新教材同步系列2024春高中数学第八章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.3平面与平面垂直第2课时平面与平面垂直的性质定理课后提能训练新人教A版必修第二册

第八章8.68.6.3第2课时A级——基础过关练1．已知平面α⊥平面β，直线l⊥平面α，则l与β的位置关系是()A．垂直 B．平行C．l⊂β D．平行或l⊂β【答案】D【解析】如图，l∥β或l⊂β．故选D．2．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()A．α∥γ B．α⊥γC．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能【答案】D【解析】α与γ可能平行、相交但不垂直、垂直．故选D．3．（多选）如图，P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论成立的有()A．PE⊥AC B．PE⊥BCC．平面PBE⊥平面ABCD D．平面PBE⊥平面PAD【答案】ABC【解析】因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD．又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A，B成立．又因为PE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C成立．若平面PBE⊥平面PAD，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立．故选ABC．4．平面α⊥平面β，直线a∥平面α，则()A．a⊥β B．a∥βC．a与β相交 D．以上都有可能【答案】D【解析】因为a∥α，平面α⊥平面β，所以直线a与β垂直、相交、平行都有可能．5．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，若平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1()A．平行 B．共面C．垂直 D．不垂直【答案】C【解析】如图所示，在四边形ABCD中，因为AB＝BC，AD＝CD，所以BD⊥AC．因为平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C．又因为CC1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥CC1．故选C．6．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，n∥α，且m⊂β，n⊂β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n【答案】D【解析】A中，m与n可能相交、平行或异面，故A错误；B中，α与β相交或平行，故B错误；C中，α与β相交或平行，故C错误；D中，由线面垂直、面面垂直的性质定理得m⊥n，故D正确．故选D．7．（2023年长治期末）在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AB＝AC＝4，BC＝CD＝BD＝2，则AD＝()A．3eq\r(2) B．2eq\r(3)C．4 D．2eq\r(5)【答案】A【解析】如图，设BC的中点为O，连接AO，DO．因为AB＝AC＝4，BC＝CD＝BD＝2，故AO⊥BC，DO⊥BC，即∠AOD为二面角A－BC－D的平面角．因为平面ABC⊥平面BCD，故∠AOD＝90°．因为AO＝eq\r(AB2－BO2)＝eq\r(16－1)＝eq\r(15)，OD＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，故AD＝eq\r(AO2＋OD2)＝eq\r(15＋3)＝3eq\r(2)．故选A．8．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是Ｗ．【答案】平行【解析】由题意知n⊥α，又因为m⊥α，所以m∥n．9．如图，在三棱锥P－ABC中，侧面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，则△ABC是三角形．【答案】直角【解析】设点P在平面ABC上的射影为点O，∵平面PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴O∈AB．∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心，且是AB的中点，∴△ABC是直角三角形．10．(2023年吉安模拟)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD＝2，侧面PBC⊥底面ABCD，E为PB的中点．求证：(1)CE∥平面ADP；(2)平面PAD⊥平面PAB．证明：(1)如图，取棱AP中点F，连接DF，EF．∵EF为△PAB的中位线，∴EF∥AB，且EF＝eq\f(1,2)AB．∵CD∥AB，且CD＝eq\f(1,2)AB，∴EF∥CD，且EF＝CD．∴四边形EFDC为平行四边形．∴CE∥DF．∵DF⊂平面ADP，CE⊄平面ADP，∴CE∥平面ADP．(2)∵PC＝BC，E为PB的中点，∴CE⊥PB．∵AB⊥BC，平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面PBC．又∵CE⊂平面PBC，∴AB⊥CE．又∵AB∩PB＝B，AB，PB⊂平面PAB，∴CE⊥平面PAB．由(1)知CE∥DF，∴DF⊥平面PAB．又∵DF⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB．B级——能力提升练11．(多选)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的有()A．若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥βB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥αD．若α⊥β，m∥α，则m⊥β【答案】AC【解析】根据平面与平面垂直的性质知A正确；B中，α，β可能平行，也可能相交，不正确；C中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，只可能有m∥α，正确；D中，m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交，不正确．故选AC．12．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥β D．AC⊥β【答案】D【解析】如图，AB∥l∥m，AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m，AB∥l⇒AB∥β．故选D．13．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是__________．【答案】45°【解析】如图，过点A作AO⊥BD于O点．∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠ADO＝45°．14．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为__________，分别为______________________．【答案】3平面ABD和平面BCD，平面ABC和平面BCD，平面ACD和平面ABD【解析】因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊥BD，所以AB⊥平面BCD，所以平面ABC⊥平面BCD．因为AB⊥BD，AB∥CD，所以CD⊥BD，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD，共3对．15．(2023年北京房山区期中)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段BC和AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．(1)求证：CD⊥MD；(2)若EF＝EC，求证：平面NFC⊥平面NED．证明：(1)∵四边形ABCD为矩形，EF∥AB，∴EF⊥FM，EF⊥FD．又∵FM∩FD＝F，∴EF⊥平面MFD．又∵MD⊂平面MFD，∴EF⊥MD．又∵EF∥CD，∴CD⊥M