF-AE=--AB+-AD.

23

11Oɔ

又EG=-EF,所以AG=-(AE+AF)=-A8+—AO.

221743

因为AB=2,ZBAO=60。，

所以AG.上尸=((A8+1Aθ)∙(-gA8+1AO)

3214211

二一一AB+-AB-AD^r-AD=—.

8698

故答案为：—■

18

16

四、解答题

26.已知忖=4,M=3,(2〃-3θ)∙(24叫=43.

(1)求”与〃的夹角θ.

(2)求卜+年

(3)若("-8)"α+∕½),求实数4的值.

【答案】

(1)θ=-

3

(2)√37

【分析】

(1)利用数量积的运算律即可求解；

(2)由(1)中的结果结合模平方之后转化为数量积运算即可求解；

(3)由向量垂直得出数量积为零的等式，进而求出实数1的值.

(1)

解：∙.∙(2α-3叶(2。-〃)=43即4.'-8“力+3『=43

又因为忖=4,W=3

Λ64-8×4×3cos"+27=43,

.*.cosθ=-.

2

・.・夕∈[0,π],

.∖θ=~,

3

(2)

解：由(1)得卜+&=J(Q+卜)2=Jj+2a.b+k=卜2+2χ4χ3χg+3?=历.

(3)

解：：(a-6)M4+劝)，

.,.(α)∙(α+M)=O,

・-2.--2

•∙a+λa∙b-a`b-λb=O

17

ʌ11

即42+Λ×4×3×--4×3×--9∕l=0,

/.3Λ=10,

.ɪo

../t=—.

3

27.已知。，A,8是不共线的三点，^.OP=mOA+nOB{m,nwR)

(1)若研才1,求证：A,P,8三点共线；

(2)若4,P,8三点共线，求证：冰灯1.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【分析】

(1)由ni+zi=l原式可代换为Op=加Q4+(1-机)。月，再由。P=[m+(l-m)]θP,两式联立

变形即可求证；

(2)由4/,6三点共线，可得AP=λPB，变形得OP-OA=%。B-OP),整理成QP关于。4,。8

的衣达式，再结合OP=WJoA+"03,由对应关系即可求证

【详解】

(1)证明：

若研炉1,W∣JOP=mOA+(∖-ιn)OB■OP=[机+(1-机)]θP,

j⅛ιnOP+(1-/n)OP=mOA+(1-/n)OB,即机(OP-。4)=(1-"?)(OB-OP),

,nAP=(i)PB,即AP,8P共线，又AP,BP有公共点，则4P,6三点共线；

(2)证明:

若4P,夕三点共线，则存在实数3使得AP=/IPB，变形得。P-CW=%O8-QP),即

八八λOB+OAλOBOA

(1+4)OP=;IOB+OA,OP=------------=------+------乂OP=mOA+nOB，

1+/1÷Λ1+Λ

m+n=1

28.如图，已知小瓦尸分别为ABC的三边8C,AC9AB的中点，求证：AD+BE÷CF=O.

18

C

【答案】证明见解析

【分析】

利用向量加法的三角形法则，在图形中寻找回路，即可证明.

【详解】

由题意知Ao=AC+C。，BE=BC+CE，CF=CB+BF.

由题意可知EF=C£＞，BF=FA-

.∙.AD+BE+CF=(AC+CD)+(BC+CE)+(CB+BF)

=(AC+CD+CE+BF)+(BC+CB)

=(AE+EC+CD+CE+BF)+0

=AE+CD+BF=AE+EF+FA=O-

29.已知向量Q4=(3,T),OB=(6,-3),OC=(5-m,-3-m).

(1)若点A,B,C能够成三角形，求实数机应满足的条件；

(2)若ABC为直角三角形，且ZA为直角，求实数用的值.

17

【答案】(I)m≠-∙.(2)ZM=-.

【分析】

(1)点A,B,C能构成三角形，则这三点不共线，即AQ与BC不共线，利用向量共线的坐

标公式计算即可.

(2),ABC为直角三角形，且NA为直角，则ABjLAC，利用向量的数量积坐标公式计算即

可.

【详解】

(1)己知向量OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(5-m,-3-m),

19

若点A,B,C能构成三角形，则这三点不共线，即AB与BC不共线.

UUU

AB=(3,1),AC=(2—〃7,1—机),

故知3(1-6)w2-机，

.∙.实数机Xg时，满足条件.

(2)若ABC为直角三角形,且NA为直角，则ABLAC，

3(2-m)÷(l-m)=Or

解得力=；7

4

30.设ABC的内角4,8C的对边长a,6,c成等比数列，2cos(A-C)-2sin∣^→B^=l,

延长8C至〃使80=3.

(1)求D8的大小；

⑵求/防的取值范围.

【答案】(1)g⑵(Ot

ɔVɑ-

【分析】

(1)先根据2cos(A-C)-2sin(^+B)=l,得到cosAcosC=；；①再结合”,"c成等比数

列得到sin23=sinAsinC；②二者联立即可求出DB的大小；

(2)上面的二者联立求得A=C,得到其为正三角形，再结合二次函数的性质即可求得结

论.

【详解】

(1)依题Uj得：Cos(A-C)-CosBɪɪ,.∙.cos(A-C)+cos(A+C)=∙ɪ,

.∙.cosAcosC='①

4

又因为长ab,C成等比数列，所以从二公，由正弦定理得：sin2B=sinAsinC@

①一②得：ɪ-sin2β=cosAcosC-sinAsinC,

4

1

化筒得：4cos2β+4cosB-3=0,解得：cosB=~,又0<8<z,所以3=§,

(2)①+②得：Cos(A-C)=I,即A-C=O,即A=C,即三角形ABC为正三角形，

设，ABC的边长为了,由已知可得0<x<3,

uuBtιm*uuo∣∣uuπ∣ι

则AC∙CO=∣AC,c4cos(1一ZACD)=x(3-x)CO5可π=2%(3-力

20

=_；12_3犬+/翡(*(当且仅当x=∣时取等号).

ULUUUlHUI9

ACCO的取值范围(。，W.

任务二:中立模式(中档)1-40题

一、单选题

1.设a、b、C为非零不共线向量，若IaTC+(1T)司≥∣4-c∣(reR),则()

A.(a+/?)∙h(α-c)B.(a+8)J_(6+c)

C.(“-〃)Ma-C)D.(a-c)_L(6+c)

【答案】I)

【分析】

由题意化简得至“α-c+(lτ)(c+b)∣2≥∣d-<f,整理得

S+c)2f2-2[S+c)2+S+c)∙(4-c)]f+S+c)2+2S+c)∙(α-c)≥0恒成立，结合二次函数的

性质，结合A≤0,即可求解.

【详解】

21

由向量a、b、3为非零不共线向量，若IaTC+(lτg∣≥∣a-c∣(feR),

5I∣J∣<⅛-∂+(l-∕)(c+⅛)∣≥∣a-5∣,可得卜-c+(IT)(C+b)J≥∣a-c∣2,

化简得(1T)2(C+4+2(1T)(C+匕).(a-c)20,

即(⅛+c)2r2-2[(⅛+c)2+(b+c')-(a-c)]t+(⅛+c)2+2(6+c)∙(a-c)≥O恒成立，

令S+c)212-2[(b+c)2+(b+c)-(a-c)]t+(h+c)2+2(b+c)(a-c)=(),

则△=4[(b+c)2+(b+c)-(a-c)]2-4(⅛+c)2∙[(⅛+c)2+2(b+c)-(a-c)]

=4[(£>+c)-(a-c)]2≤O.即S+c)∙(a-c)=O,

所以(a-e)Mb+c)

故选:D.

2.在平面直角坐标系Xo)，中，已知点A(O,-2),N(U).若动点〃满足访=也，则OMoN

的取值范围是()

A.[-2,2]B.[-44]C.[-4,6]D.[-26]

【答案】D

【分析】

设M(x,y),求出动点轨迹方程，然后用三角换元法表示出苍心计算OM∙ON,并由两角

和的正弦公式变形，由正弦函数性质求得范围.

【详解】

设M(x,y),则由^[=血，得"的方程为f+(y-2)2=8,设Λ∕(2√∑cos0,2+2√5sine),

则OMON=2√2cos6»+2+2√2sin(9=2+4sinI6,+ɪIe[-2-6].

故选：D.

3.已知ABC。是边长为2的正方形，P为平面ABCz)内一点，贝“弘+/>3)r？的最小值是

()

A.—2B.C.—3D.—4

2

【答案】B

【分析】

根据给定条件建立平面直角坐标系，利用向量运算的坐标表示即可计算作答.

【详解】

ABCD是边长为2的正方形，则以点Zf为原点，直线/3,分别为X轴，y轴建立平面直

22

角坐标系，如图:

则A(0,0),B(2,0),C(2,2),设点P(x,y),

PA=(-x,-y),Pβ=(2-x,-y),PC=(2-x,2-y)>

于是得：(PA+PB)-PC=(2-2x,-2y)-(2-x,2-y)=2(x-l)(x-2)+2y(y-2)=

3ɔ,5

2(x--)'+2(y-l)^--,

35

当X=Ky=I时，(PA+PB)PC取得最小值—-,

22

所以(PA+