高中数学选择性必修二：5-3-2函数的最大（小）值（教案）

第08讲函数的最大(小)值

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课程标准课标解读

1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值

的区别与联系.

通过本节课的学习，要求会求函数在局部区间的最大

2.会求某闭区间上函数的最值.

(小)值，能利用函数的导数解决恒成立问题与存在

3.理解极值与最值的关系，并能利用其求参

数的范围.性问题.

4.能利用导数解决一些简单的恒成立问题.

趣知识精讲

知识点

1.函数的最大(小)值与导数

(1)函数的最大(小)值的存在性

一般地，如果在区间［小田上函数V=AX)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.

(2)一般地，求函数y=Ax)在［a,切上的最大值与最小值的步骤如下：

①求函数y=∕(x)在3，Q内的极值;

②将函数v=∕⅛)的各极值与端点处的函数值3)，也)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小

值.

2.用导数求函数人幻最值的基本方法

(1)求导函数：求函数/(x)的导函数了(X)；

(2)求极值嫌疑点：即/(x)不存在的点和/(x)=0的点；

(3)列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出了(x)与./U)随X变化的一览表；

(4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出兀r)的极值点和极值；

(5)求区间端点的函数值；

(6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数火X)在其定义域内的最大值和最小值.

【即学即练1］函数y(x)=χ3-3x(∣x∣<l)()

A.有最大值，但无最小值

B.有最大值，也有最小值

C.无最大值，但有最小值

D.既无最大值，也无最小值

【答案】D

【分析】

利用导数得出函数ʃ(ɪ)的单调性，进而判断最值即可.

【详解】

/(X)=3X2-3=3(X+1)(X-1),当x∈(T,1)时,/(x)<0,所以√(x)在(-1,1)上是单调递减函数，无最大值

和最小值

故选：D.

【即学即练2】函数/(x)=d-χ2+［在区间◎2］内的最小值为.

【答案】胃23

27

【分析】

求出函数的导数，求出极值点，判断函数的单调性，然后求解在闭区间上的最值.

【详解】

解：函数/(x)=χ3-χ2+l,导数为：r(x)=3χ2-2x,

2

令3∕-2x=0,可得X=0,或x=§，

xe(0,∣),用x)<0,函数单调递减，χ∈(∣,2),f∖x)>O,函数单调递增，

函数f(x)在区间［0,2］内的最小值为：=H.

故答案为：三23.

27

3

【即学即练3］已知函数f(x)=r+3χ2+zn(χG［-2,2］),/)的最小值为1,则机=.

【答案】1

【分析】

利用导数求出函数凡0在［-2,2］上的最小值即可计算作答.

【详解】

由f(x)=-X3+3d+wι求导得:f'(x)=-3X2+6X=-3x(x-2),

因x∈［-2,2］,则当-2<x<0时，∕,(x)<O,当0<χ<2时,f'M>O,

于是得Ar)在1-2,0］上单调递减，在10,2］上单调递增，

因此，当X=O时，AX)Ini0=/(())=机=1,

所以m=［.

故答案为：1

【即学即练4］函数〃X)=笥的(O］］上的最大值是.

【答案】-

e

【分析】

应用导数研究/(χ)的单调性，进而确定其最大值即可.

【详解】

由题设，/(X)=L詈，易知：()<x<e时/(x)>0,e<x<e?时/'(x)<0,

.∙.f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,e?)上单调递减，

"(XLX="e)=J

故答案为：-

e

【即学即练5】函数/(X)=Mnx-X在1,2上的最大值为.

【答案】21n2—2##

【分析】

求导分析单调性，可得/(x)在［；』)单调递减，［1,2］单调递增，比较f(2)J(g)即得解

【详解】

由题意，/'(x)=∣nx

令八X)=O."=I

当X>"(X)>O,故/(x)在(l,+oo)单调递增;

当1>X>0J'(x)<0,故/(χ)在(0,1)单调递减;

当XGɪ2,/(X)在［；」)单调递减，口,2］单调递增

Ji∕(2)=2ln2-2>∕(i)=-∣ln2-l

故函数/(X)在；,2上的最大值为/(2)=21n2-2

故答案为：21n2-2

［即学即练6】已知函数火x)=—∣∙χ3+20t2+3χ(α>0)的导数/(X)的最大值为5,则在函数火x)图象上的点(1,

TU))处的切线方程是.

【答案】I5χ-3y-2=O

【分析】

先求导，由/(x)的最大值为5,结合二次函数性质可求得α=l,继而得到

B

f'(↑)=5,f(l)=-,即得解

【详解】

∙.∙f(x)——2.r2+4ax+3

=—2(χ-α)2÷3÷2α2,

.∙./(x)max=3+2α2=5,

Va>O,∙∖a=∖.

.*.f(X)=-2x2+4x+3»

/'(1)=-2+4+3=5.

2ɪɜ

乂川)=一1+2+3=不，

二所求切线方程为y—T=5(x-1),即15x—3y-2=0∙

故答案为：15A—3γ-2=0

【即学即练7】己知/(x)=χ2-3x+lnx,求/*)的极值点以及极值、最值点以及最值.

【答案】X=!是极大值点，极大值为-：-ln2；x=l是极小值点，极小值为-2；函数无最值点和最值.

24

【分析】

求导得到广(X)=OXT)(XT),得到函数的单调区间，得到函数的极值点，带入计算极值，函数没有最值,

X

得到答案.

【详解】

ʃ(ɪ)=x2-3x+Inx,贝I]∕'(X)=2x-3+4=∙^~~—,x∈(0,+∞).

xx

/'(X)>O得至IJXe(O,；)一(l,+∞);(O)<O得到Xed.

故函数在卜，；)上单调递增，在(；，1)上单调递减，在(L+8)上单调递增，

故X=；是函数的极大值点,极大值为/(；)=；_|+ln；=_(_ln2；

X=1是函数的极小值点，极小值为/⑴=1—3+。=—2.

x→0时，/(x)→-∞,x→∙+∞时，/(x)→+∞,函数无最值点和最值.

【即学即练8】已知函数/(X)=；X-SinX

(1)求函数的图象在点七，处的切线方程；

TT

(2)求该函数〃x)在Xe0,-上的最值.

【答案】

/1ʌπ-38

(1)V=-----------------

6

(2)∕∙(Λ)J-」,/(χ)=0

j∖∕mιn6`<,max

【分析】

⑴求导，可得及=尸闺=0,利用切线方程公式k/闺="升高代入即得解

(2)求导，分析导函数正负，结合单调性和极值、边界值分析即得解

(1)

/(x)=Jx-Sinx;J'(x)=g-cos》.∙J'L=O

•••切线方程为"图=,图卜T

即：y="3©

6

(2)

令/'(X)=；-CoSX=。，X∈

■TTTT

.∙.xeθɪ，∕,(x)<0."x)在0,-递减

.J」L3_

xe'r(x)>O,F(X)在y,y递增

.∙.χ=。时∙，"x)取得极小值，同时也是最小值

HXLT升号

fd=max,(O)J0)=/(0)=0

【即学即练9】求证：当x≤2时，√-6√+12x-l≤7.

【答案】证明过程见详解

【分析】

构造新函数〃X)=X3-6f+12x-8,对新函数求导，利用导函数研究函数的最值，从而得到新函数与。的

大小，进而判断出结果

【详解】

设函数W-6/+12》-8,

则小)=31-12》+12=3(1-2)飞0恒成立，

当x≤2时，f(x)单调递增，所以在x=2时，f(x)取得最大值42)=0,

所以/(x)≤0,BPX3-6X2+12X-8≤0,

所以X3-6∕+12X-1≤7.

U能力拓展

考法Ol

求函数的最值

1.求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点

(1)对函数进行准确求导，并检验了(x)=0的根是否在给定区间内.

(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值.

(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值.

2.对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0,等于0,小于0三种情况.若导函数恒不等于0,则函数

在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0,则求出极值点后求极值，再与端点值

比较后确定最值.

【典例I)求下列函数的最值:

(1)/(x)=xev÷x2÷2x+l,x∈［-2,l］；

ΛV*

⑵〃x)=音？X/2,2］;

1__ɪ「［

(3)f(x)=------ι~lnx,X∈2.

X_乙_

【答案】

(1)最小值为T,最大值为e+4；

(2)最大值为2,最小值为-2：

(3)最大值为lTn2,最小值为0.

【分析】

利用导数判断函数的单调性，求出函数的单调区间，从而求函数的最值.

(1)

r(x)=e'(x+l)+2(x+l)=(x+l)(2+e*),

当xe(-2,T)时，f'(x)<0,单调递减，

当Xe(TI)时，∕,(x)>0,外力单调递增，

在上,当X变化时,f'(x)与」(x)的变化情况如下表:

X-2(-2,T)T(Tl)1

∕,w

—O+

ʃ(ɪ)-2e^2+1极小值Ze+4

又/⑴=e+4,f(-2)=-2e-2+l,f(-2)<f(l),

所以f(x)在［-2,1］上的最小值为最大值为e+4.

(2)

-4X2+4

f'(χ)xe[-2,2],

+1(V+)

令/'(x)=0,得x=l或—1.

当x∈(-2,T)时,∕,(x)<0,/(x)单调递减;

当x∈(T,l)时,∕,(x)>0,/(x)单调递增;

当Xe(1,2)时，∕,(x)<O,/(x)单调递减,

在［-2,2］上，当X变化时，f'(x)H/(x)的变化情况如下表:

X-2[-2,T)-1(T/)1(L2)2

r(ɪ)——O+O——

_88

/(χ)极小值/极大值

~5、、5

又/⑴=2,/(-1)=-2,/(2)=∣,/(-2)=-∣,

.∙.f(x)的最大值为2,最小值为-2.

1一尤1Γ1

(3)V/(ɪ)-——-+Inx=——l+lnx,x∈—,2,

XX1_2

令/(x)=0,得χ=l.

在2上，当X变化时，/'(x)与/(x)的变化情况如下表:

)

X21(1,22

((X)—O+

1C

/(x)l-ln2极小值O-----F1In2

、Z2

所以当X=I时，f(x)取得极小值，也是最小值，且/⑴=0∙

又/出=l+lng=17n2,/(2)=-→ln2,

∕W-∕(2)=∣-21n2=i(3-41n2)=lln⅛>0,Λ∕W>∕(2

∖2J222Io∖2J

∙∙.f(x)在g,2上的最大值为吗]=l-ln2,最小值为/⑴=0.

【典例2］已知。是实数，函数y(x)=x2(χ-α),求Kr)在区间［0,2］上的最大值.

【考点】利用导数求函数的最值

【题点】利用导数求含参数函数的最值

【解析】/(X)=3Λ2-lax.

令/(x)=0,解得Xl=0，%2=y.

①当絮0,即a≤0时,

府)在［0,2］上单调递增，

从而Λx)max=A2)=8—4α.

②当当⅛2,即位3时,

./)在［0,2］上单调递减,

从而/(x)max=Λ0)=0.

③当0毕2,即0<“<3时，段)在0,y上单调递减，在件21上单调递增,

8—4α,0<6∕<2,

从而/WmaX=

O,2<a<3,

8-4r∕,a<2f

综上所述，fix)-

mm0,a>2.

【即学即练10】已知函数〃x)=gsin2x+sinx,则/(x)的最小值是

【答案】—巫

8

【分析】

利用导数判断函数的单调性，从而求函数的最小值.

【详解】

由题意，得/'(X)=CoS2x+cosx=2cos2χ+cosx-1=(2CoSX-I)(CoSX+1),

所以当g<8SX<l时，Γ(x)>0,/(x)单调递增;

当一l<cosx<g时，∕,(x)<0,f(x)单调递减,

所以COSX=g时/(可取得最小值，此时SinX=土日.

当SinX=一正时,

/W=-!-sinxcosjt+sinx=-—ʌ/ɜ

228

当SinX=芋时，/(x)=^sinxcosx+sinx=∣√3,所以f(x)的最小值是-上，.

【即学即练11】已知函数/(X)=X-XCOSX,则/(X)在区间［0,兀］上的最大值是.

【答案】2万

【分析】

求出函数的导函数，根据导函数的符号求出函数的单调区间，即可求出函数的最大值.

【详解】

解：/'(X)=I-CoSX+xsinX,

当Xe［O,π］时,f'(x)=I-cosx+xsinx≥0,

所以函数/(χ)在［0,兀］上递增，

所以/(x)max=f(π)=π+π=2π.

故答案为：2万.

【即学即练12】已知函数/(x)=L+丁J［O<x<j］,则/(X)的最小值为________

COSx2-cos》I2√

25

【答案】y

【分析】

利用导数求得f(x)的单调区间，由此求得f(x)的最小值.

【详解】

71

0<x<-=^>0<cosx<l.

2

.zsinx16sin%_sinx(2+3cosx)(2-5cosx)

cos12x(2-cosx)2cos2X∙(2-cosx)2

9.2,

所以当O<cos尤时，f(ɪ)>O,当1<cosx<l时，/(x)<0.

11625

结合复合函数单调性同增异减可知，当COSX=I时，/(x)有最小值为？+；

555

25

故答案为：—

2

【典例3】如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球对接而成，在该封闭几何体

内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，求小圆柱体积的最大值.

【分析】

利用圆柱体积公式表示小圆柱的体积，再利用导数求其最值.

【详解】

小圆柱的高分为上下两部分，上部分的高同大圆柱的高相等且为5,下部分深入底部半球内.

设小圆柱下部分的高为6（0<∕7<5）,底面半径为r（O<r<5）∙由于〃/7和球的半径构成直角三角形，即户+〃

=52,

所以小圆柱体枳V=πr2(h+5)=^(25-∕J2)(∕I+5)(O<Λ<5)，

V/=-^3Λ-5)(Λ+5).

当0<∕?Cg时，V'>0,体积V单调递增;

当|<力<5时，VM）,体积V单调递减.

所以当∕ι=g时，小圆柱的体积取得最大值，即弘皿=1（25-Τ）*（|+5）=岑产，

4000»

故答案为:

27

考法02

由函数的最值求参数

己知函数在某区间上的最值求参数的值（或范围）是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研

究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程（不等式）解决问题.其中注意分类讨论思想的

应用.

【典例4］若函数"r）=χ3-3x—α在区间［0,3］上的最大值、最小值分别为n,则小一〃=.

【答案】20

【分析】

利用导函数求函数的最值即得.

【详解】

∙.∙∕(x)=3x2-3,

.∙.当x>l或XV-I时,/(x)>0;当一IcXel时，/(x)<0.

.∙√U)在［0,I］上单调递减，在［1,3］上单调递增.

'.fix)min=f(1)=1-3~a=-2~a=n.

又,:颂=—a，f(3)=18-α,

.∙∙Λ0)</(3).

".J(x),nax=f(3)=18—。=，”，

.∖m-n—18-a一(一2—α)=20.

故答案为：20.

【典例5］已知函数/(x)=χ2+αχ-Inχ(a∈R)

(1)当α=0时，求函数f(x)在处的切线方程

(2)若函数/S)在区间［1,2］上是减函数，求实数。的取值范围；

(3)令get)=/。)--,是否存在实数”,当χ∈(0,e］时，函数g(x)最小值为3.若存在，求出。的值；若

不存在，说明理由.

【答案】

(1)X-y=0

(2)18,一∙∣

(3)存在，a=e2

【分析】

(1)当α=0时，求出/⑴与/'⑴，代入在某点的切线方程公式即可；(2)/U)在区间［L2］上是减函数等

价于即r(x)=2x+α-1≤0在［L2］上恒成立，参变分离后求出α的取值范围；(3)求出g'(x)=0-2,结合

XX

x∈(0,e］,分ɑ≤!与”>■!■两种情况，求出每种情况下的最小值，列出方程，求出。的值，注意舍去不合要

ee

求的值

(1)

当α=0时，/(x)=x2-lnx,/(1)=1./(X)=2Λ-∣,广⑴=2-1=1,所以函数〃x)在41处的切线方

程为：y-ι=χ-ι,即χ-y=O.

(2)

若函数/(X)在区间［1,2］上是减函数，BP∕,(x)=2x+α-i<0⅛［l,2］上恒成立,只需α4∙L-2x在［1,2］上的最

XX

1177

小值，其中g(x)=,2x在［1,2］上单调递减，故g(χ)∙=g(2)竹-4=-f所以α≤,,故实数”的取值

范围是1-8,-/.

(3)

存在α=e2,使得当Xe(O,e］时，函数g(x)最小值为3.

理由如下:

g(x)=/(X)-X2=0χ-lnχ(α∈R),g'(x)=α-L,因为x∈(0,e］,'≥,,当α≤'时，g'(x)=α-4≤0恒成

XXeeX

41

立，g(x)单调递减，故g(x)最小值为g(e)=αe-l=3,解得：。=—,与α≤-矛盾，舍去

ee

当“>，时，令g'(x)=α-1>0得：Xe(Le,令短(X)=α-1<O得：x∈∣θ,ɪ即g(x)在Xe(0」］单调

eX∖aJXVa)Va)

2

递减，在xe(5e单调递增，故α=e2g(x)*=g(1=l-ln［J=l+lnα=3,解得：a=e

所以存在实数α=e2,当xw(0,e］时，函数g(x)最小值为3.

【即学即练13］若函数/(x)=gd+χ2-2在区间(〃?-4,/M)上存在最小值，则实数W的取值范围为

【答案】口,4)

【分析】

讨论函数〃x)的单调性，确定其极小值点与极小值，由给定条件探讨极小值点位置、区间上函数值与极小

值的关系即可作答.

【详解】由/(x)=gχ3+f-2得：尸(X)=X2+2χ=χ(χ+2),当x<-2或x>0时，/'(x)>0,当一2<x<0时，

∕,ω<O,于是得/(X)在(3,-2)和(0,+8)上都单调递增,在(-2,0)上单调递减,当χ=0时，/(χ)取得极

小值/(0)=-2,因/(x)在区间(力-4,机)上存在最小值，而函数最值不可能在开区间端点处取得，于是得

0∈(m-4,w),且/(机-4)Nf(0),

/W-4＜O

即,根＞0,解得1＜根＜4,

^(m-4)3+(∕n-4)2-2≥2

所以实数机的取值范围为［1,4).故答案为：［1,4)

【典例6］已知函数,/(X)=Or3-6Or2+b,x∈［-1,2］的最大值为3,最小值为一29,求α,。的值.

【考点】导数在最值问题中的应用

【题点】已知最值求参数

【解析】由题设知。和，否则Λr)=6为常函数，与题设矛盾.

求导得/(.r)=3αr2_1Iax=3αx(χ-4),

令了(X)=0,得Xl=0,X2=4(舍去).

①当4>0,且当X变化时，/⑴，氏0的变化情况如下表：

X-1(TQ)O(0,2)2

/(ɪ)+O一

於)~7a+bZb∖-16t∕+⅛

由表可知，当X=O时，y(x)取得极大值近也就是函数在上的最大值，；.火0)=b=3.

又/-1)=-7α+3,/2)=-i6α+3J—1),

.∖∕(2)=-16α+3=—29,解得α=2.

②当α<0时,同理可得,当X=O时，，x)取得极小值匕,也就是函数在［-1,2)上的最小值，.∙√(0)=b=-29.

又/(-1)=一7。-29,犬2)=-16。一29/-1)，

.∙.χ2)=-16a-29=3,解得°=一2.

综上可得，a—2,6=3或4=-2,b=~29.

考法03

由极值与最值关系求参数范围

函数在开区间内存在最值，则极值点必落在该区间内.

【典例7】若函数/(x)=∙√-3x-l在区间5-2,2n+3)上有最大值，则实数。的取值范围是.

【答案】-2<a≤——

【分析】

由导函数求得极大值，利用极大值点在区间(4-2,2α+3)上，且/(24+3)≤/(x)的极大值可得参数范围.

【详解】

∕,(x)=3x2-3=3(x+I)(x-1),

Xe-I或x>l时，f∖x)>O,-I<x<l时，f'(x)<O,

所以F(X)在(-<»,-1)和(1,”)上都递增，在(-1,1)上递减，

m)ωχ"(T)=-I+3-ι=ι,

小)在区间-2,2α+3)上有最大曲则［［ag—2<+3-)1=<(22αα++33)3-3(2.+3"≤l'解得一2<八

故答案为：-2<a<――.

2

【典例8］若函数√U)=x3-6区+36在(0,1)内有最小值，则实数力的取值范围是()

A.(0,1)B.(—co,1)

C.(0,+oo)D(O,

【考点】利用导数求函数中参数的取值范围

【题点】最值存在性问题

【答案】D

【解析】由题意得，函数/U)=V—6fcv+36的导数/(x)=3χ2-6匕在(0,1)内有零点，

且〃0)<0,/(l)>0,BP-6⅛<0,且(3—6份>0,

.,.0<⅛<^,故选D.

考法04

与最值有关的恒成立与存在性问题

分离参数求解不等式恒成立问题的步骤

【典例9】已知函数g(x)=(α-g∕+lnx-20r,且VXe(I,+∞),g(x)<0恒成立，则实数α的取值范围是

【答案】一¥5

【分析】

由题设条件分析易知α≤g,再应用导数研究g(x)在(1,+?)上的单调性，结合恒成立求”的取值范围.

【详解】

由函数解析式知：当有％f÷3θ时，g(x)—>÷°0,g(x)<O在(1,+?)不成立，

Λɑ≤∣,而g，(X)=(2加以+1-勿=吐正3出=(x-l)[(2.-l)x-l]

2XXX

∙.∙α≤;,则2.-l≤0,⅛x∈(l,+∞)±(20-l)x-l<0,

.∙.g'(χ)<O,g(χ)在(1,+?)单调递减，则有g(χ)<g⑴=-q-g≤o,

∙*.ci≥----.

2

综上，〃的取值范围是-pɪ.

故答案为：一;S

InYY

【即学即练14】已知函数F(X)=4Hg(X)=之，若存在机〃，使得若存在/(M=g(")<0成立，则的的

Xe

最小值为

【答案】」

e

【分析】

求导函数，分析/(X)的符号，得出函数/(X)的单调性，再由己知得〃《1=〃?111〃?(0<加<:1),令

A(x)=xlnX(0<Λ<1),利用导函数得出所令函数的最值，可求得答案.

【详解】

解：/(X)的定义域为(0，+8),由/(X)=L詈=0得x=e,

当Xw(0,e)时，/(x)>0,/(x)单调递增，当xe(e,"o)时，/(x)<0J(x)单调递减，

又./(1)=0,由/(m)<0得

__、In/nIn机”，八

乂J(zm)=-----=—=g(lnm)=g(n),:.Inm=/.mn=m∖1n加(()<tn<∖),

tnenm

令版X)=Xlnx(0<xvl),则令〃(X)=I+lnx=0,得X=

e

当X∈(0,1)时，h(x)<0,h{x}单调递减，当Xe(LI)时，Λ(x)>0,/?(x)单调递增，

ee

所以当χ=1时，∕z(x)n,M=/Zd)=L/=-[,所以机〃的最小值为一!，故答案为：-L

eeeeee

【即学即练15】已知函数/(x)=r2hlχ.

(1)求曲线y=f(χ)在点(IJ(I))处的切线方程;

(2)当x>0时，函数A(x)=∕(x)+χ2-m的图象均在X轴下方，求实数〃?的取值范围.

【答案】

(1)y=-x+l

⑵(f-÷∞]

【分析】

(1)求出r⑴、/(1),可得切线的斜率和切点坐标，利用点斜式方程可得答案；

(2)转化为x>0时，m>-χ2[nx+χ2恒成立，令8(司=一/111工+9(》>0),求出g(x)的最大值可得答案.

(1)

因为/'(x)=-x(2∣nx+l)(x>0),所以广⑴=-(21nl+l)=-l,/(I)=-Inl=O,

即切线的斜率为-1,切点坐标为(LO),所以切线方程为y-o=-(X-1),

即为y=-χ+L

(2)

当X>0时，函数〃(X)=/(x)+χ2-机的图象均在X轴下方，

即当x>0时,函数-x)<0恒成立,所以有m>-∕inχ+χ2在X>O时恒成立,

即机>(-ΛjiInX+X?),

令g(x)=r2l∏x+x2(x>0),g,(x)=-2xlnx+x=x(l-21nx)(x>θ),

当0<x<五时，g'(x)>O,g(x)单调递增，

当x>加时,√(x)<0,g(x)单调递减,故g(x)在X=在取得最大值,

最大值为g(J^)=-e/小W+e=∙∣,所以相>∙∣,

故实数机的取值范围是[5,+s).

f∣i分层提分

题组A基础过关练

I.函数y=-2x+4sinx在区间［0,2］上的最大值是()

A.-~+2y∕3B.---2√3

33

C.---2√3D.--+2ΛA

33

【答案】D

【分析】

利用导数分析函数y=-2x+4sinx在［0,2］上的单调性，进而可得结果.

【详解】

因为y=-2x+4sinx,x∈［0,2］,

1TT

则y'=-2+4cosx,令y'=0得CoSX=士，所以》=工，

23

当X€(0,守)，y>0,y=-2x+4sinx单调递增；

当xe(?,2),y'<0,y=-2x+4sinx单调递减，

所以，当X=(时，y有最大值(-2)xg+4Sinq=-等+2√L

故选：D.

2.函数y=∕(χ)的导函数y=∕'(χ)的图象如图所示，以下命题错误的是()

A.-3是函数y=∕(χ)的极值点B.-1是函数y=∕(χ)的最小值点

C.y=∕(χ)在区间(-3,1)上单调递增D∙y=∕(χ)在X=O处切线的斜率大于零

【答案】B

【分析】

根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可

知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率.

【详解】

解：根据导函数图象可知当xe(y>,-3)时，∕,(x)<0,在xe(-3,1)时，∕,(x)≥O,

；・函数y=∕(χ)在(f,-3)上单调递减,在函3,1)上单调递增,故C正确;

易知-3是函数y=/(χ)的极小值点，故A正确；

•在(-3,1)匕单调递增，.∙.T不是函数y=f(x)的最小值点，故B不正确；

函数y=f(x)在X=O处的导数大于0,•••切线的斜率大于零，故D正确.

故选：B.

3.若函数/(x)=∕-3X在(α,6-/)上有最小值，则实数。的取值范围是()

A.(-√5,1)B.[-√5,1)C.[-2,1)D.(-2,1)

【答案】C

【解析】本题利用函数的求导与最值、二次函数的性质求待定参数的问题.

由题意可得：/'(%)=3χ2—3,令∕^'(%)=0,可得x=±l,所以函数/(%)在(一8,—IMl,+8)

上单调递增，在(一1,1)上单调递减，所以函数在1=1取得最小值为/(1)=-2,又因为函数

[a<l<6-a2，

/(x)=d-3X在有最小值，所以有〈，和/(。)=优-3α≥-2解得

[a<6-a2

-2≤a<l,所以。的取值范围为[—2,1).

4.函数,f(x)=;X-SinX,x∈(0,Λ∙),则/(x)的最小值为()

ππ+3∖∣3„π-3∖f3ʌ/ɜ

Aa.^~D.----------Vx•----------LnJ•----

6662

【答案】C

【分析】

利用导数可求得函数”x)在区间(0,乃).

【详解】

因为/(x)=3X-SinX,xe(0,π),则/'(x)=g-cosx.

当o<x<q时，f(χ)<o,此时函数Fa)单调递减，

当q<x<乃时，∕,(x)>0,此时函数/(x)单调递增.

πy∣3TΓ-3y∕3

所以，当x∈(0z)时，/(x)=/

min626

故选：C.

5./(x)=e]τ在区间[T1]上的最大值是(

C∙e+1D.e-∖

【答案】D

【分析】

首先利用导数求出函数f(χ)的单调区间，再根据单调区间求最值即可.

【详解】

f[x)=ex-X,r(x)=e*-1,令/(x)=O,解得X=0.

所以x∈[T,0),∕,(x)<0,F(X)为减函数,

x∈[0,l],∕,(x)>0,/(x)为增函数，

又因为/(T)=eT+l=g+l,/(l)=β-l>∕(-l),

所以函数"x)在[T1]的最大值为e-l.

故选：D

6.已知函数/(x)=(x-1))*,下列结论中错误的是()

A.函数f(数有零点

B.函数/(x)有极大值，也有极小值

C.函数/(x)既无最大值，也无最小值

D.函数/(x)的图象与直线产1有3个交点

【答案】C

【分析】

由F(I)=O确定A正确，结合导数判断BCD选项的正确性.

【详解】

/(1)=0,所以A选项正确.

/(χ)=(x+l)(x-l)eτ,所以“力在区间(-∞,T,(L∙w))上/(x)>0J(χ)递增,在区间(Tl)上

/(x)<OJ(x)递减，

所以当x=T时，"x)有极大值"-l)=g>l,

当X=I时，/(x)有极小值/⑴=0,所以B选项正确.

注意到"x)≥0恒成立，所以"1)=0是/(x)的最小值，C选项错误.

画出/(x)的大致图象如下图所示，由图可知函数/U)的图象与直线产1有3个交点，D选项正确.

故选：C

7.函数f(x)=丁+3/-9x在［-1,2］上的最大值是()

A.-5B.2C.11D.15

【答案】C

【分析】

求导，确定函数的单调性，即可得解.

【详解】

因为函数/(x)=V+3χ2-9x,所以/'(x)=3χ2+6x-9=3(x+3)(x-l),

所以当xe［T,l］时，f'(x)<O,函数F(X)单调递减；

当xe［l,2］时，∕,(x)>0,函数/(x)单调递增；

又/(-1)=-1+3+9=11,/(2)=8+12-18=2,

所以函数/(力=丁+3/-9犬在［-1,2］上的最大值是〃—1)=11.

故选：C.

8.已知函数/(χ)='χ3-or2—法m>o,b>0)的一个极值点为］,则必的最大值为()

【答案】D

【分析】

求出/(X)的导函数，由题意可得了'(1)=0,可得2α+6=g,再根据基本不等式即可求得而的最大值.

【详解】

解：/(X)--X3-OX2-bx(a>0,b>0),f∖x)--x1-2ax-b,

62

因为函数八幻的一个极值点为1,

所以尸(1)=0,Bpl-2a-b=0,即2α+6=g,

所以2血隹JY=U当且仅当a=：、6=：时等号成立，

所以帅的最大值为上■.

32

故选：D.

9.已知函数y=∕(χ)的导函数图像，如图所示，那么函数y=∕(χ)()

A.在(-∞,-l)上单调递增B.在X=O处取得极小值

C.在X=I处切线斜率取得最大值D.在x=2处取得最大值

【答案】C

【分析】

本题首先可根据导函数图像分析出函数y=∕(x)的单调性与极值，即可判断出A、B、D错误，然后根据导

函数值的几何意义即可得出C正确.

【详解】

结合图像易知，

当XW(YO,-1)时，函数y=∕(x)是减函数，

当X=T时一，函数y=∕(χ)取极小值，

当XW(T,2)时,函数y=∕(x)是增函数,

当χ=2时，函数y=∕(χ)取极大值，不一定是最大值，

当x∈(2,÷X)时,函数y=∕(x)是减函数，

结合上述易知I,A、B、D错误，

因为函数在某点处的导函数值即函数在这点处的切线斜率，

所以由图像易知，在x=l处切线斜率取得最大值，C正确，

故选：C.

10.已知x=2是f(x)=21nx+0√-3X的极值点，则/(x)在1,3上的最大值是()

9517

A.2In3—B.C.-2In3------D.21n2-4

2218

【答案】A

【分析】

21

求得函数的导数:。)=—+2θr-3,根据x=2是/⑴的极值点，求得。=：,进而求得函数人幻单调性，结

合/(1)，/(3)的值，即可求得函数的最大值，得到答案.

【详解】

C2

由题意，函数J.(x)=21nx+0χ2-ɜɪ,可,得/'(x)=—+2ox-3,

X

因为x=2是F(X)的极值点,可得八2)=l+4α-3=0,解得“=[,

2

所以广(X)=2+x—3=(X-D(A2)x>。

XX

当;4x<l时，∕,(x)>0,函数/(x)单调递增；

当l<x<2时，f,(x)<O,函数/(x)单调递减；

当2<x≤3时,∕,(x)>0,函数f(χ)单调递增，

5o

由f⑴=g,"3)=21n3g,

oS

又由〃3)_〃l)=21n3_1+A21n3_2>21ne_]=0,所以"1)<∕(3),

所以当x=3时，函数/O)取得最大值，最大值为21n3-j

故选：A.

11.已知函数/(X)=吐-X,则(

X

A.y(χ)的单调递减区间为(0为B./(X)的极小值点为1

C./(X)的极大值为-1D./(x)的最小值为-1

【答案】C

【分析】

对函数F(X)求导，即可得到/(X)的单调区间与极值点，即可判断.

【详解】

解：因为/(X)=Q-X,所以f'(x)=匕学-I=上空工，令夕(X)=I-InX则9'(X)=-J-2x<0,

所以9(X)=I-InX-χ2在(0,+8)上单调递减，

因为S(I)=0,所以当O<x<l时，g(x)>0,即/(x)>();当x>l时，板x)<0,即/(x)<0,

所以/(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞),

故Ax)的极大值点为1,Λ‰ffi=ZO=-I,即/(x)3=∕(l)=T,不存在最小值.

故选：C.

12.函数/。)=2/_加+2在［0?］上的最大值为2,则。的取值范围为()

A.［4,6)B.［6,+∞)C.(0,4)D.［4,+∞)

【答案】D

【分析】

求得导函数的解析式，根据导函数在区间(0,2)内的正负的不同情况,分类讨论研究函数的单调性和最大值，

从而求得实数。的取值范围.

【详解】

解:由函数的解析式可得：/'(X)=6X2_2OX=X(6X-217),

当X=W≤0时,即α≤0时，/'(x)>0在(0,2］内恒成立，函数/(x)在区间［0,2］匕单调递胤而"0)=2：,不合

题意；

当X=］N2,即α≥6吐/'(力<0在(0,2)内恒成立，函数”x)导函数在区间［0,2］上单调递减,而10)=2,满足

题意；

当x=∙∣∈(0,2),即α∈(0,6)时，在区间(0,力上/'(x)<0.函数/(x)单调递减,在区间仁,2)±Γ(x)>O.

函数/(x)单调递增，满足题意时有/(2)≤F(0).即：16-4α+2≤∖,解得.≥4,此时4≤α<6,

综上可得,实数。的取值范围是［4,+oo).

故选:D.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的最值，关键是分类讨论思想的运用.

13.已知函数/(x)=Y-3犬一1,在区间［-3,2］上最大值为M,最小值为N,则N=()

A.20B.18C.3D.0

【答案】A

【分析】

由导数求出最大值和最小值后可得.

【详解】

∕,(X)=3X2-3=3(X-1)(X+1),XC-I或x>l时，∕,(x)>0,T<x<l时，f∖x)<0,

所以［-3-1)和(1,2］上以X)递增