高一数学新教材同步教学讲义 二次函数与一元二次方程、不等式（解析版）

二次函数与一元二次方程、不等式

【知识点梳理】

知识点一一元二次不等式的概念

一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即

形如α√+∕λr+c>o(≥o)或av2+zχr+c<0(≤o)(其中小儿C均为常数，α≠0)的不等式都是一元二

次不等式.

知识点二二次函数的零点

一般地，对于二次函数)=以2+ZλX+C,我们把使OX2+bx+c=。的实数X叫做二次函数

丁=冰2+陵+。的零点.

知识点三一元二次不等式的解集的概念

使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.

知识点四二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

对于一元二次方程Or2+⅛χ+c=0(。>0)的两根为不、々且χ∣≤%2,设A=∕j2-44c,它的解按照

Δ>0,Δ=0,△<()可分三种情况，相应地，二次函数y=0χ2+∕zr+c(α>0)的图像与X轴的位置关

系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式62+hχ+C>O3>0)或

ax2+bx+c<O(α>0)的解集.

Δ=Z>2-AacΔ>0Δ=0Δ<0

-17r

二次函数-ɪ

y=ax2+bx+c

(a>0)的图象0∣¾=x2

有两相等实根ɪ

ax2+bx+c=Q有两相异实根

b无实根

(α>0)的根r

x1,x2(∙ι‹⅞)…F

ax1+bx+c>Q(xjx<x⅛Jcr>x}<xx≠---I

l2R

(α>0)的解集I2"∫

ax2+bx+c<0

{Λ∣X,<X<x2)00

(α>0)的解集

知识点诠释：

(1)一元二次方程如2+版+。=0(。;^0)的两根斗、龙2是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛

物线y=αr2+bx+c与X轴的交点的横坐标；

(2)表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为

二次项系数为正的形式，然后讨论解决；

(3)解集分A>O,A=O,A<O三种情况，得到一元二次不等式0√+bχ+c>o与ar2+bχ+c<o的

解集.

知识点五利用不等式解决实际问题的一般步骤

(1)选取合适的字母表示题中的未知数；

(2)由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；

(3)求解所列出的不等式(组)；

(4)结合题目的实际意义确定答案.

知识点六一元二次不等式恒成立问题

(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即α√+历；+c>os≠0)恒成立=J">°恒成立

Δ<0

∣^4<0

0x7^+⅛x+c<0(<2≠0)o<

Δ<0.

(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.

知识点七简单的分式不等式的解法

系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”

【题型归纳目录】

题型一：解不含参数的一元二次不等式

题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇

题型三：含有参数的一元二次不等式的解法

题型四：一次分式不等式的解法

题型五：实际问题中的一元二次不等式问题

题型六：不等式的恒成立问题

【典型例题】

题型一：解不含参数的一元二次不等式

例1.（2022∙浙江•高一阶段练习）不等式（2+力（2-力>。的解集是（）

A.{Yx>2}B.{x∣x<-2}

C.{x∣Xe-2或x>2}D.{x∣-2<x<2}

【答案】D

【解析】

【分析】

直接解一元二次不等式即可得答案.

【详解】

解：原式化为（x-2）（x+2）<0,gp-2<x<2,故不等式的解集为{W-2<x<2}.

故选:£>

例2.（2022・广东•新会陈经纶中学高一期中）不等式-d+2x-3>0的解集是（）

A.RB.φC.{x∣x<-3或x>T}O.{x∣-3<x<-l}

【答案】B

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质，分析即可得答案.

【详解】

由题意得所求V-2x+3<0,令y=∕-2x+3,为开口向上的抛物线，

Δ=（-2）2-4×l×3=-8<0,

所以y=f-2x+3>0恒成立，

所以丫=/-2》+3<0不成立，故-/+2x-3>0的解集为“

故选：B

例3.（2022•安徽省利辛县第一中学高一阶段练习）不等式-2f+χ+15≤0的解集为（）

A.{x-∣∙≤x≤3}B.卜卜≤-∙∣或x≥3}

C.卜-3≤x≤g}D.{x∣x≤-3或x≥∣∙）

【答案】B

【解析】

【分析】

将式子变形再因式分解，即可求出不等式的解集；

【详解】

解：依题意可得2χ2-χ-i5≥0,故(2x+5)(x-3)≥0,解得x≤-g或x≥3,

所以不等式的解集为卜卜≤-∣或X≥3}

故选:B.

例4.(2022•新疆喀什•高一期末)解下列不等式：

(l)x2+4x+3>0;

,9

(2)-4x~+Gx—<0.

4

【答案】(l){x∣x<-3或x>T}

⑵何.野

【解析】

(I)

⑴因为A=16-4xlx3=4>0,

所以方程χ2+4χ÷3=0有两个不等实根x∣z=-∖,X2=-3.

所以原不等式的解集为&&<-3或x>7}.

(2)

O

⑵因为4=36—4x(z-4)x(-W)=O，

93

所以方程-4W+6X-J=0有两个相等实根JQ=X2=T

44

所以原不等式的解集为{χ∣χ≠5}.

【方法技巧与总结】

解不含参数的一元二次不等式的一般步骤

(1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0,使二次项系数为正.

(2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.

(3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.

(4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.

(5)根据图象写出不等式的解集.

题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇

例5.(2022・四川省高县中学校高一阶段练习(理))已知关于X的不等式/_4次+3/<0(〃>0)的解集为

(%,/),则玉+/+---的最小值是()

—

A./4√3

B.一亟rD一处

3333

【答案】C

【解析】

【分析】

由根与系数关系及基本不等式求目标式的最小值，注意等号成立条件.

【详解】

4α

由题设，ɪi+x2=-XlX2=3/且α>0,

所以占+X2+3=44+!≥2j4〃∙，-=坐,当且仅当α=@时等号成立.

x1x23aV3。36

故选：C

例6∙(2022∙四川•射洪中学高一阶段练习)已知不等式d-χ+α<o的解集为{M-2<X<3},则a=()

A.—6B.—C.6D.—

66

【答案】A

【解析】

【分析】

根据一元二次不等式的解集和一元二次方程根的关系直接求解即可.

【详解】

由不等式的解集知：-2和3是方程X2-x+α=0的两根，.,.a=-2×3=-6.

故选：A.

例7.(2022.湖南.怀化五中高一期中)若关于X的不等式皿?+8ZnX+21<0的解集为{x∣-7<x<-1},则实

数m的值为.

【答案】3

【解析】

【分析】

根据二次不等式的解，结合韦达定理即可求出m.

【详解】

由题可知，一7和一1是二次方程∕n√i+8"Lr+21=()的两个根，

Ol

故3=-7、(-1)=相=3.经检验满足题意

m

故答案为：3.

例8.(2022•浙江•金华市曙光学校高一阶段练习)已知不等式62-法-120的解集是{x∣-g≤x≤-g},

则不等式d-版-a<0的解集是.

【答案】{x∣2<<<3}

【解析】

【分析】

根据给定的解集求出。，〃的值，再代入解不等式即可作答.

【详解】

依题意，-pT是方程—的两个根，且“<。，

因此，不等式f—6x—α<0为：X2—5x+6<O,解得2<x<3,

所以不等式d—for—α<O的解集是{x∣2<x<3}.

故答案为：{幻2<X<3}

例9∙(2018∙浙江•长兴县教育研究中心高一期中)若不等式/-4χ+6≤0的解集是{x∣T≤x≤2},则实数α=

，b-.

【答案】I-2

【解析】

【分析】

由一元二次不等式解集，结合对应一元二次方程根与系数关系即可求参数h.

【详解】

由题设及对■应方程根与系数关系知：α=-l+2=l,b=-∖×2=-2.

故答案为：1,-2.

【方法技巧与总结】

三个“二次”之间的关系

(1)三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元

二次不等式的形式来研究.

(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的

图象及性质来解决问题，关系如下：

题型三：含有参数的一元二次不等式的解法

例10.(2022.广东梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习)解关于X的不等式0χ2+2x-α+2>0

【答案】答案不唯一，具体见解析

【解析】

【分析】

原不等式可化为(x+D(④-α+2)>0.然后分α=0,α>0和α<0三种情况求解不等式

【详解】

解：关于X的不等式Or2+2χ-q+2>0

可化为(X+l)(oc-α+2)>0.

(1)当α=0时，2(x÷l)>0,解得{幻工>—1}.

(2)当a>O,所以(x+l)(冗一色∕2]>O∙

所以方程(x+l)(X-与ZI=O的两根为-1和一，

当-1<丝工，即α>l时，不等式的解集为{x∣x<-l或X>e2},

aa

当-1=个，即a=l时，不等式的解集为{x∣xrT}∙

∩—2fa—2

当-1>幺」，即O<αvl时，不等式的解集为XIX<——或X>T},.

a[a

(3)当αvθ时，(x+-~~—J<0.

因为方程α+ι)G-巴a]=。的两根为一1和巴工，

kɑ√a

又因为~/7—9=1-2~>1,所以-1<幺/7—上2，.

aaa

即不等式(χ+ι)(X-与斗O的解集是{x∣-ι<x<F},

综上所述：当“<0时，不等式的解集为卜∣-l<x<F}

当α=0时，不等式的解集为{x∣x>T},

/7—9

当O<α<l时，不等式的解集为卜U<一丁或X>T}

当α=l时，不等式的解集为{x∣x*-l},

当α>l时，不等式的解集为{X|X<-1或工>^},

例U.(2022∙陕西.长安一中高一期中)已知关于X的不等式(α+b)x+(2α-3与<0的解集为卜卜>-9.

(1)写出“和匕满足的关系；

(2)解关于X的不等式(α-2b)x2+2(α-6-l)x+(α-2)>0.

【答案】(l)a=3b

(2)∣^-3+∣<x<-lj

【解析】

【分析】

(1)化筒(α+6)x+(2α-劝)<0,结合不等式的解集即可判断α+%<0,得至Ij3宗=-5即可得至IJ“和

。满足的关系.

(2)可用。或匕对不等式(a-28)χ2+2(a-0—l)χ+(a-2)>0进行等价转化，化简计算即可求出不等式的

解集.

(1)

解：因为(α+b)x+(2α-38)<0,所以(α+b)x<36-24,

因为不等式的解集为[x∣x>-[],所以α+6<0,且也号=一导，解得α=3A.

I4Ja+b4

(2)

由⑴得a=3b<0

则不等式(α-%)f+2(α—8一l)x+(α-2)>0等价为苏+(4。一2)x+(38-2)>O,

即/+(4-g)x+(3—gj<0,即(x+I)(X÷3——<0.

22

因为一3+;<一1,所以不等式的解为-3+τ<x<7.

bh

即所求不等式的解集为卜∣-3+/<x<-l∣.(说明：解集也可以用“表示)

例12.(2022•贵州・遵义航天高级中学高一阶段练习)设函数/(x)=加-(l+a)x+l.

(1)若α=2,解不等式>>0；

(2)若α>0,解关于X的不等式y<0

【答案】(i){χχ<;或x>l};

(2)详见解析.

【解析】

【分析】

(1)利用二次不等式的解法即可得解；

(2)将原不等式变形为(Or-IXx7)<0,对实数。的取值进行分类讨论，结合二次不等式的解法即可得

解.

(1)

当α=2时，由y=2寸-3χ+l>O,解得x<^或x>l,

故当α=2时•，不等式y〉0的解集为或x>l}.

(2)

由y<0可得(Or-l)(x-l)<O,

当αwθ时，方程(办—D(XT)=O的两根分别为％⅞=1.

当O<α<l时，->l,解原不等式可得l<x<!;

aa

当α=l时，原不等式即为(x-l)2<O,该不等式的解集为0；

当α>l时，解原不等式可得1<x<L

aa

综上所述，当O<“<l时，原不等式的解集为卜l<x<:卜当α=l时，原不等式的解集为0;当。>1时,

原不等式的解集为｛χ｝<x<ι｝.

例13.(2022.陕西・西安高新第三中学高一期中)已知函数y=0χ2+(α-2)x(αeR).

⑴若关于X的不等式><万的解集为｛x∣T<x<4｝,求的值：

(2)若a>-2,解关于X的不等式>≥2.

【答案】(1)〃=；,。=2

(2)-2<α<0时，解集为｛x∣T≤x4-l

α=0时，解集为｛χ∣χ≤-i｝;

2

α>0时，解集为｛x∣x≥-或□≤T｝

a

【解析】

(I)y<。的解集为｛x∣T<x<4｝,.∙.T和4是方程y-。=OX2+(〃-2)χ-0=0的两个根，二

2-b=0,1

,解得：=-,b=2.

20a-8-b=0,a2

(2)不等式y≥2,

可化为：ax2+(a-2)x-2≥0.

当α=0时，原不等式即为-2x-2≥0,x≤-l.

当α>0时，原不等式化为ɑ(x—2](χ+l)≥o,.∙.x≥-^4χ<-↑.

ka)a

当—2VaVo时，原不等式为α[x—[元+1)之。，可化为(X—,x+l)≤°

22

因一＜一1,—≤x≤-l.

aa

综上，

-2<α<0时，原不等式的解集为｛x∣[≤x≤-l

a=0时，原不等式的解集为｛x∣x≤-l｝;

2

a>0时，原不等式的解集为{x∣x2±或x≤T}

a

例14.(2022•北京市第五中学高一阶段练习)请回答下列问题：

⑴若关于X的不等式3x+2∕>0(α∈R)的解集为{χ∣χ<l或χ>∕7},求0,的值.

⑵求关于X的不等式加-3x+2>5-Or(a?R)的解集.

【答案】(Iw=2、4=±l

(2)答案见解析

【解析】

【分析】

(1)由题意可得1和b为方程χ2-3x+2∕=0的两根，利用韦达定理得到方程组，解得即可；

(2)不等式为以,+(α-3)X-3>0,即(OX-3)(x+l)>0,讨论。=0,«>0,a=-3,a<-3,-3<α<0,

由二次不等式的解法，即可得到所求解集.

(0

解：因为关于X的不等式∙r2-3x+2∕>0(a∈R)的解集为{χ∣χ<l或χ>∕>},所以1和匕为方程

1+6=3b=2

X2-3x+2a2=O的两根，所以lxb=2∕,解得

a-+∖

(2)

解：不等式办2.3X+2>5∙ax(ati/?),即OX2+(4・ɜ)ɪ-3>0,即(Or-3)(x+l)>0,

当。=O时，原不等式解集为{x∣xvT};

3

当QWO时，方程(以—3)(X+1)=O的根为X=二，X=-I,

la2

33

・•・①当白>0时，三>一1,・•.原不等式的解集为{%∣χ>±或xvT};

aa

33

②当—3VQ<0时，2<T,，原不等式的解集为{χ∣±<χ<T};

aa

3

③当。二一3时，原不等式的解集为0；

④当3时，3>-1,原不等式的解集为{χ∣-i<χ<3}.

aa

【方法技巧与总结】

解含参数的一元二次不等式的一般步骤

(1)讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为

二次项系数为正的形式.

(2)判断方程根的个数：讨论判别式/与O的关系.

(3)写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定

解集形式.

题型四：一次分式不等式的解法

例15.(2022•吉林延边•高一期末)若不等式以2+5χ+ι≤o的解集为b-≤χ4一∣,则不等式虫Zf<。

[23Jx-3

的解集为.

【答案】｛x∣2<x<3｝

【解析】

【分析】

由不等式0r2+5χ+ι≤o的解集为[χ∣-!≤χ≤-!]uj∙得参数。的值，则不等式些;<0也具体化了，按分

式不等式解之即可.

【详解】

由不等式Or2+5x+l≤O的解集为≤∙V≤--∣,

可知方程Or2+5χ+ι=0，仃两根％=-],x2=-—,故α=6,

则不等式处;<0即汉。<0等价于3(x—2)(x-3)<0,

x-3x-3

不等式3(x—2)(x—3)<0的解集为｛χ∣2<χ<3｝,

则不等式生;<0的解集为｛x∣2<x<3｝,

x-3

故答案为：｛X∣2<X<3｝.

例16.(2022.河北省博野中学高一阶段练习)不等式?二>1的解集是.

【答案】｛x∣-2<x<-g｝##12,-g)

【解析】

【分析】

根据题意将J>l化为;4<0,利用分式不等式的解法解分式不等式即可.

3x+l3x+l

【详解】

2.x-1...、r2x—1C

-~7>1可化为~--l>0>

3x+l3x+l

Y-4-ɔ

<0,等价于(x+2)(3x+l)<0,

解得—2<ɪ<——,

所以不等式9r-l的解集是｛d-2<x<一1｝,

3Λ÷13

故答案为：｛Λ^∣-2<%<——｝.

例17.(2022・全国•高一期末)不等式1<1的解集为

X

【答案】{χ∣χ<o或χ>ι}

【解析】

【分析】

将分式不等式变形转化为二次不等式求解即可.

【详解】

Ll=1-1<0=^~-<0<=>(x-l)x>0,

XXX

解得不等式解集为{小<0或X>∣}

故答案为：{x∣x<0或x>l}.

2r÷3

例18.(2022•上海师大附中高一期中)不等式?√>1的解集是__________

3-5x

【答案】(°，|)##{x∣0<x<-∣

【解析】

【分析】

原不等式转化为(2X+3)-(3-5X)>0,即7X(3-5X)>0,进而可解得结果.

3—Sx

【详解】

2x÷3.....十(2x÷3)—(3—5x)

------->1等λa价于V--------LA-------L>0,即>0,

3-5x3-5x3-5x

等价于7x(3-5x)>0,

3

解得0<x<：

故答案为：(o,∣).

2—X

例19.(2022∙天津,南开翔宇学校高一期中)不等式一7>0的解集为,

【答案】{x∣T<x<2}

【解析】

【分析】

根据分式不等式的解法规则求解即可.

【详解】

原不等式可化为(2-x)(x+4)>0,解得T<x<2

故答案为：{%∣-4<x<2}.

【方法技巧与总结】

分式不等式转化为整式不等式的基本类型有哪些？

(])CX+j>0=(0v+6)3+d)>0

(2)CX+<0«>(ax+h](cx+d]<0

ax+b'八'

(3)c-r+≥O<=>(ax+h](cx+d}>O⅛0r+Z7≠O

ax+b`八,

λ

(4)’+；'≤0o(-+6)(cχ+")≤0且<xv+A>≠。

题型五：实际问题中的一元二次不等式问题

例20.(2022•贵州黔东南•高一期末)黔东南某地有一座水库，设计最大容量为128000"R根据预测，汛

期时水库的进水量S”(单位：加3)与天数”("nN*)的关系是s,=5000"5+f)("≤10),水库原有水量为

80000〃，若水闸开闸泄水，则每天可泄水4000〃?3；水库水量差最大容量23000加时系统就会自动报警提

醒，水库水量超过最大容量时，堤坝就会发生危险；如果汛期来临水库不泄洪，1天后就会出现系统自动

报警.

⑴求f的值;

(2)当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明

理由.

【答案】(1)/=24

(2)汛期的第9天会有危险，理由见解析

【解析】

【分析】

(1)根据条件可建立方程128(XX)-8(XXX)-5(XX)J∏7∏万=23(XX),解出即可；

(2)设第"天发生危险，由题意得5000√n(n+24)-4000∕ι>128000-800∞,解出此不等式，然后可得答

案.

(1)

由题意得：128(XX)-8(XXX)-5(XX)√l×(l+f)=23(XX),

即/=24

(2)

由(1)得S,,=5000"("+24)⑺≤10)

设第"天发生危险，由题意得50∞√n(∕z+24)-4(XX)∕J>128(XX)-8(XX)().≡P√+24n-256>0,得〃>8.

所以汛期的第9天会有危险

例21.(2022•湖南，高一课时练习)一家汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的

摩托车数量X(辆)与创收价值V(元)之间有如下关系式：>-=-2√+220Λ-.若这家制造厂希望在一个

星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内生产的摩托车数量X应满足什么条件？

【答案】50<x<60.

【解析】

【分析】

根据已知列出一元二次不等式，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可.

【详解】

由题意可得：y=-2x2+220X>6000≈>√-1IOx+3000<0,

解得：50<x<60.

例22.(2022・湖北十堰•高一期中)某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相

同的长方形种植绿草坪，草坪周围(斜线部分)均种满宽度相同的鲜花.己知两块绿草坪的面积均为200平

方米.

(1)若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值；

(2)若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.

【答案】(I)IO米

(2)(424+80倔平方米

【解析】

【分析】

?00

(I)设草坪的宽为X米，长为y米，则以由题意，列出关于X的不等式，求解即可；(2)求出整个

X

绿化面的长为2x+6米，宽为出+4米，然后由面积公式以及基本不等式求解最值即可.

X

(1)

设草坪的宽为X米，长为y米，由面积均为200平方米，得y=&,

X

因为矩形草坪的长比宽至少多10米，

所以3≥x+10,又x>0,

X

所以χ2+i0χ-200≤0,解得0<x≤10,

所以宽的最大值为10米；

(2)

记整个绿化面积为5平方米，由题意得，

S=(2x+6)(y+4)=(2x+6)[-+4)=424+81X+岑)2424+80石，当且仅当χ=5几米时，等号成立，

所以整个绿化面积的最小值为(424+80")平方米

例23.(2022.新疆・乌苏市第一中学高一开学考试)为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”,

某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围

(阴影部分)均种植宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为300平方米.

(1)若矩形草坪的长比宽至少多5米，求草坪宽的最大值；

(2)若草坪四周的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.

【答案】⑴15米

(2)864平方米

【解析】

【分析】

(1)根据“矩形草坪的长比宽至少多5米”列不等式，解不等式来求得草坪宽的最大值.

(2)求得绿化面积的表达式，利用基本不等式求得最小值.

(1)

设草坪的宽为X米，长为y米，由面积为30()平方米，得y=邛，

∙.∙矩形草坪的长比宽至少多5米，.∙.晒2x+5,

X

ΛX2+5X-300≤0,解得-20≤X≤15,

又x>0,Λ0<x≤15,

草坪宽的最大值为15米.

(2)

记整个绿化面积为S平方米，由题意可得

S=(2x+6)(γ+4)=(2x+6)^-+4^=624+8^x+-^)≥614+8×2^x∙-=864,

当且仅当x=15时，等号成立，

.∙.整个绿化面积的最小值为864平方米.

例24.(2022•江苏・南京市第二十九中学高一期中)1.通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市

场.2021年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元.

(1)据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万

欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？

(2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提

高价格到加欧元/平方米(其中机>25),其中投入永加-600)万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作

为固定宣传费用，投入2加万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量〃(单位/万平方米)至少

达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的售

价.

【答案】(1)40

(2)该种玻璃的销售量〃至少达到102万平方米时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与

2022年投入之和，此时求出此时的售价为30欧元.

【解析】

【分析】

(1)设出未知数，列不等式进行求解；(2)根据题意，得到〃关于机的关系式，〃？幽1^+2,利

用基本不等式进行求解

(1)

设该种玻璃的售价提高到X欧元/平方米

[80-2(x-25)]x≥2(X)0

解得：25≤x≤40

所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米

(2)

mn?2000500+2机+g(m?-600)

整理得：mi?15002m+∣∕n2

除以机得：〃？承-m+2

m3

由基本不等式得：”？竺222机+2匙2、唾工+2=102,当且仅当a=3"，即m=30Π寸，等号

m3∖m3m3

成立，所以该种玻璃的销售量〃至少达到102万平方米时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销

售收入与2022年投入之和，此时求出此时的售价为30欧元/平方米.

【方法技巧与总结】

利用不等式解决实际问题需注意以下四点

(1)阅读理解材料：应用题所用语言多为文字语言，而且不少应用题文字叙述篇幅较长.阅读理解材料

要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之

间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向.

(2)建立数学模型：根据(1)中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言''抽象成数学模型，并且，建

立所得数学模型与已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向.

(3)讨论不等关系：根据(2)中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关

理论参数的值.

(4)作出问题结论：根据(3)中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论.

题型六：不等式的恒成立问题

例25.（2022•江西师大附中高一期中）若不等式加-x+4α>0对任意x>2恒成立，则实数”的取值范围

是.

【答案】ɑ,ɪ

4

【解析】

【分析】

1

分离参数，求出y=二4的取值范围即可得到答案.

XJ—

X

【详解】

解：∙.∙不等式æe-X+4Λ>0对任意X>2恒成立，

Y

即。>对任意X>2恒成立，

%+4

X11

V=---------=--------<-

又无2+4、…44

Xπ---

X

所以α…一.

4

故答案为：T•

4

o

例26.（2022・江苏•高一专题练习）若关于X的不等式加-m+2）x+三<0有解，则实数〃的取值范围是

【答案】。<1或α>4

【解析】

【详解】

本题考查了二次函数的性质，函数恒成立问题.分类讨论，先验证Q=O是否成立，再根据二次函数的性质

列出不等式得出〃的范围.

【解答】

Q

当α=0时，不等式为—2%+：VO有解，故。=0,满足题意；

当4>0时.，若不等式αr2-（α+2）x+2<0有解，

4

9

则满足△=（。+2）2—4〃•二■〉。，解得或々>4；

4

G

当。VO时，此时对应的函数的图象开口向下，此时不等式0τ2-m+2）x+:<0总是有解，

4

所以αvθ,

综上可得，实数。的取值范围是。<1或α>4.

例27.（2022.湖北.黄石市有色第一中学高一期中）关于X的不等式χ2-4x+4α≥/在密Ik6内有解，则。

的取值范围为.

【答案】-2<a<6

【解析】

丁-4x+4α≥α?在掇Ik6内有解，,ɑ?-4“4（χ2-40皿，其中掇Ik6：

设y=χ2-4x（l≤x≤6）,则当x=6时，yπraχ=36-24=12,

.∙.∕-4α≤12,解得：-24α≤6,的取值范围为-2≤α46.

故答案为：-2<a≤6.

例28.（2022∙江苏省天一中学高一期中）已知关于X的不等式-χ2+4χ≥∕-34在R上有解，则实数。的取

值范围是.

【答案】-l≤α≤4

【解析】

【分析】

求出y=-¢+4X的最大值，然后可得/-3α≤4,解出即可.

【详解】

因为关于X的不等式+4x≥/-ɜɑ在R上有解，

丫=一/+4》=《一2）2+4的最大值为4

所以3a≤4,解得-l≤α44

故答案为：-l<α≤4

例29.（2022.广东.梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）若不等式Or2+αr+3≥O在R上恒成立，则实数

a的取值范围是.

【答案】{α∣0≤a≤12}

【解析】

【分析】

分a=0和。>0两种情况分析求解即可

【详解】

当α=0时，不等式为3>0满足题意；

[a>Q

当时’需满足IA=几⑵≤0'

解得0<α≤12

综上可得，”的取值范围为{"∣0≤α≤12},

故答案为：{"∣0≤α≤12}

例30.（2022•江苏•南京市金陵中学河西分校高一阶段练习）若对任意xeR,

2x+2<ax1+hx+c≤2x2-2x+4恒成立，则时的最大值为.

【答案】T##0.5

【解析】

【分析】

先令X=I,可得4+6+c=4,再根据2x+2≤ατ2+⅛r+c恒成立，可得c=α+2,6=2—勿，由此可得。匕4；,

再验证符合ax2+bx+c≤2X2-2X+4恒成立即可.

【详解】

解：令X=1,则4≤α+b+c≤4,故α+8+c=4,

对任意x∈R，2x+2≤α√+∕7χ+c,则OX2+s_2)x+c—2≥0恒成立，

/.A=S-2)2-4a(c-2)=(a+c-2)2-4a(c-2)=(a-c+2)2≤0

.∙.c=α+2,止匕时b=2-2a，

：.ab=a(2-2d)=2α(l-α)=-2(a--)2+-<-,当α=:力=1,c=>时取等号,

22222

止匕时2χ2-2x+4-(αχ2+⅛r+c)=3χ2-3χ+∙∣=g(χ-i)~>0成立，

ab的最大值为T.

故答案为：ɪ.

例31.(2022.湖南•高一课时练习)设二次函数旷=丘2一米+上.

4

(1)若方程y=o有实根，则实数Z的取值范围是；

(2)若不等式y>0的解集为0,则实数k的取值范围是；

(3)若不等式y>o的解集为R,则实数A的取值范围是.

【答案】％<0或左≥3.00<k<3

【解析】

【分析】

根据方程的解或不等式的解的情况结合判别式可得相应的结果.

【详解】

[k≠0

对于(因为方程有实根，故，,、，解得上<或发

1),y=02ɔ,023.

∣kfc-3⅛>0

仅<0

对于(2),因为不等式y>0的解集为0,故“2_林n'解得

IK一3K3U

f&〉0

对于(3),不等式y>0的解集为凡故，2M八，故0vAv3.

k-3⅛<0

例32.(2022・全国•高一专题练习)若l<x≤4时，不等式V-(α+2)x+4≥-a-1恒成立，求实数。的取值

范围.

【答案】4≤4.

【解析】

【分析】

根据给定条件，等价变形不等式，构造函数，借助基本不等式计算作答.

【详解】

对于任意的l<x≤4,不等式d-(α+2)x+4W-a—lo(x-l)α≤∕-2x+5^∣]a4≤^±^=(χ-l)+-^,

因此，对于任意的l<x≤4,a≤r一2x+5=*_])+工恒成立,

x—\X—1

4I4~~4

当1<%≤4时，0<x-l≤3,U-I)+——≥2J(x-l)------=4,当且仅当x—l=—，即x=3时取“=”，

x-1Vx-1x-1

4

即当x=3时，(x-1)+—；取得最小值4,则"≤4,

x-1

所以实数a的取值范围是a≤4.

例33.(2022・全国•高一专题练习)已知二次函数y=χ2+2ar+2.若1«5时，不等式y>3奴恒成立，求

实数”的取值范围.

【答案】a<2∖∣2-

【解析】

【分析】

对目标式分离参数，结合基本不等式，即可求得参数的取值范围.

【详解】

不等式y>3奴即为：X2-Or+2>0,

当lWx≤5时，可变形为：a<^^=x+~,g∣Ja<U+-)min.

XXX

Xx+-≥2∕Λ÷-=2Λ∕2,

XΛVX

当且仅当X=A,即X=J5时，等号成立，

X

{x+-)=2&,即a<2y∣2■

Xmin

故实数”的取值范围是：β<2√2∙

【方法技巧与总结】

不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。

【同步练习】

一、单选题

1.(2022・广东•新会陈经纶中学高一期中)已知关于X的不等式履2-6日+八8>0对任意工€11恒成立，则

Z的取值范围是()

A.0≤%≤lB.O≤Ar<IC.Z<O或女>1D.Z≤0或人>1

【答案】B

【解析】

【分析】

k>O

当人=O时，不等式显然成立；当AHO时，由题意有1A=（_6左y_4MA+8）<o'求解不等式组即可得答案.

【详解】

解：当A=O时，8>0恒成立，符合题意；

k>0

也小。时，由题意有La）j（k+8）<0'解得°<&<L

综匕0≤⅛<l.

故选：B.

2.（2022•全国•高一课时练习）若不等式α√+fev+2>o的解集是则α+b的值为（）

A.-10B.-14C.10D.14

【答案】B

【解析】

【分析】

根据一元二次不等式的解集，结合根与系数关系求出4、b,即可得结果.

【详解】

由题意，和ɪ是方程加+6x+2=0的两个根，

由韦达定理得：-1+:=-2且-=x：=2,解得：a=-↑2,h=-2,

23a23a

所以α+b=T4.

故选：B

3.（2022•重庆市石柱中学校高一阶段练习）已知函数卜=92+4&-5卜2+4（1-&江+3的图象都在方轴的上

方，求实数4的取值范围（）

A.{⅛∣1≤⅛<19}B.{⅛∣2≤⅛<18}

C.{⅛∣0<*<20}D.{∕∣T<A<19}

【答案】A

【解析】

【分析】

分类讨论函数的平方项系数是否为零，根据常数函数、一次函数、二次函数的图像性质即可求出k的取值

范围.

【详解】

、=俨+必-5卜2+4（1孙+3的图象都在X轴上方，

①F+4jt—5=0时，攵=—5或攵=1,

人=-5时，函数为一次函数，不满足条件；

4=1时，y=3满足条件；

故I=1；

②上一5且厚1时，函数为二次函数，

,[⅛2+4⅛-5>0

则A八，解