2023年北京市仿真模拟数学试卷A（解析版）

2023年普通高等学校招生全国统一考试•仿真模拟卷A（北京卷）

数学

第一部分（选择题共40分）

一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.己知全集。=11,A={x|x<0},B={x\x>2],则集合B）等于（）

A.|x|x>0^U<21B.|x|x<2}

C.{x|0<x<2）D.{x[0<x<2）

K答案》c

K解析》AuB={x|x<0,^r>2},则4，（A=B）={x[0<x<2}.故选C.

2.己知i是虚数单位，复数z满足z（石-i）=i,则|z|=（）

A.2B.1C.73D.-

2

K答案》D

K解析W法一：因为z（6-i）=i,

而N_i-"Ai）_T+4

所以z—-f=~；--j­p~~\/r-A，

v3-i4

所以IW=Q+』=L

11V16162

法二：因为z（W-i）=i,

所以|z||6-i|=|i|,

所以|z|=g.故选：D.

3.下列函数中是奇函数，且在区间（0,+e）上是增函数的是（）

A.y=lnxB.y=tanxC.y=x|x|D,y=e*+e

K答案Dc

K解析》对于A,根据奇函数定义可知y=lnx不是奇函数，所以A错误；

对于B,易知y=tanx图象关于原点对称，是奇函数，但其在区间（0,+8）上不是增函数，

即B错误；

对于C,函数y=x|x|是奇函数，且xe（O,4w）时，y==V是增函数，所以C正

确；

对于D,易知y=e，+e-，为偶函数，故D错误.

故选：C

4.在（尤-4）〃的展开式中，若二项式系数的和为32,则上的系数为（）

xx

A.-80B.80C.-40D.40

K答案XA

R解析U二项式系数的和为2〃=32,所以〃=5,展开式的通项为

（+i=C）5，（——>=（-2）「C"52,令5—2〃=T,则r=3,

X

所以1的系数为（-2）（；=-80.

X

故选：A

5.已知双曲线C经过点（&,3）,其渐近线方程为y=±&,则C的标准方程为（）.

2222

A.---y2=]B.x2-^-=\C.y2--=}D.--x2=1

3333

K答案DD

K解析D-双曲线的渐近线方程为丫=±A，

设双曲线的方程为：%2--^-=2（2*0）,

双曲线C经过点（技3）,."―3=/ln/l=—1,

二双曲线的方程为：二-/=1,故选：D.

3

6.《九章算术・商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖腌，

不易之率也我们可以翻译为：取一长方体，分成两个一模一样的直三棱柱，称为堑堵.再

沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得一个四棱锥和一个三棱锥，这个四棱锥称为阳马，这

个三棱锥称为鳖嚅.现已知某个鳖席的体积是1,则原长方体的体积是（）

A.8B.6C.4D.3

R答案XB

R解析》如图所示，原长方体ABCO-ABCA，

设矩形BCC1用的面积为s,CiDl=h,

鳖脯R-BCG的体积为1,

即gx（]5）x〃=l,所以S/?=6,

即原长方体的体积是6.故选：B.

7.在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L,记作

[H+]）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位mol/L,记作[OH]）的乘积等于常数

10,4.已知pH的定义为pH=-lg[H+],健康人体血液的pH保持在7.35~7.45之间,

H+1

那么健康人体血液中的演彳可以为（

)(参考数据：Ig2=0.30,lg3«0.48)

A.JB.-C.-D.—

2361()

K答案》c

R解析2由题设有3n=[:]=10再[“*了，又10"*<[//*]<10-7*

.所以

[昕]

10-0",<10'4[/7+]2<10^7,所以-0.9Gg{l（y4[/r]2卜-0.7.又

lg!=-0.3,1g：=-0.48,1g9=-0.78,1g1=7,只有lg』在范围之中，故选C.

236106

1点石成金人利用之间的关系把标3转化为再利用指对数的

关系求出10"*4]?卜10々*从而得到他工目的范围,依次检验各值是否在这个范

OH

围中即可.

8.已知函数/0)=2$山(5+。)(。＞0,|。|＜兀)的部分图象如图所示，贝lj()

q7，11cC1

K解析》由题图，—=—一一-=3n,则7=」=4兀，可得。=!，

433CD2

-r-j.127r\.7t..If兀兀C,1rv

又sin(z—x—+(p)=sin(—+^)=1,故一+0=—+2攵兀，keZ,

23332

兀7T

所以e=—H2&兀，keZ,又I。K兀，则夕=—.

66

心r1兀

综上，＜y=—,(p——.

26

故选：A.

则“巾(-())<0"是““X)与f(F(x))”都

9.设函数/(%)=女2+hx+c(a也ccR,”>0),

恰有两个零点的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

K答案Uc

K解析D显然/(-2)是/(x)的最小值，若f(x)有两个零点，

设士,三，且为＜当，由y(/(x))=o得/(力=%或/(力=々，

由题意f(/(x))=o只有两个零点，因此/(力=%无解，/(x)=z有两个不等实根,

即王＜/(一(卜々，二/卜卜白)卜0,必要性得证,

若/＜0,由于a＞0,因此〃x)有两个零点,

设为西,巧，不妨设玉＜/，()＜%，由/(/(x))=0得/(x)=X|或

显然〃x）=x,无解，〃x）=w有两个不等实根，

即f（/.（x））有两个零点，充分性得证，

故题中是充分必要条件，故选C.

10.在平面直角坐标系xOy中，A和5是圆C:（x-l）2+y2=]上的两点，且AB=6，点

P（2,l）,贝蚱9-闵的取值范围是（）

A.—>/2,-\/5+>/2^B.[君-1,6'+1]

C.[6-2石,6+2石]D.[7-2710,7+2710]

K答案UA

R解析2AB=g，取A8中点为"，CM=—,且G"±AB,

2

延长至。，使得MQ=3MA=半，

所以2PA-PB=PA+PA-PB=PM+MA+BA=PM+3MA=PM+MQ=PQ,

因为QC=JMC2+MQ。=x/5，

所以。的轨迹是以C为圆心，行为半径的圆，

因为PC=7（2-i）2+（i-o）2=e，

所以卜Q|e[石-正，石+0].

故选：A.

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.已知点A（-l,l）,点8（2,y）,向量）=（1,2）,若AB”a，则实数y的值为.

K答案』7

K解析』由题意，AB=(3,y—1),a=(l,2),

因为AB//a，所以3x2-lx(y—l)=0,解得y=7.故R答案》为：7.

12.各项都为正数的等差数列｛七｝中，2%-%2+2%=0,则%+4=.

R答案U8.

K解析『••｛七｝为各项都为正数的等差数列，又2%-%2+2卬=0

4a7—a??=0,即4］=4,

%+〃9=2%=8.

故R答案》为：8.

13.抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4五)与到准线的距离和最小，则点尸的坐标为

R答案》(2,272)

K解析X由题知尸(1,0),如图，连接尸E,由抛物线的定义得点尸到准线的距离等于

\PF\,即仍尸|=忸月,

所以|PP|+|M=|PF|+|MN|"|,当且仅当A,P,f三点共线时,等号成立，此时点尸在

［点的位置.

此时直线AF的方程为y=，即丫=2叵x-2版,

所以联立方程［,2=2夜”-2&得2Y-5X+2=0,解得X=2或X=：,

y=4x2

根据题意得勺＞1，所以x=2,y=2^2,

所以点尸的坐标为(2,2⑹.

故K答案》为：(2,2逝).

finx,x>1,

14.已知函数.“X)=,、2,其中aeR.若。=0,则函数〃x)的值域是

(x+a),X<1,

若函数>=/(力-1有且仅有2个零点，则。的取值范围是.

R答案》[0,+oo)(-2,0J

/、finx,x>\

R解析2(1)a=0时，〃x)=12,，

[X,x<\

当时，/(x)=lnx>lnl=0,

当x<l时，f(x)=x2>0,

综上：/(x)20,即函数/(x)的值域是[0,+O.

flnx-1,x>1

(2)y=f[x)-\^\2,

(x+a)-1,x<\

当时，令lnx—l=0,得％=0,

故在[1,+8)上，函数y=/(x)T有一个零点x=e,

当x<l时，设g(x)=(x+a)2-l,

由题意可知：g(x)=(x+a)2-l在(—-I)上有且仅有一个零点，

[-a<1

所以小c或g⑴<°，解得。=0或-2<”0,

[g(i)=o

所以”的取值范围是(-2,0].

故K答案》为：苔,+8)；(-2,0].

15.已知函数/(x)满足f(x+y)=f(x)+/(y),(x,yeR),则下列各式恒成立的是

①〃0)=0；②/(3)=3/(1)；③/出=/⑴；©/(-x)/(x)<0.

1答案H①②③

K解析』①/(0)=/(0+0)=/(0)+/(0)=2/(0),/./(0)=0,故①正确;

②/(3)=/(2)+/(1)=/(1)+/(1)+/(1)=3/(1),故②正确；

③-1)=吗+介吗)+也［=2吗)，故③正确；

@/(x-x)=/(x+(-x))=/(x)+/(-x)=/(O)=O,/(x)=-/(-x),

/(x)/(-x)=-(/(x))2<0,故④错误；

故R答案H为：①②③.

三、解答题：共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.设函数/(x)=Asin6yxeos0x+cos%x(4>0,(y>0),从条件①、条件②、条件③这三

个条件中选择两个作为已知，使得/(可存在.

(1)求函数/("的K解析』式;

(2)求)(力在区间0个上的最大值和最小值.

条件①：f(x)^(-x)；

a

条件②：/(x)的最大值为于

条件③：/(X)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为.

注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计

分.

解：(1)若选择条件①，

A

因为/(x)=ysin26>X+COS2COX,所以

/(-x)=9，出(-2s)+cos2[-a)x)=-^sin2s+cos?cox,

由了“)寸(一可可得4$吊25=。对工£1<恒成立，与A>O,G>。矛盾,

所以选择条件②③,

由题意可得/(-x)=Asin(-69%)cos(-69X)+cos2[-cox)=-As\n2cox+cos2a)x,

设苦,

由题意可得〃力=4n2s+-=里sin(2/x+e)+；.

2222

A1

其中cosp=/,sm夕=।,

VA2+1VA2+1

因为的最大值为I所以@尹+；=｝解得4=6,

iTT

所以sin9=7,(p=z

26

由/（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离为可得（=5,

兀

所以T=?2=兀解得。=1,

2（o

所以〃x）=sin（2x+：）+g.

（2）由正弦函数的图象可得当x』0，』时，2X+9

L2J6

所以/（力在区间］。身上的最大值为,，最小值为0・

17.如图，在三棱柱ABC-A用G中，底面为等腰直角三角形，侧面A4CC，底面

A8C,。为AC中点，AB=BC=RAA,=5

(1)求证：BDLA{D.

（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角A-CG-8的余弦值.

条件①：AC,IBtC.条件②：AA,=BlC.

（I）证明：因为AB=BC,。为4c中点，

所以8D_LAC,

又因为面AAGC，面ABC,面MGCi面A8C=4C,8Du面A8C,

所以平面A4CC，

又AOu平面/L4〈C，所以BDJ.A1。；

(2)解：选①，取AG的中点E,连接用E,CE,

则AE//OC且AE=OC,

所以四边形4QCE为平行四边形，所以4Q//CE,

因为4片=8°,E为AG的中点,

所以AGJ•qE,

又AG1B0,BCCBIE=BI，BC用EU平面CB,E,

所以AG，平面C8IE,

又AC〃AG，所以AC,平面C4E,

又CEu平面C81E,所以“'l四，

因为AQ//CE,所以

如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系,

由AB=8C=x/5,A4,=石，得AC=2，A£>=2,

则。（0,0,0）,3（0,1,0）,C（—l,0,0）,£（-2,0,2）,

则8=（1,i,o）,cG=（T，O,2）,

因为801平面MGC，

所以03=(0,1,0)即为平面44,CC的一条法向量,

设平面8CG的法向量为〃=(x,y,z),

n-CB=x+y=0/、

则有《.,可取〃=（2,-2,1）,

wCq=-x+2z=0

DB\-"DB_-2_2

则COS/网1x33,

由图可知，二面角A-CG-B为锐二面角,

所以二面角A-C£-8的余弦值为|.

y/

选②，取AG的中点E,连接用E,CE,OE,

则AE//OC且A|E=OC,

所以四边形AQCE为平行四边形，所以AQ//CE且4Q=CE,

因为GE//OC且GE=OC,

所以四边形AQCE为平行四边形，所以且8。=8建,

又因为8。，为。，所以CEl5E,

又偌=4。=K，BD=B[E=1,

所以C£=2,则AD=CE=2,

在△ADA中，因为心+A-2=442,

所以AO_L4Q，

如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，

下同选①的R答案』.

18.为了庆祝神舟十四号成功返航，学校开展了“航天知识”讲座，为了解讲座效果，从高

一甲乙两班的学生中各随机抽取5名学生的测试成绩，这10名学生的测试成绩(百分制)

的茎叶图如图所示.

甲乙

8779

63868

6902

(1)若焉，心分别为甲、乙两班抽取的成绩的平均分，41s之分别为甲、乙两班抽取

的成绩的方差，贝底甲显，4S鼠(填“>”或"V”)

(2)若成绩在85分(含85分)以上为优秀，

(i)从甲班所抽取的5名学生中任取2名学生，则恰有1人成绩优秀的概率;

(ii)从甲、乙两班所抽取的成绩优秀学生中各取1人，则甲班选取的学生成绩不低于乙

班选取的学生成绩的概率.

-77+78+83+86+96-79+86+88+90+92g

解：(1)由茎叶图知,耕=-----------------=84,/乙=------------------=87,

所以元甲＜x乙;

*=1[(77-84)2+(78-84)2+(83-84)2+(86-84)2+(96-84『]=46.8,

22222

5^=1((79-87)+(86-87)+(88-87)+(90-87)+(92-87)]=20,

所以其

(2)(i)抽取的两名学生成绩分别为x，y,把他们记为(x,y),

从甲班所抽取的5名学生中任取2名学生，他们的成绩组成的不同结果：

(77,78),(77,83),(77,86),(77,96),(78,83),(78,86),(78,96),(83,86),(83,96),(86,96),共10

个，

恰有1人成绩优秀的事件A有:(77,86),(77,96),(78,86),(78,96),(83,86),(83,96),共6个,

所以恰有1人成绩优秀的概率P(A)=V=|.

(ii)依题意，甲班成绩优秀学生有2人，成绩分别为86,96,乙班成绩优秀学生有4

人,成绩分别为86,88,90,92,

从甲、乙两班所抽取的成绩优秀学生中各取1人，按甲班的在前、乙班的在后写在括号

内，不同结果有：

(86,86),(86,88),(86,90),(86,92),(96,86),(96,88),(96,90),(96,92)，共8个，

甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩的事件3有:

(86,86),(96,86),(96,88),(96,90),(96,92),共5个，

所以甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩的概率P(8)=]

O

dy2

=l(a>b>0)经过4-2,0),两点，设过点P(-2,l)的直线椭

19.已知椭圆E:7+F

圆交E于M,N两点，过“且平行于y轴的直线与线段A8交于点T,点，满足

MT=TH-

(1)求椭圆E的方程:

(2)证明：直线”N过定点.

(1)解：因为椭圆E的方程为b]+£=1(〃＞匕＞0)经过两点,

U=i…

则;9，解得〃=4，从=3,

—H-----7=]

〔矿4b-

所以椭圆E的方程为：—+^=1.

43

(2)证明：因为A(-2,0),«-l,|1所以4B:y=|(x+2),

①假设过点P(-2,l)的直线过原点，则＞代入L+±=l,

243

可得M(-后,母)，N(g,-等)，代入AB方程y=g(x+2),可得

T(-瓜＞+2)),由"T=和得到友+6).求得HN方程：

y=lz|^(x+2),过点(-2,0).

②分析知过点P(-2,l)的直线斜率一定存在，设区-y+2Z+l=0,M(再,y),N(x22).

H-y+2左+1=0

联立V2，得(4/+3)/+(16&?+8幻X+4(422+4%-3)=0,

--F—=1

[4---3

16r+以

2

-rxal-4k+3

4(4/+以一2)'

M丁+3

所以3+丫2=&(占+%2)+4女+2=；%,

222

yxy2=(Ax,+2%+1)(京2+2^+1)=kx{x2+{lk+&)(芭々)+4%+4&+]=,

一244

且内必+工2%=芭(3+2攵+1)+工2(3+22+1)=23%+(2Z+l)(XM2)=^p~~~

因为点H满足MT=7"，所以T为凶”的中点,

联立3/\，可得T区，+2)),”区,3&+2)-yJ.

>=5(X+2)2

可求得此时HN:y-y2=S'+Gff。々),

X一工2

假设直线HN过定点(-2,0),

将(-2,0),代入整理得-6(占+々)+2(y+%)+占%+々--12=0,

将(*)代入,得96k2+48k+24&+12-24%-4Sk2-48&+24-48入-36=0,

显然成立，

综上，可得直线HN过定点(-2,0).

20.已知函数/(x)=xe*.

(I)求/(x)在点(1J0))处的切线方程；

(2)求证：当x>0时，/(x)>x2.

(3)若x>0时，/(x)-如?2。恒成立，求实数。的取值范围.

(1)解：由题意，/⑴=e，又/(x)=e'+xe',

由导数的几何意义，k=/《)=e+e=2e,

所以在点(1,7(1))处的切线方程：y-e=2e(x-l),

即y=2cx-e-

(2)证明：当x>0时，〃司>*2恒成立，等价于e，>x恒成立，

设g(x)=e"-x,(x>0),则g'(x)=e*-l,

当x>0时，e”>l,所以g'(x)>0,即g(x)在(0,+e)上为增函数，

所以g(x)>g(0)=1>0,即e，-x>0恒成立，e*>x恒成立,

所以当x>0时，疣、>/，问题得证；

⑶解：若x>0时，/(X)-加N0恒成立，

等价于a4—,(x>0)恒成立，

X

令h(x)=上,(x>0),则/?'(x)=，"，D，

Xx~

令/z'(x)=0,得x=l,

当X€(0,l)时，h\x)<0；当xw(l,+oo)