2023高考数学复习练41　泰勒展开式与超越不等式

微专题41泰勒展开式与超越不等式

3知识拓展

1.泰勒公式形式

泰勒公式是将一个在村处具有〃阶导数的函数利用关于(X-XO)的〃次多项式逼近

函数的方法.

若函数/U)在包含XO的某个闭区间［”,切上具有〃阶导数，且在开区间(0,份上具

有(〃+1)阶导数，则对闭区间团，川上任意一点九，成立下式：

~f(Xo)(%—xo)f'(ɪo)fn'(ɪo)

=Λ%o)++~2l(x—xo)7^l-----1^一~↑(χ-χo)n+/?»(%)

其中：f")Qo)表示y(x)在X=XO处的n阶导数，等号后的多项式称为函数兀灯在XO

处的泰勒展开式，剩余的吊(X)是泰勒公式的余项，是(x—尤o)"的高阶无穷小量.

2.麦克劳林公式

f(0)Xf(0)小(0)

Λχ)=Λ0)4-Ti-+2!-χ2-\—卜-√Γ~•炉+R〃(X)

虽然麦克劳林公式是泰勒中值定理的特殊形式，仅仅是取M)=O的特殊结果，由

于麦克劳林公式使用方便，在高考中经常会涉及到.

3.常见函数的麦克劳林展开式(。〃⑴是高阶无穷小量)：

f炉

(l)e*=1+x+^~pH------+o(Xr)；

(2)sinX=X—力+"----F(-l)nI(2；一1)!+。(口)；

γ2尤2〃

(3)COS尤=1-7F÷4Γ-6FH1^(-1)“⑵)！+°(χ2n+')；

χ23y+1

(4)ln(l+x)=X-Lγ+W------1-(-1:,+o(χ+1)；

Zjn~kτ1

(5)-~=1+x+x2÷∙∙∙+ΛΛ+0(XΛ)；

1-χ

.a(。一1)ɔ,a(«—1)・・・(Q—〃+1)

(6)(1+lx)Q=1+lax+--------X2+…+1;x,r+o(x,t).

ZInI

4.两个超越不等式：(注意解答题需先证明后使用)

(1)对数型超越放缩：

χ-1.,

--≤lnx≤χ-l(x>O);

In(I+x)=X—-------F(-l)n^⅛+RG)…⑴.

上式(1)中等号右边只取第一项得：ln(l+Λ)≤Λ(X>-1).......结论①，

用χ-1替换上式结论①中的X得：InXWX-l(x>0).......结论②，

对于结论②左右两边同乘“一1”得一InXel-Xnlnj∙21-χ,用1替换X得：

XX

l-∣≤lnΛ(X>0)...结论③.

(2)指数型超越放缩：

x+1≤ex≤~-(XV1)；

I-X

eʌ-l+x+^-H------+R"(X)"∙(2).

上式(2)中等号右边只取前2项得：

ev≥l+x(x∈R)......结论①，

用一X替换上式结论①中的X得：

er>l一χ(x∈R)...结论②，

当XVl时，对于上式结论②

ex≥1—1—x=>~-≥e'........结论③，

e1—X

当x>l时，对于上式结论②

e^^“21—1—-----Wex.......结论④.

e1—X

题型聚焦分类突破研题型求突破

类型一利用超越不等式或泰勒展开式比较大小

I核心归纳

涉及比较大小的问题，如果其中同时含有指数式、对数式和多项式，可考虑利用

泰勒展开式解决问题，特别注意结合赋值法，利用如下超越不等式或其变形公式

解决问题：

X—1

--WInXWX-I(X>0),

X

Λ+l≤er≤--(x<l).

I—%

I99JOl

例1⑴已知α=y^,。=广嬴C=In/9则a,b,C的大小关系为()

A.a<b<cB.a<c‹b

C.c<a<bD.b<a<c

(2)(2022∙新高考I卷)设α=0.1e°Lb=^,C=-InO.9,则()

A.a<b<cB.c<b<a

C.c<a<bD.a<c<b

答案(I)C(2)C

_99_991101101

解析(1)因为e∙v2x+l,lnxWχ-1,故b=e[>—而+1=而,c=ln而<而

一ι=T⅛?故选C.

⑵根据题意，构造函数大X)=XeI

Y

g(x)==/1(%)=-ln(l-Λ),则可以看到α=Λ0.1),⅛=g(0.1),c=∕z(0.1).

1X

由于0.1较小，所以对上述三个函数在X=O处进行三阶泰勒展开：

人%)=入[1+尤+尹+不+。(Λ3)=X+X2÷2%3+^^+O(Λ3),

g(x)=]，-1=1÷X÷%2÷JC3÷O(X3)-1=%÷X2+Λ3÷O(Λ3),

■1,A31]X5

//(九)=---χ--^Xi-^+θ(x3)=x+^x2+'-j+o(xi).

在X=(M处，显然b=g(O.I)Po.1110>α=Λ0.1)≈0.1105>c=∕ι(0.1)≈0.1050,

故b>a>c.

训练1⑴设α=lnLOI,b=果,C=志，(其中自然对数的底数e=2.71828…)

贝女)

A.a<h<cB.a<c<h

C.c<b<aD.c<a‹b

3111

(2)(2022•全国甲卷)已知α=到，b=COSrc=4sin『则()

A.c>b>aB.b>a>c

C.a>b>cD.a>c>b

答案(I)D(2)A

解析(1)由InXel等号当且仅当%=1时取到，故X=LOl时a>c,排除A,

B.

下面比较4,b大小,

由InXWX—1得，In1.01<0.01<⅛^^,故b>α.

所以c<a<b.

x,~SinX

(2)根据题意，构造函数凡T)=I-5，g(x)=cosx,∕z(x)=Jj,

则可以看到：α=∕Q),b=gQ),C=

由于0.25较小，所以对上述三个函数在X=O处进行四阶泰勒展开：

4

,/(x)=l-万，g(x)=l-彳+丁+o(χ4),∕7(χ)=1-yj-+yp+o(χ).

显然，在尤=0.25时，ɑ=d)vb=g(Jvc=∕z(1),故a<b<c.

类型二利用超越不等式或泰勒展开式解决不等式问题

I核心归纳

在证明不等式或根据不等式求参数的范围时，要仔细观察，发现其中所含的超越

不等式，需证明后再用来解决问题.

例2已知函数«r)=In(X—1)一4X—1)+1.

(1)求函数式X)的单调区间；

-ln2ln3In4Innn(/?-1)

z(2o)v证cf明ih：ɪ+—+-H-----4("≡N，n>i).

(1)解因为/U)=In(X—1)--x—1)+1(Z∈R),

所以兀r)的定义域为(1,+∞),

∕Q)=±^T∙

若ZWO,则了(力>0,於)在(1,+8)上为增函数;

-G-中)

若2>0,则/(X)=-7-k=--~~：~

J∖X—1X—1

当lVχ<∙∣+l时，/(x)>0,

当Λ>∣+1时，/(x)V0.

综上，当ZWO时，/U)的单调递增区间为(1,+∞),无单调递减区间,

当z>o时，7U)的单调递增区间为(ι,1+1),单调递减区间为弓+i,+∞)

(2)证明当Z=I时，由(1)可知yu)的单调递增区间为(1,2),单调递减区间为Q,

+∞),

有«r)低*2)=0在(1,+8)恒成立，

且人犬)在(2,+8)上是减函数，

即In(X-I)V尤一1—1在尤G(2,+8)上恒成立.

令X—1=/,则Inn2<∕ι2-1,

即21nn<.(n-l)(n+1),

Inn∏-1*I

.∙.^ψγ<-^-("∈N且∕ι>l),

.In2,In3,In4..In/21.2.3..∏-1n2-n

••『丁+『…+干〈///…十丁=丁

In2In3In4,Ilrι〃(n_1)…、上、

即tlrr：ll---4(G2,N)成立.

训练2已知/U)=In芸?证明：当x∈(0,D时，7(x)>2(x+5).

丫2vɜN

证明In(l+x)=χ-y÷y------F(—1),7^1-H—,

In(1-χ)=—X—y—yd----F(-—,

(√/+/

-

所以In(1÷x)-In(1—x)=2x+γ÷∙∙∙+9∣1L

VJ乙11IɪJ

故当x∈(0,1)时，yu)>2(x+z∣).

高分训练对接高考重落实迎高考

一、基本技能练

1.已知α=e°∙°2,h=1.012,c=ln2.02,则()

A.a>b>cB.b>a>c

C.a>c>bD.b>c>a

答案A

r2y3丫4γn炉+1

解析因为e^=1+λ+-+—+-+...+-ɪ),

Onɔ2()∩23

所以eoθ2=l+O.O2+2≠+i⅛-+∙∙∙^l.O2O2,

ZO

⅛=1.012=1.0201,c=ln2.02<l,

所以α>b>c,故选A.

2.已知实数4,b,C满足αc=〃，且。+力+C=In(Q+b),则()

A.c<a‹bB.c<b<a

C.a<c<bD.b<c‹a

答案A

解析设/(x)=InX—尤+1,

11—Y

则-

/(χ)=√;v-1=-√TV,

当x∈(0,1)时，/(x)>0,JX)单调递增,

当x∈(l,+8)时，/(χ)vo,y(χ)单调递减,

所以/U)WyO)=0,即InX≤X-1,

所以ln(α+A)Wα+b—19

所以α+/?+CWa+〃-1,即cW—1,

1

又ac=b>09所以a<0,

由a~∖~b>0y所以b>~a>0,

所以。2>〃2,即4c>q2,

所以CVα,所以CVaV/?.

3.已知Q=Sin/，b=g,C=*贝∣J()

A.c‹b<aB.a<h‹c

C.a<c<bD.c<a‹b

答案D

解析由sinx=χ-^~+~^-------Fo(%2π+1),

可得x—*VsinΛ<X(X>0),

所以sin}∈(焉，∣j,而崇^3.06V3.14Vπ:,

所以即Sim,选D.

162兀ɔ∖πɔ/

4.(2021•全国乙卷)设α=21n1.01,b=∖n1.02,c=√L04-l,则()

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<a<b

答案B

解析显然L012>I.02,故。Va,只需比较α,c大小即可.

考虑函数/(x)=2In(I+x),^(X)=√1+4Λ-1,考虑到两者均是比较在X=O附近的

数的大小：犬0.01)与g(0.01),

所以对两个函数在X=O处进行泰勒展开.

ln(l÷x)=%-y+yH-----1-(-1)"'~+o(xn),

,a(。一1)ɔ,,aCa-1)・・・(［一〃+1)

(1+1尸=1+ax+------------X2+…+-------------------------------x,t+O(M,

由上式可得："r)=2χ-Λ2+o(x2),g(x)=2χ-2x2+o(%2),

显然，在X=O附近，yU)>gG),故α>c,

令函数Λ(x)=ln(l+2x),由泰勒公式得，

8

/?(%)=Ix-2X2÷ɜɪ3÷O(Λ3),

又g(x)=2x—2Λ2+4X3+O(X3),

在x=。附近，∕z(x)<g(x),所以b<c.

综上，∕j<c'<4.故选B.

5.下列结论中正确的个数为()

①SinXV%,%>0；②1IIΛ:VX；③e*>x+l.

A.0B.1

C.2D.3

答案C

解析令/(X)=X—sinX,x∈(0,÷o°),则/(x)=1—cosx20,

所以«r)在(0,+8)上单调递增，

所以"r)>∕(O)=0,即x—sinx>0,

即x>sinx,%>0,故①正确；

令g(x)=%—ln九,x∈(0,÷o°),

1Y-1

L

则^(X)=1-人-=-人

所以当OVXVl时，g，(X)V0,

当x>l时，/(x)>0,

所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,十8)上单调递增，

所以g(x)2g(l)=l,即龙一In光>0恒成立，所以尤>lnx,故②正确；

令〃(X)=e*-(X+1),∕ι,(x)=ex-1,

当XVo时,∕ι,(χ)<O,当x>0时，Wa)>0,

所以∕z(x)在(一8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

所以∕ι(%)N∕ι(O)=O,即以一(x+l)N0,

所以廿2x+l,当且仅当X=O时取等号，故③错误.故选C.

6.Ci知αi,42,。3,424成等比数列，且α1+α2+α3=ln(α1+α2+43+α4),若0<

0∣<h则()

A.aι<a3,a2<a4B.a∖<a3,a2>a4

C.a∖>«3>α2>n4D.αι>43,α2<<24

答案A

解析设/(x)=lnχ-x+l,

则/(X)=：—1=工-，

令/(x)>0,贝IoVXV1,

令了(X)V0,则x>l,

所以人X)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

所以Xʃ)max=#1)=0,

则fix)=∖nχ-χ+1≤0,即Inx≤χ-1,

所以01+02+43=111(01+02+43+44).41+02+43+04—19

故Qle1,又Ql,。2,。3,44成等比数列，且OValV1,

设其公比为4,则詈=炉>1,即q>l,

所以41V43,a2<a4,故选A.

7.（多选）已知数列｛0,｝满足αι=2,iz,ilι=4°”,"∈N*,则下列结论正确的是（）

A.>1

B∙Cln+1>Cln

C.存在无穷多个Z∈N*,使以=23L2

D二+L-|---1-^<1

a∖aιan

答案ABD

2

解析Y4ι=2,彳一αι=2,α2=4=16>l,则析一斯单调递增且大于0,

所以单调递增，所以以+1>1,即z>l,故A正确；

令y=ej-%—l(x>0),则∕=er-1>0,所以y=ex-χ-1在(0,+8)上单调递增,

且当且仅当X=O时，y=0,

所以y=e∙r-%—120,即ev2x+l.

因为c^-an>O,

且4">α"2e">""e晶一如+1,

2

ʌa∏+∖-an^(an-1)>0,故B正确；

3121615332

Vaι=2=2×^,42=16=23X2-2,a3=4×>2×-,由归纳法可知，

。用=科j*+∣,

故不存在无穷多个氏GN*,使以=23L2,故C错误；

由斯+1>后一。"+1得一½<-ʒ-ɪ,即:<一L丁――LT，累加可得：

a∣ι+↑—1a∏—1cinanan-1‰+ι—1

-1-I.-1-.十...十I一1V,---1-----1--十.---1------1--十....十l---1------1---=---1---

CL∖。2CbI0—142—102—1。3-1Cln-1afι+↑-141-1

—ʒ<1,可知D正确.

an+∖-∖

8.已知函数於)=0eA-InX-1,证明：当。2；时，於)20.

证明当时，fɪx)=aex-∖nχ-1≥^∙ev-Inχ-1=ev-1—Inχ-1,

由ex2x+l(证明略)，得e「12元，

由In(X+l)Wx(证明略)，得InXWX—1,

因此ev1-InX—1≥χ-(X—1)—1=0,

当且仅当x=l时等号成立，

所以当“斗时，/(x)≥0.

9.(2022•青岛二模)已知函数/)=lnX—依+1.

(1)若凡X)WO恒成立，求实数Z的取值范围；

(2)证明：(1+'(1,,∙^l+^θ<Ve(rt∈N*).

(1)解由题意得：/U)定义域为(0,+∞).由凡T)WO得：女eɪɪLA

、“Inx+1„,Inx

欢-g(x)=^'则g'(x)='

.∙.当x∈(0,1)时，g,(x)>0,当x∈(l,+8)时，g,(χ)<0,

.∙.g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

:∙g(%)max=g⑴=1»

.∙.后1,即实数Z的取值范围为[1,+∞).

⑵证明由(1)知：当Z=l,x>l时,

1ɪ-X

/⑴二一1=丁V0,

∙∖Aχ)在(1,+8)上单调递减，

∙∙JU)Vyu)=0，即InXVX—1,

∙'∙InH+⅛J<1+*1-1=L1

3"3"'

Λlnfl+∣j+ln∣1H---