2024年高考数学摸底考试卷（高考通用）（含答案）

2024年高考数学摸底考试卷

高三数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求.

1.设集合&={-3,—2,—1,0,1,2,3},2=卜--尤go},则4B=（）

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{0,1,2}D.0

2.已知复数z满足z（l+27）=3—i,则回=

A.2B.6C.y/2D.1

3.已知向量a,%满足同=2忖=2,（a-b）（2a+6）=8,则a与b的夹角为（）

A3B.2C.工D.生

3366

4.已知随机变量XB（2,p）,随机变量¥N（2,4）,若P（XWl）=0.36,P（V<4）=p,则P（0<y<2）=

（）

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

z1xx2+ax

5.若函数〃尤）=*在［1，2］单调递减，则a的取值范围（）

A.a>—2B.a<—2C.a<-4D.aN—4

22

6.已知点Fi、F2分别是椭圆'+七=l（a>b>0）的左、右焦点,过Fi且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、

ab

B两点，若AABF2为正三角形，则椭圆的离心率是

A.2B.J2C.3D.B

3

7.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，命题P：“%＞。，4＞。”，命题，“跖＞0"，则命题P是命题4的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

8.在边长为6的菱形ABCD中，ZB/1D=|,现将菱形ABCD沿对角线BD折起，当AC=3新时，三棱锥

A-BCD外接球的表面积为()

A.24兀B.48兀C.60兀D.72兀

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.有一组样本甲的数据毛，一组样本乙的数据2%+1,其中％[=1,2,3,4,5,6,7,8)为不完全相等的正数，则

下列说法正确的是()

A.样本甲的极差一定小于样本乙的极差

B.样本甲的方差一定大于样本乙的方差

C.若样本甲的中位数是加，则样本乙的中位数是2m+1

D.若样本甲的平均数是〃，则样本乙的平均数是2〃+1

10.已知正方体ABCO-AqGA,贝！1()

A.直线BG与所成的角为90。B.直线BG与CA所成的角为90°

C.直线BG与平面8BQQ所成的角为45。D.直线BG与平面ABC。所成的角为45。

11.已知定义在R上的函数〃x)满足〃x+2)+〃x)=0,且y=〃2-x)为偶函数，则下列说法一定正确

的是()

A.函数的周期为2B.函数的图象关于(1,0)对称

C.函数〃x)为偶函数D.函数的图象关于x=3对称

12.抛物线C:x2=2m(p＞0)的准线方程为y=T,过焦点/的直线/交抛物线C于A,5两点，贝U()

A.C的方程为炉=2＞

B.|席|+2怛尸|的最小值为4+2若

C.过点”(4,2)且与抛物线仅有一个公共点的直线有且仅有2条

211

D.过点A,2分别作C的切线，交于点尸国,%)(无0H0),则直线PEPAP8的斜率满足厂=1+]

KppKPAKpR

第n卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.现从4名男志愿者和3名女志愿者中，选派2人分别去甲、乙两地担任服务工作，若被选派的人中至

少有一名男志愿者，则不同的选派方法共有种.(用数字作答)

14.已知正四棱台的侧棱长为3,两底面边长分别为2和4,则该四棱台的体积为

。8

2

15.已知直线/：x-my+l=0与।+Y=4交于A,B两点，写出满足“11ABe面积为:'的m的一

个值______.

16.设函数〃x)=sin(0x+gj在区间(0㈤恰有三个极值点、两个零点，则。的取值范围是.

四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明

过程或演算步骤.

17.为数列｛4｝的前“项和，已知%＞。，+=4s“+3.

(1)求证：数列｛q｝为等差数列；

(2)设勿=-----，求数列也｝的前n项和

anan+l

18.在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,6,c,且6e-acosC)=csinA.

⑴求角A的大小；

(2)若。=2,求，1BC周长的取值范围.

19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PC，底面A3CD,四边形ABCD是直角梯形，ADLDC,AB//DC,

PC=AB=2AD=2CD=2,点E在棱PB上.

⑴证明：平面£4C_L平面PBC；

(2)当BE=2放时，求二面角尸一AC-E的余弦值.

20.为了宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动.活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4

道题目进行作答.假设在8道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是=且每道题正确完成与否互不影

响，小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成.

(1)求小明至少正确完成其中3道题的概率；

(2)设随机变量X表示小宇正确完成题目的个数，求X的分布列及数学期望；

(3)现规定至少完成其中3道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参

加市级比赛(活动规则不变)会更好，并说明理由.

21.已知函数，(尤)=*/-4111尤在X=1处的切线方程为y=(2e+l)x-6(a,6eR)

(1)求实数。，b的值；

⑵设函数g(x)=〃x)—2e*—x+3,当xe1,1时，g(x)<m(meZ)恒成立，求加的最小值.

2

22.设直线x=，〃与双曲线C：尤2一］_=〃?(〃?>0)的两条渐近线分别交于A,B两点，且三角形。4B的面积

为技

(1)求加的值；

(2)已知直线/与x轴不垂直且斜率不为0,/与C交于两个不同的点N,M关于x轴的对称点为M',F

为C的右焦点，若AT,F,N三点共线，证明：直线/经过x轴上的一个定点.

2024年高考数学摸底考试卷

高三数学参考答案

1.B2.C3.A4.C5.A6.D

7.D8.C9.ACD10.ABD11.BC12.BD

13.36

28a

14.

3

2（2,-2,2,-《中任意一个皆可以）

15.

22

16.SI1

17.[详解](1)由+2a〃=4S”+3,可知a1+i+2an+i=4Sn+1+3

两式相减得d+1-片+2（为+1-为）=4%+1,

即2(%+%)=d+i-d=(%+%)(%+「%),

•4〉0，・•“〃+1.%=2,

，・,当〃=1时，a；+24=4〃i+3,a1=-1(舍)或〃i=3,

则｛见｝是首项为3,公差d=2的等差数列，

***｛]〃｝的通项公式4=3+2(〃-1)=2〃+1；

(2)Van=2n+1,

1

:.b=，=____________=1O_______

?

〃anan+i(2n+l)(2n+3)2(2〃+l2n+3J

・•・数列也｝的前〃项和

Tu」+」+…---

2135572n+l2n+3)2(32n+3j3(2〃+3)

18.【详解】(1)由正弦定理得百(sin3-sinAcosC)=sinCsinA,

又A+B+C=71,sin(A+C)=sin(兀-B)=sinB,

贝16[sin(A+C)—sinAcosC]=sinCsinA,

化简得cosAsinC=sinCsinA，

又sinC>0,所以^3cosA=sinA,则^3=tanA，

因为

所以A4;

a_b_c_2_4A/3

（2）由正弦定理得：sinAsin5sinCsin二3，

3

・・a+Z?+c=2d-------sinBH-------sinC=2H-------sinB+sin--------B

=2+^^-—sinB+^-cosB=2+4sinfB+—

ABC为锐角三角形,

解得:

63

2A/3<4sinB+-<4,

••2+2^/3<Q+Z?+C46,

即^ABC的取值范围为（2+2省,61

19.【详解】（1）因为PC,底面ABCD,ACu平面ABCD,

所以尸C_LAC.

因为AB=2,AD=CD=1,所以AC=8C=JL

所以AC2+BC2=432,所以AC1BC.

又因为尸CcBC=C,PCu平面PBC,BCu平面PBC,

所以AC_L平面PBC.

又ACu平面EAC,

所以平面E4C_L平面PBC.

（2）解法一：

以点C为原点,CB,CA,CP所在直线分别为x轴,y轴,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C（0,0,0）,

B(V2,0,0),A(0,V2,0),P(0,0,2),

设点E的坐标为(x,y,z),因为BE=2EP，所以(x-&,y,z)=2(-元,-y,2-z),

即彳=立，y=0,z=±,所以*g,0,。,

33I33J

所以C4=(O,0,O),CE=.

I33J

/、[n-CA=O

设平面ACE的一个法向量为〃=(%,y,z),贝".

n-CE=0

6y=0

所以,y/24，取x=2^2，则>=°，z=—1.

——x+—z=O

[33

所以平面ACE的一个法向量为n=（272,0,-1）.

又因为BC工平面PAC,所以平面PAC的一个法向量为C3=（0,O,O,

设平面PAC与平面ACE的夹角为0,

所以，平面PAC与平面ACE夹角的余弦值为述.

3

解法二：

取AB的中点G,连接CG,以点C为原点，CG,CD,CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所

示

的空间直角坐标系，则C（0,0,0）,3（1,-1,0）,4（1,1,0）,尸（0,0,2）.

设点E的坐标为（x,y,z）,因为丽=2而,所以（殴-1,丫+1,2）=2（-8-村2-2）,

即x=：,,=_；，z=g,所以一；,；].

JJJ

所以CA=（l/,0）,CE=1,-g,£|.

.z、[n-CA=0

设平面ACE的一个法向量为〃=（羽y,z）,则1

n-CE-0

x+y=0

3

所以114c取x=3,则y=-3,z=一/.

—x——y+—z=0

〔333

所以，平面ACE的一个法向量为〃-3,-|

又因为BC/平面PAC,所以平面PAC的一个法向量为CB=（l,T0）.

设平面PAC与平面ACE的夹角为巴

cos^=|coskCB）\=||3xl+（一3）x（T）|-----------=述

则c）3

所以，平面PAC与平面ACE夹角的余弦值为述

3

20.【详解】（1）记“小明至少正确完成其中3道题”为事件A,则

33|4189

P（A）=C；I~256

（2）X的可能取值为2,3,4

c2c2153

小=2)=看

J7014

ClC340_4

()尚

PX=3=-

J707

P(X=4)/153

,

J70-14

X的分布列为;

X234

343

P

14714

343

数学期望E(X)=2XR+3X,+4X^=3.

190

（3）由（1）知，小明进入决赛的概率为P（A）==；

256

431I

记“小宇至少正确完成其中3道题”为事件B,则P（B）=-+—=—

因为P（3）>P（A）,故小宇进决赛的可能性更大,

所以应选择小宇去参加比赛.

21.【详解】（1）定义域为（0,+力，广（x）=（x+l）e=?

/”)=2e-a=2e+l

由题意知

/(l)=2e+l-Z?=e

解得〃=—1,Z?=e+1；

(2)g(x)=/(x)—2ex-x+3=(x—2)e*+lnx-x+3,

贝Ijg，（尤=

令〃(x)=e'-L其中尤e：』，贝(无)=e，+3>0,

x_2__x

所以函数〃（x）=e'-L在xe上单调递增,

JC_乙_

因为〃2<0,/2（l）=e-l>0,所以存在唯一

使得/?(%)=广-2=0,即e&=-!-,可得xo=_lnxo,

当g<x<x°时，g'(x)>0,此时函数g(x)单调递增，

当X。〈尤<1时，g'(x)<0,此时函数g(x)单调递减.

所以当无e1,1时，g(x)1mx=g(%o)=(尤o-2)e*+ln/ro+3,

因为e""=十，xQ=-lnxQ,所以8»耐=4-210+：卜4一4}).：=0,

当且仅当即％=1时，取等号，

%

又因毛*,11所以g(x)a=4-21。+£|<0,

即g(x)<0,因为g(l)=2—e>-l,=■人>：-ln2-；x：=-ln2>-l,

所以当xe1,1时，—l<g(x)<0,

因为当xe时，g{x)<m(meZ)恒成立，

所有加mm=。.

【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键点在于把恒成立问题通过分离参数转化为新函数的最值问题，转

化后利用导数判断出其定义域上的单调性求出值域或最值问题就解决了.

2

22.【详解】(1)双曲线C：/■=根(〃-0)的渐近线方程为'=±氐，

不妨设人(相，月加)，网加,

因为三角形。钻的面积为右，所以:|A斗m=

所以73m2=百，又加>0,所以机=1.

2

(2)双曲线C的方程为C：尤2-4=1，所以右焦点/的坐标为(2,。)，

依题意，设直线/与x轴交于点(p,0),直线/的方程为、=人(左一。)(人°)，

设朋■(%,%),N(x2M，则”(占，f)，

丫=左(尤一0)

222

联立2^（3-F）x+2^x-（Fp+3）=0,

2y.x

X----------1

3-/w0且A=（2汰2）2+4（3-％2）,2°2+3）＞0,

化简得公片3且（p2-l*2+3>o,

2pk2Fp2+3

所以玉+/=—-------,=—

3-公123-k.2

因为直线MN的斜率存在，所以直线M2V的斜率也存在,

因为W,F,N二点共线，所以卜乂丁=kpN,

即己=鼠，即一y（%_2）=%（x「2）,

所以一女（看一夕）（无2-2）=左（%2—0（%-2），

因为kwO,所以—p)(%2—2)+(9—P)(占一2)=0,

所以一(〃+2)(玉+%2)+4〃=0,

2024年高考数学摸底考试卷

高三数学-答题卡

姓名：__________________________________________

准考证号:IIIIIIIIIII

注意事项

1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清贴条形码区

楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。

2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用

0.5mm黑色签字笔答题,不得用铅笔或圆珠笔答

题；字体工整、笔迹清晰。

3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出

区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题缺考「

无效。此栏考生禁填广

4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。标记

5.正确填涂■

一、选择题（每小题5分，共40分）

1[A][B][C][D]5[A][B][C][D]

2[A][B][C][D]6[A][B][C][D]

3[A][B][C][D]7[A][B][C][D]

4[A][B][C][D]8[A][B][C][D]

二、多项选择题（全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得

0分，共20分）

9[A][B][C][D]10[A][B][C][D]

11[A][B][C][D]12[A][B][C][D]

三、填空题（每小题5分，共20分）

13.14.

15.16.

四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）

7

请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！

18.（12分）

y

请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！

19.（12分）

P

|7

请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效!

20.（12分）

y

请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效!

21.（12分）

y

z*

请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效!

22.（12分）

请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效!

2024年高考数学摸底考试卷

高三数学

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求.

1.设集合A={-3,—2,—1,0,1,2,3},B={X|X2-X<0},则AB=()

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{0,1,2}D.0

【答案】B

【分析】解不等式召-xWO得集合3,再求A与8的交集即可得解.

【详解】解不等式尤之一尤40得OVxVl,

于是得3={x|04xWl},

而4={-3,-2,-1,012,3},

所以AB={0,l}.

故选：B

2.已知复数z满足z(l+27)=3—i,则目=

A.2B.73C.72D.1

【答案】C

【分析】根据复数除法运算可求得z,根据模长运算可求得结果.

3-i(3-/)(l-2z)_17.

【详解】l+2z一(l+2z)(l-2z)-5-5Z

本题正确选项：C

【点睛】本题考查复数模长的求解，关键是能够通过复数除法运算求得复数.

3.3.已知向量a,%满足同=羽=2,（°叫.（2a+6）=8,则a与6的夹角为（）

A.2B.生C.工D.空

3366

【答案】A

【分析】由（4-孙（20+6）=2同2-.2--=8求得°/=_1,再根据向量夹角公式即可求解.

［详解］因为（4_孙（24+5）=2同2_°必_好=8.又同=2忖=2,所以。力=-1.

所以cos(a,b)=a-b

同M一5,

因为04《涉）<兀，所以。与人的夹角为

故选：A

4.已知随机变量xB（2,p）,随机变量yN（2,"），若P（XVl）=0.36,P（Y<4）=p,则P（0<Y<2）=

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

【答案】C

【分析】由P（XWl）=0.36求出p=0.8,进而P（y<4）=p=0.8,由此求出网0<丫<2）.

【详解】因为XB(2,p),YN(2,/),P(X<1)=036,

所以尸(XVl)=(l—py+2p(l_p)=0.36,

解得P=0-8或。=一0.8(舍)，

由尸(y<4)=°=0.8,则尸(124)=1-0。=0.2,

所以P(0<y<2)=1(l-0.2x2)=0.3.

故选：C.

x+ax

5.若函数〃尤）=I在［L2］单调递减，则a的取值范围（）

A.〃2—2B.aS—2C.ci—4-D.a>-A

【答案】A

【分析】根据复合函数单调性来求得。的取值范围.

z1\%+ax

【详解】依题意函数/（X）=|在［L2］单调递减,

在R上递减，

5

?二炉+依的开口向上，对称轴为x=-_|,

根据复合函数单调性同增异减可知，-葭41=。2-2.

故选：A

22

6.已知点Fi、F2分别是椭圆与+与=l（a>b>0）的左、右焦点，过Fi且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、

ab

B两点，若AABF2为正三角形，则椭圆的离心率是

A.2B.J2C.3D.正

3

【答案】D

£

【分析】先求出缺的长，直角三角形AG鸟中，由边角关系得tan30。=42=2建立关于离心率的方程，

片为2c

解方程求出离心率的值.

【详解】由已知可得，AF^—,

a

£

tan30°=♦耳==a—c_1-e_6y/3e2+2e—G=0，

FXF22C2ac2e3

Q0<e<l,:.e=£.

故选D.

【点睛】本题考查椭圆的离心率，求解时要会利用直角三角形中的边角关系，得到关于GC的方程，从而求

得离心率的值.

7.已知等差数列｛%｝的前"项和为s„,命题命题则命题P是命题4的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】根据等差数列的性质结合充分、必要条件分析判断.

【详解】由%不能推出$7>0,

例如%=〃-4,则%=。,%=1>°，4=2>。，所以4=704=。，

故命题P是命题Q的不充分条件；

由$7>0,不能推出%>。,。6>。，例如4“=9-2〃,则%=1,。5=-L4=—3,

所以$7=7的>。,为<。，/<0，故命题P是命题q的不必要条件；

综上所述：命题〃是命题4的既不充分也不必要条件.故选：D.

8.在边长为6的菱形A8CZ）中，ZBAD=1,现将菱形ABCD沿对角线BD折起，当AC=3"时，三棱锥

A-BCD外接球的表面积为（）

A.24KB.48兀C.60兀D.72Tl

【答案】C

【分析】根据题意，结合图形的几何性质求出相关线段的长，根据球的几何性质确定三棱锥外接球的球心

位置，求得外接球半径，即可求得答案.

TT

【详解】由题意在边长为6的菱形ABCD中，=g知，

和△3CD为等边三角形，如图所示，

取BD中点E,连接AE,CE,则AE_LBD,AE=A/A02-DE2=A/62-32=35/3>

同理可得CE=36，又AC=3娓,则AE2+CE2=AC2,则

又BD<7£=£,3£>,<?£'|^平面03£）,故>1£_1_平面08。，

而CEu平面C3D,故AE_LCE,

由于△BCD为等边三角形，故三棱锥人-BCD外接球球心O在平面BCD内的投影为△BCD的外心即

。。，平面。8。，故。O|〃AE,

过。作OHJLAE于H,则H为△ABD的外心，则OO1〃HE,即O,Q,H,E共面，

则0H//OXE,则四边形OO、EH为矩形，

则在RtAO/M中，0H=0IE=3CE=6,AH=|AE=2V3,

22

所以外接球半径R=y/OH+AH=415，则外接球表面积为S=471K=60%，

故选：C

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.有一组样本甲的数据X：,一组样本乙的数据2%+1,其中x&=1,2,3,4,5,6,7,8）为不完全相等的正数，则

下列说法正确的是（）

A.样本甲的极差一定小于样本乙的极差

B.样本甲的方差一定大于样本乙的方差

C.若样本甲的中位数是优，则样本乙的中位数是2m+1

D.若样本甲的平均数是〃，则样本乙的平均数是2〃+1

【答案】ACD

【分析】根据统计中的相关概念和性质运算求解.

【详解】不妨设样本甲的数据为。＜为4马4•••4看，且％＜/，

则样本乙的数据为2再+1＜2元2+!＜•■•＜2xs+1,且2±+1＜2xg+1,

对于选项A：样本甲的极差为网-占＞。，样本乙的极差（2玉+1）-（2占+1）=25-%），

因为2（七一为）一（玉-玉）=七一玉＞0,即2伍一王）＞毛一石，

所以样本甲的极差一定小于样本乙的极差，故A正确；

对于选项B：记样本甲的方差为端＞0,则样本乙的方差为4s）

因为4s看=3s京〉。即4s帝＞端,

所以样本甲的方差一定小于样本乙的方差，故B错误；

对于选项C：因为样本甲的中位数是根=也詈，

则样本乙的中位数是〃=(2匕+1)：(2%+1)=%+%+1=2m+1,故C正确；

对于选项D：若样本甲的平均数是九，则样本乙的平均数是2a+1,故D正确；

故选：ACD.

10.已知正方体ABC。一，贝I()

A.直线3a与所成的角为90。B.直线BG与CA所成的角为90。

C.直线BG与平面8BQD所成的角为45。D.直线BG与平面A8C。所成的角为45。

【答案】ABD

【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.

【详解】如图，连接与C、BClt因为D4|〃BC，所以直线BG与BC所成的角即为直线8a与。A所成的

角，

因为四边形BBCC为正方形，则故直线8G与。所成的角为90。，A正确；

连接AC,因为AA，平面24clC,平面BBCC，则A与，8G，

因为44BXC=B},所以BC|JL平面44c,

又4CU平面44c,所以BG，ca，故B正确；

连接AG,设ACjBR=o,连接B。，

因为BBl±平面4旦C|R,CQU平面4瓦GR，则G。±B.B,

因为CQ_L8|Q,BRcBQ=B],所以CQ_L平面区BQD,

所以ZCtBO为直线BCX与平面BBQ。所成的角,

设正方体棱长为1,则CQ=且，BQ=y/2,sin/CiBO=*=g,

所以，直线BG与平面所成的角为30,故C错误；

因为CC，平面ABCD,所以NGBC为直线BG与平面ABCD所成的角，易得/QBC=45,故D正确.

故选：ABD

11.已知定义在R上的函数“X)满足〃x+2)+〃x)=0,且y=〃2-x)为偶函数，则下列说法一定正确

的是()

A.函数/(x)的周期为2B.函数〃x)的图象关于(1,0)对称

C.函数〃x)为偶函数D.函数的图象关于x=3对称

【答案】BC

【分析】根据给定的信息，推理论证周期性、对称性判断AB；借助变量替换的方法，结合偶函数的定义及

对称性意义判断CD作答.

【详解】依题意，R上的函数〃尤)，/(x+2)=-/(x),贝！J“尤+4)=—〃尤+2)=/(x),函数的周期

为4,A错误；

因为函数)=〃2-力是偶函数，则/(2-x)=〃2+x),函数〃尤)的图象关于x=2对称，

=-/(%),即/(2r)+/(x)=0,函数〃x)图象关于(1,0)对称，B正确；

由〃2—x)=〃2+x)得〃T)=〃4+尤)=/(%),则函数〃尤)为偶函数，C正确；

由〃元+2)+/(无)=。得/(x+3)+〃l+x)=0,由/(2-x)=f(2+x)得/(3-x)=J(l+x),

因此“x+3)+〃3-x)=0,函数的图象关于(3,0)对称，D错误.故选:BC

12.抛物线C:x2=2py(2>0)的准线方程为y=T,过焦点月的直线/交抛物线C于A,B两点，贝U()

A.C的方程为V=2y

B.|AB|+2忸司的最小值为4+26

C.过点”(4,2)且与抛物线仅有一个公共点的直线有且仅有2条

211

D.过点AB分别作C的切线，交于点网飞,%)570),则直线PE%,尸8的斜率满足7=厂+1

kpFKphkpB

【答案】BD

【分析】求出抛物线方程判断A；设出直线/的方程并与抛物线方程联立，结合抛物线定义及均值不等式计

算判断B；设出过点M的直线方程，与抛物线方程联立求解判断C；求导并结合选项B的信息求解判断D

作答.

【详解】对于A；依题意，苫=T，解得P=2,C的方程为Y=4y,A错误；

fy=kx+1

对于B,由选项A知，尸(0,1),设直线/的方程为丁="+1,由[/消去y得Y—4丘-4=0,

[x=4y

设(占,%),B(x,y),则有再々，幽=必

A22=TIABI+2]B/|=|AF|+31+1+3(%+1)=再广+4

「J3G；+4=2石+4,当且仅当占=-6羽时取等号，B正确；

4

对于C,过点”(4,2)且与抛物线仅有一个公共点的直线不垂直于y轴，设此直线方程为1-4=/(y-2),

由[-2)消去丫得：t2_x_2t+4=Q>当，=0时，彳=4,直线与抛物线仅只一个交点，

[x=4y4

当N。时，△=17(-2,+4)=2/一书+1=0,解得"1±1，即过点”(4,2)且与抛物线相切的直线有2条,

2

所以过点加(4,2)且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条，C错误；

对于D,由y=M求导得y=J,由选项B知，kpA=±kpB=«,=4,

4222xx2=-4

>=+(彳-占)+%

工+工—+2=2(由两式相减得:

kPAkPBxxx2x1x2

y=^(x-x2)+y2

三x-g(x；-/)+%-%=0，即"\尤2彳=；(无；一君)，贝！|尤="!；2=2、，

于是%=24，y0=y(2fc-x1)+y1=kxi-yi=^-(^+1)=-1,即点P(2A,-1),

,-212~11

所以3才-『晶=-2人/或，D正确.故选：BD

第n卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.现从4名男志愿者和3名女志愿者中，选派2人分别去甲、乙两地担任服务工作，若被选派的人中至

少有一名男志愿者，则不同的选派方法共有种.（用数字作答）

【答案】36

【分析】依题意分两种情况讨论，①选一名男志愿者与一名女志愿者，②选两名男志愿者，按照分步乘法

计数原理与分类加法计数原理计算可得；

【详解】解：依题意分两种情况讨论，①选一名男志愿者与一名女志愿者，则有CR1照=24种选派方法;

②选两名男志愿者，则有。宠娘=12种选派方法；

综上可得一共有24+12=36种选派方法；

故答案为：36

14.已知正四棱台的侧棱长为3,两底面边长分别为2和4,则该四棱台的体积为

【答案】身且

3

【分析】根据正四棱台的性质求出高，即可由体积公式求出.

【详解】如图，正四棱台ABC。-A与GA中，设下底面中心为。，上底面中心为a,

则。。I即为四棱台的高，过用作8道1瓦），则用E=oa,

在上ZX8E耳中，34=3,助=20-&=力，则gE=WH=近，

22

又^ABCD-4=16,S451GA=2=4f

所以该四棱台的体积为V=g（16+Vi百海+4卜布=邛.

28-

故答案为:

3

8

15.已知直线/：%-g+1=0与C:（x-19）+/=4交于A,B两点，写出满足“一ABC面积为《”的m的一

个值______.

【答案】2（2,-2,；,-g中任意一个皆可以）

【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长|AB|,以及点C到直线A3的距离，结合面积公式即可解出.

【详解】设点C到直线A3的距离为d,由弦长公式得|八|=2"-屋,

所以S△皿=；>d>2〃-储=],解得：/=述或d=拽，

2355

11+11224#22-J51

由〃=4^=下「，所以方J=竽或白^=等，解得：加=±2或%=±

Vl+m2y/1+m2y/1+m25&+疗52

故答案为：2（2,-2q,-3中任意一个皆可以）.

16.设函数〃x）=sin"+为在区间（0㈤恰有三个极值点、两个零点，则。的取值范围是.

【答案】（y,|]

【分析】根据题意，结合正弦函数的图象和性质即可求解.

【详解】由题意，当。<0时，不能满足在（0,兀）上极值点比零点多，

当0>0时，因为尤e（O,n）,所以COX+~G（―,（071+9

要使函数"X）=sin+鼻在区间（0,兀）恰有三个极值点、两个零点，

由y=sinx的部分图象如下图所示：

打

O兀JTCx

贝（1M＜即+£（3兀，解得即

23o363

故答案为：

63

四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明

过程或演算步骤.

17.S〃为数列｛%｝的前几项和，已知。〃＞。，Q；+2%=4S〃+3.

（1）求证：数列｛q｝为等差数列；

71，、

（2）设瓦=——，求数列出｝的前n项和

anan+\

【答案】（1）证明见解析

（2）1-3（2«+3）

rS[,7?—i