线性系统理论课件

绪论1784年,JamesWatt发明蒸汽机调速装置——反馈的应用。1877年，E.J.Routh稳定性分析——代数判据。1868年，J.C.Maxwell稳定判据（系数代数判据）。1895年，A.Hurwitz稳定性分析——代数判据。1945年，H.W.Bode频率法。1948年，W.R.Evans根轨迹法。至此，古典控制理论（传递函数法）体系确定。1.控制理论的发展史①局限于线性定常系统：难以解决非线性、时变系统等问题。②采用输入/输出描述（传函），忽视了系统结构的内在特性，难以解决多输入多输出系统（耦合）。③处理方法上，只提供分析方法，而不是综合方法。故设计方法为试行错误法，无法得到“最好的设计”。2.古典控制理论的局限性1950年代，是个控制理论的“混乱时期”。1960年代，产生了“现代控制理论”（状态空间法）。

Bellman动态规划法

Pontryagin极大值原理

Kallman可控、可观性理论极点配置观测器内模原理至1970年代前半期，为状态空间法的全盛时期。①在把握控制系统的动力学本质（内在特性）的基础上，进行合理的设计。②控制性能指标是明确的，可以得到最佳设计（系统化的设计方法）。③需要知道描述控制系统全体的数学模型（缺一不可）。④难以利用人们的经验，直观性差。

1970年代后期，状态空间法的应用，遇到了困难，进入了反省时期。

3.状态空间法的特点（与古典控制理论比较）1980年代，在计算机技术的支持下，多变量系统的频域设计法出现了。

H.H.Rosenbrock;A.G.J.Macfarlane英国学派最优控制自适应控制鲁棒控制

H∞控制模糊控制线性系统理论的重要性在于它的基础性，其大量的概念、方法、原理和结论，对于系统和控制理论的许多学科分支，如最优控制、非线性控制、随机控制、系统辩识、信号检测和估计、过程控制、数字滤波和通讯系统等，成为学习和研究这些学科的必不可少的预备知识。4.学习线性系统理论的重要性：研究对象为线性系统：实际系统理想化了的模型，可用线性微分方程或差分方程来描述。研究动态系统，动力学系统：用一组微分方程或差分方程来描述，对系统的运动和各种性质给出严格和定量的数学描述。5.线性系统理论的研究对象（P1）例：某系统的数学描述为L，任意两个输入变量u1和u2以及任意两个有限常数c1和c2，必有：L(c1u1+c2u2

)=c1

L(u1)+c2

L(u2)数学处理上的简便性，可使用的数学工具：数学方程具有线性属性时，则为线性系统，满足叠加性。数学变换（傅里叶变换，拉普拉斯变换）、线性代数实际系统——非线性的，有条件地线性化。线性定常系统——方程中每个系数均为常数。线性时变系统——方程中有为时间t的函数的系数研究线性系统状态的运动规律和改变这个运动规律的可能性和方法。建立系统结构、参数、行为和性能间的确定的和定量的关系。分析问题：研究系统运动规律，认识系统。综合问题：研究改变运动规律的可能性和方法，改造系统。6.线性系统理论的主要任务建立系统的数学模型变量：状态变量、输入变量、输出变量、扰动变量。参量：系统的参数或表征系统性能的参数。常量：不随时间改变的参数。时间域模型：微分方程组或差分方程组。频率域模型：传递函数和频率响应。建模方法：实验法、解析法。定量分析：系统对于某个输入信号的响应和性能。定性分析：稳定性、能控性、能观测性等。1950年代中期：经典线性系统理论数学基础：拉普拉斯变换数学模型：传递函数分析和综合方法：频率响应法适用于：单输入—单输出线性定常系统多输入—多输出系统难于处理7.线性系统理论的发展过程1960年代：现代线性系统理论传递函数：外部输入—输出描述状态空间法：内部描述单入—单出系统、多入—多出系统能控性和能观测性：表征系统结构特性的概念1960年代后期，1970年代：几何理论：从几何方法角度来研究线性系统的结构和特征代数理论：以抽象代数为工具多变量频域理论：推广经典频率法8.线性系统理论的主要学派①线性系统的状态空间法状态方程和输出方程：输入变量、状态变量和输出变量间关系的向量方程。时间域方法数学基础是线性代数分析和综合：矩阵运算和矩阵变换。②线性系统的几何理论对线性系统的研究化为状态空间中的几何问题。数学工具：几何形式的线性代数。能控性和能观测性表述为不同的状态子空间的几何性质。新概念：（A，B）不变子空间，（A，B）能控子空间。优点：简捷明了，不用矩阵运算，几何方法的结果比较容易化为相应的矩阵运算，抽象。③线性系统的代数理论用抽象代数工具研究线性系统。把系统的各组变量间关系看作为某些代数结构之间的映射关系。线性系统的描述和分析——形式化和抽象化，变为纯粹的代数问题。④多变量频域方法以状态空间法为基础，采用频率域的系统描述和频率域的计算方法，来分析和综合线性定常系统。1.频率域设计方法多输入—多输出系统化为一系列单输入—单输出系统来处理，把经典频率法推广到多变量系统中。英国学派：罗森布罗克、麦克法伦等提出。2.多项式矩阵设计方法数学模型：传递函数矩阵的矩阵分式描述。多项式矩阵计算和变换。分析和综合线性定常系统的理论和方法。罗森布罗克、沃罗维奇70年代初提出。优点：物理直观性强，便于设计调整等。

9.本书论述的范围时间域理论和复频率域理论状态空间法和多项式矩阵法时间域理论，描述系统的数学模型向量方程的形式：一阶微分方程组和变换方程组，状态方程和输出方程。复频率域理论，描述系统的数学模型在拉普拉斯变换域内：输出y和输入u间的外部描述，G(s)称之为传递函数矩阵，N(s)D-1(s)和A-1(s)B(s)是G(s)的多项式矩阵分式描述。时间域理论部分的安排

课程共分5章，着重讲授线性系统理论的状态空间分析方法，目的是让学生结合线性系统理论的学习，掌握状态空间分析和综合方法，学会运用状态空间分析这一线性系统理论中的基本工具。第1章绪论第2章讨论线性系统的状态空间描述。主要讲授状态空间分析的数学模型--状态空间表达式的建立；状态空间的线性变换;多输出多输出系统的传递函数阵。第3章讨论线性系统的运动分析。主要介绍连续系统状态空间表达式的求解;状态转移矩阵的性质和计算。第4章讨论线性系统的结构性问题。主要介绍动态系统的两个基本结构性质状态能控性和能观性，状态能控性/能观性在状态空间结构分解和线性变换中的应用；能控/能观规范形；结构分解。第5章讨论系统运动的稳定性。主要介绍李雅普诺夫稳定性的定义，分析状态稳定性的李雅普诺夫理论和方法;着重讨论李雅普诺夫第二法以及在线性系统中的应用，李雅普诺夫函数的构造等。第6章讨论线性反馈系统的时间域综合问题。主要介绍状态空间分析方法在系统控制与综合中的应用，内容为状态反馈与极点配置；系统镇定；状态观测器。Matlab软件概述Matlab程序设计语言是美国Mathworks公司20世纪80年代中期推出的高性能数值计算软件。经过20余年的开发、扩充与不断完善，Matlab已经发展成为功能强大、适合多学科应用的大型系统软件,成为数值计算、控制系统仿真与设计、信号处理等领域的最重要的软件。Matlab已经成为线性代数、控制理论、数理统计、数字信号处理、动态系统仿真等课程的基本仿真计算与设计的工具，成为大学学习的必修内容。控制系统Matlab计算及仿真的优秀性能

Matlab及其工具箱的开发，使得它在科学计算与工程应用上愈来愈普遍。由于Matlab的强大功能与便捷应用，加之丰富的控制领域的工具箱，所以它特别适合用来对控制系统进行计算与仿真。在控制领域，Matlab成为主要仿真分析与设计计算的软件的原因如下。A.Matlab运算功能强大，它提供的大量的基于矩阵的数值计算方法可以解决控制理论及控制系统分析、设计里经常遇到的计算问题。B.Mathworks公司先后与世界上许多知名自动控制专家在他们擅长的领域上合作，编写了具有特殊功能的工具箱，使得Matlab从一个数值运算工具变成自动控制计算与仿真的工具。Matlab的控制工具箱里，系统门类齐全，已覆盖了控制系统的各个领域，每一个工具箱都是当今世界上该控制领域里的最权威、最先进的计算与仿真程序软件。目前，Matlab软件包含的与控制领域直接相关的工具箱有如下几类。基本控制方法:控制系统工具箱、系统辨识工具箱、仪表控制工具箱、最优化控制工具箱。专用控制方法:鲁棒控制工具箱、

分析综合工具箱、LMI(线性不等式)控制工具箱、多变量频域设计工具箱、预测控制工具箱、定量反馈理论工具箱。相关信号处理与优化方法:信号处理工具箱、神经网络工具箱、模糊逻辑工具箱、遗传算法与直接搜索工具箱。C.Matlab内容丰富，扩充能力强，编程效率高。不仅Matlab的开发者可以编制软件程序，使用者同样可以为实现新功能或特殊功能开发、编制软件程序，并将其放到Matlab里去。D.Matlab语言语句简单，容易学习与使用。E.Matlab界面友好，用户乐于使用。Matlab的强大方便的图形功能，可以使得重复、繁琐的计算与绘图劳动被简单、轻松的计算机操作所代替。而且数据计算准确，图形绘制精密。随着Matlab软件的出现，它的众多工具箱与Simulink仿真工具，为控制系统的计算与仿真提供了一个强有力的工具，使控制系统的计算与仿真的传统方法发生了革命性的变化。Matlab已经成为国际、国内控制领域内最流行的计算与仿真软件，成为控制领域工作者必备的基本工具。

线性系统的状态空间描述

典型控制系统由被控对象、传感器、执行器和控制器组成。

被控过程具有若干输入端和输出端。

数学描述方法：输入－输出描述（外部描述）:高阶微分方程、传递函数矩阵。

状态空间描述（内部描述）：基于系统内部结构，是对系统的一种完整的描述。2.1

系统的状态空间描述

典型控制系统方框图执行器被控对象传感器控制器控制输入观测y控制u被控过程x反馈控制被控过程1.动态过程数学描述的两种基本类型。一个系统用下图的一个方块来表征。系统输入：环境对系统的作用。系统输出：系统对环境的作用。统称为系统的外部变量内部变量：刻画系统在每个时刻所处状况的变量。x1,x2,…,xn，体现了系统的行为。数学描述、数学模型：反映系统变量间因果关系和变换关系。系统的外部描述：输入—输出描述，不完全的描述。不表征系统的内部结构和内部变量，只反映外部变量间的因果关系，即输出和输入间的因果关系。例：线性定常、单输入—单输出系统，外部描述为线性常系数微分方程其中：ai和bj

为实常数。i=1,2,…,n-1；j=1,2,…,n-1假定初始条件为零，取拉氏变换。复频率域描述，即传递函数。系统的内部描述，状态空间描述，完全的描述。两个数学方程组成：状态方程：微分方程或差分方程。内部变量组和输入变量组间的因果关系。输出方程：代数方程。内部变量组、输入变量组和输出变量组间的转换关系。外部描述外部描述把系统的输出取为系统外部输入的直接响应，显然这种描述把系统当成一个“黑匣”，认为系统的内部结构和内部信息全然不知，系统描述直接反映了输出变量与输入变量间的动态因果关系。

内部描述内部描述是基于系统内部结构分析的一类数学模型，能够完全反映系统的所有动力学特性。

(1)状态状态是完全地描述动态系统运动状况的信息，系统在某一时刻的运动状况可以用该时刻系统运动的一组信息表征，定义系统运动信息的集合为状态。(2)状态变量

定义完全表征动态系统时间域运动行为的信息组中的元素为状态变量。状态变量组常用符号x1(t),x2(t),…,xn(t)表示，且它们相互独立（即变量的数目最小）。

2.状态的基本概念【例2-1】确定图2－1所示电路的状态变量。

图2－1RLC电路

要唯一地确定t时刻电路的运动行为，除了要知道输入电压u(t)外，还必须给出流过电感上的初始电流i(t0)和电容上的初始电压uC(t0)

，或者说uC(t)和i(t)这两个变量可用来完全地描述该电路的运动行为，且它们之间是独立的，故uC(t)和i(t)是该电路的状态变量。

并非所有电路中的电容器电压和电感器电流都是独立变量假定电容器初始电压值均为0，有因此，只有一个变量是独立的，状态变量只能选其中一个，即用其中的任意一个变量作为状态变量便可以确定该电路的行为。实际上，三个串并联的电容可以等效为一个电容。(3)状态向量

设x1(t),x2(t),…,xn(t)是系统的一组状态变量，把这些状态变量看作向量x(t)的分量，则x(t)就称为状态向量，记为(4)状态空间

以x1(t),x2(t),…,xn(t)为坐标轴构成的一个n维欧氏空间，称为状态空间。

图1-3多输入多输出系统示意图

(5)状态方程

描述系统状态变量间或状态变量与系统输入变量间关系的一个一阶微分方程组(连续系统)或一阶差分方程组（离散系统），称为状态方程。【例2-2】建立图2－1所示RLC电路的状态方程。

取电容上的电压uC(t)和电感中的电流i(t)作为状态变量，根据电路原理有将上式中状态变量的一阶导数放在方程左边，其余项移至方程右边，整理得一阶微分方程组为：上式即为图1所示电路的状态方程，并将其写成向量-矩阵形式，即

令，记式中,式（1-4）可简写为

状态方程和输出方程合起来构成对一个动态系统完整的描述，称为动态系统的状态空间表达式。

图1－2所示电路,若uC(t)为输出,取x1=uC(t)，x2=i(t)作为状态变量，则其状态空间表达式为：(6)状态空间表达式2.2系统的状态空间表达式的分类

系统的状态空间描述是其动力学特征的完整的表征。各类系统在结构上和特性上的质的差别，将表现为它们的状态空间描述在类型上的不同。线性系统和非线性系统向量方程和 的所有元都是变量x1，…，xn和u1，…，ur的线性函数，则相应的系统为线性系统。向量方程和至少包括一个元是变量x1，…，xn和u1，…，ur的非线性函数，则相应的系统为非线性系统。现实中的一切实际系统严格地说都属于非线性系统。1.线性系统的状态空间描述

若向量方程中和的所有组成元都是变量和的线性函数，则称相应的系统为线性系统。而线性系统的状态空间描述可表示为如下形式：

式中，各个系数矩阵分别为

其中x为n维的状态向量;u为r维的输入向量;y为m维的输出向量;A为n

n维的系统矩阵;B为n

r维的输入矩阵;C为m

n维的输出矩阵;D为m

r维的直联矩阵(前馈矩阵，直接转移矩阵)。对前面引入的状态空间模型的意义，有如下讨论:状态方程描述的是系统动态特性,其决定系统状态变量的动态变化。输出方程描述的是输出与系统内部的状态变量的关系。系统矩阵A表示系统内部各状态变量之间的关联情况,它主要决定系统的动态特性。输入矩阵B又称为控制矩阵,它表示输入对状态变量变化的影响。输出矩阵C反映状态变量与输出间的作用关系。直联矩阵D则表示了输入对输出的直接影响，许多系统不存在这种直联关系，即直联矩阵D=0。2.线性时变系统和定常系统的状态空间描述

一个动态系统的状态向量、输入向量和输出向量自然是时间的函数，而矩阵，，和的各个元素如果与时间有关，则称这种系统是线性时变系统。

矩阵，，和的各个元素如果与时间无关，则称这种系统是线性定常系统

式中的各个系数矩阵为常数矩阵

为简便，线性定常系统的状态空间模型亦可简记为

(A,B,C,D)。几种简记符的意义:当系统的输出与输入无直接关系（即）时，称为惯性系统；相反，系统的输出与输入有直接关系（即）时，称为非惯性系统。大多数控制系统为惯性系统，所以，它们的动态方程为3.离散系统的状态空间描述

当系统的各个变量只在离散的时刻取值时，这种系统称为离散时间系统简称离散系统。其状态空间描述只反映离散时刻的变量组之间的因果关系和转换关系。是用来表示离散的时刻，那么离散系统状态空间描述的最一般形式为：

对于线性离散时间系统，则上述状态空间描述还可进一步化为如下形式：4.确定性系统和随机系统（P32）确定系统是指系统的特性和参数是按确定的规律变化的，其各个输入变量（包括控制和扰动）也是按确定的规律而变化的。不确定系统，系统的特性和参数的变化不能用确定的规律来描述，或者作用于系统的变化（包括控制和扰动）是随机变化，或者两者兼而有之。5.状态空间模型的结构图（P41）

线性系统的状态空间模型可以用结构图的方式表达出来,以形象说明系统输入、输出和状态之间的信息传递关系。不仅适用于多输入多输出系统，当然也适用于单输入单输出系统。系统结构图主要有三种基本元件:积分器,加法器,比例器,其表示符如图2-2所示。图2-2系统结构图中的三种基本元件例线性时变系统的结构图如图2-3所示。值得注意的是：图中的信号传输线一般是表示列向量，方框中的字母代表矩阵，每一方框的输入输出关系规定为：输出向量=(方块所示矩阵)×(输入向量)图2-3多输入多输出线性时变系统的结构图

建立被控对象的数学模型是进行系统分析和综合的第一步，是控制理论和工程的基础.2.3状态空间表达式的建立这种根据系统的物理机理建立对象的数学模型的方法称为机理建模。机理建模主要根据系统的物料和能量(电压、电流、力和热量等)在储存和传递中的动态平衡关系。以及各环节、元件的各物理量之间的关系。如电感的电压和电流满足的动态关系.2.3.1.由物理机理直接建立状态空间表达式：在实际工程系统中，许多过程和元件都具有储存和传递能量(或信息)的能力。例如，机械动力学系统中的弹簧和运动中的质量体都储存有能量并能通过某种形式传递;化工热力学系统中的物质中的热量的储存与传递;化工反应系统中的反应物质的物料传递和平衡的信息。对这些系统，根据其物理和化学变化的机理，由相应描述这些变化的物理和化学的定理、定律和规律等，可得系统各物理量之间所满足的动静态关系式。因此，在选择适宜的状态变量后，可建立系统的状态空间模型。建立状态空间模型的关键在于状态变量的选取，它是建立状态空间模型的前提状态变量的主要选取办法系统储能元件的输出系统输出及其输出变量的各阶导数上述状态变量的数学投影（使系统状态方程成为某种标准形式的变量）下面通常见的刚体力学系统、流体力学系统、典型化工(热工)过程、机电能量转换系统讨论如何建立状态空间模型。

【例2-3】图2-4表示某电枢控制的直流电动机，其中Ra和La为电枢回路总电阻和总电感，J为转动惯量，负载为摩擦系数为f的阻尼摩擦。试列写以电枢电压u(t)为输入，轴的角位移

(t)为输出的状态空间模型。机电系统的状态空间描述解1.设电动机励磁电流不变，铁心工作在非饱和区。按照图2-4所描述的电动机系统，可以写出如下主回路电压方程和轴转动动力学方程其中Ea和M分别为如下电枢电势和转矩Ea=Ced

/dt,M=CMia其中Ce和Cm分别为电枢电势常数和转矩常数(含恒定的磁通量)

.因此，上述主回路电压方程和轴转动运动方程可记为2.选择状态变量.对于本例，若已知电枢电流ia(t)，角位移

(t)和其导数d/dt在初始时刻t0的值，以及电枢电压u，则上述微分方程组有唯一解。因此，可以选择状态变量如下3.将状态变量代入上述微分方程，则有如下状态方程4.建立输出方程y=x25.经整理，可得如下矩阵形式的状态空间模型本节主要讨论由描述系统输入输出关系的常微分方程建立系统的状态空间模型，分别讨论由不含输入量导数项和由含输入量导数项的微分方程建立状态空间模型。本节关键问题:如何选择状态变量关键2.3.2由系统微分方程建立状态空间表达式描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为，不包含有输入量的导数项时的线性定系数常微分方程为

y(n)+a1y(n-1)+…+any=bu

其中y和u分别为系统的输出和输入；n为系统的阶次。本节问题的关键是如何选择状态变量。1.微分方程中不包含输入量的导数项选择状态变量为如下相变量x1(t)=y(t),x2(t)=y’(t),…,xn(t)=y(n-1)(t)可完全刻划系统的动态特性。（a）化为能控标准形将上述选择的状态变量代入输入输出的常微分方程，有如下状态方程和输出方程y=x1将上述状态方程和输出方程写成矩阵形式有式（1-23）描述的状态空间表达式称为能控标准形该状态空间模型可简记为:其中通常将上述取输出y和y的各阶导数为状态变量称为相变量。该类系统矩阵称为友矩阵。友矩阵在线性定常系统的状态空间分析方法中是一类重要的矩阵，这在后面的章节中可以看到。【例2-4】将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型y”’+6y”+11y’+5y=6u解：本例中a1=6a2=11a3=5

b=6因此,当选择输出y及其1阶与2阶导数等相变量为状态变量时,由式(1-23)可得状态空间模型如下取状态变量：（b）化为能观测标准形整理得：则得能观标准形状态空间表达式：描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为的微分方程的一般表达式为y(n)+a1y(n-1)+…+any=b0u(n)+…+bnu2.微分方程中包含输入量的导数项通常采用（1）待定系数法（P35）可利用输出y和输入u以及其各阶导数的线性组合来组成状态变量，其原则是:使状态方程中不显含输出u的各阶导数。（2）辅助变量法（P33）利用Laplace变换，引入辅助变量z根据待定系数法，选择状态变量如下其中

i(i=0,1,…,n)为待定系数。（一）待定系数法即：因此,有若待定系数

i(i=0,1,…,n)满足如下关系式

0=b0

1=b1-a1

0

2=b2-a1

1-a2

0……

n

=bn-a1

n-1-…-an

0即i(i=0,1,…,n)满足如下方程组则该高阶微分方程可转化描述为如下不含有输入导数项的状态空间模型（二）辅助变量法设

n

阶微分方程为：Laplace变换，求传递函数引入辅助变量z返回到微分方程形式：以及选择状态变量如下：┆写成矩阵形式注：如果输入项的导数阶次和输出项导数阶次相同，则有d。【例2-5】已知描述系统的微分方程为试求系统的状态空间表达式。解

（1）待定系数法选择状态变量如下其中于是系统的状态空间表达式为（2）辅助变量法引入辅助变量z选择状态变量于是系统的状态空间表达式为2.4线性时不变系统的特征结构由前面的讨论可知，当选择不同的状态变量，则获得不同的状态空间模型描述。实际上，状态空间模型只是系统在不同的状态变量选择下对系统的一种描述，它随状态变量选择的不同而不同，并不具有唯一性和不变性。1.系统的特征值和特征向量状态空间的线性变换，只是改变了描述系统的角度(或说坐标系)，系统的本质特征应保持不变。对于线性定常系统来说，系统的特征值(极点)决定了系统的基本特性。特征值是系统不变的本质特征之一。定义设v是n维非零向量，A是n

n矩阵。若方程组Av=

v成立，则称

为矩阵A的特征值，非零向量v为

所对应的矩阵A的特征向量。将上述特征值的定义式写为(

I-A)v=0（2-27）其中I为n×n的单位矩阵。因此，由代数方程论可知，上式有非零特征向量v的解的充要条件为|

I-A|=0并称上式为矩阵A的特征方程，而|

I-A|为A的特征多项式。将|

I-A|展开，可得|

I-A|=

n+a1

n-1+…+an-1+an=0其中ai(i=1,2,…,n)称为特征多项式的系数。因此，n

n维的矩阵A的特征多项式为n阶多项式。求解矩阵特征值的方法即为求解矩阵A的特征方程。n阶的特征方程的n个根

1,

2,…,

n即为矩阵A的n个特征值。在得到特征值

i后，由式(2-27)可求得矩阵对应于

i的特征向量vi

。2.特征向量的计算如何求解特征值

i对应的特征向量?求解特征向量，即求如下齐次矩阵代数方程的非零解(

iI-A)vi=0由于

i为A的特征值，故

iI-A不可逆。因此，由代数方程理论可知，该方程组的解并不唯一。当特征方程存在重根时，线性独立的特征向量可能不唯一。因此,就产生如下问题:问题:对应于特征值

i究竟有几个独立的特征向量?答案:矩阵的重特征值

i所对应的线性独立的特征向量可能不止一个。它的独立特征向量的数目等价于系统的维数与线性方程组(2-27)的线性独立的方程数之差，即为n-rank(

iI-A)

因此，r重的特征值可能存在1至r个线性独立的特征向量。由此，导出如下问题:独立的特征向量数到底具有什么意义?它与特征值的重数之间有何关系?下面引入代数重数与几何重数两个概念。代数重数。由特征方程求得的特征值

i的重数称为特征值

i的代数重数。几何重数。特征值

i线性独立的特征向量数称为特征值

i的几何重数。代数重数和几何重数是两个不同的概念。几何重数具有几何上空间表征的意义，它代表在空间分解上不变的几何子空间的数目。而代数重数仅具有代数意义，它代表特征值在特征方程的重数。例2-6求如下矩阵的特征向量解：1.由特征方程|

I-A|=0求得系统的特征值。解该特征方程，可求得系统的特征值为

1=1

2=

3=2即2为系统的二重特征值，其代数重数为22.计算

1=1的特征向量。(

1I-A)v1=0解之得特征向量v1的通解为v1=[v11

v112v11]T令v11=1，解之得v1=[v11

v12

v13]T=[112]T3.

计算重特征值

2=

3=2的特征向量。按定义有(

2I-A)v2=0由于n-rank(

2I-A)=2因此，特征值应有2个独立特征向量，故该重特征值的几何重数亦为2。解之得特征向量v2的通解为v2=[v21

v22

v21]T令v21=1、v22=0和1、解之得v2=[101]T

和v3=[111]T即重特征值2有两个线性独立的特征向量。3.

广义特征向量和特征向量链某些重特征值的线性独立特征向量数(几何重数)小于其代数重数，从而使得矩阵所有特征值所对应的线性独立特征向量数之和小于矩阵维数。为此，引入一组辅助的空间变换基向量--广义特征向量和特征向量链。定义广义特征向量是重特征值

i所对应的某个线性独立的特征向量vj满足如下方程组的向量vj,k:解上述方程组一直到无解为止，就可求得特征值

i的特征向量vj所对应的所有广义特征向量vj,k。(2-51)重特征值

i的所有线性独立特征向量vj及其对应的广义特征向量vj,k的个数等于其代数重数，否则就还存在其他特征向量或广义特征向量。值得指出的是，并不是重特征值

i的任何一组线性独立的特征向量，都能求出所有的广义特征向量。若

i的某一组特征向量vj及其相应广义特征向量vj,k的个数小于该特征值的代数重数，则应重新选取其他一组线性独立的特征向量并求取相应的广义特征向量。重特征值

i的特征向量vj的广义特征向量vj,1,vj,2,…组成的向量链称为

i的特征向量vj对应的特征向量链。下面通过一个例子来简单介绍线性空间的特征子空间分解。例,某5维线性空间,存在一个3重特征值和一个2重特征值。3重特征值有2个独立特征向量，2重特征值有1个独立特征向量。则该线性空间可分解为如下3个独立的不变特征子空间。若该5维线性空间,3重特征值有1个独立特征向量，2重特征值有2个独立特征向量。则该线性空间可分解为如下3个独立的不变特征子空间。例2-7

求如下矩阵的特征向量和特征向量链解1.

由特征方程|

I-A|=0可求得系统的特征值为

1=

2=

3=-1

即-1为系统的三重特征值，其代数重数为3。2.

计算对应于三重特征值-1的特征向量。按定义有(

1I-A)v1=0即由于n-rank(

1I-A)=2因此，该特征值应有2个独立特征向量，故该重特征值的几何重数亦为2。由于该重特征值的几何重数小于代数重数，因此存在广义特征向量。解之得如下特征向量的通解式v1=[v11

v12-(v11+v12)/2]T分别令两组独立的{v11

v12}即可求得三重特征值

1的两个线性独立的特征向量。三重特征值-1只有两个独立特征向量，其几何重数为2。因此，重特征值-1的两个独立特征向量中有一个一定存在广义特征向量。下面通过求广义特征向量来辅助决定选取合适的v11和v12。3.计算对应于特征向量的广义特征向量和特征向量链。按定义式(2-51)，特征向量v1的广义特征向量v1,2满足(

1I-A)v1,2=-v1即因此，根据方程的可解性，存在广义特征向量的特征向量v1中的v11和v12满足v11=-3v123倍关系此时的广义特征向量的解为v1,2=[r1

r2-(r1+r2-v12)/2]T其中r1和r2为任意数。因此存在广义特征向量的特征向量v1为和其对应的广义特征向量可以分别取为v1=[v11

v12-(v11+v12)/2]T=[-3v12

v12

v12]T

=[1-1/3-1/3]Tv1,2=[r1

r2-(r1+r2-v12)/2]T=[12/3-1]T另外一个不存在广义特征向量的三重特征值

1的特征向量为v2=[v11

v12-(v11+v12)/2]T=[10-1/2]T本例共求得3个特征向量和广义特征向量。由于矩阵A的维数为3

3，因此对应于上述特征向量和广义特征向量，已不存在其他广义特征向量。故特征值

1对应于特征向量v1的特征向量链为v1和v1,2。对于传递函数G(s)，其特征方程为sn+a1sn-1+…+an=0若其特征方程的n个特征根s1,s2,…,sn互异，则用部分分式法可将G(s)表示为如下并联分解其中k1,k2,…,kn为待定系数,其计算公式为自己推导1.传递函数中极点互异时的变换极点互异和有重极点

两种情况讨论如何通过传递函数建立状态空间模型。状态方程的因式分部法（补充）下面以k1计算式的推导过程为例说明的ki的计算式。将G(s)的乘以s-s1,有因此，由于特征根s1,s2,…,sn互异，有第2项将s1代入为0考虑到，输出y(t)和输入u(t)的拉氏变换满足因此，若选择状态变量xi(t)使其拉氏变换满足则，经反变换可得系统状态方程为相应地，系统输出y(t)的拉氏变换为Y(s)=k1X1(s)+k2X2(s)+…+knXn(s)因此，经拉氏反变换可得如下输出方程y=k1x1+k2x2+…+knxn整理上述状态方程和输出方程可得如下状态空间模型【例2-8】用部分分式法将对应的下述传递函数变换为状态空间模型解由系统特征多项式s3+6s2+11s+6可求得系统极点为s1=-1s2=-2s3=-3于是有其中故当选择状态变量为G(s)分式并联分解的各个一阶惯性环节的输出,可得如下状态空间模型结论：对角规范形，各个状态变量间实现了完全解耦，可表成为n个独立的状态变量方程。如果系统矩阵A具有形式且其特征值s1,s2,…,sn两两不相等，则变换矩阵为当系统特征方程有重根时,传递函数不能分解成如式的情况,亦得不到如式(2-25)所示的状态方程。不失一般性，为清楚地叙述变换方法，以下设系统特征方程有6个根，其值分别为s1,s1,s1,s4,s5,s5，即s1为3重极点，s2为2重极点。相应地，可将所对应的传递函数表示为2.传递函数中有重极点时的变换其中kij为待定系数，其计算公式为会推导吗?其中l为极点si的重数。下面以系数k13的计算公式的推导为例来说明kij的计算式将G(s)的乘以(s-s1)3,有第2项将s1代入为0。对等式两边求2次导数后因此，有考虑到,输出y(t)和输入u(t)的拉氏变换满足选择状态变量xi(t)使其拉氏变换满足则有即有则经反变换可得系统状态方程为相应地,系统输出y(t)的拉氏变换为Y(s)=k11X1(s)+k12X2(s)+k13X3(s)+k41X4(s)+k51X5(s)+k52X6(s)经拉氏反变换可得如下输出方程y=k11x1+k12x2+k13x3+k41x4+k51x5+k52x6因此,整理可得如下矩阵描述的状态空间模型(1-26)系统矩阵A具有这种特定块对角形式的状态空间模型即为所谓约旦规范形。【例2-9】用部分分式法将下述传递函数变换为状态空间模型解由系统特征多项式s3+5s2+8s+4可求得系统有二重极点s1=-2和单极点s2=-1,于是有其中故当选择状态变量为G(s)分式串-并联分解的各个一阶惯性环节的输出，可得如下状态空间模型结论已知线性定常系统的状态方程为其中系统矩阵若A的n个特征值

1,

2,…,

n所对应的特征向量线性独立，则必存在变换矩阵P，使其进行状态变换x=P

后为对角线规范形，即系统的状态方程为为对角线矩阵，并且变换矩阵P可取为P=[p1

p2…pn]其中pi为矩阵A对应于特征值

i的特征向量。2.5.1化状态方程为对角线规范形2.5状态方程的约当规范形【例2-10】试将下列状态空间模型变换为对角线规范形解1.先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为

1=-1

2=-2

3=-32.求特征值所对应的特征向量。由前述的方法可求得特征值

1,

2和

3所对应的特征向量分别为p1=[101]T

p2=[124]T

p3=[169]T3.取A的特征向量组成变换矩阵P并求逆阵P-1，即有4.计算各矩阵5.系统在新的状态变量下的状态空间模型为2.5.2化状态方程为约旦规范形系统存在重特征值且线性独立特征向量数小于该特征值的重数时，则系统矩阵A不能变换成对角线矩阵。在此种情况下，A可变换成约旦矩阵，系统表达式可变换成约旦规范形。下面将分别讨论约旦块和约旦矩阵约旦规范形及其计算1.

约旦块和约旦矩阵矩阵的约旦块的定义为由l个约旦块Ji组成的块对角的矩阵称为约旦矩阵，如J=block-diag{J1

J2…Jl}下述矩阵均为约旦矩阵上述第一个约旦矩阵有两个约旦块,分别为1

1维的特征值2的约旦块和3

3维的特征值-1的约旦块;第二个约旦矩阵有三个约旦块,分别为1

1维的特征值3的约旦块以及1

1维和2

2维的特征值-1的两个约旦块。2.

约旦规范形及其计算定义系统矩阵A为约旦矩阵的状态空间模型称为约旦规范形。与对角线规范形一样，约旦规范形也是线性定常系统的状态空间分析中一种重要的状态空间模型。对于任何有重特征值且其线性独立特征向量数小于其维数的矩阵，虽然不能通过相似变换化成对角线矩阵,但可经相似变换化为约旦矩阵。定义广义特征向量是重特征值

i所对应的某个线性独立的特征向量vj满足如下方程组的向量vj,k结论已知线性定常系统的状态方程为x’=Ax+Bu若A的共有p(p<n)个互异的特征值，l(p

l

n)个线性独立特征向量pi则必存在变换矩阵P，使其进行状态变换x=P

后为约旦规范形，即系统的状态方程为其中系统矩阵为约旦矩阵，并且变换矩阵P可取为P=[P1P2

…Pl]变换矩阵PP=[P1P2

…Pl]中的Pi为矩阵A对应于线性独立特征向量pi的特征向量组成的如下分块矩阵若pi和pi,j为对应与特征值

i的独立特征向量和广义特征向量，则必有【例2-11】试将下列状态空间模型变换为约旦规范形解1.先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为

1=

2=

3=2

4=-12.求特征值所对应的特征向量P11=[11-11/3]TP21=[100-1]T和广义特征向量P22=[110-1]T特征值-1的特征向量为P31=[0001]T3.取A的特征向量和广义特征向量组成变换矩阵P并求逆阵P-1，即有4.计算各矩阵5.系统在新的状态变量下的状态空间模型为2.6由状态空间描述导出传递函数阵对于SISO线性定常系统，标量传递函数表达了系统输入与输出间的信息动态传递关系。对于MIMO线性定常系统，将每个输入通道至每个输出通道之间的标量传递函数按序排列成的矩阵函数,即传递函数阵下面将从状态空间模型出发，分别讨论MIMO系统的传递函数阵的定义由状态空间表达式建立系统的传递函数阵2.6.1传递函数阵的定义在引入传递函数阵概念之前，需将标量函数拉氏变换的定义扩展到向量函数和矩阵函数。为此，定义对向量函数和矩阵函数的拉氏变换为分别对该向量函数和矩阵函数的各个元素求相应的拉氏变换对r维输入、m维输出的MIMO系统，若其输入输出的拉氏变换分别为U(s)和Y(s)，则系统的输入输出间的动态关系可表示为Y(s)=G(s)U(s)其中G(s)称为传递函数阵，其每个元素为标量传递函数。G(s)的形式为其中Gij(s)描述了第i个输出与第j个输入之间的动态传递关系。2.6.2求传递函数阵前面已经介绍了SISO系统从传递函数求系统的状态空间表达式，下面将介绍其逆问题，即怎样从状态空间表达式求系统的传递函数阵。主要内容有传递函数矩阵的推导前面已经介绍了SISO系统从传递函数求系统的状态空间表达式，下面将介绍其逆问题，即怎样从状态空间表达式求系统的传递函数阵。已知MIMO线性定常系统的状态空间表达式为其中x为n维状态向量;u为r维输入向量;y为m维输出向量。对上式取拉氏变换,有其中X(s)、U(s)和Y(s)分别为x(t)、u(t)和y(t)的拉氏变换；x(0)为x(t)的在初始时刻t=0的值。由于传递函数阵描述的是系统输入输出间动态传递关系，不考虑系统初始条件的影响。因此令x(0)=0，于是由状态方程的拉氏变换式有X(s)=(sI-A)-1BU(s)将上述X(s)代入输出方程，有Y(s)=[C(sI-A)-1B+D]U(s)因此，可得线性定常连续系统的传递函数阵为G(s)=C(sI-A)-1B+D若对于输入与输出间无直接关联项(即D=0)的系统，则有G(s)=C(sI-A)-1BG(s)计算的求解方法有实用算式（P68）和拉氏变换法【例2-12】求如下系统的传递函数解(1)先计算逆矩阵C(sI-A)-1B代数余子式(2)由传递函数计算公式可得由于状态变换仅对状态变量进行，保持系统的输入和输出变量及它们间的动静态关系不变。因此，有如下结论:描述系统输入与输出间动态传递关系的传递函数阵对状态变换具有不变性。2.7系统系统在坐标变换下的特性从上一节的讨论可知，同一个系统的状态空间模型，即使其维数相同，但其具体结构和系数矩阵也是多种多样的，如系统矩阵A可以为对角线矩阵的或者约旦矩阵的,也可以为其他形式的（如能控标准形）。即,状态空间模型不具有唯一性。为何同一个系统具有不同的状态空间模型?原因:状态变量的不同选择这就产生了一个问题:各种不同选择的状态变量之间，以及它们所对应的状态空间模型之间的关系如何?对于一个n阶动态系统，可通过选择适当的n个状态变量以建立状态空间模型来描述它。但是，这n个状态变量的选择却不是唯一的。这一点可利用线性代数中的基底不唯一来理解。一个n维线性独立的状态变量向量，在n维状态空间中构成一个坐标系，即相当于空间中的一个基底。根据线性代数知识，在这个空间中还存在另外的坐标系，且与原坐标系存在一个线性变换关系。1.状态空间的线性变换状态变量是一组实变量，它们所组成的状态空间为一个实线性空间。由线性代数知识可知，线性空间中，随着表征空间坐标的基底的选取的不同，空间中的点关于各种基底的坐标亦不同。这些基底之间的关系为进行了一次坐标变换，而空间中的点的坐标则相当于作了一次相似变换。如，在右图所示的平面直角坐标系中，A点在两个坐标系下的坐标存在如下变化关系(其中P为非可逆的变换矩阵)n维空间中的旋转变换、极坐标变换，线性空间中的相似变换，都属于空间变换。其中旋转变换和相似变换还属于线性变换。状态空间中由于状态变量的不同选择类似于线性空间中的坐标架的不同选择，同一个系统不同选择状态变量组之间存在类似于线性空间不同坐标架之间的线性变换,因此我们将在状态空间中坐标变换称为状态空间的线性变换。上述状态变量向量x与

间的变换，称为状态的线性变换。由线性代数知识可知，它们之间必有如下变换关系2.状态的线性变换设描述同一个线性状态空间的两个n维的状态变量向量分别为其中P为n

n维的非奇异变换矩阵。值得指出的是:变换矩阵P只有为非奇异的，才能使x和

间的变换关系是等价的、唯一的和可逆的。两种表达式式之间存在什么关系?3.状态空间模型的线性变换设在状态变量x和

下，系统状态空间模型分别为将变换关系x=P

代入

(A,B,C,D)的状态方程中有将上式与状态空间模型

比较，则线性系统(A,B,C,D)在线性变换矩阵P下的各矩阵具有如下对应关系由于变换矩阵P非奇异，因此有则有2.8组合系统的状态空间描述由两个或两个以上的子系统，按一定方式联接构成的系统称为组合系统（P74）串联、并联、反馈三种类型本章中涉及的计算问题主要有控制系统模型的建立、控制系统模型间的转换、状态及状态空间模型变换和组合系统模型的计算。下面分别介绍基于Matlab的上述问题的程序编制和计算方法。2.9Matlab问题在Matlab中，有4种数学模型表示线性定常系统(LTI)的模型，分别是传递函数模型、零极点增益模型、状态空间模型、Simulink结构图模型。前3种模型是用数学表达式描述，第4种基于传递函数的图形化形式——动态结构图的模型。这4种模型都有连续系统与离散系统两种模型。2.9.1控制系统模型种类与转换1.传递函数模型线性定常系统可以是连续系统，也可以是离散系统。2种系统基于Matlab的传递函数模型和状态空间模型基本一致。下面对SISO系统Matlab中的传递函数模型的表示和建立。线性定常连续系统一般以常系数线性常微分方程来描述。对于一个SISO线性定常连续系统，其常微分方程描述为:在Matlab中，多项式a0sn+a1sn-1+…+an常用数组表达，如n阶多项式可用n+1个元素的数组表达为[a0

a1…an]其中，数组元素按多项式中“s”的降幂顺序排列，其中的“0”不能省略。因此传递函数的分子与分母多项式可以用2个数组表达num=[b0

b1…bn]den=[a0

a1…an]对应的经拉氏变换得到的传递函数模型为在Matlab中，传递函数模型变量的数据结构为

tf

类，可采用函数命令tf()来描述分子和分母多项式的数组组合，建立控制系统的传递函数模型。tf()函数命令的主要调用格式为sys=tf(num,den)或直接为sys=tf([b0

b1…bn],[a0

a1…an])经过上述命令，变量sys即表示上述连续系统传递函数模型。线性定常连续系统的状态空间模型为在Matlab中，状态空间模型变量的数据结构为

ss

类，可以用函数ss()来建立控制系统的状态空间模型。2.状态空间模型ss()函数的主要调用格式为sys=ss(A,B,C,D)式中，A,B,C,D为已经赋值的适宜维数的数组(矩正)。若输入的矩阵维数不匹配，ss()函数将显示出错信息，指出系统矩阵维数不匹配。Matlab问题

试在Matlab中建立如下连续系统的状态空间模型Matlab程序如下。A=[01;-2-3];B=[0;1];C=[10];D=0;sys=ss(A,B,C,D)%输入状态空间模型的各矩阵%没有直联矩阵D时,补适宜维数的零矩阵%

建立Matlab的状态空间模型

对Matlab的状态空间模型变量sys，描述状态空间模型的4个矩阵A、B、C和D可分别由sys.a、sys.b、sys.c和sys.d获得。如在Matlab程序执行后有这里sys.a、sys.b、sys.c和sys.d为一般2维数组结构，可以对其进行直接计算处理。如在执行Matlab程序后，执行赋值语句sys.c=[02]则修改了系统状态空间模型的输出矩阵C为[02]。3.状态空间模型到传递函数模型的转换Matlab提供了非常方便地转换各种模型的函数，如由状态空间模型转换为传递函数模型、由传递函数模型求状态空间模型。由于系统的传递函数模型是惟一的，由状态空间模型转换为传递函数模型可以直接采用建立传递函数模型的tf()函数，但其输入变量格式不同。由状态空间模型求解传递函数模型问题的调用格式为:连续系统:con_tf=tf(con_ss)其中，con_ss为已赋值的连续系统状态空间模型，con_tf为求得的连续系统传递函数模型。如在执行Matlab程序后,执行语句sys_tf=tf(sys_2)则有如下结果即为所求的状态空间模型对应的传递函数模型。Transferfunction:1-------------s^2+3s+24.传递函数模型到状态空间模型的转换由于状态变量的选择不同，状态空间模型并不惟一，因此由传递函数模型转换得到的状态空间模型有许多不同的类型。在Matlab中，主要有函数ss()和canon()提供由传递函数模型到状态空间模型的转换，可以得到3种类型的状态空间模型:等效(equivalent)实现状态空间模型、模态(modal)规范形和友矩阵(companion)实现。模态规范形和友矩阵实现分别对应于状态空间模型的对角线规范形和能控规范I形。若要求解如约旦规范形、能控、能观规范形等其他类型的状态空间模型,则需自己编制相应的Matlab程序。下面是Matlab提供的如下转换函数：转换函数ss()

规范形转换函数canon()常微分方程(传递函数)转换为状态空间模型函数dif2ss()在状态空间分析方法中，状态及状态空间模型变换是一个非常重要工具和分析方法基础。在这里，涉及的主要计算问题有状态空间模型的变换;特征值、特征向量与广义特征向量的计算;一般状态空间模型到约旦规范形的变换。Matlab及其所附带的线性代数、符号计算以及控制系统设计工具箱中提供了部分可直接调用的用于这些问题的计算的函数，但有些计算需要自己编制相应的函数和程序。2.9.2状态及状态空间模型变换1.状态空间模型的变换Matlab提供在给定变换矩阵下，计算状态空间模型变换的可直接调用函数ss2ss()，其调用格式为:sysT=ss2ss(sys,T)其中，sys和sysT分别为变换前与变换后(输入与输出)的状态空间模型变量;T为给定的变换矩阵。函数ss2ss进行的状态变换为,将状态空间模型

(A,B,C,D)变换为2.特征值、特征向量与广义特征向量的计算Matlab提供直接计算特征值和特征向量的函数为eig()，其调用格式为:d=eig(A)[V,D]=eig(A)其中，第1种格式为只计算所有特征值，输出格式为将所有特征值排成向量;第2种格式可同时得到所有特征向量和特征值，输出格式为所有特征值为对角线元素的对角线矩阵D，所有特征向量为列向量并排成矩阵V。Matlab的函数eig()不能直接计算广义特征向量，要计算广义特征向量则需要符号计算工具箱的函数jordan()，其调用格式为J=jordan(A)[V,J]=jordan(A)其中，第1种调用格式为只计算A矩阵对应的约旦矩阵J;第2格式可同时得到所有广义特征向量和约旦矩阵J,其中广义特征向量为列向量并排成矩阵V。3.一般状态空间模型到约旦规范形的变换Matlab没有直接提供将一般状态空间模型变换成约旦规范形(对角线规范形为其一个特例)的函数，但可利用符号计算工具箱提供的计算约旦矩阵和广义特征向量的函数jordan()求解广义特征向量，进而构造变换矩阵求解约旦规范形。课外思考.打印机皮带驱动系统的状态空间方程

在计算机外围设备中，常用的低价位喷墨式或针式打印机都配有皮带驱动器。它用于驱动打印头沿打印页面横向移动。下图给出了一个装有直流电机的皮带驱动式打印机的例子。其光传感器用来测定打印头的位置，皮带张力的变化用于调节皮带的实际弹性状态。下图为打印机皮带驱动器的基本模型。模型中记皮带弹性系数为k

,滑轮半径为r，电机轴转角为，右滑轮的转角，为打印头质为m打印头的位移为y(t)。光传感器用来测量y(t)，光传感器的输出电压为，且。控制器输出电压为，对系统进行速度反馈注意到。可知皮带张力，分别为于是作用在质量m上的皮带净张力为其中为第一个状态变量，表示打印头实际位移y与预期位移r之间的位移差。则质量m的运动方程为取第二个状态变量于是有定义第三个状态变量的导数

推导电机旋转的运动方程：当L=0时，电机电枢电流而电机转矩为，于是有（1-3）

设作用在驱动皮带上的扰动转矩为，则电机驱动皮带的有效转矩为。显然，只有有效转矩驱动电机轴带动滑轮运动，因此有由于故得在上式中代入（1-3)以及得到最后得到式（1-1）、（1-2）、（1-3）构成了描述打印机皮带驱动系统的一阶运动微分方程组，其向量矩阵形式为本章小结本章的目的是力图让读者建立起状态、状态空间与状态空间变换的概念，掌握状态空间模型的建立方法，打下进行状态空间分析的基础。本章2.1节首先引入了现代控制理论数学模型的基础概念：状态、状态空间和状态空间模型，从而为不仅能够研究控制系统的输入输出关系，也能够研究系统内部物理的和数学定义的状态与输入输出的关系提供了方法。更进一步，也为能够方便地进行多变量控制系统的分析综合与设计提供了有效的数学工具。本章2.2介绍了动态系统的基本分类。状态空间模型可以根据系统的机理经过推理获得，例如2.3节介绍的电网络、刚体力学系统、电枢控制的直流电动机典型的化工(热工)系统等，也可以从其他形式的数学模型转换得来，微分(差分)方程、传递函数、传递关系方框图等2.4节描述线性时不变系统状态空间的特性，主要介绍特征值、特征向量。2.5节介绍的状态空间变换以及将系统转化为约旦(对角)规范型的方法，为以后系统的分析、综合与设计提供了最基本的数学工具。2.6节介绍的传递函数(矩阵)的分析与计算方法，不仅能为系统的分析和设计提供比较直观的输入输出关系、能有更为确切的物理解释。2.7节以线性变换为基础，描述了同一系统的不同状态空间模型之间的变换、等效化简的方法。2.8节介绍组合系统的状态空间描述。

线性系统的运动分析3.1引言分析分为定量分析和定性分析定量分析：对系统的运动规律进行精确的研究，即定量地确定系统由外部激励作用所引起的响应。定性分析对决定系统行为和综合系统结构具有重要意义的几个关键性质，如能控性、能观性、稳定性等。状态空间描述的建立为分析系统的行为和特性提供了可能性。进行分析的目的：揭示系统状态的运动规律和基本特性。运动分析的实质状态方程:x’=Ax+Bux(0)=x0t≥0分析：从数学模型出发，定量地和精确地定出系统运动的变化规律，为系统的实际运动过程作出估计。数学：给定初始状态x0和外输入u作用，求解出状态方程的解。由初始状态和外输入作用所引起的响应。系统的运动是对初始状态和外输入作用的响应，但运动的形态主要是由系统的结构和参数所决定的，即由参数矩阵所决定的。状态方程的解x(t)给出了系统运动形态对系统的结构和参数的依赖关系。解的存在性和唯一性条件状态方程的满足初始条件的解存在且唯一时，对系统的运动分析才有意义。时变系统而言，矩阵A(t)和B(t)的所有元在时间定义区间[t0,ta]上均为t的实值连续函数，而输入的元u(t)在时间定义区间[t0,ta]上是连续实函数，则其状态方程的解x(t)存在且唯一。对于线性定常系统：系数矩阵A

和B均为常阵，只要其元的值为有限值，则条件满足，解存在且唯一。这些条件对于实际的物理系统总是能满足的，但从数学的观点而言，条件