高中数学选修1-2：3.2.2同步练习

PAGEPAGE3高中数学人教A版选修1-2同步练习1.(2011·高考课标全国卷)复数eq\f(2＋i,1－2i)的共轭复数是()A．－eq\f(3,5)i B.eq\f(3,5)iC．－i D．i解析：选C.eq\f(2＋i,1－2i)＝eq\f(（2＋i）（1＋2i）,（1－2i）（1＋2i）)＝eq\f(2－2＋5i,5)＝i，∴eq\f(2＋i,1－2i)的共轭复数是－i.2.已知a∈R，若(1－ai)(3＋2i)为纯虚数，则a的值为()A．－eq\f(3,2) B.eq\f(3,2)C．－eq\f(2,3) D.eq\f(2,3)解析：选A.∵(1－ai)(3＋2i)＝(3＋2a)＋(2－3a)∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3＋2a＝0，,2－3a≠0，))解得a＝－eq\f(3,2).3.若复数z满足z＝i(2－z)(i是虚数单位)，则z＝________．解析：∵z＝i(2－z)，∴z＝2i－iz，∴(1＋i)z＝2i，∴z＝eq\f(2i,1＋i)＝1＋i.答案：1＋i4.若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且eq\f(z1,z2)为纯虚数，则实数a的值为________．解析：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋2i,3－4i)＝eq\f(（a＋2i）（3＋4i）,25)＝eq\f(3a－8＋（4a＋6）i,25)＝eq\f(3a－8,25)＋eq\f(4a＋6,25)i.因为eq\f(z1,z2)为纯虚数，所以3a－8＝0且4a＋6≠0，所以a＝eq\f(8,3).答案：eq\f(8,3)[A级基础达标]1.已知复数z＝1－2i，那么eq\f(1,z)＝()A.eq\f(\r(5),5)＋eq\f(2\r(5),5)i B.eq\f(\r(5),5)－eq\f(2\r(5),5)iC.eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i D.eq\f(1,5)－eq\f(2,5)i解析：选D.eq\f(1,z)＝eq\f(1,1＋2i)＝eq\f(1－2i,（1＋2i）（1－2i）)＝eq\f(1－2i,5)＝eq\f(1,5)－eq\f(2,5)i.2.若复数z满足方程z2＋2＝0，则z3等于()A．±2eq\r(2) B．－2eq\r(2)C．－2eq\r(2)i D．±2eq\r(2)i解析：选D.∵z2＋2＝0，∴z＝±eq\r(2)i，∴z3＝±2eq\r(2)i.3.(2011·高考山东卷)复数z＝eq\f(2－i,2＋i)(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选D.z＝eq\f(2－i,2＋i)＝eq\f(（2－i）（2－i）,（2＋i）（2－i）)＝eq\f(3－4i,5)＝eq\f(3,5)－eq\f(4,5)i，所以z在第四象限．4.若复数(1＋ai)(2－i)的实部与虚部相等，则实数a＝__________．解析：∵(1＋ai)(2－i)＝(2＋a)＋(2a－1)i的实部与虚部相等，∴2＋a＝2a－1.∴答案：35.已知z1＝eq\f(（1＋2i）4,（3－i）3)，z2＝eq\f(z1,2－i)，则|z2|＝________．解析：|z2|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(（1＋2i）4,（3－i）3（2－i）)))＝eq\f(|（1＋2i）4|,|（3－i）3|·|2－i|)＝eq\f(（\r(5)）4,（\r(10)）3×\r(5))＝eq\f(1,2\r(2))＝eq\f(\r(2),4).答案：eq\f(\r(2),4)6.已知复数z＝1＋i，求实数a，b，使az＋2b＝(a＋2z)2.解：因为z＝1＋i，所以az＋2b＝(a＋2b)＋(a－2b)i，(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)因为a，b都是实数，所以由az＋2bz－＝(a＋2z)2，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋2b＝a2＋4a，,a－2b＝4（a＋2）.))两式相加，整理得a2＋6a＋8＝0，解得a1＝－2，a2＝－4.对应求得b1＝－1，b2＝所以所求实数为a＝－2，b＝－1或a＝－4，b＝2.[B级能力提升]7.已知＝2＋i，则复数z＝()A．－1＋3i B．1－3iC．3＋i D．3－i解析：选B.由题意知＝(2＋i)(1＋i)＝1＋3i，∴z＝1－3i.eq\a\vs4\al(8.)已知z1＝－2－3i，z2＝eq\f(3－2i,（2＋i）2)，则eq\f(z1,z2)＝()A．－4＋3i B．3＋4iC．3－4i D．4－3i解析：选D.∵z1＝－2－3i，z2＝eq\f(3－2i,（2＋i）2)，∴eq\f(z1,z2)＝eq\f(（－2－3i）（2＋i）2,3－2i)＝eq\f(－i（3－2i）（2＋i）2,3－2i)＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i＝4－3i.eq\a\vs4\al(9.)已知复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z2的共轭复数与z1的积是实数，则实数t的值为________．解析：由题意知＝t－i(t∈R)，z1＝(t－i)(3＋4i)＝(3t＋4)＋(4t－3)i.∵z1∈R，∴4t－3＝0，∴t＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)eq\a\vs4\al(10.)已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b、c为实数)．(1)求b，c的值；(2)试说明1－i也是方程的根吗？解：(1)因为1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＋c＝0,2＋b＝0))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－2,c＝2)).∴b、c的值为b＝－2、c＝2.(2)方程为x2－2x＋2＝0.把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i也是方程的一个根．eq\a\vs4\al(11.)(创新题)设复数z满足|z|＝5，且(3＋4i)z在复平面上对应的点在第二、四象限的平分线上，|eq\r(2)z－m|＝5eq\r(2)，求复数z和实数m的值．解：设z＝x＋yi(x，y∈R)．∵|z|＝5，∴x2＋y2＝25.又(3＋4i)z＝(3＋4i)(x＋yi)＝(3x－4y)＋(4x＋3y)i，且对应的点在第二、四象限平分线上，∴3x－4y＝－(4x＋3y)，化简得y＝7x.将它代入x2＋y2＝25得，x＝±eq\f(\r(2),2)，y＝±eq\f(7\r(2),2)，∴z＝±(eq\f(