2023年教师公开招聘考试数学专业知识考试考点总结

2023年老师公开聘请考试

(数学学科专业学问)全部基础公式系统复习

背诵1集合

肯定范围的，确定的，可以区分的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其

中各事物叫做集合的元素或简称元。

元素与集合的关系：元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。

并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并(集)，记作AUB(或BUA),

读作“A并B”(或“B并A”)，即AUB={x|xGA,或xGB}。

交集：以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交(集)，记作APB(或BAA),

读作“A交B”(或“B交A”)，即ADB={xxGA,且xGB}。

集合的运算：

集合交换律：AClB=BnA,AUB=BUA.

集合结合律：(AAB)nc=An(Bnc),(AUB)UC=AU(BUC).,

集合安排律：ACI(BUC)=(AnB)U(Anc),AU(BHC)=(AUB)n(AUC)»

集合德.摩根律：Cu(AnB)=CuAUCuB,Cu(AUB)=CuAHCuBo

背诵2.方程组

1.方程组的有关概念

方程组的定义：由几个方程组成的一组方程，叫做方程组。

方程组的解:方程组里各个方程的公共解叫做方程组的解。

解方程组:求方程组解的过程叫做解方程组。

2.二元一次方程组及其解法

二元一次方程：含有两个未知数，并且含有的未知数项的次数都是一，这样的方程叫做二

元一次方程。

二元一次方程组:把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，组成的方程组叫做二元

一次方程组。

二元一次方程组的解法:代入消元法,加减消元法。

3.三元一次方程组及其解法

三元一次方程:含有三个未知数,并且含有未知数的项的次数都是一，这样的方程叫做三元

en一次方程。

三元一次方程组:含有三个相同的未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是一，并且一

共有三个方程,这样的方程组叫做三元一次方程组。

三元一次方程组的解法：代入消元法,加减消元法。即通过代入消元法或加减消元法消去同

一个未知数得到二元一次方程组,解这个二元一次方程组求出两个未知数的值,然后再求第三个

未知数的值。

背诵3.简易逻辑

可以推断真假的语句叫做命题。

“或”、“且“、“非”这些词叫做逻辑联结词。

不含有逻辑联结词的命题是简洁命题。

由简洁命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。

四种命题的形式：

原命题：若P则q；

逆命题：若q则P;

否命题：若1P则1q；

逆否命题：若1q则1P。

四种命题之间的相互关系：

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题O逆否命题)

(1)原命题为真，它的逆命题不肯定为真。

(2)原命题为真，它的否命题不肯定为真。

(3)原命题为真，它的逆否命题肯定为真。

背诵4.不等式

1.不等式的性质

(1)同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若a>b,c>d,则a+c>6+d(若

a>仇c<。，则a—c>8—。)，但异向不等式不行以相加；同向不等式不行以相减；

(2)左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不

能相乘：若a>Z?>0,c>d>0,则(若a>Z?>O,O<c<d,则q>2)；

cd

(3)左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若a>b>0,则a">b"或后>需；

(4)若ab>0,a>b,则工<，；若ab<0,a>b,则I>工。

abab

2.不等式的解法

解不等式是找寻使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要

恒等。

(1)一元二次不等式的解法：

求一般的一元二次不等式ar?+6x+c>0或ox?+bx+c<0(a>0)的解集，要结合

办2+版+c=0的根及二次函数y=依2+加+。图象确定解集。对于一元二次方程

办2+bx+c=0(a>0),设△=〃—4ac,它的解根据△>(),A=0,△<()可分为三种状况.

(2)分式不等式的解法：

分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式，并使每

一个因式中最高次项的系数为正，最终用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但

分母恒为正或恒为负时可去分母。

(3)肯定值不等式的解法：

分段探讨法(最终结果应取各段的并集)；

利用肯定值的定义；

数形结合。

(4)指数不等式与对数不等式的解法：

7(%)>o

gM

当a>1时"⑶>a=/(x)>g(x)；log„f(x)>log(,g(x)o-g(x)>0<>

f(x)>g(x)

7u)>o

fMgM

当0<a<1时,a>aof(x)<g(x)；logaf(x)>logag(x)=<g(x)>0

J(x)<g(x)

背诵5.函数的性质

1.单调性

定义：设函数的定义域为I,假如对于属于定义域I内某个区间上的随意两个内,々，当

王<々时，都有/(%)</。2)，则称/(X)在这个区间上是增函数，假如对于属于定义域1

内某个区间上的随意两个自变量X”尤2。当王<X2时，都有/(%)>/(电)，则称/(X)在这个

区间上是减函数。

2.奇偶性

定义：

(1)偶函数：

一般地，对于函数/(x)的定义域内的随意一个x,都有/(—x)=/(x),则/(x)就叫做

偶函数。

(2)奇函数：

一般地，对于函数/(x)的定义域的随意一个X,都有/(_幻=_/(©,则/(x)就叫做奇

函数。

偶函数的图象关于丁轴对称；奇函数的图象关于原点对称。

偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一样。

背诵6.二次函数

二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax2

+bx+c(a不为0)o其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

a,b,c为常数，a#0,且a确定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；a<0时，

开口方向向下。a的肯定值可以确定开口大小。a的肯定值越大开口就越小，a的肯定值越

小开口就越大。

背诵7.指数函数

指数函数的一般形式为丫=或(a>0且#1)(xCR)。

y=a'(a>l)定义域：R；值域：(0,+8)；过定点(0,1)；

当x>0时，y>l；x<0时,0〈y〈l；在(-oo,+co)上是增函数；

y=a"(0<a<l)定义域：R；值域：(0,+oo)；过定点(0,1)；

当x>0时，0<y<l；x<0时，y>l；在(-8,+oo)上是减函数。

背诵8.对数函数

一般地，函数y=log.X,(其中a是常数，a>0且a不等于1)叫做对数函数。

函数y=log.X,当a>1时，定义域为(0,+8),值域为R,非奇非偶函数，过定点(1,0),

在(0,+8)上是增函数；

函数y=log«X,当0<a<1时，定义域为(0,+°°),值域为R,非奇非偶函数，过定

点(1,0),

在(0,+8)上是减函数。

性质：假如且aWl,M>0,N>0,则：

log.MN=log,,M+log”N

M

log“五=log.M-log“N

log“M"=nlogaM(«eR)

lo。N

换底公式：k>g“N=———(a>0,/1；〃2>0,〃2工1)

log,国

对数恒等式：。喻N=N

背诵9.三角函数

1.设a是一个随意角，在a终边上除原点外随意取一点P（x,y）,P与原点0之间的距

离记作r（r=+y2>0）,列出六个比值：

—=sina（正弦）—=cosa（余弦）—=tana（正切）

rrx

rrx

—=csca（余割）一=seca（正割）一=cota（余切）

yxy

2.三角函数的定义域

三角函数定义域

/(x)=sinx{x|xw7?}

f(x)=COSJV{x|xe甩

/(x)=tanxx|XGR旦xw%乃+J不，A£Z

f(x)=co"{x|x£RHvwkT,keZ\

/(x)=sec%\X\XER&x手k兀+g兀、kWZ

f(x)=cscx{x|x£RHvwkT,keZ\

3.同角三角函数的基本关系式

吆=tanaW=cota

cosasina

tanacot6/=1cscasuia=1seca-cosa=1

sin2a+cos2a=1sec2a-tan2a=lesc2a-cot2a-1

4.和差关系

sin(a+B)=sinacosB+cosasinP

sin(a—|3)=sinacosB—cosasinP

cos(Q+B)=cosacosB-sinasinB

cos(a—B)=cosacosB+sinasinB

tan(a+p)=(tana+tanB)/(1-tana,tanB)

tan(Q—B)=(tana-tanP)/(1+tanQ,tanB)

5•倍半角关系

sin2a=2sinacosa；

cos2a=cos2a-sin2a=2cos26Z-1=1-2sin2a；

2次。

tg2a

1一吆2a

.a,/1-COS6Z

sin—=±1—

2)2

a,/I+COS6Z

cos—=士、—

21/2

tg—a=±,/-1---c-o--s--a-=---s-i-n--a----=-1----c-o--s-a--

2v1+cosa1+cosasina

背诵10.等差数列

假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，则这个数列就叫

做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用d表示，其符号语言为:

a“一a"]2,d为常数)。

L递推关系与通项公式

递推关系：

通项公式：a“=%+(w-l)d

推广.：a„=a,„+(n-m)d

变式：a,=an

_(一+《,)〃°n{n-\)d

~na.H---------

“一2"'2

2.等差中项：

若“，仇c成等差数列，则匕称。与c的等差中项，且6n上C；4aC成等差数列是

2

2b=a+c的充要条件。

3.前〃项和公式

(«)+«„)»0,n{n-V)d

S“=―!---------；S=na,+------------

"2"n12

特征：S,,=万〃-+(q—万)〃，

即S“=/(〃)=An2+Bn

2

Sn=An+Bn(AB为常数)

是数列{/}成等差数列的充要条件。

4.等差数列{«„)的基本性质(其中九〃,p,qeN*),

若加+〃=p+q,贝!+a“=4。+%。

背诵11.等比数列

假如一个数列从其次项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列叫做等

比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为q(q*O)。

1.递推关系与通项公式：

递推关系：fl,l+I=qan

n

通项公式:an=a{-q~'

推广：勺=见"0~"

2.等比中项：若三个数”,瓦c成等比数列，则称6为。与c的等比中项，且为

6=±疝，注：川二枇，是成等比数列的必要而不充分条件。

3.前w项和公式：

nax(g=l)

s,={=%—a“qq丰1)

\-q\-q

背诵12.数学归纳法

对于某些与自然数n有关的命题经常采纳下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第

一个值no时命题成立；然后假设当n=k(keN*,时命题成立，证明当n=k+l时命题也成立

.这种证明方法就叫做数学归纳法。

背诵13.极限

1.几个常用极限

(1)lim—=0,hman=0(16/1<1)；

-0cYl/J—>00

r11

(2)limx-xlim—=—;

{)x->而

“、vsinx1

(3)lim----=I；

(lY

(4)lim1+-=e(c=2.718281845…)。

xy

2.函数极限的四则运算法则

若limf(x)=a,limg(x)=b,则

.r—x—>的

(1)lim[f(x)±g(x)J=a±h；

(2)lim[/(x).g(x)]=Q力;

(3)lim^-7—7=—(/?^0)o

XT而g(x)h

3.数列极限的四则运算法则

若lima”=a,lim"二〃，则

〃一>007?—>00

(1)lim(q〃±Z?〃)=a±Z?；

(2)lin\(a-b}=a-h；

〃->8'n,

(3)lim—=—(/?^0)；

“TOOah

(4)=limc/ima〃=c,a(c是常数)。

“TOO'/«—>00n—>00

背诵14.排列组合

1.排列：从n个不同元素中，任取m(m^n)个元素，根据肯定的依次排成一

列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为A/

("4〃)，

A；=n(n-i^n-2)...(n-tn+\)=规定：0!=l。

(九—mJ.

2.组合：从n个不同元素中任取in(mWn)个元素并组成一组,叫做从n个不

同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为C：".

A：_n(n-1)....(n-/n+l)nl

规定：C：=1。

A；：ml初(〃-,〃)!

组合数性质:

c；：=cr，c;+cX，c；：+c：+……+c;;=2"。

背诵15.二项式定理

(a+by=C'a"+C\an-'b+C;,a"-2b2+…+C：af+…+C；；b"

二项展开式的通项公式:。+|=C：a"-?’”=0,1……〃)，C：为二项式系数(区分于该项的系

数)。

性质：

⑴对称性：C：=C；「G=0,1,2,...(rt)

(2)系数和：C：+C：+…+C：=2",C：+C；+C：+…=+C,：+C：+…=2'-'«

最值：n为偶数时，n+1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第

项，二项式系数为C?；〃为奇数时,(〃+1)为偶数，中间两项的二项式系数最大即第

s项及第四+i项，其二项式系数为G7=cj

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背诵16.平面对量

向量的概念：既有大小又有方向的量，向量常用有向线段来表示。

零向量：长度为o的向量叫零向量，记作：6,留意零向量的方向是随意的。

单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是±也)。

IA例

平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量a、1叫做平行向量，记作：a//

b,规定零向量和任何向量平行。

平面对量的基本定理：假如丹和会是同一平面内的两个不共线向量，则对该平面内的任一

向量a,有且只有一对实数4、4，使3=4回+4金。

1.平面对量的数量积

(1)两个向量的夹角：对于非零向量Z,b,作==AAOB=e[Q<e<^

称为向量。，否的夹角，当6=0时，a,3同向，当。=万时，a,3反向，当。=工时，a,

2

b垂直。

(2)平面对量的数量积：假如两个非零向量1，它们的夹角为。，我们把数量

|a||b|cos。叫做a与Z的数量积(或内积或点积)，记作：a»b,即。•各=,也卜05。。规

定：零向量与任一向量的数量积是0,留意数量积是一个实数，不再是一个向量。

(3).在Z上的投影为|A|cos6,它是一个实数，但不肯定大于0。

(4)向量数量积的性质：设两个非零向量7,b,其夹角为。，则：

②当a,3同向时，a•3=,特殊地，/=卜|,忖；当a与B反向

时，Z・B=—,帆；当。为锐角时，3・5>0,且a、b不同向，a/>0是。为锐角的必要

非充分条件；当。为钝角时，a»b<0,且a、b不反向，。出<0是。为钝角的必耍非充分条

件；

--*b

③非零向量a,b夹角。的计算公式：COS^=^VT；

MW

④，“凶a||B|o

2.平面对量的运算

（1）几何运算

①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向

量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设AB=a,3C=b,则向量AC叫做。与力

的和，即a+b=AB+BC=AC；

②向量的减法：用''三角形法则”：设AB=a,AC="那么〃-6=AB-AC=C4,由减

向量的终点指向被减向量的终点。留意：此处减向量与被减向量的起点相同。

（2）坐标运算：设。=（%,%）,。=（々,%），则：

①向量的加减法运算：a±b-{xx+x2,乂±>2）。

②实数与向量的积：/10=/1（不，乂）=（71%],71乂）。

③若44乂）,3（々,必），则AB=（W—%,%一%），即一个向量的坐标等于表示这个向

量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。

④平面对量数量积：a»b=x1x2+y}y2,

⑤向量的模：Ia|=旧+V,Jua『=k。

⑥两点间的距离：若4（和凹）,8（々,%），则IAB|=’（々_芯）2+（必_%）2

背诵17.空间向量

在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

共线向量定理：空间随意两个向量5、b（BKO）,存在实数A,使行=八8。

共面对量定理：假如两个向量a/不共线，〃与向量a,%共面的条件是存在实数尤,y使

p=xa+ybo

1.空间向量的直角坐标运算律：

（1）若Q=（4，生，〃3），b=（hl,b2,h3）,则a+〃=（4+4，生+〃2，。3+4），

a-b=（ai一4,%一力2，生一4），A^=（2^Z1,A^2,/?ZZ3）（AG7?）,

a・b=叫+a2b2+a3b3,

a〃boq=独，生=久，％=劝3（丸仁尺），

a上bu>afy+砧2=0。

⑵若4%,如马），B（x29y29z2）,则AB=（w-4%-%卫一%）。

模长公式：若。=（4，。2，。3），人=（4也也），则|a|=+々2?+/2，

|b|=Jb・b=yjb；+42+b；

2.夹角公式：c°s（aQ=」^=/她+她+地。

IQ卜161Qa：+出~+.2Jb；+.2+.

3.两点间的距离公式：若A(XRM，Z|),B(x2,y2,z2),

则|AB="(%—%>+(%一X>+(Z2-zj2,

或4l,S=V(X2-XI)2+(%—+(Z?—Z[)2O

4.空间向量的数量积。

(1)空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量在空间任取一点。，作

OA=a,OB=b,则NAQB叫做向量d与人的夹角，记作va/>；且规定0«。,。>《乃，

,1T

明显有<〃力>=</?,〃>；若<〃]>=一,则称4与。相互垂直，记作：a-Lbo

2

(2)向量的模：设。4=。，则有向线段04的长度叫做向量4的长度或模，记作：|。|。

(3)向量的数量积:已知向量，则|&|・|〃|・85<,/>叫做”,石的数量积，记作，

即=\a\-\b\'Cos<a,b>0

(4)空间向量数量积的性质：

①。=|Q|cos<a,e>；

®aA.boa・b=0；

③|a『二〃・ao

(5)空间向量数量积运算律：

①=2(。・。)=4・(劝)；

②a・b=b・a(交换律)；

@a-(b+c)=d-b+a-c(安排律)。

背诵18.导数

函数y=f(x),假如自变量x在X。处有增量Ax,则函数y相应地有增量△)，=f(x0+Ax)

一f(xo),比值鼓叫做函数y=f(x)在x0到xo+Ax之间的平均改变率，即

Ax

包。假如当心—0时，丝有极限，我们就说函数y=f(x)在点X。处

AxArAJC

可导，并把这个极限叫做f(X)在点X。处的导数，记作f'(X。)或y'I.E。。B|J：f(XO)

Ay/(x+Ax)-/(x)

=lim—=lim------0----------------—0。

-TOA%ATTOAX

1.基本函数的导数公式

C'=0;(C为常数)

(sinx)f=cosx(cosx)f=-sinx

(tanx)=sec2x(cotx)=-csc2x

(secx)=secxtanx(cscx)=-cscx-cotx

(ex)f=ex;(axy=axIna

(lnx)'=-(log“x/=-log(,e

，1,•1

(arcsinx)=,(arccosx)=-

r7

,.11

(arctanx)=———(arccotx)=一一-——

x2+ix2+l

("W)二步

2.导数的运算法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即：

(w±V)=U±V.

法则2：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以其次个函数，加上第一个函数乘

以其次个函数的导数，即：(〃v)'+若C为常数，则(C〃)'=C〃+C〃=O+Cu=Cu

即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：((%)'=C〃.

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积,

，

再除以分母的平方：=少*(VH0)。

背诵19.导数的应用

1.函数的单调性与导数

(1)设函数y=/(x)在某个区间(a,b)可导，假如f(x)>0,则/(x)在此区间上为

增函数；假如/'(幻<0,则/(x)在此区间上为减函数。

(2)假如在某区间内恒有/(幻=0,则/(x)为常数。

2.极点与极值

曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为

正，右侧为负；曲线在微小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正。

3.最值

在区间［a,b］上连续的函数f(x)在［a,b］上必有最大值与最小值。但在开区间(a,b)内

连续函数f(X)不肯定有最大值,例如/(X)=X3,X6(-1,1)O

背诵20.点、线、面基本概念

通常用行四边形来表示平面。平面可以用希腊字母a,来表示，也可以用平行四边形的

四个顶点来表示，还可以简洁的用对角线的端点字母表示。如平面a,平面ABQ),平面AC等。

(1)点A在平面a内，记作Awa：点A在平面a外，记作Awa。

(2)点P在直线/上，记作Pe/,点P在直线外，记作尸史

(3)直线/上全部点都在平面a内，则直线/在平面a内(平面a经过直线/),记作/ua；

否则直线就在平面外，记作/<za。

公理1假如一条直线上的两点在一个平面内，则这条直线在此平面内。

公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

公理3假如两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线。

推论1：经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

背诵21.基本的位置关系

1.空间直线与直线之间的位置关系

不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线

等角定理：假如一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角

相等。

公理4平行于同一条直线的两条直线相互平行。

定理空间中假如两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补。

异面直线所成的角：如图，已知两条异面直线。力，经过空间任一点。作直线a'//a,h'//

b,把d与〃所成的锐角(或直角)叫做异面直线。力所成的角(夹角)。假如两条异面直线所成

的角是直角，就说这两条直线相互垂直，记作

2.空间直线与平面的位置关系

直线与平面位置关系只有三种：

(1)直线在平面内；

(2)直线与平面相交；

(3)直线与平面平行。

直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此

平面平行。

直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平

面的交线都与该直线平行。

直线和平面垂直判定定理：假如两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直

于同一个平面。

直线和平面垂直性质定理：假如两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行。

三垂线定理:在平面内的一条直线，假如和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射

影垂直，则它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：假如平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，则这条直

线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

3.平面与平面之间的位置关系

两个平面的位置关系只有两种：

(1)两个平面平行—没有公共点。

(2)两个平面相交—有一条公共直线。

判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

性质定理：假如两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行。

背诵22.直线与平面所成的角与二面角

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。

始终线垂直于平面，所成的角是直角。

始终线平行于平面或在平面内，所成角为0。角。

兀

直线和平面所成角范围：[0,—]<,

斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。

平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线动身的

两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。

过二面角的棱上的一点。分别在两个半平面内作棱的两条垂线04,。8,则NAOB叫做二

面角a一/一月的平面角。

一个平面垂直于二面角。-/-4的棱/,且与两半平面交线分别为。4,为垂足，则

Z4O3也是。一/一尸的平面角。

背诵23.距离

1.点到平面的距离：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点

到这个平面的距离。

平面a的法向量在平面内任取肯定点A,则平面外一点〃到平面a的距离d等于而

-IAPn\

在”上的射影长，即d=!八"!.

In\

2.线线距离

异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离。

分别在直线〃?、〃上取定向量Z瓦求与向量入B都垂直的向量7,分别在根、〃上各取一

—,,-IA.3,n.I

个定点A、B,则异面直线加、〃的距离”等于AB在w上的射影长，即d=।_二

I«1

3.线面距离

平行的直线和平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上随意一点到平面的距离,

叫做这条直线和平面的距离。

4.面面距离

两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。

5.两点间的距离

平面内两点［（Xi，y）,鸟（々,必），则两点间的距离为：1初1=依-/）2+（乂-%）2。

6.点到直线的距离及两平行线距离

（1）点P（x。,%）到直线/:Ar+8），+C=0的距离公式为d」他By。+0I。

VA2+B2

（2）利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线4：Ar+与+0=0,

Ax+8y+C=0之间的距离公式d=9「Cl,推导过程为：在直线4上任取一点

JA2+B?

P(x0,y0),则AXg+Byo+C2=O,即为)+By„=-C2。这时点P(%,%)到直线Z,:Ax+By+C]=0

I他)+By<>+GI.|C|-GI

的距离为4=

VA2+B2VA2+B2

背诵24.棱柱

1.棱柱的基础学问

有两个面相互平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都相互平

行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。棱柱用表示底面各顶点的字母来表示。棱柱中两

个相互平行的面，叫做棱柱的底面。棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧

面。棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。

2.分类

斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，画斜棱柱时，一般将侧棱画成不与底面垂

直。

直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。画直棱柱时，应将侧棱画成与底面垂直。

正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。

平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体。

直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体叫直平行六面体。

长方体：底面是矩形的平行六面体叫长方体。

正四棱柱：底面是正方形的直平行六面体叫做正四棱柱。

正方体：棱长相等的正四棱柱叫做正方体。

3.棱柱的性质

棱柱的各个侧面都是平行四边形，全部的侧棱都平行且相等；直棱柱的各个侧而都是矩形;

正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。

棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边相互平行的全等多边形。

过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。

4.平行六面体、长方体的性质

平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处相互平分。

平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和。

5.表面积、侧面积、体积

直棱柱侧面积：侧面积=底面周长义侧棱长。

棱柱的表面积：表面积=侧面积+底面积。

棱柱的体积公式：V=sh（s为底面积，h为高）。

背诵25.棱锥

1.棱锥的基础学问

棱锥：假如一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，则这个

多面体叫做棱锥。棱锥中的多边形叫做棱锥的底面。棱锥中除底面以外的各个面都叫做棱锥

的侧面。棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。棱锥的顶点究竟面的距离叫做棱锥

的高。

2.棱锥的性质

假如棱锥被平行于底面的平面所截，则所得的截面与底面相像，截面面积与底面面积

的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比。

3.正棱锥的性质

正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫

做正棱锥的斜高）。

正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、

侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形。

4.表面积、侧面积、体积

棱锥的表面积：表面积=侧面积+底面积。

正棱锥的侧面积：S正棱锥侧=l/2ch'（c为底面周长，h'为斜高）。

锥体的体积公式是：v=l/3sh（s为锥体的底面积，h为锥体的高）。

背诵26.球

在空间中到定点的距离等于或小于定长的点的集合叫做球体，简称球。半圆以它的直

径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。

用一个平面去截一个球，截面是圆面。

球心和截面圆心的连线垂直于截面。

球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：r2=R2-cP。

球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆。

在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣

弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离。

半径是R的球的体积计算公式是：V=（4/3）nR）

半径是R的球的表面积计算公式是：S=4nR2。

背诵27.直线与圆的方程

1.直线

在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，假如把x轴围着交点按逆时针方向旋

转到和直线重合时所转的最小正角记为。，则。就叫做直线的倾斜角。直线倾斜角的取值范围

是0°W<z<180°。

倾斜角。不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示,即htan

a（。/90。）。倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，其取

值范围是（-8,+8）。

2.直线方程的五种形式

（1）直线的点斜式方程一已知直线/经过点I。"％）,且斜率为左，直线的方程：

y—必=-X—X])为直线方程的点斜式。

(2)直线的斜截式方程一已知直线/经过点P(0,b),并且它的斜率为k,直线/的方程:

y=kx+b为斜截式。

(3)直线方程的两点式

当修。%2，必N%时，经过B(》2,为)的直线的两点式方程可以写成：

y-必x—X]

-0

y2f%-尤1

(4)直线方程的截距式

过A(a,O),B(0,b)(a,b均不为0)的直线方程土+上=1叫做直线方程的截距式。

ab

(5)直线方程的一般形式：

点斜式、斜截式、两点式、截距式四种直线方程均可化成4+8)，+。=0(其中A、B、C

是常数，A、B不全为0)的形式，叫做直线方程的一般式。

3.圆

(D圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程为：(x-a)2+(y-6)2=/(/>0)。特殊地,

当。=6=0时，圆心在原点的圆的方程为：x2+/=/-\

圆心为点(―3'—，半径

(2)圆的一般方程/+;/+瓜+£^+尸=0,

仍+炉一4/

其中。2+后2-4尸>0。

2

(3)二元二次方程♦+8孙+Cy2+瓜+&+尸=0,表示圆的方程的充要条件是:

①一项y2项的系数相同且不为0,即4=。中。；

②没有盯项，即8=0；

③。2+后2-44尸>0。

(4)圆C：(x—a)2+(y-份2=户的参数方程为(x="+rcos"(。为参数)。特殊地，

[y=6+rsin。

/+y2=r2的参数方程为卜=rcos®(。为参数)。

[y=rsin。

(5)圆系方程：过圆C1：尤z+y?+£)[X+E[y+6=0与圆。2：/+丁+£>/+E?y+鸟=0交

点的圆系方程是x2+y2+Ax+Ej+/：；+2(x2+y2+2x+E2y+乙)=0(不含圆G)，当九=一1时

圆系方程变为两圆公共弦所在直线方程。

背诵28.椭圆

平面内与两定点F、F'的距离的和等于常数2a(2a>IFF'|)的动点P的轨迹叫做椭圆。

1.标准方程及几何性质

焦点在尢轴上焦点在y轴上

标准方程2222

X~V"x~V

-7H--彳—1(6Z>/?>0)—=im>〃>o)

a~h~

儿范围|x|<a,\y\<h|x|<Z?,|y|<«

顶点坐标(-a,0),(a,0)(0,-/2),(0,^)(0,-a),(0,a),(-b,O),(b,O)

何

4(-c,0),g(c,0)4(0,—)c,玛(0,c)

性焦点坐标

,a~22

质准线方程x=±—y=±~

c

对称轴方

x=0、y=0

程

长短轴椭圆的长半轴长是“，椭圆的短半轴长是b.

离心率e=—(0<e<l)

a

ci,b、c关系cr=b2+c2(a>b>0)

2.焦半径

P是椭圆1+5=1（4＞匕＞（））上一点，E、F是左、右焦点，e是椭圆的离心率，则

ab~

|PE\=a+exp,|PF\=a一exp。

y2x2

P是椭圆J=1（。＞匕＞0）上一点，E、F是上、下焦点，e是椭圆的离心率，则

ab

\PE\=a-eyp,\PF|=。+eyp。

3.焦点弦

定义：经过一个椭圆焦点的弦称为焦点弦。

设力（小，%）,B1xz,㈤，且力8过左焦点则弦长|力而=|人力|+|A8|=（a+exi）+（a+

exi）=2a+e（xi+x2）。

4.通径

通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦叫做椭圆的通径，通径长为2b2/a。

背诵29.双曲线

平面内与两个定点片，鸟的距离的差的肯定值等于常数（小于田鸟I）的点的轨迹叫做双曲

线。

1.标准方程与几何性质

焦点在X轴上焦点在y轴上

标准方程

2222

7一方=12---7T=1(6Z>0,£>>0)

a~h~

范围\x\>a,yeR\y\>a,xeR

顶点坐标(—a,0),(a,0)(0,-«),(0,«)

焦点坐标K（-C,O），B（C,O）K(0,-c)，E(0,c)

几2

准线方程aa2

x=±一y=±—

何

渐近线方程ha

y=±-xy=土一x

ab

焦半径M用=|。+%1\MF2\=\