2022-2023学年高一数学 人教A版2019必修第一册 同步讲义 第二章 一元二次函数、方程和不等式单元检测题 含解析

第二章一元二次函数、方程和不等式单元检测题

第I卷（选择题）

一、单选题

1.（2022.湖北•宜昌市夷陵中学模拟预测）记集合M={φ2>4},^V={Ψ2-4X≤O},则

MN=（）

A.{x∣2<x≤4}B.{x∣x≥0或X<-2}

C.{x∣0≤x<2}D.{x∣-2<x≤4}

【答案】A

【分析】化简集合，再由交集的定义即得.

［详解］VM={x∣x2>4）={x∣x<-2X>2},/V={X∣√-4Λ∙≤0}={X∣0<X≤4},

所以MN={x∣2<x≤4}.

故选：A.

2.（2022•江苏・苏州中学高二期末）已知集合A={x∣χ2+x-2≤θ},8={x∣mzθ1,则

A∩B=（）

A.{x∣-2<x<2）B.{x∣-2<x<l}C.{x∣-2<x<-l}D.{x∣-2<r<-l}

【答案】D

【分析】求出集合AB后可求4B.

【详解】A={x∣-2≤x<l},而8={x∣x<T或xN2},

故AB={x∣-2≤x<-l},

故选：D.

3.（2022♦浙江•诸暨市教育研究中心高二学业考试）设xwR,则“l<x<2"是“χ2-2x-3<（Γ'

的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先解出不等式f-2χ-3<0,再判断充分性和必要性即可.

【详解】由于不等式f-2x—3<0的解集为{x∣-l<x<3},贝∣Jl<x<2可推出-l<x<3,反

之不成立，

所以"l<x<2”是“丁―2x-3<0”的充分而不必要条件.

故选：A.

4.（2022.河南•新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））已知以b、c、JeR,下列命题正

确的是（）

A.若α>0,则ac>bcB.若a>b,c>d,贝IJaC>

C.若a>b,则，∙<?D.若L<4，则∣α∣>∣b∣

ab∖a∖∖b∖

【答案】D

【分析】举反例否定选项A,B,C;利用不等式的性质证明选项D正确.

【详解】对于A,当c≤0时不成立；

对于B,当。=1,。=-2,C=O,d=T时，显然不成立；

对于C,当。=1,〃=-2时不成立；

对于D,因为0<上<上，所以有∣α∣>屹>0,即∣S>∣b∣成立.

Ial∖b∖

故选：D.

5.(2021•新疆•和硕县高级中学高一阶段练习)关于X的一元二次不等式a√+20r+l>0的

解集为R,则。的取值范围()

A.a>0B.0<a<lC.0<α≤lD.a>1

【答案】B

【分析】根据一元二次不等式与二次函数的关系，即可求解.

【详解】要使一元二次不等式62+2依+1>0的解集为R,则需满足

”>0

■.、2=>0<α<l,

∆=(2iz)-467<0

故选：B

6.(2022•全国•高一专题练习)若命题FXOeR,年+(α-l)%+1<0”的否定是假命题，则实

数α的取值范围是()

A.[-I,3JB.(-1,3)

C.(-co,-1]U[3,+∞)D.(-8,-1)U(3,+∞)

【答案】D

【分析】由命题的否定是假命题，可得该命题是真命题，利用A>0求得”的取值范围.

【详解】命题咱x°eR,引+(叱1比+1<0”的否定是假命题，

则命题“mx^eR,Xo,+(α-l)%+l<0”是真命题，

BP∆=(Λ-1)2-4>0,

解得«>3或a<-1,

实数4的取值范围是(-8,-I)U(3,+8)

故选：D

41

7.(2022・重庆巴蜀中学高三阶段练习)已知正实数匕满足■~~-+—=!,则α+2A的最

a+bb+∖

小值为（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】B

41

【分析1令α+M=α+b+"lT,用。+〃+〃+1分另IJ乘T+1=l两边再用均值不等式

a+b⅛7+7l

求解即可.

41

【详解】因为‘7+士=1,且。涉为正实数

a+b⅛+l

rr∙∣,,1∖∕41\4a+b4(⅛÷1)

所以r。+。+Z7?+1I=(λQ+0+87+1)(------1------)=4+-------F---------+1

a+bb+1⅛+la+b

知2借，号=9,当且仅当鬻=誓即j+2时等号成立.

所以α+2⅛+l≥9,α+20≥8.

故选：B.

8.（2022•辽宁抚顺•高二期末）已知4>0,b>0,ab=∖,则“一+1一+6的最小值为（）

a+b

A.2B.4C.2√2D.4√2

【答案】B

【分析】对原式化简，然后根据基本不等式求解.

【详解】因为a>0,b>O,ab=∖.所以

i+6=(α+/2"+6=("+4+4=4+[+、4,当且仅当α=b=l时，等号成

a+ba+ba+ba+b

立∙

故选：B.

二、多选题

9.（2023•全国•高三专题练习）已知则下列不等关系中正确的是（）

ab

,,c,,CbaACba

A.ub>ci—bB.cιb<—u—bC.—ι—>2D.—>一

abab

【答案】CD

【分析】根据不等式的性质，特值法以及基本不等式即可判断各关系式的真假.

【详解】对A,由1<?<0,得b<a<O,当a=—1,/,=-2时，A错误；

ab2

对B,当”=一2,。=一3时，B错误；

对C,由L<?<0,得b<a<O,根据基本不等式知，C正确：

ab

对D,由！<,<0,得b<a<0,所以〃>/,因为2-g=2二£>0,所以D正确.

ababab

故选：CD.

10.（2022.福建省华安县第一中学高二期末）下列条件中，为，，关于X的不等式

Znr2_Znr+］>0对VXCR恒成立”的充分不必要条件的有（）

A.0≤〃？<4B.0<m<2

C.∖<m<4D.—1<m<6

【答案】BC

【分析】对阳讨论：m=0;∕n>0,J<0：m<0,结合二次函数的图象，解不等式可得阳

的取值范围，再由充要条件的定义判断即可.

【详解】因为关于X的不等式皿2—Anr+1>0对VXeR恒成立，

当m=0时，原不等式即为1>0恒成立；

当m>0时，不等式/nr?—*+］〉。对VXeR恒成立，

可得/<0,即能2—4m<0,解得：0<∕n<4.

当m<0时，y=∏ιr2-znx+］的图象开口向下，原不等式不恒成立，

综上：皿的取值范围为：［0,4）.

所以''关于X的不等式皿2-nr+1>0对VXeR恒成立”的充分不必要条件的有

（）<加<2或1<<4.

故选：BC.

11.（2021•江苏省沐阳高级中学高一期中）下列说法正确的有（）

A.y=兰±1的最小值为2

X

B.任意的正数以b,且α+b=l,都有&+扬≤近

C.若正数X、>满足x+2y=3孙，则2x+y的最小值为3

D.设x、V为实数，若9∕+V+孙=1,则3x+y的最大值为旭

7

【答案】BCD

【分析】对于A、B、C选项直接用均值不等式计算即可.对于D选项，先用均值不等式计算

9x2+Γ,将结果代入已知得到孙的范围，再将9/+尸+Xy=I配方、解出不等式即可.

2

Y+1I

【详解】选项A:y==x+L,

XX

当x>0时,当且仅当x=l时有最小值.

故A不正确.

选项B：&+扬=’(6+〃)=^(Λ+⅛)÷2>∕^⅛=Λ∕1+2>∕^⅛

对于任意正数〃、b,a-^rb≥2∖[ab,而。+人=1,所以2j^≤l，

当且仅当a=人=T时取得最大值.

所以G+√F≤0,当且仅当。=6=g时取得最大值.

故B正确.

21

选项C：对于正数X、y,x+2y=3xy,所以一+—=3

Xy

所以2x+y=gx3(2x+y)=；(：+()(2x+y)

45+祖+竺]≥%+2岸]=3

31X”31NXyl

当且仅当空=旦，即χ=y=l时取得最小值.

Xy

故C正确.

选项D：因9/+9+ð=(3χ+y)2-5Xy=I

所以(3x+y)2-l=5w≤∣x(N∣H)2,BP(3x+>02≤y

所以-差i≤3χ+y≤益"，当且仅当3χ=y=率时等号成立.

故D正确.

故选：BCD.

12.(2022・湖南・邵阳市第二中学高一期末)已知a>0,b>O,下列命题中正确的是()

A."5+9+JJ+J的最小值为2

B.若CIb-a-2h=U,则α+2⅛≥8

]4

C.若Q+力=2,则一+;≥9

ah

D.若一二+=[,则〃/?+〃+人≥14+66

。+1hJ+23

【答案】BD

【分析】求得^/^3+开工最小值排除选项A；求得α+力最小值选B；求得:最小

√x+9ab

值排除选项C：求得必+α+6最小值选D.

【详解】选项A：f=√73（fN3）,则G7历+彳有=1+7

令”旧（x≥3）,则y=x+：在［3,+∞）上为增函数,则一+鸿

则必最小值为号.判断错误;

故Jd+9H—，■’-tH—≥j,3+

√X2+9t

选项B：由α>0,b>0,ab-a-2b=0^^a+2b=ab,

2

Q+2。

则2(α+2⅛)=2ab≤I（、与“仅当。=»=4时等号成立）,

2

解之得〃+2b≥8.判断正确;

选项C：α>0,b>O,a+b=2,

14143，叱」以色)」(5+2、匕'bg4a=29

—+—一+一

abab22ab2Vab2

（当且仅当“勿二§时等号成立），则∕g≥∙∣∙判断错误;

选项D：由六+£=3,可得3(α+l)+3(b+2)=(α+D(6+2),

则a=2?+7,又。>0,/?>0,则8>1

b-∖

则9+。+於也"空2+b=2/+9H7+0

b-∖b-∖h-∖

2

2(⅛-l)+13(Z>-l)+18+⅛=3(⅛-l)+^η-+14≥14+6√6

b-∖

（当且仅当b=后+1时等号成立），故有4b+a+6214+6指.判断正确.

故选：BD

第II卷（非选择题）

三、填空题

13.（2022・全国•高一专题练习）如果关于X的不等式加+6χ+c>0的解集为{x∣T<x<2},

则关于X的不等式bx2-ax-c>0的解集为.

【答案】（-8,-2）51，+e）

【分析】由解集得T2是方程fl√+fer+c=O的两实数根，利用韦达定理得

b^-a>0,c=-2a>0,代入不等式6/一④一心。化简后解不等式可得答案.

【详解】关于X的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x∣-l<x<2},

-L2是方程苏+⅛r+c=O的两实数根，且"0,

由韦达定理得,

-1×2=-

a

.∖h=-a>O,c=-2a>O,

二・不等式加一打一。>0化为-OX2-奴+2。>0nχ2+工_2>0,

即(X-I)(X+2)>0,解得x<—2或x>l,

故答案为：(Yo,-2)U(1,4∞).

14.(2022•陕西汉中•高一期末)若关于X的一元二次不等式2χ2-日+三>0对于一切实数X

O

都成立，则实数&的取值范围为.

【答案】(-√3,√3)

【分析】由判别式小于0可得.

【详解】由题意A=∕-4x2*B<0,-^<⅛<√3.

O

故答案为：(-6,6).

15.(2021.河北省曲阳县第一高级中学高三阶段练习)已知”,ft∈R,且”>g>O,则

/+—MI的最小值是_____•

[2a-b)b

【答案】2

【分析】两次利用基本不等式即可得出结论.

【详解】∙∙∙*>o,

a2+----------->a2+----------------7=a2+二N2

.∙.(2a-b)b^2a-b+b^/,当且仅当α=I=b时取等号，

其最小值是2,

故答案为：2.

16.(2022•黑龙江・大庆实验中学高二期末)已知α>0,b>0,下面四个结论：

①"≤孚；②若α>b>O,则"+1+77¼7的最小值为4；③若α>'则C≤∙⅛;

i

a+b2bb(a-b)ab

④若^+τ—=1,则α+2⅛的最小值为2&;

α+lb+∖

其中正确结论的序号是.(把你认为正确的结论的序号都填上)

【答案】①③④

【分析】对于①，由/+A2≥2",^a2+b2+2ab≥4ab,然后变形后判断，对于②，变形

后利用基本不等式判断，对于③，由不等式的性质判断，对于④，将

(α+l+2"2)J[+J7]展开由基本不等式可推导出结果

1α+l⅛+l)

【详解】对于①，l⅛I^Ja2+b2≥2ab^所以/+〃+2α力≥4α0,B∣J(tz÷⅛)2≥4(7⅛,

因为α>O,b>O,所以当≤孚，所以①正确，

a+b2

对于②，因为α>8>0,所以。一b>O,

所以"+5+止=("+?)+双。一切+出

22"2出血高=6,

当且仅当b(a-b)=—^—,即α=迈,6=应时取等号，所以②错误，

bb(a-b)2

11「262

对于③，因为α>b>O,所以0)<!，因为∕≥o,所以J≤J,所以③正确，

abab

对于④，因为(a+l+2^+2)j-!-+-⅞-]=3+23+1)+四≥3+2j2S+D•巫=3+2夜,

Ia+1b+1Jα+lZ?÷IV。+1Z?+1

当且仅当卫字=冷，即α=√5,6=立时取等号，

a+∖h+∖2

因为-L+Jτ=L所以。+l+2h+2≥3+20，所以α+2∕?≥20,3且仅当α=V∑,Z?=

α+l⅛+l2

时取等号，所以④正确，

故答案为：①③④

四、解答题

17.(2021.新疆•和硕县高级中学高一阶段练习)解下列不等式：

(1)4X2-4X÷1>0;

(2)X2-6X+9≤0;

(3)—x2÷2x—3>0;

【答案】(1){XXH(};

(2){X∣X=3}5

⑶0;

【分析】利用二次方程与二次不等式的关系直接求解即可.

(1)因为4丁_41+1=(2*-1)2,所以4f-4x+l>0的解集为卜x≠g

(2)因为χ2-6χ+9=(x-3)2≤0,所以W—6x+9≤0的解集为{x∣x=3}:

(3)原不等式可化为χ2-2χ+3<0,S^Δ=22-4×3=-12<0,所以方程M-2x+3=O无

实根，又因为y=V-2x+3的图象开口向上，所以原不等式的解集为0；

18.(2022・湖南常德•高一期末)己知二次函数/(X)=公2+bx+c(ab,C为实数)

⑴若/(x)<。的解集为(1，2),求不等式。/+^+。〈。的解集；

(2)若对任意x∈R,b>0时，/(x”0恒成立，求华的最小值；

b

(3)若对任意xeR,2x+2≤∕(x)≤2f-2x+4恒成立，求他的最大值.

【答案】⑴卜《<x<l)

(2)1

(3⅛

【分析】(1)根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系即可求解.

(2)根据二次函数的性质可得”>0,6>0,∕-4ac≤0,进而根据基本不等式即可求解.

⑶取x=l得α+b+c=4,根据判别式小于0可得c=α+2,进而可得&c力的关系，根据

基本不等式即可求解

(1)依题意知，a>0,且方程o√+⅛r+c=0的两根为1,2由根与系数间的关系得

hC

--=3,-=2,则6=—34,c=2”.故不等式

aa

CX2+⅛r+α=2α2-30r+α="(2χ2-3χ+l)=α(2X-I)(X-I)<0解得：∣<x<l,即原不等式

的解集为{χj<χ<ι).

2

⑵因为x∈R5b>0时,F(X)20恒成立,⅛⅛t⅜a>0,⅛>0,⅛-4izc≤0,那4αc≥Z√,即c>0,

所以竺£≥亚≥2=ι(当且仅当α=c=与时等号成立)

bbb2

(3)令x=l,则4≤"+A+c≤4,所以α+6+c=4.>⅛{≡⅛x∈R,2x+2≤ax2+hx+c,恒

成立，所以加+(。-2)x+c-2≥0恒成立.所以4>0且

△=(b—2)2-4ɑ(c—2)=(ɑ+c—2)2—4ɑ(c—2)=(“一c+2)2≤0所以c=ɑ+2,此时加+6=2,

因此o6=Jχ2α6vJ(世史丫=!，当且仅当α=1S=l时等号成立，此时c=£,(或

2212J222

“∕>=”(2-2a)=2α(l-α)=-2(a-g)+-^≤∙^)验证，

2χ2-2x+4-"X)=2X2-2Λ+4-+Λ+-∣J=-∣Λ2-3%+=∙∣(X-1)^≥O成立故“匕的最

大值为T.

19.(2022・四川广安•高一期末(理))已知不等式(a+l*—4x-6<0的解集是凶―l<x<3}.

(1)求常数“的值；

(2)若关于X的不等式or?+znv+4≥0的解集为R,求m的取值范围.

【答案】(Da=I

⑵H4]

【分析】(I)由题意可得T和3是方程(α+l)x2-4x-6=0的解，将X=T代入方程中可

求出α的值；

(2)由χ2+"ur+4≥0的解集为R,可得A4θ,从而可求出，"的取值范围

(1)

因为不等式(α+l)x2-4x-6<0的解集是何-l<x<3}∙

所以一1和3是方程(α+l)χ2-4x—6=0的解，

把X=T代入方程解得。=1.经验证满足题意

(2)

若关于X的不等式α√+zmr+4N0的解集为R,即丁+g+420的解集为R,

所以A="∕-16≤0,

解得T≤m44,所以"?的取值范围是[Y,4].

20.(2022•福建南平•高二期末)设全集U=R,集合M={x∣x2-4x+3≤θ},N=3―2<x<2},

P=^x∖a<X<α+2∣

⑴求MUN,M(心加

(2)若PqN,求实数〃的取值范围.

【答案】(I)MUN={x∣-2<x≤3},MC(Q,N)={x∣2≤x≤3}

(2)α∈[-2,0]

【分析】(1)解一元二次不等式得集合M,按集合的交并补运算即可；

(2)利用集合间的包含关系，列不等式求解.

(1)

解：由M={x,-4x+3≤θ}得M={x∣l≤x≤3},

所以Λ∕□N={H-2<X≤3}

由N={x∣-2<Λ<2}得Q,N={X∣Λ≤-2Mr≥2},

所以M(4,N)={M24x≤3}

(2)

解：根据集合PaN得[”：二，解得a∈[-2,0]

[4+2≤2

9

21.(2022.四川达州.高一期末(理))(1)已知x>3,求x+——的最小值;

x-2

(2)已知x>O,y>O,且3x+2y-l=0,证明：；+；£4.

3x2y

【答案】(1)8；(2)证明见解析.

99

【分析】(1)X+'可化为x-2+∖+2,再由基本不等式求其最值；(2)由条件可得

x-2x-2

4+3=α→3](3x+2y),结合基本不等式完成证明.

3x2y(3x2y)

99

【详解】解：(1)因为工>3,所以％—2>1,则x+―-=x-2+-ɪ-+2≥6+2=8,

x-2x-2

99

当且仅当一二”，即x=5时，等号成立.所以x+最小值8.

x-2

(2)因为χ>0,y>0,3x+2y-l=0得3x+2y=l.

1111

则LL=—+—×1=(3x+2y)=l+⅛+-+l≥2+2

3x2y13X2y73xIy

所以成立，当且仅当X