广西南宁市2023-2024学年高二年级上册教学质量调研数学试题（含答案）

广西南宁市2023-2024学年高二上学期教学质量调研数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若直线过点（-1,2）,（2,2+73）,则此直线的斜率是（）

A.WB.-BC.6D.-73

33

2.已知数列｛4｝是等差数列，S”为其前〃项和，%=3,%=15,则S9的值为（）

A.48B.56C.81D.100

22

3.已知方程-=1表示双曲线，则机的取值范围是（）

2+mm+1

A.m>-\B.m>-2

C.-2<m<-1D.机<一2或机〉一1

、，、11

4.已知数列｛。〃｝满足。1=3,-1，则”2021”2022”2023=（）

an

A.-1B.2C.12D.33

5.如图，空间四边形Q45C中，===c,点M在Q4上，且OM=2M4,

点N为中点，则MN=（）

A-B.3+4+L

232322

C.L+221

D.—a+—b——c

222332

6.在正项等比数列｛%｝中,6为其前〃项和,^530=13S10,S10+S30=140,贝！JS?。的值

为（）

A.10B.18C.36D.40

7.已知点4—1,1）和圆C（X-5）2+（y-7）2=4,一束光线从A经％轴反射到圆C上

的最短路程是

A.672-2B.8C.476D.10

22

8.已知椭圆。：5+当=1（〃〉/7〉0）的左、右焦点分别为小工，点45在。上，四边形

ab

4月乙8是等腰梯形，则C的离心率的e取值范围是（）

二、多选题

9.在正方体力BCD-ABCIA中，能作为空间的一个基底的一组向量有（）

A.AA,,AB,ACB.BA＞BC,BD

UUL1UUH

C.AC],BD\,CBiD.ADi,B\,AC

10.下列说法错误的有（）

A.若必＞0,则直线/：办+州-2=0的斜率大于0

B.过点（2,-1）且斜率为一如的直线的点斜式方程为y+1=-6（*-2）

C.斜率为-2,在y轴上的截距为3的直线方程为＞=-2尤±3

D.经过点（1,1）且在x轴和y轴上截距（截距均不为0）相等的直线方程为x+y-1=0

11.已知数列仅“｝,S”为其前”项和，下列说法正确的是（）

A.若S“=2/+〃+i,则｛%｝是等差数列

B.若S,,=2向-2,则｛%｝是等比数列

C.若■“｝是等差数列,则九=13%

D.若｛七｝是等比数列，且*0,q＞。,则

12.已知正方体ABC。-ABCA的棱长为1，H为棱&A（包含端点）上的动点，下列

命题正确的是（）

A.二面角A-A耳-C的大小为:

4

B.CH1BD

C.若。在正方形。CCB内部，且|0同=孚，则点。的轨迹长度为个兀

试卷第2页，共6页

D.若田，平面夕，则直线C。与平面夕所成角的正弦值的取值范围为

三、填空题

13.已知圆C的方程为炉+V-2x+6y=0,则圆C的半径为.

14.已知A（U,1）,3（2,3,1）,C（3,l,3）,则加在AC上的投影向量的模为.

15.已知函数/（耳=。2+1（。＞0且a—）过定点A,直线区一y+2Z-1=0过定点B,

贝1%—

16.记数列应｝的前“项和为S”，若q+?+?+L+%=〃，且a,*%是等比数列电｝

23n3

的前三项，则&=.

四、解答题

17.已知等轴双曲线C的对称轴都在坐标轴上，并且经过点43,-1）,求双曲线C的标

准方程、离心率、实轴长.

18.已知等比数列｛《,｝的各项均为正数，且生+%+。4=39,%=2%+3a3.

⑴求｛%｝的通项公式；

⑵数列也｝满足2=〃+%,求也｝的前几项和T„.

19.已知圆C:(x+2)2+(y—5)-=16.

(1)已知直线/：2x-y+4=0,求该直线截得圆C的弦A2的长度；

⑵若直线4过点8(3,4)且与圆C相交于",N两点，求二CMN的面积的最大值,并求此

时直线4的方程.

20.如图，在直角梯形A3CD中，ABUCD,ZDAB=90°,AD=DC=-AB.以直线

2

AB为轴，将直角梯形ABC。旋转得到直角梯形ABEF,且AFLAZX

⑴求证：£)///平面3CE；

在线段上是否存在点,使得直线和平面所成角的正弦值为邛

(2)DFPAFBCP?若存

试卷第4页，共6页

在，求出名的值；若不存在，说明理由.

21.在平面直角坐标系xOy中，点尸到点(1,0)的距离与到直线x=-l的距离相等，记动

点P的轨迹为C.

⑴求C的方程；

⑵直线/与C相交异于坐标原点的两点N,若OMLON,证明：直线/恒过定点，

并求出定点坐标.

22.如图，己知点〃在圆O:无2+丁=4上运动，MNLy轴(垂足为N),点。在M0的

延长线上，且|QN|=2|MN|.

(1)求动点Q的轨迹方程；

⑵直线/：y=g尤+加与(1)中动点。的轨迹交于两个不同的点A和3,圆。上存在两

点C、D,满足|C4|=|CB|,|D4|=|r®|,求根的取值范围；

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.A

【分析】根据两点间的斜率公式计算出结果.

【详解】因为直线经过(-1,2),(2,2+力卜

所以直线的斜率为2；f=手

故选：A.

2.C

【分析】由题意先列方程把4,d求出来，再结合等差数列求和公式即可得解.

%=%+2d=3—3

【详解】设数列的首项和公差分别为4和d,

%=%+6d=15[d=3

9'8

\Sq=-3?9——?381.

92

故选：C.

3.A

【分析】由双曲线的性质求出即可.

22

【详解】方程一^--=1表示双曲线,

2+mm+1

因为冽2+2>0恒成立，

所以加+1>0,

解得m>-l,

故选：A.

4.A

【分析】利用递推关系计算可得数列｛4｝是周期数列，即可计算出结果.

【详解】由递推公式代入计算可得的=%=1-爹=一展4=1-31

3~2

可得数列｛%｝是以3为周期的周期数歹U,

所以〃2021〃2022〃2023=〃2a3〃]二-1

故选：A.

5.B

答案第1页，共14页

【分析】直接根据图形的性质分解向量即可.

【详解】由题意M7V=M0+0N=OA+ON=OA+-(OB+OC}=a+-b+-c.

7

'~'332、322

故选：B.

6.D

【分析】由已知可得，。=10,S3。=13。，再由等比数列片段和的性质和等比中项的性质求出

即可.

【详解】易知=10,邑。=13。，

5；。，邑厂九，邑。-S'”为等比数歹I],

2

(i^20-^io)-1^10(^30$20),

代入数据可得($20-101=10?(130S20),

解得52。=40或邑。=-30(舍)

所以S?。=40.

故选：D.

7.B

【分析】点A(-1,1)关于x轴的对称点B(-1,-1)在反射光线上，当反射光线过圆

心时，光线从点A经x轴反射到圆周C的路程最短，最短为|BC|-R.

【详解】由反射定律得点A(-1,1)关于x轴的对称点B(-1,-1)在反射光线上，

当反射光线过圆心时，

最短距离为|BC|-R=J(5+炉+(7+]『-2=10-2=8,

故光线从点A经x轴反射到圆周C的最短路程为8.

故选B.

答案第2页，共14页

【点睛】本题考查光线的反射定律的应用，以及两点间的距离公式的应用.

8.B

【分析】根据给定条件，可得48//片乙，利用椭圆的性质得再结合椭圆的定

义求出等腰三角形底角的余弦值并列式求解即得.

【详解】令椭圆C的半焦距为c,依题意，ABHg,如图,

由椭圆性质知，椭圆上一点到焦点的距离的最小值为长轴端点到相邻焦点的距离,

c1

于是2c=WBHA耳-解得e上,\AF\=2a-\AF\=2a-2c,

a32i

1TT

在△人耳工中，AFAF=ZAFF=ZBAF=-ZBAF<-,

2{2122i6

显然c°s"/G=芸^=十>6解得e-173-1

-

2aA/3+12

所以C的离心率的e取值范围是,<e〈且二1

32

故选：B

9.AC

【分析】根据空间中不共面的三个向量可以作为空间向量的一个基底，从而求解.

【详解】由题意得：如下图所示：

对于A项：凡，AB，AC不共面，能作为空间的一个基底，故A项正确；

对于B项：BD=BA+BC，所以：BA>BC>8。共面，不能作为空间的一个基底，故B项

答案第3页，共14页

错误;

对于C项：AC],BD],C4不共面，能作为空间的一个基底，故C项正确；

对于D项：BA｛+AC=(8A+AAJ+(AB+BC)=AAt+BC=AAt+AD=ADi,

所以：AD「网，AC共面，不能作为空间的一个基底，故D项错误.

故选：AC.

10.ACD

【分析】由直线的点斜式方程，截距式方程，斜截式方程判断选项的正误.

【详解】对于A,ab>Q,则直线/：依+力-2=0的斜率为左=<0,A错误;

b

对于B,过点(2,-1)且斜率为一石的直线的点斜式方程为歼1=-石。-2),B正确；

对于C,斜率为-2,在y轴上的截距为3的直线方程为y=-2x+3,C错误；

对于D,截距不为0时，设在x轴和y轴上截距相等的直线方程为2+上=1,

aa

将(1,1)代入，即：+:=1，a=2,即得>微=1，

所以经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为x+y-2=0,D错误.

故选：ACD.

11.BC

【分析】利用4=S“-S,T，〃22判断A,B选项的正误，利用等差数列和等比数列的性质

及通项公式判断C,D选项的正误.

【详解】对于A,Sn=2rr+n+1,S,7=2(九-+〃-1+1,n>2,

所以a“=S“一S,T=4-1,n>2,因为q=岳=4,不符合上式，

[4n=l

所以为=；,、…不是等差数列，A错误；

对于B,S“=2"+i-2,S,T=2"-2,n>2,

an=Sn-Sn_x=T,n>2,因为％=岳=2,符合上式，所以4=2”，

｛七｝是等比数列，B正确；

答案第4页，共14页

对于C,｛风｝是等差数列，有几=("'+?创3=四产=]3%,故C正确;

对于D,%＞0,夕＞。，

S],S3-S；=%x(q+ciyQ+%q2)—(q+)=,(1+q+)—Q；(1+2q+/)=.<0,

所以%S3<S；,D错误.

故选：BC

12.BCD

【分析】A选项，建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，得到二面角的大小；B选项，

由S-£)B=O得到垂直关系;C选项，推出。在以C为圆心，也为半径的四分之一圆弧上，

3

求出轨迹长度；D选项，CH=(L-Uz)为平面口的法向量，求出直线8与平面口所成角的

正弦值，根据OW/zWl求出取值范围.

【详解】由正方体可建立如图所示的空间直角坐标系,

则0(0,0,0),8(1,1,0),C(0,l,0),A(l,0,0),4(0,0,1),G(0,1,1),4(1,1,1),

设”(1,0,〃)，其中0＜及1,

对于A：AB}=(0,1,1),AD1=(-1,0,1),AC=(-1,1,0),

设平面AB｝D｝的法向量为根=(x,y,z),

m-AB.=0y+z=0

则即

—x+z=Q

m-AD1=0

取z=l,贝U%=Ly=-i,故m=(1,一1,1).

答案第5页，共14页

n-AB,=Ob+c=Q

设平面的。的法向量为〃=贝卜，即

n-AC=O-a+b=O'

取〃=1,贝IJQ=1,C=-1,

故”=(1,1,-1).故85(见九)-11

而二面角D「AB「C为锐二面角,

6x6-3

故其余弦值为j不为日,故二面角。-A4-C的平面角不是:‘故A错误.

对于B：CH=(1,-1,li),DB=(1,1,0),故“力台二。，即C//_L3。，故B正确.

对于c：由。在正方形。CGA内部，且［0耳=羊，

若E,f分别是CRCG上的点，S.CE=CF=—,此时=B尸=毡，

33

由图知：。在册上，即。在以C为圆心，弓为半径的四分之一圆弧上,

所以点0轨迹的长度为，x2兀、正=立兀；故C正确.

436

对于D：设直线8与平面夕所成的角为夕

因为CHL平面夕，故CH=(1,-U)为平面夕的法向量,

而DC=(0,1,0),

,DCCHJ(O,I,O)-(I,-I,/Q|_i

故sinO=cos(£(C,C»)=^~n~L

1、〃\DC\-\CHV1+1+/J2yJlr+2

而/ze[0,l],

故/Je£，(，故D正确.

Jr+2L32.

故选：BCD.

13.回

答案第6页，共14页

【分析】根据圆的一般式方程与标准式方程之间的转化即可求解.

【详解】由圆C:x2+y2-2x+6y=0,整理可得：(x—l)?+(^+3?=10,

则圆C的半径为风.

故答案为：Vw

14.正/及

22

【分析】由投影向量的定义再结合数量积公式即可得解.

【详解】因为4(14,1),5(2,3,1),C(3,l,3),所以油=(1,2,0),AC=(2,0,2),

I、AB-AC1X2+2X0+0X220

则AB在AC上的投影向量的模为M•cosa==飞耳而=显=3.

故答案为：显.

2

15.5

【分析】由指数函数的性质，直线过定点和两点间距离公式解出即可.

【详解】/(2)=a°+l=2,r.4(2,2)；

由依-y+2"l=0得：y+1=>(》+2),.••直线恒过定点3(—2,-1)；

■■■\AB\="2一2)2+32)2=5.

故答案为：5.

16.1296

【分析】首先由递推关系算出4=〃，求出S“=必詈，再由等比中项得到aM=,xs—,

解出左=5,最后由基本量法求出2=b1Xg"T=6"T,求出最后结果即可.

【详解】依题意，?+与+?++%=〃，

123n

故当"=1时，4=1,

当*2时，幺+„+也=〃一1,

123n—1

依题意，两式相减可得，冬=1,则%="，

n

因为当〃=1时，也满足

答案第7页，共14页

所以，«„=«(«>1),故S.=也罗；

因为ak+l,Si是等比数列低｝的前三项，

所以""=£XS"3，

则仕+仔=(b3)丁+4),

化简得，k2—3^—10=0,解得左=5或左=—2(舍去)

所以4=寺=1,b2=a6=6,

所以等比数列也｝的公比4=g=6,通项公式b„=伪xqi=6力，

故々=64=1296.

故答案为：1296

17.方程为:一1=1,离心率0,实轴长4夜

【分析】根据等轴双曲线的性质利用待定系数法求解方程，即可由性质求解.

【详解】由题可知，双曲线C是等轴双曲线，设方程为尤2一丁=%(租N0)

因为点4(3,-1)在双曲线C上，代入方程得：32-(-l)2=m.

解得根=8.

所以双曲线C的方程为――产=8,双曲线。的标准方程为《―M=l,

88

并且。=2顶，b=2叵,

贝Uc=4,

Q4/~

离心率，="=运=应'

实轴长2a=40.

18.(1)(?„=3"-1

【分析】(1)根据条件建立关于6,4的方程组，然后解出即可得答案;

(2)利用分组求和法求出答案即可.

答案第8页，共14页

+。3+。4=39

【详解】（1）

[%=2〃4+3%

劣(g+42+/)=39

，•・'；：，2,q>°，解得

%q=2%q+3%q

1n1

(2)由题可知包=几+3"i,Tn=1+2+--+n+1+3++3,

.T_〃(1+〃)1-3〃_3n+n2+n-l

〃21-32

19.(i)2vn

(2)面积最大值为8,直线方程为x+y-7=。或7x—17y+47=0

【分析】（1）法1：求出圆心和半径，得到圆心到直线/的距离，利用垂径定理得到弦长；

法2：联立直线与圆的方程，得到两根之和，两根之积，利用弦长公式求出答案；

法3：联立直线与圆的方程，求出交点坐标，利用两点间距离公式求出答案；

（2）设出直线方程y-4=匕（尤-3）,求出圆心C到直线的距离,利用垂径定理表达出面积S,

7

求出最大值，并得到尤=T,k2=^,得到直线方程.

【详解】（1）法1：圆C的圆心坐标为C（-2,5）,半径厂=4,

1-4-5+41r

圆心C到直线/的距离”=/。.

也+（T

则截得的弦长AB=2y116-d2=2，16-5=2VH；

法2：设A（石孙％），联立方程组得,

2x-y+4=0

，(x+2)2+(y-5)2=16

消，得5尤2-11=0,

由韦达定理得无]+x2=0,=—■—.

|AB|=Vl+22x/o-4xl-y|=2711；

法3：设4（4%）,3（%,为），联立方程组得,

答案第9页，共14页

2x-y+4=0

*(x+2)2+(y-5)2=16

消y得5d—ii=o,解得玉=叵,％=-叵，

1525

mil20+2岳20-2755

则％=----5----，%=---------，

|AB|=否三)包20一泞;=2而

(2)圆C的圆心坐标为C(-2,5),半径尸=4,

当直线4的斜率不存在时，与圆没有交点，舍去,

设直线4的方程为J—4=匕(％—3),即幻-y+4-3左=0,

I―5k-11

则圆心C到直线4的距离为4=—7==",

也+1

2

又4CMN的面积S=J&X2/16-d：=4J16_&2=_8)+64,

所以当4=2夜时S取最大值8,

।_5k—11i—

由4=-^=^=242,得17婷+1。尢一7=0,

qk+1

7

解得用=—1,k2=—,

所以直线4的方程为1+y—7=。或7元-17y+47=0.

20.(1)证明见解析;

DP]_

⑵存在，而

2

【分析】(1)借助旋转的意义，结合平行四边形证得8//历，再利用线面平行的判定推理

即得.

(2)根据给定条件，建立空间直角坐标系，设出点尸的坐标，利用空间向量求出线面的正

弦，列出方程求解即得.

【详解】(1)将直角梯形ABCD绕着AB旋转得到直角梯形ABEF，则CD=EF,且CD//EF,

因此四边形CDFE为平行四边形，则DfV/CE,又CEu平面BCE,。月①平面3CE,

所以。///平面BCE.

答案第10页，共14页

(2)由AF_LAD,ZZMS=90°,/E4S=90。，得AD,AB,AF两两垂直，

以A为坐标原点，直线AD,AB,AF分别为％y,z轴，建立空间直角坐标系，

令AD=1,有Afi=2DC=2AD=2,则A(0,0,0),0(1,0,0),F(0,0,1),B(0,2,0),C(l,l,0),

假定在线段D尸上存在点尸满足条件，

DP

设---=m(0<m<1),则DP=znZXF=zn(—1,0,1)=(一人0,加)，P(1—m,0,m),

DF

当机=0时，此时尸与。重合，直线"和平面BCD垂直，不满足所成角的正弦值为驾，

舍去；

当机W0时，设平面5cp的法向量为〃=(%,y,z),BC=(1,-1,0),PC=

BCn=x-y=0

则J,令元=机，得几=(加,利加+1),而Ab=(O,O,l),

PC•n=mx+y-mz=Q

设直线"和平面8cp所成的角为，，则

+1

sinQ=|cos<AF,ri)\=J.^-=亲，

I||n|J济+/+(冽+1)2vl1

而加>0,解得加=1，即点尸为线段。尸的中点，

2

所以在线段。尸上存在点P,使得直线"和平面8c尸所成角的正弦值为斗，此时

DP_1

DF-2-

21.(1)产=4尤

⑵证明见解析，(4,0)

【分析】(1)利用抛物线的定义或者直接把条件转化可得答案；

(2)设出方程》=5+〃，利用垂直可得〃=4,进而得到定点或者利用直线的两点式方程,

结合韦达定理可得定点.

【详解】(1)法一：因为P到点(1，。)的距离与到直线x=T的距离相等；

答案第11页，共14页

所以尸的轨迹是以(1,0)为焦点x=-l为准线的抛物线故可设C的方程为/=2Px5>0),

则有]=1所以。=2,

故C的方程为/=4x.

法二：设P的坐标为(x，y)则有J(x-1)2+/=卜+[,

所以(x+l)2+y2=G+[)2.

BPy2=4x,所以C的方程为V=4x.

(2)法一：设/方程为x=7肛+〃(〃w0),M(X[,%),"(无2，必)，

因为QW