2023年高考数学知识点三轮练习10 平面向量小题提高练（解析版）

【一专三练】专题10平面向量小题拔高练-新高考数学复习

分层训练（新高考通用）

一、单选题

1.（2023•浙江•永嘉中学校联考模拟预测）已知ΛSC是边长为1的正三角形，BD=2DC

AB+AC=2AE^则AE∙4D=（）

333

A.-B.-C.-D.1

428

2.（2023•浙江•模拟预测）已知在三角形ABC中，AB=3,AC=2,NA=60。，点M,N

分别为边A8,AC上的动点，AM=xAB,AN=yAC,其中x,y>0,x+y=l,点P,Q

分别为MMBC的中点，则IPQl的最小值为（）

ʌ√2lr3√21r√19n719

141442

3.（2023•浙江温州•统考二模）已知向量α,，满足”=1,且对任意实数x,ʃ,∖a-xb∖

的最小值为母，好间的最小值为则卜+4（）

A.√7B.√5+2√3

C.币或0D.45+2√5或，5-2月

4.（2023•江苏苏州•苏州中学校考模拟预测）已知α=（sine,l-4cos21）,

⅛=(l,3sin<z-2))

2

D.

7

5.（2023•江苏徐州•徐州市第七中学校考一模）在平行四边形ABC。中，E、尸分别在边

AD.C。上，AE=3EDfDF=FCAF与应:相交于点G,记A3=〃,AO=〃，则AG=()

63

B.—ClH-----b

1111

36

C.乜+1D.—Cl+一b

11111111

6.（2023•江苏南通•海安高级中学校考一模）已知等边.ΛBC的边长为2,。为8C的中

2

点，P为线段A。上一点，PEYAC,垂足为E,当P5PC=-］时，PE=()

A.—A8~ι—ACB.-JAB+'AC

3336

2uuπ1Uiun

C.—ABH—ACD.——AB+-AC

6333

7.（2023•福建泉州•统考三模）已知平面向量〃、b、C满足,卜1,be=。，a∙b=∖>

a∙c=-∖.则"d的最小值为()

A.1B.√2C.2D.4

8.（2023•福建漳州•统考二模）如图，在正方形ABC。中，E,F分别为边BC、CC的中

25

点，AG=-AB+-AD,EG=AEF,则/1=()

3

D.

4

9.（2023•福建泉州•校考模拟预测）我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾

股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被

后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还

被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三

角形和中间的小正方形组成的，若A8AD=b，E为BF的中点，则AE=（）

A

C

4224「42,>24,

A.-d+-bB.-d+-bC.-a+-bD.-a-3t--b

55553333

10.(2023•山东威海•统考一模)已知向量4=(7Sine-1,5),⅛=(l,-cos26^),若〃,/?,

则∞s26=()

772424

A.B.C.D.

25252525

11.（2023•山东•潍坊一中校联考模拟预测）已知等边三角形ABC的边长为I,动点P满

足∣AP∣=1.若AP=∕IA8+/MC,则，+〃的最小值为（）

A.-√3B.一也C.0D.3

3

12.（2023•山东淄博•统考一模）已知AfiO中，OA=1,OB=2,OAOB=-I-过点。

作。。垂直AB于点。，则（）

5234

A.OD=-OA-^-OBB.OD=-OA+-OB

7777

2543

C.OD=-OA+-OBD.OD=-OAOB

7777

13.（2023∙山东枣庄•统考二模）已知“，b,C•是同一平面内两两不共线的单位向量，

下列结论可能成立的是（）

A.6∙（α+c）=2

B.（α+6）〃（a-6）

C.存在不全为O的实数2,N,使痴+〃》=0

D.若α+6+c=0,则卜-H=G

14.（2023-山东•沂水县第一中学校联考模拟预测）已知等腰直角三角形ABC中，A=5,

M,N分别是边AB,BC的中点，若3C=sAN+/CM,其中s，t为实数，则s+f=（）

A.-1B.1C.2D.-2

15.（2023•湖北•宜昌市一中校联考模拟预测）已知平面非零向量“为满足〃.分=∣2α+bI,

则IaI|〃|的最小值为（）

A.2B.4C.8D.16

16.（2023•湖南•湖南师大附中校联考模拟预测）如图，。是平行四边形ABa）所在平面

内的一点，且满足NAOB=LNBoC=巴,2g∣OA∣=2∣OBI=3|。CI=6,则Ioq=（）

2611

A.2B∙GC.√2D.1

17.(2023•广东•校联考模拟预测)已知向量α"满足同=%,a6=0,则tan52a-b)=

)

A∙一芈B.当C.4D-⅛

18.（2023•广东江门•统考一模）设非零向量加，〃满足M=2,W=3,何+〃卜3&,

则m在〃方向上的投影向量为（）

C5

D.-m

8

二、多选题

19.（2023•河北石家庄•统考模拟预测）设°力是两个非零向量，则下列命题中正确的有

（）

A.若卜+q=∣4-W，则存在实数上使得α=λ6

B.^a±b,贝小+0=卜_目

C.若,+q=W+M∣,则“在b方向上的投影向量为α

D.若存在实数X使得a=λ∕>,则卜+0=卜卜忖

20.（2023•江苏连云港•统考模拟预测）设”，b,C是三个非零向量，且相互不共线,

则下列说法正确的是（）

A.⅛∣α+⅛∣=p-6∣,则“_L〃B.若W=W，则（a+b）_L（a-b）

C.若a∙c=b∙c，贝!lα-/?不与C垂直D.仅∙c）a一（α∙c）b不与C垂直

21.（2023•河北•河北衡水中学校考模拟预测）在ABC中，AD=ΛAB,BE=μBC,

CF=tCA,4〃/>0且2+4+t=l

,贝I」（）

=

A.S△oEFɪ(几〃+λt+μt^5ΔABC

B.SAABC—3S8DEF

C.QSAADF+dSABDE+dSACEF≤J3(1-4L∕⅛_〃/)§△ABC

D.三4,N，t，使得∖jS△ADF+JSABDE+4S“Ek'—12S&ABC

22.（2023•福建•统考一模）平面向量皿〃满足|帆|=|〃|=1,对任意的实数/,

加一≤∣"7+"U恒成立，则（）

A.加与〃的夹角为60。B.O+tn)2+(∕n-tn)2为定值

1.

C.∖n-tιn∖的最小值为gD.机在m+〃上的投影向量为/（m+〃）

23.（2023・山东・烟台二中校考模拟预测）已知向量〃乃满足|〃+26=|〃|,|3〃+回=|。-。|,

且∣α∣=2,则（）

A.∖b∖=2B.a+b=OC.∖a-2h∖=4D.a-b=-4

24.（2023•江苏宿迁•江苏省沐阳高级中学校考模拟预测）已知向量〃=（LSin8）,

⅛=（cos^,√2）,则下列命题正确的是（）

ʌ.存在9，使得〃///?

B.当tan6=-巫时，α与人垂直

2

C.对任意0,都有∣α∣≠g∣

D.当αJ=-g时，”与匕方向上的投影为-迈

7

25.（2023•浙江•统考一模）已知0为坐标原点，点A（COSaSin。），

A.∖AB∖=∖BC↑B.OA+OB=CO

ULIUCIU

C.OA?OB0D.OA∙(θB+OC)>0

26.（2023•浙江•校联考三模）在平面直角坐标系中，已知点0（0,0）,OA=（1,2）,OB=（3,1）,

则（）

A.IABl=石

B.一AOB是直角三角形

C.OA在。B方向上的投影向量的坐标为［士）

D.与OB垂直的单位向量的坐标为（-噜,噜）或（噜，-零）

27.（2023∙江苏南通•模拟预测）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其

华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞日：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻

常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形C0。，其中

9Jr

ZCOD=-,OC=3OA=3,动点P在CO上（含端点），连结OP交扇形OAB的弧

于点。，且OQ=xOC+yOO,则下列说法正确的是（)

B.若y=2x,贝IJQA-。户=0

C.ABPQ≥-2D.PAPB≥-

2

三、填空题

28.（2023•山东青岛•统考一模）已知O（O,（））,A（l,2）,B（3,-l）,若向量加〃且机

与的夹角为钝角，写出一个满足条件的机的坐标为.

29.（2023•湖南郴州•统考三模）已知点M（l,2）,若过点N（3,0）的直线机交圆

C:（x-5>+V=6于A8两点，则IAM+MBl的最小值为.

30.（2023•浙江温州•统考二模）若向量α,b满足（a+b]-丁=W=3,且卜上2,则〃在

b方向上的投影的取值范围是.

2023一年高天数樊重点专题三轮冲刺演练

【一专三练】专题10平面向量小题拔高练-新高考数学复习

分层训练（新高考通用）

一、单选题

1.（2023•浙江•永嘉中学校联考模拟预测）已知43C是边长为1的正三角形，BD=IDC，

AB+AC=2AE^则AE∙AL>=（）

333

A.-B.-C.一D.1

428

【答案】A

【分析】根据题意画出图像，即可得出AELBC,∣AE∣=*,再得出AO=AE+EZ）,

代入计算即可得出答案.

【详解】由AB+AC=2AE,可知E为BC中点，所以AEJ_8C,如图所示：

因为8O=2OC,根据上图可知AD=AE+EZ)=AE+,BC

6

ΛE∙ΛD=AE∙^AE+^Bcj=∣AE∣2=|

故选：A

2.（2023•浙江•模拟预测）已知在三角形ABC中，AB=3,AC=2,ZA=60°,点M,N

分别为边AB,AC上的动点，AM=XAB,AN=yAC,其中x,y>0,x+y=1,点P,Q

分别为MN,BC的中点，则IPQl的最小值为（）

A.叵R3√21r√19n719

D.-------c.-----u.-----

141442

【答案】B

【分析】根据尸Q=AQ-AP=宁AB+5AC,再计算PQ∖得到函数

7Q

y=^Λ2-3Λ-+^(0<x<l),最后根据二次函数在区间最值的求法即可求解.

,-

r'-½A∙J1n八AZiA∏A3+ACAM÷AN\—X1VAC1—X,XAC

【详斛】PQ=AQ-AP=----------------------------=AB+—-AC=---A4Br+-AC，

222222

2923_年蔓天数樊重点专题三轮冲刺演练

22

则尸。2=ɑ-ʌɔlab+≤ΛC+NI二X)AB-AC,

442

221

而AB=9,AC=4,ABAC=3x2x-=3,

2

-279、

/.PQ=-X92-3x+-(z0<x<1),

7O6

lfijy=-x2-3x÷-的对称轴为^=-∈(0,l),

447

故当X=E时，IPQl=旦,IPQL=主包，

7IxHmin28“HlmInɪ4

故选：B

3.(2023•浙江温州•统考二模)已知向量°,匕满足W=1,且对任意实数盯J,∖d-xb∖

的最小值为乎，的最小值为G，则w+0()

A.√7B.√5+2√3

C.不或&D.C+2g或，5-2-

【答案】C

【分析】不妨设向量α=(l,0),b=(m,ri),求出a-汕，6-yα的坐标，,-XN表示为

关于X的二次函数，根据二次函数的图象与性质可利用最小值列出等式，同理，区-约(

衣示为关于y的二次函数，利用最小值列出等式，两式联立求出，〃，“，即可求得卜+可.

【详解】不妨设向量α=(l,0)，b=(m,n),

贝IJa-xb=(∖-xm,-xn),b—ya=(m-y,n),

所以,一XW=(1-∕WΛ)2+(-xn)2=^m2+H2)X2-2mx+i,

乂对任意实数X有Id-Vl的最小值为日,

所以'"[2、一二W,化简得1=3〉.

4(m2+n2)(2J

XI⅛-ʃdi∣2=(m-y)2+n2,

对任意实数y有M-的最小值为石，

所以〃2=3,所以3疗=3,即〃7=±1.

由&+〃=(1+TW,M),可得卜+耳=(l+m)2+??=〃，+/+2m+l=7或3,

故,+0=77或√J.

2023一年高天数樊重点专题三轮冲刺演练

故选：c.

【点睛】本题主要考查平面向量与二次函数最小值的综合问题，考查考生分析问题、解

决问题的能力以及运算求解能力，属于中档题.本题求解的关键：一是设出向量“，h

的坐标，有利于从“数''的角度加以分析；二是在“平方”变形的基础上，灵活运用二次函

数的最小值.

4.(2023•江苏苏州•苏州中学校考模拟预测)已知α=(sin],l-4cos2a),

，若aHb，则π

b=(1,3Sina-2)αe(θ(),tan[α-?)

4

DT

a∙7b∙4c∙7

【答案】B

【分析】首先根据平面向量平行的坐标表示可知l-4cos2O=sinα(3sinα-2),再根据

33

余弦二倍角公式化简、解方程可得Sina下进而可得UnaK再根据两角差的正切

公式即可求出结果.

【详解】因为W/E，

所以1—4cos2a=sincif(3sina—2),

l-4(l-2sin2a)=3sin2a-2Sina,

5sin2cr÷2sinα<-3=0»

3

所以Sina=W或Sina=-1,

又αc[0'T],所以Sina=

3

所以tani=—，

4

ɜ,l

tana-l_4ɪ

所以tan

1+tanσj+ɜ7

4

故选：B.

5.(2023•江苏徐州•徐州市第七中学校考一模)在平行四边形ABCQ中，E、尸分别在边

AD.CO上，AE=3ED1。尸=FcA/与庞:相交于点G,记AB=a,A。=b,则4G=()

I)

F

B

2023一年高天数樊重点专题三轮冲刺演练

A.-a+-b

1111

【答案】D

【分析】根据题意过点F作FN平行于BC,交BE于点、M,先利用三角形相似求出

婴=9,然后利用向量的线性运算即可求解.

FG5

【详解】过点F作FW平行于BC,交.BE丁点M，

1133

因为。尸=FT,则尸为OC的中点，所以MNAEMN=-AE=-×^AD=-AD,

35

因为Nr=A。，所以=N尸一MN=A。一二A。=二AO,

88

_ΔΓ)

AGMAGAE46

由,AEG/iMG可得:下δ'所以元=而=

一∕∖Lf

666-13-6♦

因为AG=JyAF=∙∩∙(AO+OE)=yj(AQ+/AB)=j∙A8+yyAO,

所以AG=±3a+?6儿

1111

"7F

BZ---------------?

故选：D.

6.(2023•江苏南通•海安高级中学校考一模)已知等边ABC的边长为2,。为BC的中

2

点，P为线段AO上一点，PELAC9垂足为E,当P3∙PC=-g时，PE=()

--AB+-ACB.—ABH—ΛC

2Uun1UUD

——AB+-AC一一AB+-AC

【答案】B

2

【分析】设AP=∕IAO,由=求出4,得到P为∣ΛBC的重:心，E为AC的中

点，再利用平面向量基本定理求解即可.

【详解】解：τScAP=λAD(O<λ<∖),贝I]PC=AC-AP=AC-2Af>,PB=AB-λAD

■■PC-PB=(AC-λAD)(AB-λAD)=AC-AB-AAC-AD-AAB-AD+λ2AIf=

/ɜ2

2-Λ×2×√3×-×2+3Λ2=3Γ-6Λ+2=一一,

23

2023一年高天数樊重点专题三轮冲刺演练

24

.∙.9Λ2-18Λ+8=O,.∙.λ=-^λ=~(舍去)，

33

；.P为ABC的重心，PELAC,.∙.E为AC的中点，

.∙.PE=AE-AP=-AC--AD=-AC--×-{AB+AC)=--AB+-AC,

2323236

故选：B.

7.(2023•福建泉州•统考三模)已知平面向量“、b、C满足M=l,b∙c=G,a∙b=l,

a-c=-∖,则卜+］的最小值为()

A.1B.√2C.2D.4

【答案】C

【分析】不失一般性，在平面直角坐标系XQy中，设a=(l,0),∕>=(χ1,y,),c=(χ2,y2).

根据平面向量数量积的坐标运算可得出玉、巧的值，以及的值，再利用平面向量的

模长公式以及基本不等式可求得B+d的最小值.

【详解】不失一般性，在平面直角坐标系XQy中，设a=(l,O),⅛=(x1,y,),c=(x2,y2),

因为QA=X=1,a∙c=x2=-∖fb∙c=xxx1+y∣y2=弘%—1=0，

所以，M+c∣=，(1-1『+(二+必)2Ty+>2∣=y+：=M+自可升卡=2,

当且仅当y=±ι时，等号成立.

因此，M+4的最小值为2.

故选：c.

8.(2023•福建漳州•统考二模)如图，在正方形48CZ)中，E,F分别为边8C、CD的中

25

点，^AG=-AB+-AD,EG=AEF,则丸=()

36

【答案】C

【分析】根据向量的运算法则得到EG=TAB+：AO,EF=-^AB+^AD,得到答

2923一年高考数樊重点专题三轮迎刺演练

案.

【详解】EG=EAΛ-AG=EB+BA^AG=-AB--AD+-AD=--AB^Γ-AD,

23633

113（11、3

EF=EB+BA+AD+DF=一一AB+-AD=-∖一一AB+-AD∖=-EG,

222133J2

2

战EG=-EF.

3

故选：C

9.（2023•福建泉州•校考模拟预测）我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾

股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被

后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还

被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三

角形和中间的小正方形组成的，若4B=α,AD=b，E为防的中点，则AE=（）

-42,

C.-a∙∖--bD.

55553333

【答案】A

【分析】根据相似三角形，利用向量的分解可得解.

如图所示，过点E分别作EMENi.AD,分别交A3,A。于点M,N,

则“WEAEB,.-.AENABE,

∖AM∖AEANAEBE∣∙∣AE∣

所以∣Λ7V∣=

ABBEAB∖AB

由已知得IA耳=IBFl=2,目

2023一年高天数樊重点专题三轮冲刺演练

BEɪ

则在放AEB中，tan/BAE=——=-

AE2

所以COSNBAE=,sinZ.BAE=—.

即M=咨

所以,加卜：

即AΛ√=[AB,AN=^AD,

4242

所以AE=4M+AN=—48+—AD=—Q+—Z?

5555

故选：A.

2

10.(2023•山东威海•统考一模)己知向量α=(7sine-1,5),⅛=(l,-cosθ),^alb)

则COS2。=()

24

A-B.ɪC3D.

25252525

【答案】B

【分析】由求得sin。，再用倍角公式求cos26即可.

2

【详解】因为α=(7sind-l,5),⅛=(l,-cosθ},alb,

所以7sin6-l-5cos2(9=0,BP7sin6>-l-5(l-sin26∣)=0,

所以5sin2(9+7sine-6=0,解得sin(9=∣或Sine=-2(舍),

所以COS26=l-2sin2e=I-2x(3)=—,

⑶25

故选：B

11.（2023•山东♦潍坊一中校联考模拟预测）已知等边三角形ABC的边长为1,动点尸满

足kH=l.若4P=∕M8+H4C,则2+〃的最小值为（）

A.-√3B.-拽C.0D.3

3

【答案】B

【分析】利用平方的方法化简己知条件，结合基本不等式求得2+〃的最小值.

【详解】网=IAq=MI=LZc48=1,

由AP=/IAB+〃AC两边平方,得AP2=^λAB+〃AC?,

2923在高考数嬖重点专题三轮迎刺演练

即∖=λ1+λμ+μ2=(Λ+∕√)2-Λ∕∕≥(λ+∕√)2—(：；〃)=-∣(Λ+∕√)2,

当且仅当几=〃=±且时等号成立，

3

所以(2+")2≤g,-^≤∕l+M≤^,

所以2+〃的最小值为一拽.

3

故选：B

12.（2023•山东淄博•统考一模）已知ABo中，OA=I,OB=2,OAoB=—1，过点。

作OQ垂直AB于点O,则()

5234

A.OD=-OA-^--OBB.OD=-OA-F-OB

7777

2543

C.OD=-OA-F-OBD.。。=—。4+203

7777

【答案】A

【分析】根据。4∙OB=T求得NAo8=120°,再用余弦定理求得48=√7,利用等面积

法求得。。=@,勾股定理求得Ao=毡，从而=最后分解为己知向量即

777

可.

t≡1—^7，

8O

OAOB=∣OA∣∣(9B∣cosZAOB=2cosZAoB=一1，即CoSZAOB=-^,

乂因为0°<NAOBc180"，所以NAOB=I20°.

在，AOB中，根据余弦定理可得：

AB2=OA2+OB2-20A08∙cos120°=7，BPAB=√7,

根据三角形面积公式SA(W=gAB∙OD=gθA∙O8∙sinl20°,解得OD考,

AD-ʌ/0Λ2—OD2=AD=—AB.

ɔɔCɔ

.∙.OQ=OA+AO=OA+-A3=OA+-(03-OA)=JQA+-OB.

77、777

故选：A

13.(2023•山东枣庄•统考二模)已知a,b,C是同一平面内两两不共线的单位向量,

下列结论可能成立的是()

2923在高考数嬖重点专题三轮迎刺演练

A.8∙(o+c)=2

B.(o+b)∕∕(α-b)

C.存在不全为0的实数4,μ,使"+〃。=0

D.若α+6+c=0,K∣J∣α-⅛∣=√3

【答案】D

【分析】由平面向量数量的定义、共线向量定理可判断A,B,C；由α+Hc=0可得

a+b=-c,两边同时平方可得“为=120。，同理可得α∙c=l20。AC=I20。，由向量的模

长公式可求出卜-力卜有可判断D正确.

[详解】对于A,由6∙(α+c)=2可得M闷COSa,人+J"[c]cosc,6=cosα,⅛+cosc,⅛=2,

因为COSa,b∈[-1,1],COSC,6∈[-l,l]>

所以COSq,6=CoSC,6=1,故°,〃共线，b-C共线，故A不正确；

对于B,若(α+∕>)∕∕(a”),则α+5=/仅询,则(IT”+。+/”=。,由向量共线

定理可知，a,b共线，故B不正确；

对于C,存在不全为O的实数;I,μ,使/la+〃b=(),由向量共线定理可得£,B共线，

不满足”,b是不共线的向量，故C不正确；

对于D,由α+b+3=0可得α+b=-c,两边同时平方，K∣j(α+⅛)^=(-c)2,

1+1+2CoS。/=InCOSabɪ-ɪ,贝∣J〃力=120。

同理可得〃∙c=120°,A∙c=12()o,

所以,一6卜=^tz2+b2+4∣6z∣∙∣fe∣∙cos6z^=V5+4cosΛ∙Z?=∖∣5-2=C,故D正确.

故选：D.

14.(2023•山东•沂水县第一中学校联考模拟预测)已知等腰直角三角形ABC中，A=，

M,N分别是边AB,BC的中点，若2C=sAN+fCM，其中,,，为实数，则s+f=()

A.-1B.1C.2D.-2

【答案】D

【分析】根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理分析运算.

uniIlmmuUUO∣UUlI]UUUUUirUUiruuuιuunuuu

【详解】由题意可得：BC=AC-AB,AN=-AB+-AC,CM=AM-AC=-AB-AC,

222

2923一军蔓天数奖重点专题三轮冲刺演练

若BC=SAN+tCM，则

Uiraiinn(1uuπιuiraɪ、(ιuiɪɪuuuɪʌ(ιιλuiɪɪ(∖∖uιππ

AC-AB=s\-AB+-AC\+t\-AB-AC\=\-s^-t\AB+\-s-t\AC,

可得D-1,故s+f=-2.

22

故选：D.

15.(2023•湖北•宜昌市一中校联考模拟预测)已知平面非零向量α力满足eb=∣2α+b|,

则∣α∏6∣的最小值为()

A.2B.4C.8D.16

【答案】C

【分析】根据向量数量积的定义和关系，把“∙b=∣2α+b∣的两边平方，利用基本不等式

进行转化求解即可.

【详解】设非零向量d,8的夹角为"

a∙b=]a∖∖b∖cos0=]2a+h∖>Of所以OVCoSe41,

由4。=∣2d+/I两边平方得：I。Flb『cos2^=4α2+b2+4a∙b,

22

4d+b≥2∖2df^∖f

「.卜∣2∣⅛∣2cos26^≥2∣2β∣∣⅛∣+4∣f7∣∙∣⅛∣cos^,

β[J∣67∣∣⅛∣COS2^≥4+4cos^,

2

即删I」

N"=4=4ɪlɪ

COSe,COSeCOSe2IT，

.0<cos6≤l,；.一二≥1,即当一二=1时，⑷闻取得最小值,最小值为8.

cosσCOSe

故选：C.

16.(2023•湖南•湖南师大附中校联考模拟预测)如图，。是平行四边形ABCo所在平面

内的一点，且满足∕AO8=g∕8OCJ,2亚OA∣=2∣O8∣=3∣OC∣=6,则网=()

【答案】D

【分析】运用向量线性运算及数量积运算求解即可.

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【详解】由已知，可得IOAi=√3,∣0B∖=3,1OCI=2,ZAOC=,

乂四边形ABC。为平行四边形，

所以IO。∣2=(OC+8)2=(OC+BA)2=(OC+OA-OB)2

，2*2.9

=OC+OA-+OB+20COA-20CoB—20AoB

=4÷3+9+0-2×2×3×cos--2x73×3×cos-=1,

36

所以|。4=1.

故选：D.

17.(2023•广东•校联考模拟预测)已知向量d,b满足同=W,a-b=O,则tan(a,2"-与=

()

A.一型B.也C.--D.；

5522

【答案】D

【分析】由数量积运算律及向量夹角公式可得cos（α,2“-6）,后可得tan（a,2a-。.

【详解】由题可知，∖2a-b∖=J(2a-b)2=y∣4a2-4a'b+b2=√51«|.所以,

"'25=噩斗］⅛=竽'岬②叫为锐角，得

sin2〃则tan<α,2"叫==

5

故选：D

18.（2023•广东江门•统考一模）设非零向量M,〃满足M=2,W=3,何+〃卜3&,

则m在〃方向上的投影向量为（）

【答案】B

【分析】根据向量模的性质由已知可求得机.〃，则按照“在”方向上的投影向量的定义

求解即可.

【详解】因为网=2,卜卜3,所以

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∖m+〃]=J(∕n+n)^=∖∣m2+2m∙n+n2=j4+2w+9=3χ∕∑，

则13+2m∙"=18,解得∕n∙"=3,

2

5

所以m在〃方向上的投影向量为MICoS股”S=M・韶者=坐5=3=9”

1i|«|11H-H同∖nf918

故选：B.

二、多选题

19.（2023•河北石家庄•统考模拟预测）设。力是两个非零向量，则下列命题中正确的有

（）

A.若卜+4=卜卜忖，则存在实数几使得α=λ⅛

B.^a±b,y∣∣J∣α+⅛∣=∣w-⅛∣

C.若k+M=W+W，则〃在人方向上的投影向量为“

D.若存在实数人使得α=λZ>,则,+。|=|4-什

【答案】ABC

【分析】根据平面向量的模、及线性运算的概念即可判断.

【详解】当卜+.=忖-W时，α,B的方向相反且W诽I，则存在负实数/1，

使得“=λΛ,故A正确D错误；

若山,则以为邻边的平行四边形为矩形，且麻耳和卜彳是这

个矩形的两条对角线长，所以|£+.=忖-4,故B正确；

若卜+M=W+W则α,b的方向相同.”在b方向上的投影向量为a，故C正确.

故选：ABC.

20.（2023•江苏连云港•统考模拟预测）设”，。，C是三个非零向量，且相互不共线，

则下列说法正确的是（）

A.若卜+陷=,一可，则“J.6B,若H=W，则（a+6）_L（a-6）

C.茗a∙c=b∙c,贝∣Jα-b不与c垂直D.仅∙c）α-（α∙c.不与C垂直

【答案】AB

【分析】A选项，卜+同=卜-4两边平方计算出“力=0,得到垂直关系；B选项，计算

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出(α+A)∙(α-b)=O,得到垂直关系；C选项，计算出1c-5∙c=0,得到垂直关系，D

计算出［仅∙c)”-(α•,可∙c=0,得到D正确.

【详解】a，b，C是三个非零向量，

A选项，,++>L0两边平方得：(α+/=(α叫-,即1+为必+^=/—2。％+1,

故二∙1=0,Pl1JaLbA正确;

B选项，(α+6)∙(α-6)=J-/T="-忖，因为W=所以(α+b)∙(α-θ)=0,

⅛(a+⅛)±(α-⅛),B正确;

C选项，a∙c=b∙c,故α∙"-力c=""c=O,则与2垂直，C错误；

D选项，［9∙c)α-(α∙c)叶C=R∙c)(α∙c)-(4∙c)R∙c)=O,故,∙c)α-(α∙c及与£垂直,

D错误.

故选：AB

21.(2023•河北•河北衡