江苏省南京市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页江苏省南京市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，为的直径，，是上的两点，连接、、若，则的度数为(

)A． B． C． D．2．如果关于的一元二次方程方程有两个实数根，那么的取值范围是(

)A． B．且 C．且 D．3．下表是某校合唱团成员的年龄分布表：年龄/岁12131415频数515x对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）A．平均数、中位数 B．众数、中位数 C．平均数、方差 D．中位数、方差4．在正方形网格中，△ABC在网格中的位置如图，则cosB的值为（）A． B． C． D．25．点在二次函数的图象上，，下列推断正确的是（

）①对任意的，都有；②对任意的，都有；③存在，满足，且；④对于任意的小于1的正实数t，存在，满足，且．A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④6．如图，以半圆中的一条弦（非直径）为对称轴将弧折叠后与直径交于点D，若，则的长为（

）A． B．8 C． D．9二、填空题7．已知，则的值为．8．数据8，9，10，11，12的方差等于.9．如图，扇形OAB是一个圆锥的侧面展开图，∠AOB＝120°，的长为6πcm，则该圆锥的侧面积为cm2（结果保留π）．10．将二次函数的图像向右平移3个单位，再向上平移4个单位后，所得图像的函数表达式是．11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠D＝110°，则的长为．12．小丽想测量学校旗杆的高度，她在地面A点安置测倾器，测得旗杆顶端C的仰角为30°，测倾器到旗杆底部的距离为12米，测倾器的高度为1.6米，那么旗杆的高度为米（结果保留根号）．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为．14．如图，正方形与正方形是位似图形，点O为位似中心，相似比为，点D的坐标为，则点B的坐标为．15．如图，铁道口的栏杆短臂长为1米，长臂长为16米．当短臂端点下降0.5米时，长臂端点升高米．16．如图所示，从高为2m的点A处向右上抛一个小球P，小球飞行路线呈抛物线L形状，小球飞行的水平距离2m时达到最大高度6m，然后落在下方台阶上弹起，已知m，m，m，若小球弹起形成一条与L形状相同的抛物线，落下时落点Q与B，D在同一直线上，则小球在台阶弹起时的最大高度是m．三、解答题17．解下列方程：(1)；(2)．18．（1）计算：．（2）计算：19．下图为多个小等边三角形组成的六芒星图案，其中有三个三角形已涂为灰色．(1)请你在每个图形中再将一个或两个小等边三角形涂为灰色，使其成为轴对称图形．(2)一颗玻璃弹子在纸上自由滚动，选择你涂好的其中一个图形，计算它停留在灰色区域的概率．20．（1）已知是完全平方式，求常数n的值．（2）下面我们来探讨怎样用配方法解用一般形式表示的一元二次方程．请完成下面的填空：方程的两边同除以___________，得．移项，得___________．方程的两边同加上___________，得，即．若，可得，或∴，或．我们也可以简单地表示为．21．如图，是的直径，弦交AB于点E，连接．若，

(1)求的度数；(2)若，求的度数．22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=，以点A为圆心，AD为半径的圆与BC相切于点E，交AB于点F．（1）求∠ABE的大小及的长度；（2）在BE的延长线上取一点G，使得上的一个动点P到点G的最短距离为，求BG的长．23．小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真的探索．【思考题】如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？（1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：解：设点B将向外移动x米，即BB1=x，则B1C=x+0.7，A1C=AC﹣AA1=而A1B1=2.5，在Rt△A1B1C中，由得方程，解方程得x1=，x2=，∴点B将向外移动米．（2）解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？请你解答小聪提出的这两个问题．24．如图1，四边形内接于圆，是圆的直径，过点的切线与的延长线相交于点．且（1）求证：；（2）过图1中的点作，垂足为（如图2），当，时，求圆的半径．25．等腰直角三角形和如图放置，，，的半径为，圆心与直线的距离为现以的速度向右移动，同时的边长、又以的速度沿、方向增大．(1)当的边边除外与圆第一次相切时，点移动了多少距离(2)若在移动的同时，也以的速度向右移动，则从开始移动，到它的边边除外与圆最后一次相切，一共经过了多长时间(3)在（2）的条件下，是否存在某一时刻，使与的公共部分等于的面积若存在，求出恰好符合条件时两个图形移动的时间．若不存在，请说明理由．26．如图，四边形为的内接四边形，是的直径，，．求的度数．27．如图，已知抛物线与一直线相交于，两点，与y轴交于点N．(1)求抛物线的函数关系式；(2)求直线AC的函数关系式；(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点．求面积的最大值．28．如图，已知是的外接圆，是的直径，是的延长线上的点，弦交于点．，．（1）求证：；（2）求证：是的切线；（3）若，，求的半径．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．B【分析】本题考查了圆的内接四边形对角互补的性质以及圆周角定理，连接可求，根据即可求解．【详解】解：连接，如图所示：∵为的直径，∴∵∴∴故选：B2．C【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解．【详解】解：由题意得：且，解得：且故选：C3．B【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案．【详解】解：由表可知，年龄为14岁与年龄为15岁的频数和为，则总人数为：，故该组数据的众数为13岁，中位数为：岁，即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，故选：B．【点睛】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．4．A【分析】在直角中，利用勾股定理即可求得的长，然后根据余弦函数的定义即可求解．【详解】如图，在直角中，，，∴，则．故选：．【点睛】本题考查了三角函数的定义，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，转化成直角三角形的边长的比．5．C【分析】根据题意可得当在y轴右侧时，y随x的增大而增大，当在y轴左侧时，y随x的增大而减小，可得到①错误；由，可得点，关于y轴对称，从而得到②正确；③错误；再由，可得，然后根据当点，在y轴两侧时，此可设点在y轴左侧，则在y轴右侧，可得，可得④正确．【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为y轴，开口向上，∴当在y轴右侧时，y随x的增大而增大，当在y轴左侧时，y随x的增大而减小，∴当时．都有，故①错误；∵，∴，∴点，关于y轴对称，∴，故②正确；∵，∴，∵，∴，∴，故③错误；∵，∴，当点，在y轴两侧时，此可设点在y轴左侧，则在y轴右侧，∵，∴，∴，即，∴，∴，即对于任意的小于1的正实数t，存在，，满足，且，故④正确；故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．6．A【分析】作关于的对称线段，交半圆O于点F，连接，则，，可得点A，C，E三点共线，，再证得，可得，再由将弧折叠后与直径交于点D，可得，，从而得到，再由勾股定理，即可求解．【详解】解：如图，作关于的对称线段，交半圆O于点F，连接，则，，∵为圆O的直径，∴，即，∴点A，C，E三点共线，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，，将弧折叠后与直径交于点D，∴，，∴，解得：，∴，∴．故选：A【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，图形的折叠，熟练掌握圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，图形的折叠的性质是解题的关键．7．/0.4

【分析】根据比例性质和分式的基本性质求解即可．【详解】解：设，∴，，∴=，故答案为：．【点睛】本题考查比例性质、分式基本性质，熟练掌握比例性质是解答的关键．8．2【分析】根据方差的公式计算即可.【详解】这组数据的平均数为∴这组数据的方差为故答案为2.【点睛】此题主要考查方差的计算，牢记公式是解题关键.9．27π【分析】首先求得扇形的半径长，然后求得扇形的面积即可．【详解】解：设cm的长为6πcm，解得：cm圆锥的侧面积为cm2故答案为：27π．【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记圆锥的有关计算公式，难度不大．10．【分析】根据二次函数的图像平移方法可直接进行求解．【详解】解：将二次函数的图像向右平移3个单位，再向上平移4个单位后，所得图像的函数表达式是，故答案为．【点睛】本题主要考查二次函数的图像平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键．11．/【分析】连接OA、OC，先求出∠ABC的度数，然后得到∠AOC，再由弧长公式即可求出答案．【详解】解：连接OA、OC，如图，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D＝110°，∴，∴，∴；故答案为：．【点睛】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握弧长公式．12．【分析】根据已知条件和的值求出，即可求解．【详解】解：作于E，如图所示，可知四边形是矩形，，，在中，，米，，，=；故答案为：．【点睛】此题考查了解直角三角形与仰角的定义，熟练掌握并运用三角函数解直角三角形是解答此题的关键．13．8【分析】确定出抛物线的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，从而判断出阴影部分的面积等于矩形的面积，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：如图，设抛物线的对称轴交x轴于点A，交抛物线于点B，过点B作轴于点C，则四边形为矩形，∵，∴平移后抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，当时，，∴平移后阴影部分的面积等于如图矩形的面积，即．故答案为：8．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．14．【分析】直接利用正方形的性质结合位似比得出正方形的边长即可得出答案．【详解】解：∵正方形与正方形是位似图形，点O是位似中心，相似比为，点D的坐标为，∴，则，∴点B的坐标是：．故答案为：．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出正方形的边长是解题关键．15．8【分析】首先根据，，可得，进而可得，再代入相应数据可得长．【详解】解：如图，，，，∴，由题意可知，米，米，米，∴，∴米．答：长臂端点应升高了8米．故答案为：8．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，关键是掌握相似三角形对应边成比例．16．/【分析】以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立直角坐标系，则，，，，，，，分别求出抛出时抛物线的解析式，直线的解析式；由此刻求出第一次小球落台阶上时点的坐标及点的坐标，进而可求得弹起后抛物线的解析式，则可得结论．【详解】解：如图，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立直角坐标系，则，，，，，，，抛物线的顶点为，设抛物线的解析式为，把点代入得，，解得，，抛物线的对称轴为直线，与点关于对称轴对称的点为，即在平台上，设的解析式为，，解得，直线的解析式为：，令，则，，设弹起后的抛物线的解析式为，，解得，弹起后的抛物线的解析式为，小球弹起时的最大高度为m．故答案为：．【点睛】本题属于二次函数的应用，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会寻找特殊点解决问题．17．(1)，(2)，【分析】（1）利用配方法解一元二次方程；（2）利用因式分解法解一元二次方程．【详解】（1）∵，∴，即，则，∴，；（2）∵，∴，则或，解得．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握方程的四种解法是解题的关键．18．（1）；（2）【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，二次根式的混合计算，零指数幂等等：（1）先计算特殊角三角函数值，零指数幂和化简二次根式，再根据实数的混合计算法则求解即可；（2）先计算特殊角三角函数值，零指数幂，再根据二次根式的混合计算法则求解即可．【详解】解：（1）原式；（2）原式．19．(1)见解析(2)概率为（或）【分析】（1）根据轴对称进行画图即可；（2）根据概率公式进行计算即可．【详解】（1）解：如图所示：下图为所求；（2）解：选择图①和图②，珠子停留在灰色区域的概率均为：；选择图③，珠子停留在灰色区域的概率为：．【点睛】本题主要考查了利用轴对称设计图案，概率公式，正确掌握轴对称图形的性质和根据概率公式求概率是解题的关键．20．（1）或；（2），，，，，【分析】（1）根据配方法将代数式配方，然后得到，解方程即可求解．（2）根据配方法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：∵∵是完全平方式，∴即∴即解得：，或；（2）方程的两边同除以，得．移项，得．方程的两边同加上，得，即．若，可得，或∴，或．我们也可以简单地表示为．故答案为：，，，，，．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．21．(1)55度(2)100度【分析】（1）先根据直径所对的角是直角得出，再根据三角形内角和定理得出，最后根据同弧所对的圆周角相等，求解即可；（2）根据三角形外角的性质求解即可．【详解】（1）连接，

∵是的直径，∴，∵，∴，∴∠ABC＝∠D＝55°；（2）∵是的一个外角，，，∴．【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理和外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．22．（1）45°，；（2）4．【详解】试题分析：（1）连接AE，如图1，根据圆的切线的性质可得AE⊥BC，解Rt△AEB可求出∠ABE，进而得到∠DAB，然后运用圆弧长公式就可求出的长度；（2）如图2，根据两点之间线段最短可得：当A、P、G三点共线时PG最短，此时AG=AP+PG==AB，根据等腰三角形的性质可得BE=EG，只需运用勾股定理求出BE，就可求出BG的长．试题解析：（1）连接AE，如图1，∵AD为半径的圆与BC相切于点E，∴AE⊥BC，AE=AD=2．在Rt△AEB中，sin∠ABE===，∴∠ABE=45°．∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABE=180°，∴∠DAB=135°，∴的长度为=；（2）如图2，根据两点之间线段最短可得：当A、P、G三点共线时PG最短，此时AG=AP+PG==，∴AG=AB．∵AE⊥BG，∴BE=EG．∵BE===2，∴EG=2，∴BG=4．考点：切线的性质；弧长的计算；动点型；最值问题．23．（1）；0.8，﹣2.2（舍去）；0.8．（2）①不会是0.9米，理由见解析②有可能．理由见解析【详解】解：（1）；0.8，﹣2.2（舍去）；0.8．（2）①不会是0.9米，理由如下：若AA1=BB1=0.9，则A1C=2.4﹣0.9=1.5，B1C=0.7+0.9=1.6，1.52+1.62=4.81，2.52=6.25，∵，∴该题的答案不会是0.9米．②有可能．理由如下：设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，则有，解得：x=1.7或x=0（舍去）．∴当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等．分析：（1）直接把B1C、A1C、A1B1的值代入进行解答即可．（2）把（1）中的0.4换成0.9可知原方程不成立；设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米代入（1）中方程，求出x的值符合题意24．（1）见解析；（2）【分析】（1）作DF⊥BC于F，连接DB，根据切线的性质得到∠PAC=90°，根据圆周角定理得到∠ADC=90°，得到∠DBC=∠DCB，得到DB=DC，根据线段垂直平分线的性质、圆周角定理证明即可；（2）根据垂径定理求出FC，证明△DEC≌△CFD，根据全等三角形的性质得到DE=FC=3，根据射影定理计算即可．【详解】（1）证明：作于，连接，∵是圆的切线，∴，即，∵是圆的直径，∴，即，∴，∵，∴，∴，∵，∴是的垂直平分线，∴经过点，∵，∴，∵，∴；（2）解：∵经过点，，∴，在和中，，∴≌∴，∵，，∴，则，∴，∴圆的半径为．【点睛】本题考查的是切线的性质、全等三角形的判定和性质、垂径定理、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．25．(1)(2)(3)不存在，理由见解析【分析】（1）设第一次相切时，三角形移至三角形处，与相切于点，连接并延长交于点，设与直线相切于点，连接，设，可得，根据即可求出，从而求出点运动的时间，即可求出点移动的距离；（2）根据三角形和从开始移动到最后一次相切时，是边与圆相切，且圆在的右侧，再结合路程差与速度差即可求解；（3）求出三角形和从开始移动到第二次相切所用时间，求出圆心到的距离，判断其与半径的大小，即可求解．【详解】（1）解：设第一次相切时，三角形移至三角形处，与相切于点，连接并延长交于点，设与直线相切于点，连接，如图所示：则：，设，∵∴，∵∴∵∴，解得：，∴∴点运动的时间为：∴点移动的距离为：（2）解：∵三角形和从开始移动到最后一次相切时，是边与圆相切，且圆在的右侧，∴路程差为，∵和的速度差为，∴从开始移动，到它的边边除外与圆最后一次相切，一共经过了（3）解：∵三角形和从开始移动到第二次相切，路程差为，速度差为，∴三角形和从开始移动到第二次相切用时此时三角形移至三角形处，∴∵∴平分∴∴∴∵∴∴∵∴∴，∴此时与相交，故不存在某一时刻，使与的公共部分等于的面积【点睛】本题以几何动点问题为背景，考查了直线与圆的位置关系、切线的性质定理、切线长定理、勾股定理等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的几何基础．26．【分析】由