河南省名校青桐鸣2023届高三3月联考文科数学试题（含答案解析）

河南省名校青桐鸣2023届高三3月联考文科数学试题

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一、单选题

1.已知集合A={x∣O≤x≤l},B={x∣x2-2x-3>θ},则AC∖B=()

A.AB.BC.D.

2.已知复数Z满足Z2=2i,则卜I=()

A.1B.叵C.2D.2√2

fx÷l,x<2,

3.已知函数/(x)=V则/(〃1))=()

[-In(x-l)+l,x≥2,

A.0B.1C.2D.3

4.已知数列{q}为等差数列，其前"项和为S“，"∈N*,若SK)=20,则出+%=()

A.0B.2C.4D.8

5.已知α=log2√L∕7=O.Γo'C=Sin28。，则这三个数的大小关系为()

A.b>c>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

6.已知VXeR,函数“力都满足f(x>f(x+3)=-2,又f(2)=3,则411)=()

3

A.3B.-2C.d

2∙4

已知角α满足tan∣α+()=-2,则sin2a=(

7.)

443

A.——B.C.d

55∙1

8.下列选项正确的是()

abC44

A.-+-≥2B.x+-≥4

baX

22I

C.sh√α+.%一的最小值为2JΣD.Jr+——的最小值为3

Slrra尸+2

π5,2J中心对称，其最小

9.已知函数/(x)=ASin2ωx-∖--(A>0M>0)的图象关于点

8

Tr3冗

正周期为兀且5<τ<E，则)

ʌ-Ib∙7C.1d∙I

10.已知点。为.ABC所在平面内一点，在ABC中，满足2AB∙AO=∣A8j,

2AC∙AO=∣AC｝则点o为该三角形的()

A.内心B.外心C.垂心D.重心

11.已知正四棱柱ABCD中，AAl=2AB=2t点M为3片的中点，若尸为动

点，且何尸=√5,则P点运动轨迹与该几何体表面相交的曲线长度为()

A.3πB.4πC.6πD,8π

12.已知函数/(x)=xe',若〃x)≥0r-g4恒成立，则实数”的最大值为()

1--

A.—e2B.e+1C.2eD.e÷4

2

二、填空题

13.已知函数“X)的导函数为了'(X),且/(x)=f∕'(l)+x+2,PlIjr(I)=

14.某研究所收集、整理数据后得到如下列表：

X23456

y3791011

由两组数据可以得到线性回归方程为S=L9x+G,则&=.

ɔ2

15.已知椭圆C:三+二=1的左、右焦点分别为《，F2,P为椭圆C在第一象限内的

63

TT

一点，NKP每=；,则点尸的横坐标为.

16.记√LBC的内角A,B,C的对边分别为mb,c,(a-ʌ/ɜe)sinΛ=⅛sinB-csinC,

若JlBC外接圆面积为兀，贝LABC面积的最大值为.

三、解答题

17.已知首项为1的等差数列｛为｝的前〃项和为S“，且满足2S,,=44M,"GN*.

(1)求数列｛α,,｝的通项公式；

⑵若篮二—,记1为他｝的前“项和，求z,∙

Clnan+1

18.我国某医药研究所在针对某种世界疾病难题的解决方案中提到了中医疗法，为证实

此方法的效用，该研究所购进若干副某种中草药，现按照每副该中草药的重量大小(单

位：克)分为4组：[0,20),[20,40),[40,60),[60,80],并绘制频率分布直方图如下

所示:

试卷第2页，共4页

(1)估计每副该中草药的平均重量(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)；

(2)现从每副重量在［20,40),［60,80］内的中草药中按照分层抽样的方式一共抽取6副该

中草药，再从这6副中草药中随机取出2副进行分析，求取出的2副中仅有1副重量在

［60,80］中的概率.

19.如图，在四棱锥P-45C。中，底面四边形ABC。为矩形，2OH=2PO=DC=2,

PO上平面ABCH为QC的中点.

(1)求证：平面OPO，平面POC；

(2)求三棱锥"-POD体积的最大值.

20.已知抛物线C：f=20，(p>O)的焦点为凡点E在C上，以点E为圆心，|所|为

半径的圆的最小面积为兀.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)过点尸的直线与C交于M,N两点，过点M,N分别作C的切线4，两切线交于

点P，求点P的轨迹方程.

21.已知函数f(x)=Λe2"-加'(α∈R).

⑴求曲线f(x)在(Ij(I))处的切线在X轴上的截距；

⑵当16≤α<25时，证明：函数/(x)在(0,+⑹上有两个不同的零点为，x2,且当x∣<x?

时,nx-<----1≥2√7∈N).

xe-1'7

22.在平面直角坐标系Xoy中，直线/过点M(LO),且倾斜角为：，以坐标原点为极点，

[x=2cosθ,

以X轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系，曲线C的参数方程是为V.ZI(，参数).

Iy=SIn，

(1)求曲线C的普通方程和直线/的参数方程；

(2)己知曲线C与直线/相交于A,B两点，贝IJlABI的值.

23.已知函数/(x)=∣x-2∣+2∣x+l∣.

(1)求函数f(x)的最小值；

(2)设α>0,b>0,若/(x)的最小值为，"，且"+/=〃?-1,求2α+Z?的最大值.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.A

【分析】首先解出B={x∣x≤-1或x≥3},再进行集合交并补运算即可得到答案.

【详解】根据题意得，8={x∣x≤T或x≥3},

贝IJaB={x∣-l<x<3},所以ACAB={x∣O≤x≤l}=A.

故选：A.

2.B

【分析】根据复数的四则运算可求得z,即可求得∣z∣.

【详解】根据题意，设z=α+bi,a,beR,所以z?=(。+5>=〃—从+2协=2，

匚C"=°*u∣"αTfʃɑ=T

所以Ic,C所以L,或LI,

[2ab=2,[b=]也=-1,

所以复数z=l+i或Z=-I-i,

所以国=拒.

故选:B.

3.B

【分析】分段函数求值代入合适解析式，即可求出/(/(1))="2)=1.

【详解】根据题意，/(1)=1+1=2,/(2)=-ln(2-l)+l=l,

故/(/⑴)=/(2)=1.

故选：B.

4.C

【分析】利用等差数列前〃项和公式得4+q0=4,再利用其下标和性质即可得到答案.

【详解】因为数列{%}为等差数列，故=20,

故q+¾>=4,则％+4=4+4。=4.

故选：C.

5.B

【分析】根据指对数单调性可以判断三个数的范围，即可得到三个数的大小关系.

答案第1页，共12页

【详解】根据题意，I=log22>a=log2√5>log2√∑=g,

⅛=0.1^°l>O,lo=1>C=sin28o<sin30o=—,

2

比较可得b>α>c.

故选:B.

6.D

—22

【分析】通过分析得了(χ+6)=∕(χ),则/(ιι)=∕(5)=;⑵=-§.

【详解】根据题意，/(x)√(x+3)=-2,且"x)wθ,

则小+3)=前，〃H=肃0,则小+6)=就可故/(x+6)=∕(x),

一22

所以函数/(X)的周期为6,所以411)=/(5)=词=一相

故选：D.

7.D

【分析】根据两角和与差的正切公式进行展开，进而求出tanα=3,结合同角平方和关系和

商数关系即可解出正、余弦值，再利用二倍角的正弦公式即可得到答案.

π

tanσ÷tan-

【详解】由tan(a+?J=-2得,--------------^=-2,即tana+I=-2,解得tancz=3,

兀

1I-tanatan一1-tana

4

cinCI

又因为----=tanα=3,sin2a÷cos2a=

COSa

-r/日∙3I..3

可得SnIa=而'esα=右或Sma=一g'COSa而

所以sin2a=2sincrcosa=,

故选：D.

8.D

【分析】结合选项，利用特殊值或函数的单调性进行求解.

【详解】当一与2为负数时，^+2*2显然不成立，选项A不正确；

baba

4

因为X不一定为正数，当X为负数时，X+—≥4显然不成立，选项B不正确；

X

r)

令sin2a=rw(0,l],所以f+2的最小值为3,当且仅当sir?a=1时，取到最小值，选项C不

正确;

答案第2页，共12页

x2H—2—~=X2+2H—z———2,因为1+222,所以X~+2H—；———2≥2+—-2=—,当且

X2+2X2+2X2+222

仅当X=O时，取到最小值，选项D正确.

故选：D.

9.D

【分析】利用降幕公式得F(X)=-《cos(20x+"+(,再根据其对称性得到A=4,则得到

函数解析式，再解出。=；+MkeZ),利用其周期性得到2,则可得到％值.

2CπA

【详解】根据题意，/W=Asinωx+-2ωx+-+,

47

因为/(X)的图象关于点2中心对称,

Λ

分析可得1=2,则A=4,

则2twx二+二=二+E,kwLr,解得0=L+Z(ZeZ),

2424v'

又因为最小正周期为7,且、Tt<7<ɜ三7Γ，所以£Tt<9a?r<3¥TT，则2;<0<2,

2222ω23

所以当A=I时，。的值为之.

4

故选：D.

10.B

【分析】由2A8∙AO=kd,利用数量积的定义得到IAol∙cos<AB,Ao)=；网，从而得到

点0在边AB的中垂线上，同理得到点。在边AC的中垂线上判断.

【详解】解：根据题意，2AB-AO=∖AB^,即2AB∙AO=2∣A训MCOS(AB,A。)=,4,

所以ko|-cos(AB,AS=gk@,则向量Ao在向量AB上的投影为卜目的一半，

所以点。在边AB的中垂线上，同理，点。在边AC的中垂线上，

所以点。为该三角形的外心.

故选：B.

11.A

【分析】由题意分析点P的轨迹为以M为球心，以正为半径的球，所以在正四棱柱

答案第3页，共12页

ABCD-A,B^Dt的表面上找到M的距离为0的点的集合.

【详解】由题意分析点尸的轨迹为以M为圆心，以应为半径的球，此球面与正四棱柱

ABCO-A4GA上下底面交线为半径1的两个!圆，与面MO。和面CGoQ的交线为半

4

径为1的半圆，长度为6x1χ2兀χl=3兀.

4

故选A.

12.C

【分析】根据题意转化为函数f(χ)与直线y=。，-；)的位置关系，以相切为临界，利用导

数求过点(；，o)的切线斜率，结合图象即可得结果.

【详解】由题意可得："χ)=m',则r(χ)=(χ+l)e”,

当x>—1时，则用勾>0；当x<—1时，则f'(χ)<O;

故f(χ)在(-8,-1)上单调递减，在(T,+8)上单调递增，

若/(x)=xe'与直线y="1-g)相切时，设切点为(x°,x°e%),则切线斜率

“=∙Γ(∙⅞)=α>+l)e",

所以该切线方程为y-∙⅞e*=(%+l)e*(x-%)，

注意到切线过点(；，。)，则O-M=1+l)e吗-“

ʌ1

整理得2片r°-l=O,解得A0=I或一:，

当XO=I时，a=/'(l)=2e；当XO=-J时，6r=∕,^l=-^e2；

1-1

结合图象可得实数”的取值范围为-e∖2e,即实数。的最大值为2e.

故选：C.

答案第4页，共12页

【点睛】方法定睛：根据过某点切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直等求参数问题的解法：

利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解.

13.-I

【分析】对等式/(x)=x2f'(l)+x+2两边求导得f'(x)=2矿(1)+1,将x=l代入

/'(x)=29'⑴+1可得关于尸(1)的等式，解之即可.

【详解】因为/(x)=x7'⑴+x+2,贝IJr(X)=2矿⑴+1,故(⑴=2尸⑴+1,故尸⑴=T.

故答案为：-1.

14.0.4

【分析】求出样本中心点(丁,可，代入回归方程即可求解

【详解】根据题意可得，jfg(2+3+4+5+6)=4,y=∣×(3+7+9+10+ll)=8,

又歹=1.95+G,所以4=8-1.9χ4=0.4

故答案为：。4

15.2

【分析】设∣P6∣=m,∣P用=〃，利用三角形面积公式和余弦定理得S.”=中”"，

m2+n2=mn+n,利用完全平方式可得，=4,则可得％=1,代入回椭圆即可得到答案.

【详解】由题知阳周=2"α=",设IP用=，*，「闾=〃，则Sm”=；侬^咤=[相〃，

221/-)[

fn

由余弦定理得cosZ-FxPF2=+"----=—，即/+12,

2mn2

所以+=12+3/77〃，又m+n=2遥,

答案第5页，共12页

所以∕77Λ2=4,所以SNPF=-mn=-×4=y∕3,

所以J6用•%=百力=石，所以y0=l,

代入[+4=1，得E=4,又点尸位于第一象限，所以点P的横坐标为2.

63

故答案为：2.

16.IiJL

4

【分析】利用正弦定理的边角互化和余弦定理求出角B=],再利用基本不等式和三角形面

O

积公式求解.

【详解】由已知及正弦定理得氐c="-'2,所以Y+¢2-S?=Wac,

所以CoSg/+/"=正,又Be(0,π),所以B=]

2ac26

由-ABC的外接圆面积为兀，得外接圆的半径R=L

由正弦定理得。=2Rsin3=l,

所以〃2+/-1=∖∕iαc,所以/+C*=百QC+122Qc,解得〃c≤2+百，

所以一48C的面积S=lacsinB=-ac＜生且，当且仅当。。时等号成立.

244

故答案为：纪叵.

4

17.(l)an=n

⑵*

H+1

【分析】(1)通过降次作差即可证明数列｛%｝为等差数列，再写出其通项即可；

,111

(2)bn=-----=--------,通过裂项求和即可.

a,,aπ^nn+↑

【详解】(1)设等差数列｛为｝的公差为d,

由25“①,

得2S,τ=4ɪɑ.(〃≥2)②，

得①一②得，2an=al,a,,+l-an,ian∖n≥2),

答案第6页，共12页

因为”,,≠0，则T=2=2J,(n≥2)f

所以4=1,

所以数列q,=1+(〃T)Xl=

111

（2）根据题意得2=----------=——------

aaπ(∕ι+l)nn+1,

n,1+l

I1111llnn

所以（=1+---------=ɪ1---------=------

n〃+1〃+1n+∖

18.(1)32克

(2⅛

【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数的估算公式即可求解；

（2）由［20,40）,［60,80］这两组的频率关系结合分层抽样可以求得中草药中重量在［20,40）中

的有4副，重量在［60,80］中的有2副，进而根据古典概型的计算公式即可求解.

【详解】（1）根据题意可得20χ（0.02χl0+0.01χ30+0.015χ50+0.005χ70）=32（克），

所以每副该中草药的平均重量约为32克.

（2）因为重量在［20,40）的频率为0.01X20=0.2,

重量在［60,80］的频率为0.005X20=0.1,

所以按照分层抽样的方式，取出的6副该中草药中重量在［20,40）中的有4副，

重量在［60,80］中的有2副，

所以从这6副中草药中随机取出2副有C：种方法，

满足取出的2副中仅有1副重量在［60,80］中（记为事件A）有C：C；种方法,

所以P(A)=罟=2

Q

故取出的2副中仅有1副重量在［60,80］中的概率为

19.（1）证明见解析

答案第7页，共12页

【分析】（I）首先证明。。_LOC,再利用线面垂直的性质定理得尸OJ_O£）,最后利用面面

垂直的判定定理即可.

（2）通过转换顶点知当尸O,OD时，aoo//的面积最大，此时体积最大，代入数据计算

即可.

【详解】（1）V2OH=DC,”为OC中点，

.∙.DH=OH=CH,：.NODH=ZDOH,ZHOC=NHCO,

ZODH+NDOH+ZHOC+ZHCO=π,

TT

.∙.ZDOH+ZHOC=-,

2

DOYOC,

,：Po人平面ABCD,OZ）U平面ABCO,

，POLOD,

,；OPcOC=O,POU平面POC,OCU平面POC,

/.OD_L平面POC,

又,：。。U平面DPO,

平面£>PO_L平面POC.

（2）由（1）可知。CLOD,二点。在以CC为直径的圆上，

.∙.当O""L8时，ZV）OH的面积最大，

又VH-K)D：VP-DoH，

.∙.三棱锥H-POD体积的最大值为

V=-×OP×-×-×CD×OH=LXIXLX1χ2XI=J

3223226

20.(1)√=4j

(2)y=τ

【分析】（1）当圆心在原点时，此时半径为圆的面积最小是解题的关键；

（2）设出直线MN的方程，利用导数与切线方程的关系求出切线，联立两条切线方程求出

交点即可求解.

答案第8页，共12页

【详解】（1）设点E（%,%）,⅞≥0.则IEFl=%+^≥5,

因为以E为圆心，以IEFl为半径的圆的最小面积为兀，

所以π（^^）=π，

所以曰=1（负值舍去），解得夕=2,

所以抛物线C的标准方程为Y=4），.

(2)设Mx,,N(A⅞,才

14J

易得尸（0,1）,由题意知直线MN的斜率一定存在，

则设直线MN的方程为y=履+I（ZeR）,

ɪ2=4V

联立，得f—4丘一4=0,

y=κx+↑9

Δ>0,所以%+电=42,xlx2=-4.

由y="χ2,得y∖,则切线乙的斜率为5，

则切线的方程为丫_a=.（1_为），B∣]y=Λx-iφ.

同理可得切线4的方程为y=玉X-J②.

①一②得当,=专I=2A,

代入①得，%=±x-E=±∙母=7,

p242244

所以点P的轨迹方程为y=-1.

【点睛】关键点睛:利用设而不求的方法,设出直线方程与圆锥曲线联立消元得出韦达定理，

通过转化化简用韦达定理表示出问题，是处理直线与圆锥曲线位置关系必须要掌握的方法.

21.⑴I

（2）证明见解析

【分析】（1）分别求得了⑴=e2-α,∕,（l）=3e2-3a,写出切线方程；

答案第9页，共12页

(2)将证函数f(x)在(O,+8)上有两个不同的零点x∣,巧，转化为方程H-G=O在(。，+8)

X

上有两个不同的实数解，令g(x)=F-后(x>0),利用导数法证明；由小%=9，、份

两式相加和相减联立得到玉+七=Z-玉+当招，令r=刍-%,则，>1,则

nxi-x2=^^--t,设Mr)=唱Jτ(f>l),利用导数法证明〃(。<〃⑴即可.

【详解】(1)解：/(l)=e2-α,

,2t

X∕(x)=(l+2x)e-30r,所以/'(l)=3e2.34,

则曲线在(1,/⑴)处的切线方程为y-(e2-«)=(3e2-3«)(x-l),

令y=O得,x=l-e,~a

3e--3a3

故切线在X轴上的截距为;.

(2)证明：要证函数/(x)在(0,+8)上有两个不同的零点储，4，

只需证方程e?，-加=O在(O,+e)上有两个不同的实数解，

即证方程G-G=O在(0,+8)上有两个不同的实数解，

X

设g(x)=J-G(X>0)，则g(x)=e(：J,

ɪX

当XW(0,1)时，g,(x)<O:当Xe(I,+∞)时，g,(x)>O,

所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(l,+∞)上单调递增，

5

因为g⑴=e-«<0,g^∣j=5e-√a>0,所以存在XIe(0,1),使得g(x∣)=O;

25

又g(2)=∙∣-G<0,g⑸=∣∙-G>0,所以存在々«2,5),使得8(毛)=0,

故函数/(x)在(0,+8)上有两个不同的零点4，X-

χ

由上易知，y∕axt=e',&x?=e*,两式相加得&(XI+x2)=e*+e*,

两式相减得,G(X2-XI)=e*-ejc',

x

(x2-x,)(e'+e^)(9—xj(l+e-f)、∣2(x2-x1)

贝Uxl+x2jtx2xxx+

e⅛-e∙'=e^'-1=2-∣e%f7

令，=X2—“I，则1>1,

答案第10页，共12页

所以啊一々=ɪ（-V+X）-等（∕-XJ2tA2+1(〃-1)，

12t+——~Γt~e,-l

设3）=警芈一中＞1），

("一])[([τ)eJ]