2023年高考数学理一轮复习教学案第8章8-4直线平面平行的判定与性质

§8.4直线、平面平行的判定与性质

【考试要求】

L理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.

2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用.

【知识梳理】

I.线面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

，4a

判定平面外一条直线与此平面内的一条直

bUa04〃a

定理线平行，那么该直线与此平面平行吕

a//b.

一条直线与一个平面平行，则过这条直

a∕∕a

性质

线的任一平面与此平面的交线与该直aU6∖^a∕∕b

定理

线平行α∏6=r.

2.面面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

CIUB、

一个平面内的两条相交直线与另

bus

判定

一个平面平行，那么这两个平面I司CICb=P>=^β∕∕a

定理

平行£7alla

b∕∕a>

a∕∕β]

性质如果两个平行平面同时和第三个^1IΓ

aC∖γ=g>=>a∕∕h

定理平面相交,那么它们的交线平行I6∩y=/

【常用结论】

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若”,α,aLβ,则α〃夕.

(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α〃∙，β∕/γ,则a〃y.

(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a_La,⅛±α,则。〃尻

(4)⅛ra∕∕β,CIUa,则“〃及

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

（1）若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.（X）

⑵若直线“〃平面α,PWa,则过点P且平行于直线”的直线有无数条.（×）

⑶若直线4u平面α,直线/，＜=平面从a∕∕b,则α〃夕.（X）

（4）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.（√）

【教材题改编】

1.下列说法中，与“直线。〃平面a”等价的是（）

A.直线。上有无数个点不在平面a内

B.直线〃与平面a内的所有直线平行

C.直线a与平面a内无数条直线不相交

D.直线a与平面a内的任意一条直线都不相交

答案D

解析因为a〃平面a,所以直线a与平面a无交点，因此。和平面a内的任意一条直线都

不相交.

2.已知不重合的直线a,〃和平面a,则下列选项正确的是（）

A.若a〃a,bUa,则a〃Z?

B.若a〃a,b∕∕a,则“〃匕

C.若a〃匕，⅛Ca,则a〃a

D.若a〃方，«Ca,则6〃a或6Ua

答案D

解析若a〃a,bUa,则a〃。或异面，A错;

若a〃a,b∕∕a,则a〃b或异面或相交，B错;

若。〃6,bUa,则“〃a或aUa,C错;

⅛a//b,aUa,贝!|b〃a或bua,D对.

3.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为

答案平行四边形

解析,/平面ABFE//平面DCGH,

又平面EFGHC平面ABFE=EF,

平面EFGaC平面DCGH=HG,

.∙.E尸〃HG.同理EH〃FG,

.,.四边形EFGH是平行四边形.

题型一直线与平面平行的判定与性质

命题点1直线与平面平行的判定

例1如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABC。是平行四边形，E,尸分别是SC,PC的中

点，求证：

⑴PB〃平面AC尸；

(2)EF〃平面PAB.

证明(1)如图，连接B。交4C于。，连接。匕

,.∙四边形ABCD是平行四边形，

。是BQ的中点，

又；尸是PO的中点，

J.0F//PB,

又「OFU平面ACEP用平面ACE

,PB〃平面ACF.

⑵取力的中点G,连接GF,BG.

是PD的中点,

.∙.GF是4B4O的中位线，

；.GF戚AD,

；底面4BC。是平行四边形，E是8C的中点,

：.BE^AD,：.GF^BE,

.∙.四边形BEFG是平行四边形,

J.EF//BG,

又「ERJ平面∕¾B,BGU平面∕¾8,

.∙.Ef〃平面PAB.

命题点2直线与平面平行的性质

例2如图所示，在四棱锥「一ABCD中，四边形A8C。是平行四边形，M是PC的中点，在

DM上取一点G,过G和以作平面交BD于点H.

P

求证：PA//GH.

证明如图所示，连接4C交BD于点0,连接OM,

P

•/四边形ABCD是平行四边形，

二。是AC的中点，

又M是PC的中点，

J.PA//0M,

又OMU平面BMD,HW平面BMD,

.∙.∕¾〃平面BMD,

又平面∕¾HG∩平面BMD=GH,

:,PA//GH.

【教师备选】

如图，四边形A8C。是矩形，内平面A8CZ),过BC作平面BCFE交AP于点E,交DP于点

F,求证：四边形BCFE是梯形.

证明,/四边形ABCD为矩形，

J.BC//AD.

「AOU平面刚。，BcU平面力。,

.∙.BC〃平面PAD.

：平面BCFE∩平面PAD=EF,

BCU平面BCFE,

.,.BC∕∕EF.

'：AD=BC,AD≠EF,

.∖BC≠EF,

，四边形BCFE是梯形.

思维升华(1)判断或证明线面平行的常用方法

①利用线面平行的定义(无公共点).

②利用线面平行的判定定理(Ha,bUa,a//bz^a∕∕a).

③利用面面平行的性质(α〃乩"uct=>4〃4).

④利用面面平行的性质(α〃夕，a<tβ,a∕∕a=^a∕∕β).

(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确

定交线.

跟踪训练1如图所示，已知四边形ABCO是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF

的中点.

(1)求证：AM〃平面8OE；

⑵若平面AZ)M∩平面BOE=/,平面ABMrl平面Bf)E=加，试分析/与的位置关系，并证

明你的结论.

⑴证明如图，记Ae与8。的交点为。，连接OE

因为0,M分别为AC,EF的中点，四边形ACEF是矩形,

所以四边形AoEM是平行四边形，

所以AM〃0E.

又因为OEU平面BDE,AMQ平面BDE,

所以AM〃平面BDE.

(2)解/〃相，证明如下：

由(1)知AM〃平面BDE,

又AMU平面ACM,平面ADWrI平面BOE=/,

所以l//AM,

同理，AM〃平面BDE,

又AMU平面ABM,平面ABMC平面BDE=〃?,

所以机〃AM,所以/〃丸

题型二平面与平面平行的判定与性质

例3如图所示，在三棱柱48C—AIBCI中，过BC的平面与上底面ABiG交于G"(GH与

BiCi不重合).

⑴求证：BC//GH；

(2)若E,F,G分别是AB,AC,AIBl的中点，求证：平面E∕¾ι〃平面BCHG

证明(1)；在三棱柱A8C—48IG中，

，平面ABe〃平面AiBiCi,

又；平面BCHGC平面ABC^BC,

且平面BCHGC平面A↑BiCi=HG,

由面面平行的性质定理得BC//GH.

(2)VE,尸分别为A8,AC的中点，

：.EF//BC,

；£7过平面BCHG,BCU平面BCHG,

.∙.EF〃平面BCHG.

又G,E分别为A∣Bι,AB的中点，A1B1

；.AlG舔EB,

四边形AlEBG是平行四边形，J.A↑E∕∕GB.

∙.∙AιE<I平面BCHG,GBU平面BCHG,

.∙.A∣E〃平面BCHG.

又∙.∙AιE∩EF=E,A∣E,EFU平面£7%，

平面E∕¾∣〃平面BCHG.

延伸探究在本例中，若将条件''E,F,G分别是AB,AC,A∣8∣的中点”变为“点。，D1

ΛΓ)

分别是AC,AlCI上的点，且平面BGD〃平面ABQJ',试求反的值.

解如图，连接AIB交ABl于。，连接。Ci.

由平面BCQ〃平面ABιD∣,

且平面48Cm平面BeID=BCI,

平面AIBGrI平面ABiDi=DlO,

所以BC1〃DI0,则《夕=„=1.

Λ√1C∣UD

->-≤nΛ∖D]DC

又7由双bTγXDC-N5,

e/OCAΣ>

所以诟=1,即0π反=1.

【备选】

如图，在三棱柱中,

ABC-AibGE,F,G分别为8ιG,A∣B1,A8的中点.

⑴求证:平面4GG〃平面BEr;

(2)若平面AGGCBC=”，求证：”为BC的中点.

证明(I)VE,步分别为BQ,481的中点,

：.EF//AiCi,

∙.NιGU平面AICIG,ERt平面AICIG,

.∙.EF〃平面A∣C∣G,

又尸,G分别为A∣B∣,AB的中点，

ΛA∣F=BG,

又AIF〃BG,

四边形4GB尸为平行四边形，

则BF//AiG,

YAiGU平面AIGG,8叫平面AIGG,

.∙.3F〃平面AICIG,

XEFHBF=F,EF,BFU平面BEF,

平面AIClG〃平面BEF.

(2)：平面ABC〃平面AiBiCi,平面AIGGrI平面AlBlCI=AlG,

平面4GG与平面A8C有公共点G,则有经过G的直线，设交BC于点”，如图，

则Alci〃GH,#GH//AC,

：G为AB的中点，,H为BC的中点.

思维升华证明面面平行的常用方法

(1)利用面面平行的判定定理.

(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(/_La,I邛=a∕∕β).

(3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α〃4,

β∕/γ=^>a∕/γ).

跟踪训练2如图，四棱柱ABC。-4BlGcl的底面48C。是正方形.

(1)证明：平面AIBD〃平面CA3：

(2)若平面ABCDC平面CDIBl=直线/,证明：B↑D↑∕∕l.

证明(1)由题设知B8∣统DD所以四边形是平行四边形，所以8£>〃8。|.

又BZXt平面CnB8Q∣U平面CD∣B∣,

所以平面CD1B1.

因为AQ4BCi伽CC,

所以四边形AlBCE>|是平行四边形，

所以AlB〃DC.

又AlBa平面CD山OlCU平面C。山”

所以48〃平面CD∖B∖.

又因为BOCAtB=B,BD,AiBU平面AjBD,

所以平面4B。〃平面CD∣B1.

(2)由(1)知平面AiBQ〃平面CDiBi,

又平面ABCDC平面CABl=直线/,

平面ABCCn平面A山。=直线BD,

所以直线/〃直线B。，

在四棱柱ABC。一AIBlCl。中，四边形BDDlBl为平行四边形，

所以BQ"5Z),所以BIQ1〃/.

题型三平行关系的综合应用

例4如图，在正方体ABC£>—4BIcQl中，P,。分别为对角线B。，C。上的点，且法=

BP=2

~PD=y

(1)求证：PQ〃平面AQjD4;

(2)若R是AB上的点，右的值为多少时，能使平面PQ?〃平面4AD4?请给出证明.

/1£)

(1)证明连接C尸并延长，与。A的延长线交于M点，如图，连接MCI,因为四边形ABCQ

为正方形,

所以BC〃4O,

故4PBCsgfM

CPBP2

所以,

PM~PD~y

又因为空="=2

乂因QDΓPD~y

,,CQCP2

mrvλ,

[QDi~PM~3

所以PQ∕∕MDi.

又ΛW∣U平面AIz)ID4,PQQ平面AQID4,

故PQ〃平面A∣D∣DA.

(2)解当翟的值为I时，能使平面PQR〃平面AQlD4.如图,

证明如下:

即朝,

,,BRBP

队丽=丽

所以PR//DA.

又D4U平面AIoID4,PRa平面4AD4,

所以PR〃平面A∖D↑DA,

又PQ〃平面4Q∣D4,PQCPR=P,PQ,PRU平面尸QR,

所以平面PQR〃平面A↑D↑DA.

【备选】

如图，四边形ABCo与Af)EF均为平行四边形，M,N,G分别是A8,AD,EF的中点.求

证：

(I)BE〃平面DMF；

(2)平面BOE〃平面MNG.

证明(1)如图，连接AE,则AE必过。尸与GN的交点。,

连接M0,则Mo为AABE的中位线，所以BE〃M0.

又BEa平面DMF,MoU平面DMF,

所以BE〃平面QME

(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边A。，EF的中点，所以OE〃GM

又。砌平面MNG,GNU平面MNG,

所以。E〃平面MNG.

又M为AB的中点，

所以MN为Bo的中位线，所以BD〃MN,

又MNU平面MNG,BzK平面MNG,

所以80〃平面MNG,

又£>E,BoU平面BOE,DEQBD=D,

所以平面BDE〃平面MNG.

思维升华证明平行关系的常用方法

熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题

的关键.面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法.

跟踪训练3如图所示，四边形EFG4为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边

形.

⑴求证：AB〃平面EFGa

(2)若AB=4,CD=G,求四边形EFGH周长的取值范围.

⑴证明；四边形EFGa为平行四边形，

:,EF//HG.

YHGU平面AB。，0巾平面ABD

.∙.E∕〃平面ABD.

又；EFU平面ABC,

平面ABZ)∩平面ABC^AB,

.∖EF//AB,

又YzWQ平面EFGH,EFU平面EFGH,

.∙.A8〃平面EFGH.

⑵解设EF=X((KX<4),

由(1)知EF//AB,

.CF=EF=x

"'CB=AB=4,

与(1)同理可得CDHFG,

•FG_BF

,,CD=βC,

FGBFBC-CF,X

则

6BCBCl4,

3

.∙.FG=6一>.

四边形EFGHr的周长

XV0<Λ-<4,

Λ8<L<12,

故四边形EFGH周长的取值范围是（8,12）.

课时精练

1.（2022.宁波模拟）下列命题中正确的是（）

A.若a,。是两条直线，且。〃b,那么〃平行于经过匕的任何平面

B.若直线〃和平面α满足a〃a,那么“与α内的任何直线平行

C.平行于同一条直线的两个平面平行

D.若直线mb和平面α满足a〃b,aUa,Ma,则b〃a

答案D

解析A中，。可以在过匕的平面内；B中，a与a内的直线也可能异面；C中，两平面可能

相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知6〃a,正确.

2.（2022•呼和浩特模拟）设4,6是两条不同的直线，ɑ,夕是两个不同的平面，则α〃Ρ的一

个充分条件是（）

A.存在一条直线4,a//a,a//β

B.存在一条直线”,αUα,a//β

C.存在两条平行直线”,b,aUa,h1^β,a//β,h//a

D.存在两条异面直线”,b,αUα,bUβ,a//β,b//a

答案D

解析对于A,一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行，故A不正确；

对于B,一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B不正确；

对于C,两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C不正确；

对于D,如图，在直线b上取点8,过点B和直线α确定一个平面y,交平面“于a',

因为α〃人所以。〃,

又a'<la,αCot,所以“'//a,

又因为人〃α,bC∖a'=B,h^β,a'up,所以£〃a.

3.（2022•成都模拟）如图，在三棱柱ABC-AIBIG中，AM=2MA↑,BN=2NBi,过MV作一

平面分别交底面AABC的边BC,AC于点£,F,则（）

A.MF〃EB

B.AlBI〃NE

C.四边形MNEF为平行四边形

D.四边形MNE尸为梯形

答案D

解析由于B,E,尸三点共面，FW平面BEF,M在平面BEF,故MF,EB为异面直线，

故A错误；

由于S,N,E三点共面，Bi∈平面BINE,Al阵平面BINE,故A∣B∣,NE为异面直线，故B

错误；

;在平行四边形44∣Bι8中，AM=2MAi,

BN=2NB∖,

C.AM∕∕BN,AM=BN,

故四边形AMNB为平行四边形，

:,MN//AB.

又MNQ平面ABC,ABU平面ABC,

,MN〃平面ABC.

又MNU平面MNEF,

平面MNEFC平面ABC=EF,

C.MN∕∕EF,.∖EF∕∕AB,

显然在AABC中，EF≠AB,

.∖EF≠MN,

四边形MNE尸为梯形，故C错误，D正确.

4.（2022・杭州模拟）已知P为aABC所在平面外一点，平面α〃平面ABC,且α交线段出，

PB,PC于点A',B',C',若以'：44'=2：3,则SUFC：SAABC等于（）

P

A.2：3B.2：5

C.4：9D.4：25

答案D

解析平面α〃平面ABC,

：.A'C'//AC,A'B'//AB,B'C'/∕BC,

2

.".S&AB'c∙S^ABC=（PA'：PA）,

又附'：AA'=2：3,

：.PA'：PA=2：5,

∙,∙5ΔA,BC:SAABC=4:25.

5.如图，在下列四个正方体中，A,B为正方体的两个顶点，M,N,Q为所在棱的中点，则

在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）

答案D

解析A项，由正方体性质可知AB〃NQ,NQU平面MNQ,ABa平面MNQ,AB〃平面MNQ,

排除；

B,C项，由正方体性质可知AB〃MQ,MQU平面MN。，AM平面MN。，4B〃平面MNQ,

排除；

D项，由正方体性质易知，直线AB与平面MNQ不平行，满足题意.

6.如图，透明塑料制成的长方体容器A8CABGA内灌进一些水，固定容器一边48于

地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下面几个结论，其中正确的是（）

①没有水的部分始终呈棱柱形；

②水面EFGH所在四边形的面积为定值；

③随着容器倾斜程度的不同，A1C1始终与水面所在平面平行;

④当容器倾斜如图（3）所示时，AE∙A”为定值.

A.①②B.①④

C.②③D.③④

答案B

解析根据棱柱的特征（有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的

公共边都互相平行），结合题中图形易知①正确；由题图可知水面EFG”的边E尸的长保持不

变，但邻边的长却随倾斜程度而改变，可知②错误；因为Alci〃AC,ACU平面ABeQ,AlCi

C平面ABe。，所以ACl〃平面ABa）,当平面EFGH不平行于平面ABC。时，AlG不平行

于水面所在平面，故③错误；当容器倾斜如题图（3）所示时，因为水的体积是不变的，所以棱

柱AEH-BFG的体积V为定值，又V=SAAE"∙AB,高AB不变，所以SAAE”也不变，即AEAH

为定值，故④正确.

ZnUal//m

7.考查①②两个命题，①l//m'=l∕/a；②m//a,=^l∕∕a,它们都缺少同一个条件,

补上这个条件就可以使其构成真命题（其中/,〃，为直线，α为平面），则此条件为

答案IQa

解析①由线面平行的判定定理知/Qα;②由线面平行的判定定理知/Gt.

8.如图所示，在正四棱柱ABC。一AB∣CQ∣中，E,F,G,H分别是棱CC∣,CbD∣,DQ,

OC的中点,N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动,则M只需满足条件

就有MN〃平面Bl8。。.（注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）

答案点M在线段FH上（或点M与点H重合）

解析连接HN,FH,FM图略），

则尸“〃力。1,HN//BD,

.,-平面FHN//平面B∖BDD∖,只需MGFH,

则MNU平面FHN,：.MN//平面B↑BDD↑.

9.如图，在正方体ABeO-ABlClA中，E,F,G,H分别是BC,CCl,C↑D∖,ΛΛ的中点,

求证:

⑴BF〃HDi;

(2)EG〃平面BBQQ;

⑶平面BO/〃平面BlDIH.

证明如图.

(1)取B山的中点M,

连接”M,MC1,易证四边形HMCIol是平行四边形,

J.HD↑∕∕MC∖.

又MC∖∕∕BF,

：.BF//HD\.

⑵取8。的中点。，连接0E,ODI,

贝UOE嗡DC.

又DlG酷DC,

：.OEDiG.

四边形OEGDl是平行四边形，

J.EG∕∕D∖0.

又U平面BBiDiD,EGl平面BBQiD,

,EG〃平面BB∖D∖D.

(3)由(1)知8尸〃，功，由题意易证801〃BD

又BQ,HDlU平面BIA”，BF,B。U平面80尸，且BIDlrIHDl=Dι,DBQBF=B,

平面BZ)B〃平面BιD↑H.

10.如图，在四棱锥「一ABC。中，AD∕∕BC,AB=BC=WAD,E,F,”分别为线段AO,PC,

Cz)的中点，AC与BE交于。点，G是线段OF上一点.

⑴求证：AP〃平面BEF；

⑵求证：GH〃平面以D

证明(1)如图，连接EC,

因为AO〃8C,BC=^AD,

所以BC〃AE,BC=AE,

所以四边形ABCE是平行四边形,

所以。为AC的中点.

又因为尸是PC的中点，

所以FO//AP,

因为FOU平面BEF,

AR平面BEF,

所以AP〃平面BEF.

（2）连接尸H,0H,因为尸，H分别是PC,CO的中点,

所以FH//PD,

因为PZ）U平面以£）,FHq平面f¼O,

所以尸”〃平面PAD.

又因为。是BE的中点，”是Cr）的中点，

所以0H〃AD,

因为AOU平面PAD,。用平面PAD,

所以OH〃平面PAD.

又FHCOH=H,FH,OHU平面OHF,

所以平面OHF〃平面PAD.

又因为GHU平面OHF,

所以GH〃平面PAD.

11.（2022•福州检测）如图所示，正方体ABC。-AIBlCIA中,点E,F,G,P,。分别为棱

AB,C∣D∣,D∣Al,DDCIC的中点，则下列叙述中正确的是（）

A.直线BQ〃平面EFG

B.直线48〃平面EFG

C.平面ApC〃平面EFG

D.平面Al8。〃平面EFG

答案B

解析过点、E,F,G的截面如图所示（H,/分别为AΛ,Be的中点），连接48,BQ,AP,

PC,易知BQ与平面E尸G相交于点Q,故A错误；

'CA∖B∕∕HE,AIBa平面EFG,"EU平面EFG,

.∙.A∣B〃平面EFG,故B正确；

APU平面ACQιA∣,"GU平面AOf>∣A∣,延长，G与以必相交，故C错误；

易知平面48。与平面EFG有交点。，故D错误.

12.如图所示，正方体A8CO-AB∣C∣。的棱长为3,M,N分别是棱A/”5G的中点，P

是棱AD上的一点,AP=1,过P,M,N的平面交上底面于PQ,。在Cn上，则PQ=.

答案2市

解析因为平面ABCO〃平面48C1A,平面ABCDC平面PQMW=P。，

平面A∣B∣CjDι∩平面PQNM=MN,

所以MN//PQ,

又因为MN〃AC,所以PQ〃AC.

又因为AP=I,

所以出=毁=改=2

m^ADCDAC3'

29

所以PQ=FC=WX3啦=2啦.

13.在正四棱柱ABCn-AIBlGOl中，。为底面A8C。的中心，尸是。9的中点，设Q是

CG上的点，则点。满足条件时，有平面。山Q〃平面以。

答案。为CG的中点

解析如图所示，设Q为CG的中点，

因为P为On的中点，

所以QB〃/¾.连接08,

因为P,。分别是。Oi,力8的中点，所以D山〃P0,

又Z)IBG平面∕¾0,QBa平面fi40,PoU平面∕¾0,∕¾U平面以0,

所以。山〃平面∕¾0,QB〃平面物0,

又OlBnQB=B,DιB,QBU平面。∣BQ,

所以平面ABQ〃平面PAO.

故。为CG的中点时，有平面GBQ〃平面南0.

14.如图，在长方体ABCD—ABiCiA中，AD=DDi=I,AB=小,E,F,G分别是AB,BC,

GoJ的中点，点P在平面ABCz)内，若直线OIp〃平面EFG,则线段Q尸长度的最小值是

答案γ

解析如图，连接AA,AC,DiC.

因为E,F,G分别为A3,BC,CQl的中点,

所以AC〃E尸，

又ERJ平面ACD1,ACU平面AcD1,

则EF〃平面ACA.

同理可得EG〃平面ACQ1,又EFCEG=E,

EF,EGU平面EFG,

所