新教材同步系列2024春高中数学第八章立体几何初步8.1基本立体图形第1课时棱柱棱锥棱台的结构特征课后提能训练新人教A版必修第二册

第八章8.1第1课时A级——基础过关练1．下列几何体中是棱柱的有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个【答案】C【解析】根据棱柱的定义可知只有①③⑤是棱柱．故选C．2．(多选)下列命题中错误的有()A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台D．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱【答案】ACD【解析】在A中，如图的几何体，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不是棱柱，故A错误；在B中，由棱柱的定义知B正确；在C中，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故C错误；在D中，如图的几何体，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不是棱柱，故D错误．故选ACD．3．如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是()A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1【答案】C【解析】根据棱台是由棱锥截成的进行判断．选项A中eq\f(A1B1,AB)≠eq\f(B1C1,BC)，故A不正确；选项B中eq\f(B1C1,BC)≠eq\f(A1C1,AC)，故B不正确；选项C中eq\f(A1B1,AB)＝eq\f(B1C1,BC)＝eq\f(A1C1,AC)，故C正确；选项D中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不是三棱台．故选C．4．下列三种叙述，正确的有()①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个 B．1个C．2个 D．3个【答案】A【解析】①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③有用如图的反例，故②③错．故选A．5．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是()A．三棱锥 B．四棱锥C．五棱锥 D．六棱锥【答案】D【解析】由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．6．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A．棱柱 B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体 D．不能确定【答案】A【解析】如图，因为有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形，因此是棱柱．7．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是()A．四边形 B．三角形C．三角形或四边形 D．不可能为四边形【答案】C【解析】按如图1所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图2所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形．图1图28．在下面的四个平面图形中，是侧棱都相等的四面体的展开图的为__________(填序号)．【答案】①②【解析】易知③④中的图组不成四面体，只有①②可以．9．如图，M是棱长为2cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是__________cm．【答案】eq\r(13)【解析】由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2cm，3cm，故两点之间的距离是eq\r(13)cm．若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1cm，4cm，故两点之间的距离是eq\r(17)cm．故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是eq\r(13)cm．10．画出如图所示的几何体的表面展开图．解：表面展开图如图所示(答案不唯一)．B级——能力提升练11．(多选)下列命题中，假命题有()A．顶点在底面上的投影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正三棱锥B．底面是正三角形，各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥C．顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心的三棱锥是正三棱锥D．底面是正三角形，并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥【答案】ABC【解析】对于选项A，到三角形各顶点距离相等的点为三角形外心，该三角形不一定为正三角形，故该命题是假命题；对于选项B，如图，△ABC为正三角形，若PA＝PB＝AB＝BC＝AC≠PC，△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，但它不是正三棱锥，故该命题是假命题；对于选项C，顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心，底面为任意三角形皆可，故该命题是假命题；对于选项D，顶点在底面上的投影是底面三角形的外心，又因为底面三角形为正三角形，所以外心即为中心，故该命题是真命题．故选ABC．12．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面()A．至多有一个是直角三角形 B．至多有两个是直角三角形C．可能都是直角三角形 D．必然都是非直角三角形【答案】C【解析】注意到答案特征是研究侧面最多有几个直角三角形，这是一道开放性试题，需要研究在什么情况下侧面的直角三角形最多．在如图所示的长方体中，三棱锥A－A1C1D1的三个侧面都是直角三角形．13．一个棱台至少有__________个面，面数最少的棱台有__________个顶点．【答案】56【解析】面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点．14．长方体ABCD－A1B1C1D1的长、宽、高分别为3，2，1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为__________．【答案】3eq\r(2)【解析】结合长方体的三种展开图不难求得AC1的长分别是3eq\r(2)，2eq\r(5)，eq\r(26)，显然最小值是3eq\r(2)．15．如图，在三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面△AEF，求△AEF周长的最小值．解：