2022-2023学年山东省淄博市重点中学九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省淄博市重点中学九年级（上）期末数学试卷

（五四学制）

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列四个几何图形中，左视图是三角形的几何体共有（）

2.古希腊著名的科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“阻力x阻力臂

=动力x动力臂”.小明同学用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m,则动力网单

位：N）关于动力臂2（单位：6）的函数表达式正确的是（）

3.已知一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3,则最小角的正弦值是（）

A1££

2-23

4.如图，已知AZBC是半径为1的。。的内接三角形，其中乙4=60。，ZB=75°,则

4B的长度为（）

A.20

B.V3

C.2V2

D.72

5.分式巴西+钙化简的最终结果是（）

a—3a2—3a

11

a2a

2-4-

6.某市为了构建城市立体交通网络，决定修建一条轻轨铁路,为使工程提前半年完成，需将工作效率提高

25%,则原计划完成这项工程需要（）

A.30个月B.25个月C.36个月D.24个月

7.已知二次函数y=aQ+k）2+h（a,k,/i均为常数）的图象与x轴的交点的横坐标分别为-2和5,则关于久的

一元二次方程a（x+k+2）2+%=0的两个实数根分别是（）

A./=—4,%2=3B.%1—3,%2=7

C.%1=0,%2=7D.%1—0>%2=3

8.如图，在。。中，M为弦4B上一点，且2M=2BM=4,连接0M,过M作。M1

MN交。。于点N,则MN的长为（）

A.2.5

B.3

C.272

D.”

9.如图，矩形力BCD的边4D在无轴的正半轴上，反比例函数y=g的图象恰好经过顶点B,C4的延长线交y于

点E,已知AADE的面积为|,则k的值为（）

A.-13B.-6C.—得9D.-3

10.小明在研究抛物线y=—（%-/1）2-/1+1（八为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（）

A.无论支取何实数，y的值都小于0

B.该抛物线的顶点始终在直线y=x-1上

C.当一1<x<2时，y随x的增大而增大，则h>2

D.该抛物线上有两点4（X1，%）,B（x2,y2）>若<%2，%i+%2<2%，则%>y2

二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。

11.用相同的小正方体摆成某种模型，其三视图如图所示，则这个模型是由____

个小正方体摆放而成的.

12.对于双曲线y=l，当%>0时，y随x的增大而减小，请你写出一个符合上述要求的m的值

13.二次函数y=-x2+6比一12图象的顶点坐标是.

14.如图，点M,N分别是正方形4BCD的边CD,上的点，且M为边CD的中点

.已知41=Z.2,则tan乙4BN=

15.如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径1,直线I的解析式为y=%+t.若直线，与半圆只有一个

交点，则t的取值范围是.

三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题10分）

如图，4B是斜靠在墙上的长梯，AB与底面的夹角为a,当梯顶2下滑2nl到4时，梯脚B滑到/处，4%与

地面的夹角为若tcma=BBi=2m,求cos£的值.

17.（本小题10分）

如图，已知圆锥底面半径为10CM,母线长为30ca,求一只蚂蚁从4处出发绕圆锥侧面一周（回到原来的位

置4处）所爬行的最短距离.

18.（本小题10分）

如图，AB//CD,点M,N分别在AB,CD上，且AM=DN,点。是AD的中点，问点M,0,N在同一条直

线上吗？为什么？

19.（本小题10分）

如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点力处出手，出手时球离地面约?皿铅球落地点在B处，铅球运行中

在运动员前4根处（即OC=4）达到最高点，最高点高为3皿已知铅球经过的路线是抛物线，根据如图所示的

直角坐标系，你能算出该运动员的成绩吗？

20.(本小题12分)

顾老师布置了周末实践性作业如下，利用影子测量路灯灯泡的高.

身高为1.6米的小明为了完成老师布置的作业，他设计了如下方案，如图所示，他先从路灯底部(4处)向东

走20步到B处，发现自己的影子端点在C处，继续沿刚才自己的影子走5步到C处，此时影子的端点在。处(

假设公路是东西方向笔直的公路).根据小明设计的方案，请解决下列问题：

(1)请在图中画出路灯2E；

(2)估计路灯灯泡的高度并求影长CD.

北

-►东

-------A

21.(本小题12分)

如图，已知双曲线为=(经过点。(6,1),点C是双曲线第三象限分支上的动点，过点C作CAlx轴，过点。

作BOly轴，垂足分别为A,B,连接AB,BC.

(1)求k的值；

(2)若△BCD的面积为12,

①若直线CD的解析式为力=ax+。，求a、b的值；

②根据图象，直接写出比＞先时工的取值范围;

③判断直线力B与CD的位置关系，并说明理由.

22.(本小题13分)

如图，O。是以8c为直径的△48C的外接圆，点M为△力BC的内心，连接并延长交。。于点。，连接

CD.

⑴求证：AB2+AC2=2CD2；

(2)求证：DM=DC；

(3)连接。M,若AM=0M=仄,求AC的长.

23.(本小题13分)

已知抛物线y=a/+bx-3与x轴相交于4(一1,0),B(3,0)两点与y轴交于点C,作直线BC.

(1)求抛物线和直线BC对应的函数表达式;

(2)利用图象求不等式/一3%20的解集;

(3)点P是位于第四象限内抛物线上的一个动点，连接PB,PC.

①当APBC的面积最大时，求点P的坐标及APBC的面积；

②在无轴上是否存在一点Q,使得以P,C,Q,B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的

坐标，若不存在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：圆柱的左视图是矩形，圆锥的左视图是等腰三角形，球的左视图是圆，三棱锥的左视图为三

角形，

所以，左视图是三角形的几何体有2个.

故选：B.

根据左视图是从左边看到的图形，进行求解即可.

本题主要考查了简单几何图的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键.

2.【答案】B

【解析】解：•••阻力x阻力臂=动力x动力臂，

1200x0.5=FI,整理得：F=竿，

故选：B.

根据所给公式列式，整理即可得答案.

本题考查了反比例函数的应用，弄清题意，正确分析各量间的关系是解题的关键.

3.【答案】A

【解析】解：•・•三角形的三个内角的度数之比为12\user2：3,

•••最小角的度数为：180°x/苒=30°,

•••最小角的正弦值是s讥30。=

故选：A.

先根据三角形的内角和求出各个内角的度数，再根据正弦的定义，即可进行解答.

本题主要考查了三角形的内角和，以及特殊角度的三角函数值，解题的关键是熟练掌握各个特殊角度的三

角函数值.

4.【答案】D

【解析】解：连接Z。，B0,

・••乙C=180°-60°-75°=45°,

•••^AOB=2zf=90°,

AO=BO=1,

AB=7A。+BO2=72.

故选：D.

连接40,BO,先根据三角形的内角和求出NC=45。，再根据圆周角定理求出N/1OB=2/C=90。，最后根

据勾股定理即可求出AB.

本题主要考查了三角形的内角和，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是掌握三角形的内角和为180。，同

弧所对的圆周角是圆心角的一半.

5.【答案】D

【解析】解：原式=：x至普+年喧

4Q—3a“一3a

_1(2a-l)22a-1

4a—3ci(ci-3)

1a(2a—l)2a(a—3)

4a(a-3)2a-1

a(2a—1)2a2—a

=4=-4~

11

^2a24a'

故选：D.

先将分子分母进行因式分解，将除法改写为乘法，最后根据分式的运算法则和运算顺序进行计算即可.

本题主要考查了分式的化简，解题的关键是掌握分式的运算法则和运算顺序.

6.【答案】4

【解析】解：设原计划完成这项工程需要x个月完成，则提高工作效率需要(久-6)个月，根据题意得：

解得：x=30,

经检验：x=30是原方程的解，且符合题意，

答：原计划完成这项工程需要30个月.

故选：A.

设原计划完成这项工程需要久个月完成，则提高工作效率需要6)个月，根据题意，列出方程，即可求

解.

本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键.

7.【答案】A

【解析】解：设二次函数为=a(久+k+2)2+h,

y=a(x+fc)2+h,

・•・y向左平移2个单位长度得到为,

•••二次函数y的图象与久轴的交点的横坐标分别为-2和5,

.•・二次函数月的图象与％轴的交点的横坐标分别为-4和3,

二一元二次方程a(x+k+2)2+%=0的两个实数根分别是X]=-4,x2=3,

故选：力.

设二次函数为=a(x+k+2)2+h,根据二次函数的平移规律可得y向左平移2个单位长度得到乃，即可得

出为与x轴的交点横坐标，即可进行解答.

本题主要考查了二次函数的平移，以及二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是掌握二次函数的平

移规律“左加右减，上加下减”，以及二次函数与英轴交点的横坐标的值等于所对应一元二次方程的根.

8.【答案】C

【解析】解：过点。作。C1AB于点C,连接20,NO,

：.BM=2,贝！MB=AM+BM=4+2=6,

OC1AB,

.-.AC=BC=^AB=3,

MC=BC-BM=3-2=1,

设。C=x,

在出△COM中，根据勾股定理可得：=。。2+〃。2=/+1,

在RtaAOC中，根据勾股定理可得：AO2=OC2+AC2=x2+9,

NO2=x2+9,

•••OM1MN,

MN2=NO2-OM2=/+9一(久2+i)=g,

MN=22(负值舍去)，

故选：C.

过点。作。C14B于点C,连接40,N。，根据=2BM=4得出力B=6,根据垂径定理可得4c=3,

MC=1,设OC=x,根据勾股定理可得。M2=7+1可。2=4。2=7+9,最后根据MN?=N。？一

0M2,即可求解.

本题主要考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容，正确画出辅助线，构造直

角三角形，用勾股定理求解.

9.【答案】D

【解析】解：•••点B在反比例函数图象上，

.••设B(a,)

・•.0A=a,AB=CD=

a

•••Z-EAO=Z.CDA,

EAO^ACAD,

OEAO日口竺=_E_

二丽=而，即一「少

整理得：0E•AD=-k,

13

2-2-

-k=3,解得k=-3,

故选：D.

设B(a,f),贝!|。4=a,4B=CD=—5，通过证明△EAOsAC4D,可得OE・AD=-鼠再根据三角形的面

积公式，即可求解.

本题主要考查了相似三角形的判定和性质，反比函数的图象和性质，矩形的性质，解题的关键是掌握相似

三角形对应边成比例.

10.【答案】C

【解析】解：,.,y=-（x-h）2-/i+l,

抛物线开口向下，顶点坐标为（九-h+1）,对称轴为直线x=%,

;抛物线最大值为y=-八+1,选项A错误，

设h=x,则-h+1=—%+1,

••・抛物线顶点在直线y=-久+1上，选项B错误.

•••%<八时，y随x增大而增大，

.••无22时，若无<2,则y随x增大而增大，选项C正确.

•••抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x=h,

二当+久2<2%时，4（久1，%）与对称轴的距离大于点B（X2，y2）与对称轴的距离，

V1<丫2，选项D错误•

故选：C.

由抛物线解析式可得抛物线开口方向，顶点坐标及对称轴方程，进而求解.

本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的

关系.

11.【答案】5

【解析】解：由主视和左视图可知，由模型有两层，上层有一列，下层有两列；由俯视图可知，该模型上

层有1个，下层有4个，

;这个模型是由5个小正方体摆放而成，

故答案为：5.

由主视和左视图可知，由模型有两层，上层有一列，下层有两列；由俯视图可知，该模型上层有1个，下

层有4个，即可得出答案.

本题主要考查了由三视图还原几何体，解题的关键是掌握三视图的定义，根据三视图还原几何体.

12.【答案】0（答案不唯一）

【解析】解：••・当x>0时，y随x的增大而减小，

•••1—m>0,

•••m<1,

符合要求的小的值为0.

故答案为：0（答案不唯一）.

根据反比例函数的性质可得1-爪>0,即可求解.

本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数y=((k力0),当k〉0时，图象位于第一、

三象限内，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象位于第二、四象限内，在每一象限内，y

随久的增大而增大是解题的关键.

13.【答案】(3,—3)

【解析】解：根据题意可得：y=-x2+6%-12=-(%-3/一3,

该函数图象的顶点坐标为(3,-3),

故答案为：(3,-3).

将该二次函数解析式化为顶点式，解进行解答.

本题主要考查了求二次函数图象的顶点坐标，解题的关键是掌握将二次函数解析式化为顶点式的方法和步

骤.

14.【答案吗

【解析】解：如图，延长NM,BC交于点E,过点E作EF1BN于点F,

•・•z.1=Z2,

・•.NE=BE,

・•.BF=1”N,

•・・四边形/BCD是正方形，

/.AD//BC,AD=BC=AB,

・•.Z.DNM=Z.CEM,乙D=乙DCE=90°,

••・M为边CD的中点，

・•.DM=CM,

/.△DNM=ACEM(AAS),

・•.CE=DN,

设=AN=a,则CE=£W=%-a,

•••BE=2x-a,BN=V%2+a2,

BF=八慧，

•••Z1+UBF=4ANB+乙ABF=90°,

Z1=4ANB,

Z-A-Z-BFE=90°,

ABN~AFEB,

.AN_BN

'•'BF=~BE'

.a_Vx2+a2

"J/+a22x-a,

2

解得：2=4或1（舍去），

,cmAN1

tan乙4BN=.

AD3

故答案为:1.

__-1

延长NM,BC交于点E,过点E作EF1BN于点F,根据=42,可得BF=、BN,再证明△DNMmA

CEM,可得CE=DN,设4B=x,AN=a,贝!jCE=DN=x-a,可得BE=2x-a,BN=Vx2+a2-

BF=与皿,再根据△ABNs^FEB,即可求解.

本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知

识，证明△DNM^A。石时和仆ABN-AFEB是解题的关键.

15.【答案】t=^2^.-1<t<1

【解析】解：若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直线过点4开始到直

线过点B结束（不包括直线过点4）.

直线y=x+t与x轴所形成的锐角是45。.

当直线和半圆相切于点C时，贝UOC垂直于直线I,ZCOD=45°.

又OC=1,则CD=OD=苧，即点C（一苧,苧），

把点C的坐标代入直线解析式，得t=y-x=

当直线过点4时，把点4（—1,0）代入直线解析式，得£=、—x=l.

当直线过点B时，把点B（l,0）代入直线解析式，得［=）/-久=一1.

即当t=M或—1时，直线和圆只有一个公共点，

故答案为：t=或

y7

/TAD\OBXApyi4

若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点c或从直线过点a开始到直线过点B结束

(不包括直线过点㈤.

当直线和半圆相切于点C时，根据直线的解析式知直线与无轴所形成的锐角是45。，从而求得NCOD=45。，

即可求出点C的坐标，进一步求得t的值；当直线过点B时，直接根据待定系数法求得t的值.

此题综合考查了直线和圆的位置关系，及用待定系数法求解直线的解析式等方法.

16.【答案】解：tana=黑=：,

.♦.设AC=4k,BC=3k,

在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：AB=VXC2+BC2=5k,

•••A1B1=5k,

AAr=2m,BB]=2m,

*'•ArC=4fc—2,B^C=3/c+2,

22

在RtA&BiC中，根据勾股定理可得：A1B1=ArC+BrC,

即(5k)2=(4k-2)2+(3k+2)2,

解得：k=2,

.­.A1B1=5k=10,81c=3k+2=8,

oBiC84

.•.c°sS=R=五=：•

【解析】根据tcma=照=2，设AC=4k,BC=3k,则&C=4k—2,4C=3k+2,根据勾股定理,

DC3

列出方程，求出k的值，进而得出4/1=5k=10,BrC=3k+2=8,即可求解.

本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义及解直角三角形的方法和步骤.

17.【答案】解：圆锥的侧面展开如图：过S作SC，48,贝U2C=BC,

设N4SB=n°,

解得：n=120,

NASC=60°,

AC=ASXsmZ-ASC=30x?=15V-3(cm)>

AB=2AC=30V3cm,

即爬行的最短距离为30Cca.

【解析】把圆锥的侧面展开得到圆心角为120。，半径为30cM的扇形，求出扇形中120。的圆心角所对的弦

长即为最短路径.

本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角，特殊角的锐角三角函数值，将圆锥中的数据对应到展开图中是解题

的关键.

18.【答案】解：点M,0,N在同一条直线上，理由如下：

连接。M,ON,

•••ABUCD,

/.A=Z-C,

•••点。是4D的中点，

AO=DO,

在△AM。和ADN。中，

AM=ON

Z-A—Z-C，

AO=DO

•••△ZMPw2kDNO(SZS),

・•.Z.AOM=乙DON,

•••^AOM+^DOM=180°,

.­.乙DON+乙DOM=180°,

.•.点M,0,N在同一条直线上.

【解析】连接OM,ON,通过证明AAM。三△DNO(SAS)得出N20M=ADON,再木艮据NZOM+ZOOM=

180。得出/DON+乙DOM=180°,即可求证.

本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，线段中点的定义，解题的关键的正确画出辅助

线，构造全等三角形，根据全等三角形对应角相等的性质进行求证.

19.【答案】解:能.

•••OC=4,CD=3,

工顶点。坐标为(4,3),

设y=a(x-4)2+3,

把y=£代入上式，得£=a(0-4/+3,

1

a=—访

1

••y=-—(X-4)2+3,

即y=一+|%+|，

令y=0,得一+|%+|=0，

•••%i=10,x2=-2(舍去).

故该运动员的成绩为10TH.

【解析】知道抛物线顶点，根据设出顶点坐标公式y=a(%-4)2+3,求出a,然后令y=0,解得％.

本题主要考查二次函数的应用，由图形求出二次函数解析式，运用二次函数解决实际问题，比较简单.

20.【答案】解：(1)如图所示:

(2)根据题意可得：AB=20步，BC=5步，BM=CN=1.6m,

】、、。一_

V*c、------一A

、、、

火'、极

、、、,、、、

、、、、、

-----]、1~►

ABC--------------------D

VAE1AD,CN1AD,BMLAC,

・•.AE//BM,

ACE~4BCM,

.BM=BCPHL6=工

*'AEAC9闵AE20+5'

解得：AE=8,

•・•CN//AE,

.CN_CDgn1.6_CD

族=而'*8=25+CD'

解得：CD=名，

4

综上：路灯4E高8米，影长CD为学步.

4

【解析】(1)分别连接CM,DN并延长，相交于点E,过点E作E2LBC于点42E即为所求；

(2)根据AE_L4D,CN1AD,BM1XCBJ^AACE-ABCM,AADE-ACDN,则丝=空，即可求出4E,

AEAC

根据穿=啜，即可求出CD.

AEAD

本题主要考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握中心投影的性质和确定点光

源的方法，以及相似三角形对应边成比例的性质.

21.【答案】解：(1),••双曲线y=：经过点D(6,l),

解得k=6：

(2)①设点C到8。的距离为无，

•・•点。的坐标为(6,1),OBly轴，

•••BD—6,

S&BCD=2X6,%=12,

解得h=4,

•・•点C是双曲线第三象限上的动点，点。的纵坐标为1,

・••点C的纵坐标为1-4=一3,

解得％=-2,

・•・点C的坐标为(-2,-3),

则广2a+b=-3

人『6a+b=-2

解得卜=3；

3=-2

②由图象知当久＜一2或0＜%V6时，丫1＞丫2，

©AB//CD.

理由如下：•.・C4轴，DBly轴，设点C的坐标为(c[),点。的坐标为(6,1),

；.点A、B的坐标分别为力(c,0),B(0,l),

设直线的解析式为y=mx+n,

则｛箕丁=o,

解得,=Y,

In=1

所以，直线ZB的解析式为y=-1%+1,

设直线CD的解析式为y=ex+f,

则卜c+T,

I6e+f=1

f_1

解得

・•・直线CD的解析式为y=-i%+—,

,cc

■■AB.CD的解析式k都等于一士

c

■■AB与CD的位置关系是4B//CD.

【解析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，主要利用了待定系数法求函数解析式，三角形的

面积的求解，待定系数法是求函数解析式最常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用.

(1)把点。的坐标代入双曲线解析式，进行计算即可得解；

(2)①先根据点。的坐标求出的长度，再根据三角形的面积公式求出点C到BD的距离，然后求出点C的纵

坐标，再代入反比例函数解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；

②根据图象即可得到%>为时刀的取值范围；

③根据题意求出点4、B的坐标，然后利用待定系数由法求出直线4B的解析式，可知与直线CD的解析式k

值相等，所以4B、CD平行.

22.【答案】(1)证明：连接BD,

■.•点M为△ABC的内心，

•••4D平分NB4C,贝!UB4D=ZCXD,

BD=CD,

•••8C为直径，

ABDC=Z.BAC=90°,

AB2+AC2=BD2+CD2=BC2,

AB2+AC2=2CD2.

(2)解：连接CM,

•・•点、M为A的内心,

/.^BAD=/.CAD,乙ACM=LBCM,

•・•乙BAD=乙BCD,

Z.CAD=乙BCD,

•••乙DMC=Z.CAD+/-ACM,乙DCM=乙BCD+乙BCM,

・•・乙DMC=乙DCM,

・•.DM=DC.

(3)解：过点M作ME1/8,MFLAC,MGIBC,垂足分别为点E,F,G,

BC为直径，

.­./.BAC=90°,

MELAB,MF1AC,

四边形2EMF为矩形，

•.・点M为AaBC的内心，

ME=MF=MG,

四边形4EMF为正方形，

AMAF=45°,

AM=2<2,

•••AF—AM•cos450=2,

.・.AE=AF=ME=MF=MG=2,

•••MG=2,OM=

在Rt△OMG中，根据勾股定理可得：OG=y/OM2-MG2=1,

设O。半径为r,

BO=CO=r,

.・.BC=2r,BG=r+1,CG=r—1,

,点M为△ABC的内心,

.・.BE=BG=r+1,CF=CG=r—1,

AB=BE+AE=r+3,AC=CF+AF=r+1,

在中，根据勾股定理可得：AB2+AC2=BC2,

即(r+3)2+(r+l)2=(2丁产

解得：「=5或「=一1(舍)，

・•・AC=7+1=6.

【解析】(1)连接BD,根据内心的定义可得AB4D=NC4D,贝UBD=CD,再根据直径所对的圆周角为直

角，结合勾股定理即可求证；

(2)连接CM,根据三角形内心的定义和同弧所对的圆周角相等，可得乙4cM=4BCM,乙CAD=4BCD,再

根据三角形的外角定理和角度直角的和差关系可得NDMC=^CAD+ZXCM,乙DCM=4BCD+NBCM,

即可证明ADMC=ADCM,即可求证；

(3)过点M作ME1AB,MFLAC,MG1BC,根据三角形内心的性质可得AE=AF=ME=MF=MG,

根据4〃=2，1,0"=，^可得。6=1,则ZB=BE+4E=r+3,ACCF+AF=r+1,根据勾股定

理，列出方程求解即可.

本题主要考查了圆的综合应用，解题的关键是熟练掌握直径所对的圆周角为直角，三角形的内心为三角形

三条角平分线的交点，勾股定理.

23.【答案】解：(1)把4(-1,0),B(3,0)代入y=a