线性代数（财经类） 课件 4.3 实对称矩阵的特征值和特征向量

§4.3实对称矩阵的

特征值和特征向量规范正交基及其求法内积及其性质正交向量组目录向量的长度与性质实对称矩阵的特征值与特征向量正交矩阵与正交变换内积及其性质定义3

设有

维向量，令称

为向量

与

的内积.内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数，按矩阵记法可表示为内积及其性质内积的运算性质(其中

，，，为

维向量，):(1);

(2);

(3);

(4)，当且仅当

时，.

向量的长度与性质定义4

设

，称

为

维向量

的长度（或范数）.向量的长度具有下述性质：(3)三角不等式

;

(1)非负性

；当且仅当

时，;

(2)齐次性;

(4)对任意

维向量

，

有

.

向量的长度与性质当

时，称

为单位向量.对

中任一非零向量

，向量

是

一个单位向量，因为注：用非零向量

的长度去除向量

，得到一个单位向量，这一过程通常称为把向量

单位化.当

，

，定义

，称

为

维向量

与

的夹角.正交向量组定义5

若两向量

与

的内积等于零，即

则称

与

相互正交，记作.显然，若

，则

与任何向量都正交;

定义6

若

维向量组

是一个非零向量组，且

中的

向量两两正交，则称该向量组为正交向量组.

正交向量组证

设有

，使得

以

左乘上式两端，得

，因

，从而

类似可以证明

，于是向量组

线性无关.定理5

若

维向量组

是一组正交向量组，则

线性

无关.规范正交基及其求法*定义7

设

是一个向量空间，

(1)若

是向量空间

的一个基，且是两两正交的向量组，则

称

是向量空间

的正交基.

(2)若

是向量空间

的一个基，

两两正交，且都是单

位向量，则称

是向量空间

的一个规范正交基.

若

是

的一个规范正交基，则

中任一向量

能由

线性表示，设表示式为规范正交基及其求法为求其中系数,可用

左乘上式，有

即

这就是向量在规范正交基中的坐标计算公式.利用这个公式能方便地

求得向量

在规范正交基

下的坐标.因此，我们在给出向量

空间的基时常常取规范正交基，下面介绍一种求规范正交基的方法.

规范正交基及其求法规范正交基的求法：

设

是向量空间

的一个基，要求

的一个规范正交基，也就是

要找一组两两正交的单位向量

，使

与

等价.

这样一个问题，称为把

规范正交化，可按如下两个步骤进行：

(1)

正交化（Schimidt施密特正交化）

规范正交基及其求法(2)

单位化

容易验证

两两正交，且

与

等价.取

，

，

，.则

是

的一个规范正交基.

注：Schimidt正交化过程可将

中任一组线性无关向量组

化

为与之等价的正交组

，再经过单位化，得到一组与等价的规范正交组.

规范正交基及其求法例1用Schimidt正交化方法，将向量组规范正交化解显然

是线性无关的，先正交化，取不难验证

为正交向量组，接下来将

单位化：规范正交基及其求法可以验证

为单位正交向量组，并且和

等价.正交矩阵与正交变换定义8

若

阶方阵

满足

（即

）

则称

为正交矩阵，简称正交阵.定理6

为正交矩阵的充分必要条件是

的列（行）向量组都是单位

正交向量组.

证

设

，其中

是

的列向量组.

是正交矩阵等价于

，而

正交矩阵与正交变换

由此可见

等价于即

为正交矩阵的充分必要条件是其列向量组是单位正交向量组.

正交矩阵与正交变换类似可证，由

与

等价，

为正交矩阵的充分必要条件是

行向量组是单位正交向量组.

实对称矩阵的特征值与特征向量定理7实对称矩阵的特征值都为实数.

证

设复数

为实对称矩阵

的特征值，复向量

为对应的特征向量，即

记

表示

的共轭复数，

表示

的共轭复向量，则

由于以及以上两式作差因为

，所以

，从而有

，即

，这说明

为实数.实对称矩阵的特征值与特征向量定理8设

是实对称矩阵

的两个特征值，

是对应的特征向量.

若

，则

与

正交.证

设

是实对称矩阵

的两个相异的特征值，

是与之对应的特征向量，即

，

因为

是实对称矩阵，于是有

上式两端同时右乘

得

即

由于

，故

即

与

正交.

实对称矩阵的特征值与特征向量定理9

设

为

阶实对称矩阵，

是

的特征方程的

重根，则矩阵

的秩

，从而对应特征值

恰有

个线性无关的特征向量.证

略定理10

设

为

阶实对称矩阵，则必有正交矩阵

，使其中

是以

的

个特征值为对角元素的对角矩阵.实对称矩阵的特征值与特征向量与上一节将一般矩阵对角化方法类似，根据上述结论，可求正交变换(3)将基础解系（特征向量）正交化，再单位化；

(1)求出

的全部特征值

；

(2)对每个特征值

由

求出其基础解系（特征向量）；

(4)以这些单位向量作为列向量构成一个正交矩阵

，使

注

中列向量的顺序与矩阵对角线上的特征值的顺序相对应.矩阵

将实对称矩阵

对角化的步骤为：实对称矩阵的特征值与特征向量解实对称矩阵

的特征方程为例2设实对称矩阵

，求正交矩阵

，使

为对角矩阵.解得实对称矩阵

的特征值实对称矩阵的特征值与特征向量当

时，由

，解得基础解系当

时，由

，解