刚体的简单运动-转动刚体内各点的速度和加速度（理论力学）

BAO(+)RvatMOanM

二、角加速度

与an

，at的关系

设角加速度如图所示at

(R

)

R

R

d

t

d

t

d

td

v

d

d

切向加速度即：转动刚体内任一点的切向加速度(又称转动加速度)的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线垂直距离的乘积。法向加速度:2 22(R

)

v

a

R

即：转动刚体内任一点的法向加速度(又称向心加速度)的大小，等于刚体角速度的平方与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向与速度垂直并指向轴线。它的方向由角加速度的符号决定，当

是正值时，它沿圆周的切线，指向角

的正向；否则相反。如果

与

同号，角速度的绝对值增加，刚体作加速转动，这时点的切向加速度at与速度v的指向相同；O

MO

如果

与

异号，刚体作减速转动，

at与v的指向相反。这两种情况如图所示。结论：(1)

在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度

的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。点的全加速度为：（一般情况下不合成）a

a

2

a2

R

2

4t

ntan

atna(2)

在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度a与半径间的夹角

都有相同的值。解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为

d

2t

4d

t2d

t2

d

2当t

=1s时，

=2rad/s，

=-2rad/s2因此轮缘上任一点M的速度和加速度为v

R

0.4m/s

a

R

0.4m/s2

ta

R

2

0.8m/s2n方向如图所示。at[例]半径R=0.2m的圆轮绕定轴O的转动方程

t

2

4t，单位为弧度。求t=1s时，轮缘上任一点M的速度和加速度。如在此轮缘上绕一柔软而不可伸长的绳子并在绳端悬一物体A，求当t=1s时，物体A的速度和加速度。OMAa Rvns

s上式两边求一阶及二阶导数，则得因此[例]已知：重物A的aA=1m/s2（常数），初瞬时速度v0=1.5m/s。方向如图示R=0.5m，r

=0.3m。求：①滑轮3s内的转数；②重物B在3s内的行程；③重物B在ｔ＝3s时的速度；④滑轮边上C点在初瞬时的加速度；⑤滑轮边上C点在ｔ＝3s时的加速度。

a

1m/s2CA解：①

因为绳子不可以伸长，所以有

t

1

t

2

3

3

1

2

32

18rad，n

2.86(圈）

2

2

02s

r

0.3

18

5.4m②t

1

2

rad/s2R 0.5Ca

（ ）常数③

0

t

3

2

3

9

rad/s（ ）vC

vA

1.5m/s，

1.5

3rad/sR 0.5

vC（ ）

0④ t

=

0时，at

a

1m/s2an2

0.5

32

4.5m/s20CAC

R

a

(at

)2

(an

)2

12

4.52

4.61

m/s2C C Catan1tan

C

0.222，

12.5

4.5C⑤

t=3s

时，at

a

1m/s2，an

R

2

0.5

9

40.5m/s22

a

12

40.52

40.51m/s2，tan

1

0.0247，

1.41

C02

at

a

sin

4

sin

30

R

0.4

5

rad/sR

at

R

a

sin

解：

t

1

t

2

1

5

t

2

2.5t

202 2[例] 已知：圆轮O由静止开始作等加速转动，OM＝0.4m，在某瞬时测得

aM

4

m/s2，

300求：

转动方程，

t

=5s时，Ｍ点的速度和法向加速度的大小。

0

t

5t，

vM

R

0.4

5t

2t

当t

=5s时，

0

0anM

[例]试画出图中刚体上Ｍ，Ｎ两点在图示位置时的速度和加速度。(O1

A

O2

B，O1O2

AB)aNvNaMaτManMvMaτNanN§6-3 转动刚体内各点的速度和加速度方向:

沿圆周的切线,指向与转动方向一致速度:BA(+)M一、角速度

与v

的关系刚体定轴转动时，不在转轴上的各点都在垂直于转轴的平面内作圆周运动，圆心在轴线O上，半径R等于点到转轴的垂直距离。