中考数学复习指导：一个几何模型的六类应用

一个几何模型的六类应用一、几何模型如图1，点A，B是在直线l同侧的两个定点，在直线l上求作一点C，使它到A，B两点的距离之和最小．作法如图2，作点B关于直线l的对称点B'，连结AB'交直线l于点C，则C即为所求．连结BC，这时AC＋BC最小．证明略．这个几何模型，是用来解决线段和最小值问题的一种常用方法．但是，在比较复杂的图形背景下，应用这个模型解决最小值问题时，要注意：①认清动点所在的直线，以及这条直线同侧的两个相关定点；②根据易作、易求等原则，可以在两个定点中选择其中一个作关于直线的对称点；③连结对称点与另一个定点，所得线段与直线的交点就是所要求作的点，所得线段的长度就是所要求的最小值．二、应用举例1．在三角形背景下例1如图3，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点．若AE＝2，则EM＋CM的最小值为________．分析动点M在AD上，同侧两定点是E，C．选择点C，它关于AD的对称点是B，连结BE．则线段BE的长度就是EM＋CM的最小值．设AC的中点为N，连结BN，在Rt△BEN中可求得答案2．2．在四边形背景下例2如图4，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM＋PB的最小值是3，则AB长为_______．分析动点P在AC上，同侧两定点是M，B．选择点B，它关于AC的对称点为D，连结DM，则DM的长度就是PM＋PB的最小值3．根据条件，可得△ADM为直角三角形，进而求得AB＝AD＝2．3．在圆背景下例3如图5，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为()(A)2 (B) (C)1 (D)2分析动点P在MN上，同侧两定点是A，B．选择点A，它关于MN的对称点设为C，连CB，则线段CB的长度就是PA＋PB的最小值．连结OB，OC，可证得△OBC是等腰直角三角形，从而求出PA＋PB的最小值为．4．在一次函数背景下例4在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B(4，2)两点，现另取一点C(1，n)，当n＝_______时，AC＋BC的值最小．分析如图6，动点C在直线x＝1上，同侧两定点是A.B，选择点B，它关于直线x＝1的对称点为D(－2，2)，连DA，则DA的长度就是AC＋BC的最小值．易求得直线DA的解析式为，把坐标C(1，n)代入解析式，可得n＝－．5．在反比例函数背景下例5如图7，直线y＝2x＋2与y轴交于A点，与反比例函数y＝（x>0）的图象交于点M，过点M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO＝2．(1)求后的值；(2)点N（a，1）是反比例函数y＝(x>0)图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PM＋PN最小，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．分析根据已知条件，可求得M(1，4)，N(4，1)．动点P在x轴上，同侧两个定点是M、N．选择点N，它关于x轴的对称点为C(4，－1)，连结CM，则CM与x轴的交点P即为所求．易求得直线CM的解析式为令y＝0，得x＝，所以P点坐标为（，0）．6．在二次函数背景下例6如图8，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－1，0），B(3，0)，C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理出．分析易求得抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3，对称轴V为直线x＝1．动点P在直线x＝1上，同侧两个定点是A,C．选择点A，它关于直线x＝1的对称点为B，连结CB，则CB与对称轴l的交点P即为所求．易求得直线CB的解析式为y＝－x＋3．当x＝1时，y＝2，∴点P的坐标是(1，2)．借助直尺和圆规，按下面三条思路，在直线∠上可以找到四个点肘，使得△MAC为等腰三角形：