误差理论与数据处理课件

绪论门捷列夫(1834-1907)

科学始于测量,没有测量，便没有精密的科学。门捷列夫第一节研究误差的意义我常说的一句话是：当你能够测量你所关注的事物，而且能够用数量来描述他的时候，你就对其有所认识；当你不能测量他，也不能将其量化的时候，你对他的了解就是贫乏和不深入的。开尔文为了纪念他在科学上的功绩，国际计量大会把热力学温标（即绝对温标）称为开尔文（开氏）温标，热力学温度以开尔文为单位，是现在国际单位制中七个基本单位之一。开尔文（1824-1907）第一节研究误差的意义钱学森信息技术包括测量技术、计算机技术和通信技术，测量技术是信息技术的关键和基础。钱学森(1911-)第一节研究误差的意义王大珩等仪器仪表是工业生产的“倍增器”，是高新技术和科研的“催化剂”，在军事上体现的是“战斗力”。王大珩(1915-)第一节研究误差的意义第一节研究误差的意义正确认识误差的性质，分析误差产生的原因从根本上，消除或减小误差正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果通过计算得到更接近真值的数据正确组织实验过程，合理设计、选用仪器或测量方法根据目标确定最佳系统第二节误差的基本概念这一节将介绍测量误差的基本概念，如测量误差的定义、分类、误差的来源等。通过这些内容的学习，可以让读者对测量误差有个全面的了解。误差（Error）：误差测得值真值＝－真值（TrueValue）：观测一个量时，该量本身所具有的真实大小。分类：理论值约定真值三角形内角之和恒为180º一个整圆周角为360º一、误差的定义及表示法国际千克基准1Kg约定真值(ConventionalTrueValue）指定值、最佳估计值、约定值或参考值

是指对于给定用途具有适当不确定度的、赋予特定量的值。这个术语在计量学中常用。由国家建立的实物标准（或基准）所指定的千克副原器质量的约定真值为1kg，其复现的不确定度为0.008mg。当今保存在国际计量局的铂铱合金千克原器的最小不确定度为0.004mg误差是针对真值而言的，真值一般都是指约定真值。

亦称一、误差的定义及表示法误差绝对误差相对误差粗大误差系统误差随机误差表示形式性质特点一、误差的定义及表示法绝对误差（AbsoluteError）

测得值

被测量的真值，常用约定真值代替

绝对误差特点：1)绝对误差是一个具有确定的大小、符号及单位的量。2)给出了被测量的量纲，其单位与测得值相同。一、误差的定义及表示法

L＝L－L0绝对误差测得值真值＝－修正值(Correction)

:为了消除固定的系统误差用代数法而加到测量结果上的值。

一、误差的定义及表示法修正值真值测得值

－特点：1)与误差大小近似相等，但方向相反。2)修正值本身还有误差。

误差－【例1-1】用某电压表测量电压，电压表的示值为226V，查该表的检定证书，得知该电压表在220V附近的误差为5V，被测电压的修正值为－5V，则修正后的测量结果为226+(－5V)=221V。

测得值真值绝对误差一、误差的定义及表示法定义

被测量的真值，常用约定真值代替，也可以近似用测量值L

来代替

L0相对误差特点：1）相对误差有大小和符号。2）无量纲，一般用百分数来表示。绝对误差相对误差（RelativeError）：

绝对误差与被测量真值之比

相对误差一、误差的定义及表示法绝对误差和相对误差的比较用1μm测长仪测量0.01m长的工件，其绝对误差=0.0006m，但用来测量1m长的工件，其绝对误差为0.0105m。前者的相对误差为

后者的相对误差为用绝对误差不便于比较不同量值、不同单位、不同物理量等的准确度。

一、误差的定义及表示法引用误差（FiducialErrorofaMeasuringInstrument）

定义

该标称范围（或量程）上限引用误差

仪器某标称范围（或量程）内的最大绝对误差

引用误差是一种相对误差，而且该相对误差是引用了特定值，即标称范围上限（或量程）得到的，故该误差又称为引用相对误差、满度误差。

一、误差的定义及表示法我国电工仪表、压力表的准确度等级（AccuracyClass）就是按照引用误差进行分级的。当一个仪表的等级s选定后，用此表测量某一被测量时，所产生的最大绝对误差为最大相对误差为绝对误差的最大值与该仪表的标称范围（或量程）上限xm成正比选定仪表后，被测量的值越接近于标称范围（或量程）上限，测量的相对误差越小，测量越准确

（公式2）（公式1）电工仪表、压力表的准确度等级一、误差的定义及表示法【例1-3

】检定一只2.5级、量程为100V的电压表，发现在50V处误差最大，其值为2V，而其他刻度处的误差均小于2V，问这只电压表是否合格？由公式2，该电压表的引用误差为由于所以该电压表合格。【解】一、误差的定义及表示法【例1-4

】

某1.0级电流表，满度值（标称范围上限）为100，求测量值分别为100，80和20时的绝对误差和相对误差。根据题意得

由公式1可知，最大绝对误差为

他们的相对误差分别为

可见，在同一标称范围内，测量值越小，其相对误差越大。

【解】一、误差的定义及表示法

为了减小测量误差，提高测量准确度，就必须了解误差来源。而误差来源是多方面的，在测量过程中，几乎所有因素都将引入测量误差。主要来源

测量装置误差

测量环境误差

测量方法误差

测量人员误差

二、误差的来源测量装置误差标准器件误差仪器误差附件误差以固定形式复现标准量值的器具，如标准电阻、标准量块、标准砝码等等，他们本身体现的量值，不可避免地存在误差。一般要求标准器件的误差占总误差的1/3～1/10。测量装置在制造过程中由于设计、制造、装配、检定等的不完善，以及在使用过程中，由于元器件的老化、机械部件磨损和疲劳等因素而使设备所产生的误差。

测量仪器所带附件和附属工具所带来的误差。

设计测量装置时，由于采用近似原理所带来的工作原理误差

组成设备的主要零部件的制造误差与设备的装配误差设备出厂时校准与定度所带来的误差读数分辨力有限而造成的读数误差

数字式仪器所特有的量化误差

元器件老化、磨损、疲劳所造成的误差二、误差的来源测量环境误差指各种环境因素与要求条件不一致而造成的误差。对于电子测量，环境误差主要来源于环境温度、电源电压和电磁干扰等激光光波比长测量中，空气的温度、湿度、尘埃、大气压力等会影响到空气折射率，因而影响激光波长，产生测量误差。高精度的准直测量中，气流、振动也有一定的影响二、误差的来源测量方法误差指使用的测量方法不完善，或采用近似的计算公式等原因所引起的误差，又称为理论误差如用均值电压表测量交流电压时，其读数是按照正弦波的有效值进行刻度，由于计算公式中出现无理数和，故取近似公式，由此产生的误差即为理论误差。二、误差的来源测量人员误差测量人员的工作责任心、技术熟练程度、生理感官与心理因素、测量习惯等的不同而引起的误差。为了减小测量人员误差，就要求测量人员要认真了解测量仪器的特性和测量原理，熟练掌握测量规程，精心进行测量操作，并正确处理测量结果。二、误差的来源三、误差分类系统误差（SystematicError）

在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。

定义特征

在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差。

用天平计量物体质量时，砝码的质量偏差用千分表读数时，表盘安装偏心引起的示值误差刻线尺的温度变化引起的示值误差系统误差举例在实际估计测量器具示值的系统误差时，常常用适当次数的重复测量的算术平均值减去约定真值来表示，又称其为测量器具的偏移或偏畸（Bias）。

由于系统误差具有一定的规律性，因此可以根据其产生原因，采取一定的技术措施，设法消除或减小；也可以在相同条件下对已知约定真值的标准器具进行多次重复测量的办法，或者通过多次变化条件下的重复测量的办法，设法找出其系统误差的规律后，对测量结果进行修正。三、误差分类三、误差分类按对误差掌握程度，系统误差可分为误差绝对值和符号已经明确的系统误差。

已定系统误差：举例：

直尺的刻度值误差

误差绝对值和符号未能确定的系统误差，但通常估计出误差范围。

未定系统误差：三、误差分类按误差出现规律，系统误差可分为误差绝对值和符号固定不变的系统误差。

不变系统误差：举例：

砝码质量、热膨胀误差

误差绝对值和符号变化的系统误差。按其变化规律，可分为线性系统误差、周期性系统误差和复杂规律系统误差。

变化系统误差：随机误差（RandomError）

测得值与在重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值之差。又称为偶然误差。定义特征

在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差。产生原因实验条件的偶然性微小变化，如温度波动、噪声干扰、电磁场微变、电源电压的随机起伏、地面振动等。

三、误差分类随机误差的大小、方向均随机不定，不可预见，不可修正。

虽然一次测量的随机误差没有规律，不可预定，也不能用实验的方法加以消除。但是，经过大量的重复测量可以发现，它是遵循某种统计规律的。因此，可以用概率统计的方法处理含有随机误差的数据，对随机误差的总体大小及分布做出估计，并采取适当措施减小随机误差对测量结果的影响。具体见第二章。

随机误差的性质三、误差分类粗大误差（GrossError）

指明显超出统计规律预期值的误差。又称为疏忽误差、过失误差或简称粗差。定义产生原因某些偶尔突发性的异常因素或疏忽所致。测量方法不当或错误，测量操作疏忽和失误（如未按规程操作、读错读数或单位、记录或计算错误等）测量条件的突然变化（如电源电压突然增高或降低、雷电干扰、机械冲击和振动等）。由于该误差很大，明显歪曲了测量结果。故应按照一定的准则进行判别，将含有粗大误差的测量数据（称为坏值或异常值）予以剔除。三、误差分类三类误差的关系及其对测得值的影响

标准差期望值

均值

某次测得值

奇异值

系统误差和随机误差的定义是科学严谨，不能混淆的。但在测量实践中，由于误差划分的人为性和条件性，使得他们并不是一成不变的，在一定条件下可以相互转化。也就是说一个具体误差究竟属于哪一类，应根据所考察的实际问题和具体条件，经分析和实验后确定。三、误差分类如一块电表，它的刻度误差在制造时可能是随机的，但用此电表来校准一批其它电表时，该电表的刻度误差就会造成被校准的这一批电表的系统误差。又如，由于电表刻度不准，用它来测量某电源的电压时必带来系统误差，但如果采用很多块电表测此电压，由于每一块电表的刻度误差有大有小，有正有负，就使得这些测量误差具有随机性。误差性质的相互转化三、误差分类第三节精度这一节将介绍测量误差的评定参数及与误差的关系。第三节精度它反映测量结果中系统误差的影响。准确度（Correctness）它反映测量结果中随机误差的影响程度。精密度（Precision）精确度（Accuracy）

它反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影星程度，简称精度。精确度（精度）在数值上一般多用相对误差来表示，但不用百分数。如某一测量结果的相对误差为0.001%，则其精度为10-5。

准确度、正确度和精密度三者之间的关系弹着点全部在靶上，但分散。相当于系统误差小而随机误差大，即精密度低，正确度高。弹着点集中，但偏向一方，命中率不高。相当于系统误差大而随机误差小，即精密度高，正确度低。弹着点集中靶心。相当于系统误差与随机误差均小，即精密度、正确度都高，从而准确度亦高。第三节精度

指在相同条件下在短时间内对同一个量进行多次测量所得测量结果之间的一致程度，一般用测量结果的分散性来定量表示。

重复性（Repeatability）指在变化条件下，对同一个量进行多次测量所得测量结果之间的一致程度，一般用测量结果的分散性来定量表示。复现性也称为再现性。

复现性（Reproducibility）常用质量名词术语第三节精度指测量仪器保持其计量特性随时间恒定的能力。它可以用几种方式来定量表示，如用计量特性变化某个规定的量所经过的时间；或用计量特性经规定的时间所发生的变化等。

稳定性（Stability）指测量仪器的示值与对应输入量的真值之差。由于真值不能确定，故在实际应用中常采用约定真值。

示值误差（ErrorofIndication）常用质量名词术语第三节精度指测量仪器示值的系统误差。通常用适当次数重复测量的示值误差的平均来估计。

偏移（Bias）

指对于给定的测量仪器，规范、规程等所允许的误差极限值。有时也称为允许误差限。

最大允许误差（MaximumPermissible）常用质量名词术语第三节精度第四节有效数字与数据运算这一节将介绍有效数字的定义、数字的射入原则和数据的运算原则。第四节有效数字与数据运算一、有效数字

含有误差的任何数，如果其绝对误差界是最末尾数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不管是零或非零的数字，都叫有效数字。

测量结果保留位数的原则1：最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字是可靠的。测量结果保留位数的原则2：在进行重要的测量时，测量结果和测量误差可比上述原则再多取一维数字作为参考。第四节有效数字与数据运算二、数字舍入规则

计算和测量过程中，对很多位的近似数进行取舍时，应按照下述原则进行凑整：若舍去部分的数值，大于保留部分末位的半个单位，则末位数加1。若舍去部分的数值，小于保留部分末位的半个单位，则末位数减1。若舍去部分的数值，等于保留部分末位的半个单位，则末位凑成偶数，即当末位为偶数时则末位不变，当末位是奇数时则末位加1。第四节有效数字与数据运算三、数字运算规则

在近似数运算时，为了保证最后结果有尽可能高的精度，所有残余运算的数字，在有效数字后可多保留一维数字作为参考数字（或称为安全数字）。在近似数做加减运算时，各运算数据以小数位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位小数，但最后结果应与小数位数最少的数据小数位相同。在近似数乘除运算时，各运算数据以有效位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位有效数，但最后结果应与有效位数最少的数据位数相同。在近似数平方或开方运算时，近似数的选取与乘除运算相同。在对数运算时，n位有效数字的数据应该用n位对数表，或用（n+1）位对数表，以免损失精度。三角函数运算时，所取函数值的位数应随角度误差的减小而增多，其对应关系：第四节有效数字与数据运算角度误差10”1”0.1”0.01”函数值位数5678

测量不确定度一、概述1993，国际标准化组织（ISO)等颁布实施《测量不确定度表示指南》（GUM）。二、测量不确定度的定义测量不确定度：测量结果含有的一个参数，表征被测量值的分散性。测量结果＝被测量的估计值＋不确定度第一节测量不确定度的基本概念三、测量不确定度的评定方法A类评定：通过对一系列观测数据的统计分析来评定B类评定：基于经验或其他信息所认定的概率分布来评定四、测量不确定度与误差联系：测量结果的精度评定参数；所有的不确定度分量都用标准差表征，由随机误差或系统误差引起；误差是不确定度的基础。第一节测量不确定度的基本概念区别：误差以真值或约定真值为中心，不确定度以被测量的估计值为中心；误差一般难以定值，不确定度可以定量评定；误差有三类，界限模糊，难以严格区分；测量不确定度分两类，界限分明，分析方法简单。第一节测量不确定度的基本概念标准不确定度：用标准差表征的不确定度。一、标准不确定度的A类评定当被测量Y取决于其他N个量X1,X2,…,XN时，则Y的估计值y的标准不确定度如何估计？思考：单次测量值：算术平均值：解释：第二节标准测量不确定度的评定二、标准不确定度的B类评定以前的测量数据、经验和资料；有关仪器和装置的一般知识、制造说明书和检定证书或其他报告所提供的数据；由手册提供的参考数据等。1）B类评定的提出2）B类评定的依据3）常见情况的B类评定a、当估计值受多个独立因素的影响，且影响大小相近时，可假设为正态分布第二节标准测量不确定度的评定b、当估计值取自相关资料，所给出的测量不确定度为标准差的k倍时c、若x服从均匀分布，即若在区间（x-a,x+a）内的概率为1，且在各处出现的机会相等，则d、当x受到两个独立且皆满足均匀分布的因素影响时，则x服从区间为（x-a,x+a）内的三角分布e、当x服从区间（x-a,x+a）内的反正弦分布时，则其标准不确定度为第二节标准测量不确定度的评定2）自由度的确定a.A类评定的自由度:Bessel公式：=n-1

其他公式：表4－1（P82）

三、自由度及其确定1）自由度的概念自由度：将不确定度计算表达式中总和所包含的项数减去各项之间存在的约束条件数所得的差值，用表示。意义：反映不确定度评定的质量，自由度越大，标准差越可信赖，不确定度评定质量越好。b.B类评定的自由度:第二节标准测量不确定度的评定一、合成标准不确定度1、uc的确定步骤第一步明确影响测量结果的多个不确定度分量；第二步确定各分量与测量结果的传递关系和它们之间的相关系数；第三步给出各分量标准不确定度；第四步按方和根法合成。2、uc

的合成例：间接测量中，设各直接测得量xi的标准不确定度为uxi，它对被测量的传递系数为。

第三节测量不确定度的合成而测量结果y的标准不确定度uc可用下式表征：若：，则由xi引起的被测量y的不确定度分量为其中，任意两个直接测量值xi，xj不确定度的相关系数。3、结果表示第三节测量不确定度的合成二、展伸不确定度1、展伸不确定度的提出2、展伸不确定度的评定：其中，k由t分布的临界值给出，即。－uc的自由度，当各不确定度分量相互独立时，P－给定的置信概率。第三节测量不确定度的合成测量结果：当自由度无法按上式计算时，取。三、不确定度报告1、测量结果的表示用uc表示:用U表示:与d的表示形式相同，为避免混淆，应给出相应说明。用相对不确定度表示：第三节测量不确定度的合成2、注意事项1）有效数字一般不超过两位；2）不确定度数值与被测量的估计值末位对齐；

3）“三分之一准则”修约。第三节测量不确定度的合成一、测量不确定度计算步骤1）列出主要分量；2）计算各分量的传递系数；3）评定标准不确定度分量，给出自由度；4）分析各误差之间的相关系数；5）求uc和自由度，若有必要，给出展伸不确定度U；6）给出不确定度报告。第四节测量不确定度应用实例例1：测某一圆柱体的体积。由分度值为0.01mm的测微仪重复测量直径D和高度h各6次，数据如下：Di/mm10.07510.08510.09510.06010.08510.080hi/mm10.10510.11510.11510.11010.11010.115计算D、h的平均值，求V的估计值（单个计算求

平均如何？）2.不确定度评定（1）D的测量重复性引起的标准不确定度分量第四节测量不确定度应用实例因，则（2）h的测量重复性引起的标准不确定度分量则因（3）测微仪的示值误差引起的标准不确定度分量（仪器说明书：测微仪的示值误差范围）取均匀分布，，则第四节测量不确定度应用实例设相对标准差，对应的自由度为3、不确定度合成因，则体积测量的合成标准不确定度其自由度为第四节测量不确定度应用实例4、展伸不确定度取置信概率P＝0.95，查t分布表得包含因子于是，体积测量的展伸不确定度为5、不确定度报告1）用合成标准不确定度表示测量结果第四节测量不确定度应用实例2）用展伸不确定度表示测量结果其中，符号后的数值表示展伸不确定度由合成标准不确定度及包含因子确定。第四节测量不确定度应用实例例2：用标准数字电压表在标准条件下测直流电压源的输出电压10次，测得值（V）：10.000107,10.000103,10.000097,10.000111,10.000091,10.000108,10.000121,10.000101,10.000110,10.000094。1、计算电压估计值:V2、不确定度评定（1）标准电压表示值稳定度引起的标准不确定度分量已知24h内该测点的示值稳定度不超过，取均匀分布，则第四节测量不确定度应用实例（2）标准电压表示值误差引起的标准不确定度分量检定证书：示值误差(按3倍标准差计算),则（3）电压测量重复性引起的标准不确定度分量由Bessel公式计算得第四节测量不确定度应用实例3、不确定度合成4、展伸不确定度取P＝0.95，，查得包含因子，电压测量的展伸不确定度为5、不确定度报告第四节测量不确定度应用实例例3：测某液体粘度，先用标准粘度油和高精度计时秒表标定粘度计常数c，然后将被测液体通过该粘度计，由计算液体粘度。1、不确定度评定1)温度变化引起的标准不确定度分量液体粘度随温度增高而减小，控温，在此温度条件下，粘度测量的相对误差为0.025%,（对应于3），则第四节测量不确定度应用实例4）粘度计倾斜引起的标准不确定度分量5）空气浮力引起的标准不确定度分量2）粘度计体积变化引起的标准不确定度分量已知：由此引起的粘度测量的相对误差为0.1%3）时间测量引起的标准不确定度分量（对应于3）第四节测量不确定度应用实例第四节测量不确定度应用实例2、不确定度合成3、展伸不确定度4、不确定度报告因则粘度测量的合成标准不确定度为因各个不确定度分量和合成标准不确定度的误差范围皆为3，故取，则展伸不确定度为粘度测量的展伸不确定度，由合成标准不确定度及包含因子确定。例4：量块校准的不确定度计算。在比较仪上对被校准量块进行5次测量，考虑温度的影响，经推导得测量的数学模型为已求得被校准量块20℃时的长度为，求其不确定度。1、计算不确定度分量（1）标准量块的校准不确定度引起得不确定度分量由标准量块的校准证书测量19次，得第四节测量不确定度应用实例（2）长度差测量不确定度引起得不确定度分量分析：a、已知：比较仪的25次观测值得b、检定证书：比较仪的示值误差第四节测量不确定度应用实例则由引起得不确定度分量为（3）热膨胀系数之差的不确定度引起的不确定度分量已知：的变化界限为,均匀分布，相对标准差为10％,那么第四节测量不确定度应用实例（4）温度差的不确定度引起的不确定度分量已知：实际温差等概率落于，相对标准差为50％,第四节测量不确定度应用实例第四节测量不确定度应用实例2、不确定度合成因则量块校准的合成标准不确定度为其自由度为取置信概率P＝0.99，查t分布表得包含因子。于是，量块校准的展伸不确3、展伸不确定度定度为：4、不确定度报告量块校准的展伸不确定度，是由合成标准不确定度及包含因子（基于自由度，置信概率为99％的t分布临界值）所确定的。第四节测量不确定度应用实例

回归分析第一节回归分析的基本概念一、函数与相关函数关系：可以用明确的函数关系式精确地表示出来相关关系：这些变量之间既存在着密切的关系，又不能由一个（或几个）自变量的数值精确地求出另一个因变量的数值，而是要通过试验和调查研究，才能确定它们之间的关系。第一节回归分析的基本概念二、回归分析思路1、由数据确定变量之间的数学表达式－回归方程或经验公式；2、对回归方程的可信度进行统计检验；3、因素分析。第二节一元线性回归一元线性回归：确定两个变量之间的线性关系，即直线拟合问题。一、回归方程的确定例：确定某段导线的电阻与温度之间的关系：19.125.030.136.040.046.550.076.3077.8079.7580.8082.3583.9085.10散点图：202530354045507678828084第二节一元线性回归从散点图可以看出：电阻与温度大致成线性关系。设测量数据有如下结构形式：式中，分别表示其它随机因素对电阻值影响的总和。思路：要求电阻y与x的关系，即根据测量数据要求出和的估计值。根据测量数据，可以得到7个测量方程，结合前面所学，未知数有两个，而方程个数大于未知数的个数，适合于用最小二乘法求解。第二节一元线性回归设得到的回归方程残差方程为根据最小二乘原理可求得回归系数b0和b。对照第五章最小二乘法的矩阵形式，令第二节一元线性回归则误差方程的矩阵形式为对照，设测得值的精度相等，则有将测得值分别代入上式，可计算得第二节一元线性回归其中二、回归方程的方差分析及显著性检验第二节一元线性回归问题：这条回归直线是否符合y与x之间的客观规律？回归直线的预报精度如何？对N个观测值与其算术平均值之差的平方和进行分解；从量值上区别对Ｎ个观测值的影响因素；用F检验法对所求回归方程进行显著性检验。方差分析法第二节一元线性回归（一）回归方程的方差分析1、引起变差的原因：

A、自变量x取值的不同；

B、其它因素（包括试验误差）的影响。2、方差分析总的离差平方和（即N个观测值之间的变差）可以证明：第二节一元线性回归S=U+Q其中U—回归平方和，反映总变差中由于x和y的线性关系而引起y变化的部分。Q—残余平方和，反映所有观测点到回归直线的残余误差，即其它因素对y变差的影响。第二节一元线性回归（二）回归方程显著性检验—F检验法基本思路：方程是否显著取决于U和Q的大小，U越大，Q越小，说明y与x的线性关系愈密切。计算统计量F对一元线性回归，应为查F分布表，根据给定的显著性水平和已知的自由度1和N-2进行检验：若

回归在0.01的水平上高度显著。第二节一元线性回归回归在0.05的水平上显著。回归在0.1的水平上显著。回归不显著。（三）残余方差与残余标准差第二节一元线性回归残余方差：排除了x对y的线性影响后，衡量y随机波动的特征量。残余标准差：含义：越小，回归直线的精度越高。第二节一元线性回归（四）方差分析表来源平方和自由度方差F显著性回归残余1N-2－总计N-1－－－三、重复试验情况1、重复试验的意义“回归方程显著”：只表明因素x的一次项对y的影响显著；难以确定影响y的是否还有其它不可忽略的因素？x和y是否线性?不表明该方程拟合得很好。为检验一个回归方程拟合的好坏，可通过重复试验，获得误差平方和和失拟平方和，然后用对进行F检验。第二节一元线性回归2、重复试验回归直线的求法1）设N个试验点，每个试验点重复m次试验，则将这m次试验取平均值，然后再按照前面的方法进行拟合，见表6－5和表6－6。2）方差分析来源平方和自由度方差

F显著性回归失拟误差总计－－－第二节一元线性回归3）方差检验:判断一元回归方程拟合效果:判断失拟平方和对试验误差的影响:综合判断一元回归方程拟合效果第二节一元线性回归1）分组法－平均值法将自变量按由小到大次序排列，分成个数相等或近于相等的两个组（分组数等于未知数个数），则可建立相应的两组观测方程：将两组观测方程分别相加，得b和b02）图解法－紧绳法四、回归直线的简便求法第三节一元非线性回归2、求解未知参数。可化曲线回归为直线回归，

用最小二乘法求解；可化曲线回归为多项式

回归。1、确定函数类型并检验。一、求解思路二、回归曲线函数类型的选取和检验1、直接判断法2、作图观察法，与典型曲线比较，确定其属于何

种类型，然后检验。第三节一元非线性回归3、直线检验法（适用于待求参数不多的情况）a、预选回归曲线b、c、求出几对与x,y相对应的Z1,Z2值d、以Z1,Z2为坐标作图，若为直线，则说明原

选定的曲线类型是合适的，否则重新考虑。4、表差法（适用于多项式回归，含有常数项多于两

个的情况）第三节一元非线性回归a、用试验数据画图；b、确定定差，列出xi,yi各对应值；c、根据x,y的读出值作出差值，看其是否与确定方程式的标准相符，若一致，则说明原选定的曲线类型是合适的。三、化曲线回归为直线回归问题用直线检验法或表差法检验的曲线回归方程都可以通过变量代换转为直线回归方程，利用线性回归分析方法可求得相应的参数估计值。第三节一元非线性回归回归曲线方程的效果与精度：残余平方和残余标准差相关指数衡量回归曲线效果好坏的指标可以作为根据回归方程预报y值的精度指标

误差的合成与分配间接测量

函数误差

间接测得的被测量误差也应是直接测得量及其误差的函数，故称这种间接测量的误差为函数误差

通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算出被测量第一节函数误差一、函数系统误差计算第一节函数误差间接测量的数学模型

与被测量有函数关系的各个直接测量值

y

间接测量值求上述函数y

的全微分，其表达式为：和的量纲或单位不相同，则起到误差单位换算的作用和的量纲或单位相同，则起到误差放大或缩小的作用由y的全微分，函数系统误差的计算公式为各个输入量在该测量点处的误差传播系数第一节函数误差几种简单函数的系统误差

1、线性函数2、三角函数形式

系统误差公式当当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测量值系统误差之和第一节函数误差【例】用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高h=50mm

，弦长s=500mm。已知，弓高的系统误差

h=-0.1mm,玄长的系统误差

h=-1mm。试问车间工人测量该工件直径的系统误差，并求修正后的测量结果。【解】建立间接测量大工件直径的函数模型

不考虑测量值的系统误差，可求出在处的直径测量值第一节函数误差车间工人测量弓高h、弦长l

的系统误差

直径的系统误差:故修正后的测量结果:

计算结果：误差传递系数为:第一节函数误差二、函数随机误差计算第一节函数误差数学模型

变量中只有随机误差泰勒展开，并取其一阶项作为近似值函数的一般形式得到即：可得：函数标准差计算

或第i个直接测得量的标准差第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数第i个测量值和第j个测量值之间的协方差第i个直接测得量对间接量在该测量点处的误差传播系数第一节函数误差或相互独立的函数标准差计算

若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项令第一节函数误差则当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标准差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式第i个直接测得量的极限误差三角形式的函数随机误差公式1）正弦函数形式为:函数随机误差公式为：第一节函数误差2）余弦函数形式为:函数随机误差公式为：三角函数标准差计算

3）正切函数形式为:函数随机误差公式为：4）余弦函数形式为:函数随机误差公式为：【解】【例】用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高h=50mm

，弦长s=500mm。已知，弓高的系统误差

h=-0.1mm,玄长的系统误差

h=-1mm。试求测量该工件直径的标准差，并求修正后的测量结果。已知：，有修正后的测量结果

第一节函数误差相关系数对函数误差的影响

反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误差的影响函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性的传播关系函数随机误差公式当相关系数时当相关系数时2、相关系数估计第一节函数误差相关系数的确定可判断的情形断定与两分量之间没有相互依赖关系的影响当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈正负交替变化，反之亦然与属于完全不相干的两类体系分量，如人员操作引起的误差分量与环境湿度引起的误差分量与虽相互有影响，但其影响甚微，视为可忽略不计的弱相关1、直接判断法第一节函数误差可判断或的情形断定与两分量间近似呈现正的线性关系或负的线性关系当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次增大或减小，反之亦然与属于同一体系的分量，如用1m基准尺测2m尺，则各米分量间完全正相关第一节函数误差2、试样观察法和简略计算法

（1）观察法第一节函数误差

（2）简单计算法其中，n2n3n4n10

（3）直接计算法根据的多组测量的对应值，按如下统计公式计算相关系数、分别为、的算术平均值

（4）理论计算法第二节随机误差的合成任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是测量过程中各个环节一系列误差因素作用的结果。误差合成就是在正确地分析和综合这些误差因素的基础上，正确地表述这些误差的综合影响。标准差合成极限误差合成解决随机误差的合成问题一般基于标准差方和根合成的方法，其中还要考虑到误差传播系数以及各个误差之间的相关性影响随机误差的合成形式包括：一、标准差合成合成标准差表达式:

q个单项随机误差，标准差

误差传播系数

由间接测量的显函数模型求得根据实际经验给出知道影响测量结果的误差因素而不知道每个和第二节随机误差的合成当误差传播系数、且各相关系数均可视为0的情形第二节随机误差的合成若各个误差互不相关，即相关系数则合成标准差用标准差合成有明显的优点，不仅简单方便，而且无论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标准差，均可计算出总的标准差视各个误差分量的量纲与总误差量的量纲都一致，或者说各个误差分量已经折算为影响函数误差相同量纲的分量二、极限误差合成

单项极限误差:

单项随机误差的标准差单项极限误差的置信系数合成极限误差:

合成标准差合成极限误差的置信系数第二节随机误差的合成合成极限误差计算公式根据已知的各单项极限误差和所选取的各个置信系数，即可进行极限误差的合成各个置信系数、

不仅与置信概率有关，而且与随机误差的分布有关对于相同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数相同对于不同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数也不相同第二节随机误差的合成

ij为第i个和第j个误差项之间的相关系数，可根据前一节的方法确定。应用极限误差合成公式时，应注意：当各个单项随机误差均服从正态分布时，各单项误差的数目q较多、各项误差大小相近和独立时，此时合成的总误差接近于正态分布合成极限误差：若和各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为广泛使用的极限误差合成公式第二节随机误差的合成时：此时第三节系统误差合成一、已定系统误差的合成系统误差的分类：1）已定系统误差2）未定系统误差定义：误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差表示符号：

合成方法：按照代数和法进行合成

i为第i个系统误差，ai为其传递系数系统误差可以在测量过程中消除，也可在合成后在测量结果中消除二、未定系统误差的合成

第三节系统误差合成（一）未定系统误差的特征及其评定定义：误差大小和方向未能确切掌握，或者不须花费过多精力去掌握，而只能或者只需估计出其不致超过某一范围

e的系统误差特征：1）

在测量条件不变时为一恒定值，多次重复测量时其值固定不变，因而单项系统误差在重复测量中不具有低偿性2）随机性。当测量条件改变时，未定系统误差的取值在某极限范围内具有随机性，且服从一定的概论分布，具有随机误差的特性。表示符号：

极限误差：e

标准差：u1、标准差合成第三节系统误差合成（二）未定系统误差的合成未定系统误差的取值具有一定的随机性，服从一定的概率分布，因而若干项未定系统误差综合作用时，他们之间就具有一定的抵偿作用。这种抵偿作用与随机误差的抵偿作用相似，因而未定系统误差的合成，完全可以采用随机误差的合成公式，这就给测量结果的处理带来很大方便。

同随机误差的合成时，未定系统误差合成时即克可以按照标准差合成，也可以按照极限误差的形式合成。若测量过程中有s个单项未定系统误差，它们的标准差分别为u1，u2，……，us，其相应的误差传递系数为a1，a2，……，as

，则合成后未定系统误差的总标准差u为:则由各单项未定系统误差标准差得到的合成未定系统误差极限误差为：式中，

ij

为第i个和第j个误差项的相关系数第三节系统误差合成当

ij=0时2、极限误差的合成因为各个单项未定系统误差的极限误差为:若总的未定系统误差极限误差表示为：则有：第三节系统误差合成或者，由各单项未定系统误差极限误差得到的合成未定系统误差极限误差为：当各个单项未定系统误差均服从正态分布，且相互间独立无关，即，则上式可简化为：第四节系统误差与随机误差的合成一、按极限误差合成

误差的合成可按照两种形式合成：按极限误差误差形式合成、按标准差形式合成。测量过程中，假定有r

个单项已定系统误差，s

个单项未定系统误差，q

个单项随机误差。它们的误差值或极限误差分别为：1、单次测量情况若各个误差的传递系数取1，则测量结果总的极限误差为：式中，R为各个误差之间的协方差之和。当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，测量结果总的极限误差可简化为：第四节系统误差与随机误差的合成一般情况下，已定系统误差经修正后，测量结果总的极限误差就是总的未定系统误差与总的随机误差的均方根值，即：2、n

次重复测量情况当每项误差都进行n次重复测量时，由于随机误差间具有低偿性、系统误差（包括未定系统误差）不存在低偿性，总误差合成公式中的随机误差项应除以重复测量次数n。总极限误差变为：第四节系统误差与随机误差的合成二、按标准差合成

测量过程中，假定有s

个单项未定系统误差，q

个单项随机误差，它们的标准差分别为：1、单次测量情况若各个误差的传递系数取1，则测量结果总的极限误差为：式中，R为各个误差之间的协方差之和。若用标准差来表示系统误差和随机误差的合成公式，则只考虑未定系统误差与随机误差的合成。当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，测量结果总标准差为：2、n

次重复测量情况当每项误差都进行n次重复测量时，由于随机误差间具有低偿性、系统误差（包括未定系统误差）不存在低偿性，总误差合成公式中的随机误差项应除以重复测量次数n。第四节系统误差与随机误差的合成总极限误差变为：【例】在万能工具显微镜上用影像法测量某一平面工件的长度共两次，测得结果分别为，，已知工件的和高度为，求测量结果及其极限误差。第四节系统误差与随机误差的合成序号123456误差因素极限误差随机误差未定系统误差备注阿贝误差光学刻尺刻度误差温度误差读数误差瞄准误差光学刻尺检定误差－－－－0.81－－0.50.351.251未修正时计入总误差修正时计入总误差根据工具显微镜的工作原理和结构可知，测量过程中主要的误差见表。【解】两次测量结果的平均值为:根据万能工具显光学刻线尺的刻度误差表，查得在50mm范围内的误差

=-0.0008mm

，此项误差为已定系统误差，应予修正。则测量结果为：第四节系统误差与随机误差的合成在万工显上用影像法测量平面工件尺寸时，其主要误差分析如下：1、随机误差由读数误差和工件瞄准引起，其极限误差分别为

1）读数误差：

2）瞄准误差：第四节系统误差与随机误差的合成2、未定系统误差由阿贝误差等引起，其极限误差分别为

1）阿贝误差：

2）瞄准误差：

3）温度误差：

4）光学刻度尺的检定误差：第四节系统误差与随机误差的合成3、计算测量值及其误差计算测量值的误差时有两种方法：方法1当未修正光学刻尺刻度误差时测量结果可表示为：方法2当已修正光学刻尺刻度误差时

【例】用TC328B型天平，配用三等标准砝码称一不锈钢球质量，一次称量得钢球质量，求测量结果的标准差。第四节系统误差与随机误差的合成(1)随机误差:天平示值变动性所引起的误差为随机误差。多次重复称量同一球的质量的天平标准差为(2)未定系统误差:标准砝码误差和天平示值误差，在给定条件下为确定值，但又不知道具体误差数值，而只知道误差范围（或标准差），故这两项误差均属未定系统误差。①砝码误差:天平称量时所用的标准砝码有三个，即的一个，的两个，标准差分别为:故三个砝码组合使用时，质量的标准差为根据TC328B型天平的称重方法，其测量结果的主要误差如下：②天平示值误差该项标准差为:第四节系统误差与随机误差的合成三项误差互不相关，且各个误差传播系数均为1，因此误差合成后可得到测量结果的总标准差为最后测量结果应表示为（１倍标准差）：

第五节误差分配误差分配

给定测量结果允许的总误差，合理确定各个单项误差。在误差分配时，随机误差和未定系统误差同等看待。假设各误差因素皆为随机误差，且互不相关，有：若已经给定，如何确定Di或相应的

i,使其满足式中，称为部分误差，或局部误差一、按等影响原则分配误差等影响原则：各分项误差对函数误差的影响相等，即由此可得：或用极限误差表示：函数的总极限误差各单项误差的极限误差第五节误差分配进行误差分配时，一般应按照下述步骤：二、按可能性调整误差

(1)对各分项误差平均分配的结果，会造成对部分测量误差的需求实现颇感容易，而对令一些测量误差的要求难以达到。这样，势必需要用昂贵的高准确度等级的仪器，或者以增加测量次数及测量成本为代价。按等影响原则分配误差的不合理性

(2)当各个部分误差一定时，则相应测量值的误差与其传播系数成反比。所以各个部分误差相等，相应测量值的误差并不相等，有时可能相差较大。在等影响原则分配误差的基础上，根据具体情况进行适当调整。对难以实现测量的误差项适当扩大，对容易实现的误差项尽可能缩小，其余误差项不予调整。第五节误差分配

测