九年级数学上册讲义（人教版）：旋转章末复习（教师版）

第18课旋转章末复习课程标准（1）通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质．（2）通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形．（3）能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用．（4）探索图形之间的变化关系(轴对称、平移、旋转及其组合)，灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．知识点01旋转1．旋转的概念把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AOA′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.【注意】旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.2．旋转的性质:(1)对应点到旋转中心的距离相等(OA=OA′)；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前、后的图形全等；【注意】图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.3．旋转的作图:在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．【注意】作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求(顺时针或逆时针)绕旋转中心旋转一定的角度(旋转角)；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.知识点02特殊的旋转—中心对称1．中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．【注意】(1)有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；(2)位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合(全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的).2．中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．【注意】(1)中心对称图形指的是一个图形；(2)线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.知识点03平移、轴对称、旋转之间的对比平移轴对称旋转相同点都是全等变换(合同变换)，即变换前后的图形全等．不

同

点定义把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换．把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换．把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换．图形要素平移方向

平移距离对称轴旋转中心、旋转方向、旋转角度性质连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等．任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角．对应线段平行(或共线)且相等．任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．*对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即：对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等．考法01旋转【典例1】如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转后得到．若，，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：由旋转的性质得：，，，，，故选：C．【即学即练】如图，将30°的直角板绕点B按顺时针转动一个角度到的位置，使得点、、在同一条直线上，那么这个角度等于（

）A．30° B．60° C．90° D．120°【答案】D【详解】解：三角板中∠ABC=60°，旋转角是，则=180°-60°=120°．这个旋转角度等于120°．故选：D．【典例2】如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好在边上．已知，，则的长是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至，∴，∴，∴=4-1=3（cm），故选：C．【即学即练】如图，在△AOB中，AO＝1．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接AA′．则线段AA′的长为（

）A．1 B． C． D．【答案】B【详解】解：由旋转可知∠AOA′=90°，AO=A′O=1，∴，故选：B考法02中心对称【典例3】如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（

）A．点与点是对称点 B．C． D．【答案】D【详解】解：与△关于点成中心对称，点与是一组对称点，，，A，B，C都不合题意．与不是对应角，不成立．故选：D．【即学即练】如图，与关于O成中心对称，下列结论中不一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：∵对应点的连线被对称中心平分，∴，，即B、D正确，∵成中心对称图形的两个图形是全等形，∴对应线段相等，即，∴C正确，故选A．【典例4】下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：A、是中心对称图形，是轴对称图形，故A选项不合题意；B、是中心对称图形，是轴对称图形，故B选项不合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；D、是中心对称图形，是轴对称图形，故D选项不合题意；故选：C．【即学即练】下面扑克牌中，是中心对称图形的是(

)A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵A中扑克牌不符合中心对称图形的定义，∴A不是中心对称图形；∵B中扑克牌符合中心对称图形的定义，∴B是中心对称图形；∵C中扑克牌不符合中心对称图形的定义，∴C不是中心对称图形；∵D中扑克牌不符合中心对称图形的定义，∴D不是中心对称图形；故选：B．考法03关于原点对称的点的坐标【典例5】在平面直角坐标系中，点P（7，6）关于原点的对称点P′的坐标为（

）A．P′（7，6） B．P′（-7，6） C．P′（7，-6） D．P′（-7，-6）【答案】D【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，点（7，6）关于原点的对称的点的坐标是（-7，-6），故选：D．【即学即练】平面直角坐标系内，与点P(﹣3，2)关于原点对称的点的坐标是(

)A．(3，-2) B．(2，-3) C．(2，3) D．(﹣3，2)【答案】A【详解】解：与点P(-3，2)关于原点对称的点的坐标是(3，-2)，故选：A．【典例6】在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则m的值是（

）A．3 B．2 C． D．【答案】D【详解】解：∵点A（2，m）与点B（n，3）关于坐标原点对称，∴m＝−3，故选：D．【即学即练】已知点与点关于原点对称，则a与b的值分别为（

）A．－3；1 B．－1；3 C．1；－3 D．3；－1【答案】B【详解】解：点与点关于原点对称，解得：．故选：B．题组A基础过关练1．北京冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口联合举行，如图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将最左边图片按顺时针方向旋转后得到的图片是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：如图所示：“冰墩墩”图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是：．故选：D．2．下列图形中，是中心对称图形的是（）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、是中心对称图形，故本选项符合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选：B．3．在平面直角坐标系中，点A(5，m)与点B(-5，-3)关于原点对称，则m的值为（）A．3 B．-3 C．5 D．-5【答案】A【详解】解：∵点A(5，m)与点B(-5，-3)关于原点对称，∴点A的坐标为：，即m为3，故选A．4．如图所示，在方格纸中，三角形ABC经过变换得到三角形DEF，下列对变换过程叙述正确的是（

）A．把三角形ABC向左平移8格，再逆时针旋转90°B．把三角形ABC绕点C逆时针旋转90°，再向左平移8格C．把三角形ABC向左平移8格，再顺时针旋转90°D．把三角形ABC绕点C顺时针旋转90°，再向左平移8格【答案】D【详解】解：根据图象，△ABC绕着点A顺时针方向90°旋转与△DEF形状相同，再向左平移8格就可以与△DEF重合．故选：D．5．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A=30°，则∠AFD的度数为（

）A．65° B．15° C．115° D．75°【答案】A【详解】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，∴∠ACD=35°，∠A=∠D=30°，∴∠AFD=∠ACD+∠D=35°+30°=65°，故选：A．6．如图，在中，，．将绕点O逆时针方向旋转90°，得到，连接．则线段的长为（

）A． B．2.5 C． D．【答案】C【详解】解：由旋转的性质可知，，=90°，∴是等腰直角三角形，∴；故选：C．7．如图，将绕着点顺时针旋转，得到，若，，则旋转角度是______．【答案】70°##70度【详解】解：∵∠AOB=40°，∠BOC=30°，∴∠AOC=70°，∵将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，∴旋转角为∠AOC=70°，故答案为：70°．8．如图，将绕点逆时针旋转得到，点和点是对应点，若，则_______．【答案】2【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转60°得到，∴．∵，∴．故答案为：2．9．如图所示，正方形网格中，为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．(1)把沿方向平移后，点移到点，在网格中画出平移后得到的；(2)把绕点按逆时针方向旋转，在网格中画出旋转后的．【答案】(1)见解析(2)见解析【详解】（1）解：如图所示：即为所求；（2）如图所示：即为所求．10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，以C为旋转中心，旋转一定角度后成△A′B′C，此时B′落在斜边AB上，试确定∠ACA′，∠BB′C的度数．

【答案】∠ACA′＝60°，∠BB′C＝60°【详解】解：∵以点C为旋转中心，将△ABC旋转到△A'B'C的位置；∴B′C＝BC；∵∠B＝60°，∴△BB′C是等边三角形；∴∠BB′C＝60°，∴∠BCB′＝60°，∴∠ACA′＝60°．题组B能力提升练1．下列3×3网格中，阴影部分是中心对称图形的是（）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．是中心对称图形，故此选项符合题意；D．不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：C．2．如图，将绕点按逆时针方向旋转得到若点刚好落在边上，且，若，则旋转的角度为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，，旋转的角度为，故选：B．3．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AD＞AB，点E从点B出发（不含点B）沿BC向点C运动，移动到点C停止，延长EO交AD于点F，则四边形BEDF形状的变化依次为（

）A．平行四边形→菱形→正方形→矩形B．平行四边形→正方形→菱形→矩形C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形D．平行四边形→正方形→平行四边形一矩形【答案】C【详解】解：连接BD．∵点O为矩形ABCD的对称中心，∴BD经过点O，OD＝OB，ADBC，∴∠FDO＝∠EBO，在△DFO和△BEO中，，∴△DFO≌△BEO（ASA），∴DF＝BE，∵DFBE，∴四边形BEDF是平行四边形，观察图形可知，四边形BEDF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．故选：C．4．点M位于平面直角坐标系第四象限，且到x轴的距离是5，到y轴的距离是2，则点M关于原点对称的的坐标是（）A．（2，－5） B．（－2，5） C．（5，－2） D．（－5，2）【答案】B【详解】解：∵M到x轴的距离为5，到y轴的距离为2，∴M纵坐标可能为±5，横坐标可能为±2，∵点M在第四象限，∴M坐标为（2，−5）．∴点M关于原点对称的的坐标是（−2，5）．故选：B．5．如图，边长为1的正方形绕点A逆时针旋转得到正方形，连接，则的长是（

）A．1 B． C． D．【答案】B【详解】如图所示，连接、∵四边形是四边形逆时针旋转∴，∴是等边三角形∴在中，∴故选：B．6．已知如图，长方形ABCD绕点D顺时针旋转90°形成了长方形EFGD，若AG=m，CE=n，则长方形ABCD的面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵长方形ABCD绕点D顺时针旋转90°形成了长方形EFGD，∴DE＝DA，DC＝DG，而CE＝n，AG＝m，∴CD﹣AD＝n，CD+AD＝m，∴CD，AD，∴长方形ABCD的面积＝CD•AD•．故选：B．7．已知平面直角坐标系内有一点，联结，将线段绕着点旋转度，点落在点的位置，则的坐标为______．【答案】或##或【详解】解：如图，过点作轴于点，轴于点，则①将线段绕着点顺时针旋转度时，∵将线段绕着点旋转度，点落在点的位置，∴，，又，∴，所以∵，∴，,∴,，∴，同理可得，将线段绕着点逆时针旋转度时，的坐标为，综上，的坐标为或．故答案为：或．8．如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，AB⊥a于点B，于点D．若OB＝4，OD＝3，则阴影部分的面积之和为___．【答案】12【详解】解：如图，∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB＝4，OD＝3，∴AB＝3，∴图形①与图形②面积相等，∴阴影部分的面积之和＝矩形ABOE的面积＝3×4＝12．故答案为：12．9．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．(1)将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的．(2)将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的．(3)直接写出点的坐标．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【详解】（1）解：如图所示，即为所求．（2）解：如图所示，即为所求．（3）解：根据题意得：．10．把直角三角形OAB与直角三角形O'CD如图1放置，直角顶点O与O′重合在一起，点D在OB上，∠B＝30°，∠C＝45°．现将△O'CD固定，△OAB绕点O顺时针旋转，旋转角α（0°≤α＜90°），OB与DC交于点E．(1)如图2，在旋转过程中，若OA∥CD时，则α＝______；若AB∥OC时，则α＝______；请写出证明过程；(2)如图2，在旋转过程中，当△ODE有两个角相等时，α＝______；请说明理由．【答案】(1)45°，60°，证明见详解(2)45°或67.5°，理由见解析【详解】（1）根据题意有∠AOB=90°，∵∠AOB=90°，∠B=30°，∠C=45°，∴∠DOC=90°，∠A=60°，∴∠CDO=45°，当时，如图2中，∠AOD＝∠CDO＝45°，∴∠DOE=∠AOB-∠AOD=45°．∵∠DOE=α，∴α＝45°．当时，如图3中，∠A+∠AOC＝180°，∵∠COD=90°，∠AOC=∠AOD+∠COD，∠A=60°，∴∠AOD=180°-∠A-∠COD，∴∠AOD＝30°，∴∠DOE=∠AOB-∠AOD＝60°，∵∠DOE=α，∴α＝60°故答案为：45°，60°．（2）根据（1）可知∠CDO=45°，当∠D＝∠DOE＝45°时，∵∠DOE=α，∴α＝45°，当∠DOE＝∠DEO时，则在△DOE中，∠DOE=(180°-∠ODC)=67.5°，∴∠DOE=α＝45°，即α＝67.5°，故答案为：45°或67.5°．题组C培优拔尖练1．下列剪纸作品中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意；D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．2．如图，正方形的边长为，将正方形绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：连接OB，∵正方形ABCD绕原点O顺时针旋转45°，∴，，∴，∴△为等腰直角三角形，点在y轴上，∵，∴=2，∴（0，2），故选：D．3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D是AB边上一点，且AD∶BD＝1∶2，将△ACD绕点C顺时针旋转至△BCE，连接DE，则线段DE的长为（）A．3 B．2 C． D．2【答案】C【详解】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，∴AB＝3，∠A＝∠ABC＝45°，∵AD：BD＝1：2，∴AD＝，BD＝，由旋转的性质可知：△ACD≌△BCE，∴∠ACD＝∠BCE，AD＝BE＝，∠A＝∠CBE＝45°，∴∠DBE＝∠ABC＋∠CBE＝90°，∴DE＝，故选：C．4．如图，中，，将绕点逆时针方向旋转得到此时恰好点在上，交于点，则与的面积之比为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：，，，将绕点逆时针方向旋转得到，，，是等边三角形，，，，设，则，，，，与的面积之比为．故选：D．5．已知点经变换后到点B，下面的说法正确的是（

）A．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为D．点A先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点B，则点B的坐标为【答案】D【详解】解：A、点与点关于轴对称，则点的坐标为，则此项错误，不符合题意；B、点绕原点按顺时针方向旋转后到点，则横、纵坐标互换位置，且纵坐标变为相反数，所以点的坐标为，则此项错误，不符合题意；C、点与点关于原点中心对称，则点的坐标为，则此项错误，不符合题意；D、点先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点，则点的坐标为，即为，则此项正确，符合题意；故选：D．6．如图，点P是在正ABC内一点，，，，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段，连接，．下列结论中正确的是（

）①可以由绕点A逆时针旋转60°得到；②线段；③四边形的面积为；④．A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【详解】由题意知，，，为等边三角形，,②正确，又,，，①正确，，又，在中三边长为3、4、5，这是一组勾股数，所以为直角三角形=，③错误．将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BDA，则有△BPC≌△BDA，连接PD，如图所示：同理可得△BPD是边长为4的等边三角形，△APD是直角三角形，且直角边长为3和4，斜边长为5，∴，故④正确；故选B．7．如图，正三角形ABC绕其中心O至少旋转___度，可与其自身重合．【答案】120【详解】解：如图所示：连接OA、OB、OC，正三角形ABC，O为其中