排列组合二项式定理教案

第16章第1节第1、2课时授课时间：2009-课题：计数原理——乘法原理教学目标知识与技能①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；过程与方法引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式情感、态度与价值观在学习中体会数学的对称美，并对学生进行爱国主义教育，增强学生的民族自豪感。教学重点分步乘法计数原理的应用理解教学难点乘法原理的准确应用教学内容与教学过程师：从本节课开始，我们将要学习排列、组合、二项式定理.它们研究对象独特，研究问题的方法不同一般.虽然份量不多，但是与旧知识的联系很少，而且它还是我们今后学习概率论的根底，统计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有关.至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排调配的计数问题，就离不开它.

计数原理——乘法原理

师：〔板书课题〕

〔一〕、讲授新课

思考一下问题：

问题1：由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条〔见图9-1〕，从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？

师：〔启发学生答复后加以说明〕

这里，从A村到B村，有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B村到C村又各有2种不同的走法，因此，从A村经B村去C村共有3×2=6种不同的走法.问题2：在1、3、、5、7中任取2个数作除法，共可得到多少个不同的商？这里确定分子有4种方法，确定分母有3种方法，因此共可得到12个不同的商

一般地，有如下根本原理：

乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法.那么，完成这件事共有种不同的方法.

〔教师要读一遍乘法原理〕

如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤教不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，

那么计算完成这件事的方法数时，就可以直接应用乘法原理.

〔二〕、应用举例

师：现在我们学习了乘法原理，我们可以利用它来解决一些简单问题了.请看例题

例1、将三封信投入四个不同的信箱共有多少种投法？分析：四个信箱分别看作四个位置，分散步逐一将新投入信箱=64例2、由数字1，2，3，4可以组成多少个不含重复数字的三位整数?1、首先让学生利用树形图写出所有的三位数2、要完成确定三位数这件事，可分三步完成，第一步：确定百位数字共有4种方法；第二步：确定十位数字共有3种方法；第三步：确定个位数字共有2种方法；根据乘法原理共有4×3×2=24个三位数；变1：由数字1，2，3，4可以组成多少三位整数〔各位上的数字允许重复〕?变2：由数字0、1，2，3，4可以组成多少三位整数〔各位上的数字允许重复〕?例3：〔教材〕540的不同的正约数共有多少个？〔三〕、归纳小结

师：什么时候用乘法原理呢?

生：分步时用乘法原理．

师：应用两个根本原理时需要注意什么呢?

生：分类时要求各类加法彼此之间相互排斥；分步时要求各步是相互独立的．

〔四〕、课堂练习教材P50：练习16。11～4．首先由学生写出所有可能的商说明：1、应用乘法原理的前提是完成这件事是“分步的”2、必须依次完成每一步，才能完成这件事自看教材例1、例2、作业练习册P37~P39：16。11～4．教学后记 第16章第2节第1课时授课时间：2009-课题：排列的概念教学目标知识与技能1.正确理解排列、组合的意义．2.掌握写出所有排列、所有组合的方法，加深对分类讨论方法的理解过程与方法从实际问题出发，让学生体会排列的本质特征情感、态度与价值观3.开展学生的抽象能力和逻辑思维能力．教学重点重点：正确理解两个原理〔加法原理、乘法原理〕以及排列、组合的概念．教学难点难点：区别排列与组合．教学内容与教学过程〔一〕、复习计数原理——乘法原理师：上节课我们学习了乘法原理，请大家完成以下两题的练习：〔用投影仪出示〕问题1.书架上层放着50本不同的社会科学书，下层放着40本不同的自然科学的书．〔1〕从中任取1本，有多少种取法?〔2〕从中任取社会科学书与自然科学书各1本，有多少种不同的取法?问题2:.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同飞机票?问题3：由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数?写出这些所有的三位数．〔教师在教室巡视，过3分钟找一个同学板演〕根据乘法原理，从四个不同的数字中，每次取出三个排成三位数的方法共有4×3×2＝24〔个〕．师：请板演同学谈谈怎样想的?生：第一步，先确定百位上的数字．在1，2，3，4这四个数字中任取一个，有4种取法．

第二步，确定十位上的数字．当百位上的数字确定以后，十位上的数字只能从余下的三个数

字去取，有3种方法．第三步，确定个位上的数字．当百位、十位上的数字都确定以后，个位上的数字只能从余下

的两个数字中去取，有2种方法．根据乘法原理，所以共有4×3×2＝24种．师：以上我们讨论了三个实例，这三个问题有什么共同的地方?生：都是从一些研究的对象之中取出某些研究的对象．师：取出的这些研究对象又做些什么?生：实质上按着顺序排成一排，交换不同的位置就是不同的情况．上面第一个问题就是从3个不同的元素中，任取2个，然后按一定顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法，后来又写出所有排法．第二个问题，就是从3个不同元素中，取出3个，然后按一定顺序排成一列，求一共有多少排法和写出所有排法．第三个问题呢?生：从4个不同的元素中，任取3个，然后按一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法，并写出所有的排法．排列的定义：一般地说，从n个不同的元素中，任取m〔m≤n〕个元素〔本章只研究被取出的元素各不相同的情况〕，按着一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．师：下面我们进一步讨论：1.在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，有多少种不同的飞机票价与准备多少种不同的飞机票，有什么区别?2.有四个质数2，3，5，7两两分别作加法、减法、乘法、除法，所得到的和、差、积、商是否相同?由问题2可知，从“北京、上海、广州”3个元素中，任取2个元素共有6个不同的排列，由问题2可知，从“1、2、3、4”4个元素中，任取3个元素共有24个不同的排列〔见前面树形图〕应用举例例1：写出从a、b、c、d四个元素中任取2个〔或3个〕元素的所有排列课堂练习：教材P52练习16.2〔1〕1、单程飞机票由起点终点的决定按着这个定义，结合上面的问题，请同学们谈谈什么是相同的排列?什么是不同的排列?判断一个问题是否是排列问题的依据是问题是否和元素的顺序有关第16章第2节第2课时授课时间：2009-课题：排列数公式教学目标知识与技能正确理解和掌握排列数公式，并能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题，从而开展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力．过程与方法了解排列数公式的推导过程，能运用排列数公式解决简单实际问题；会用位置分析法解决排列问题。情感、态度与价值观教育学生从多个角度去认识人和事物，从而发现世界与人生的美丽，真正体会到学习的热趣。教学重点排列数公式的意义教学难点排列数公式的准确运用．教学内容与教学过程一、复习导入〔一〕概念回忆1、什么叫排列？从n个不同元素中，任取m()个元素〔这里的被取元素各不相同〕按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列2、什么叫不同的排列？〔元素和顺序至少有一个不同〕.3、什么叫相同的排列？〔元素和顺序都相同的排列〕.〔二〕、问题导入：在前面的学习中，我们知道1、从“北京、上海、广州”3个元素中，任取2个元素共有6个不同的排列，2、从“1、2、3、4”4个元素中，任取3个元素共有24个不同的排列思考：从10名运发动中选3名，确定好出场的先后顺序，问有多少种参赛方法？〔如果我们把每一个运发动都看作一个元素，那么这个问题就是让我们求从10个不同的元素中取出3个元素的所有排列的个数。由此引出排列数的定义，判断是否是排列问题关键在于取出的元素是否与顺序有关，假设与顺序有关那么是排列，否那么不是二、概念形成1、排列数的定义及其符号表示从n个不同元素中取出m〔m≤n〕个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。用符号表示。〕如，2、排列数的计算公式的推倒：运用位置分析法，先探讨，第1位第2位第1位第2位第3位由此让学生思考，。那么又等于多少呢？第1位第2位第3位……第m位nn-1n-2…n-m+1∴如排列数公式中，当m=n时，有，由此引出阶乘的定义，并给出排列数公式的另一种形式。这个公式指出，n个不同元素全部取出的排列数，等于自然数1到n的连乘积。n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列。自然数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示。所以n个不同元素的全排列数公式可以写成1！=1；2！=1×2=2；3！=1×2×3=63、公式的简化因此，排列数公式还可写成注意:为了使这个公式在m＝n时也能成立，我们规定0﹗＝1。举例说明“排列数”与排列之间的区别与联系排列数公式的规律公式的规律和记忆三、应用举例【例１】计算1〕2〕分析：〔1〕、利用排列数公式；〔2〕、要点：【例２】试证明1〕2〕3〕1〕、〔2〕应用公式3〕解方程〔1〕2〔5〕〔2〕〔n=3〕四、课堂练习教材P56练习16.2〔2〕五、课堂小结：解有关排列数的方程关键在于用排列数公式将方程转化为关于x的一元方程作业一课一练P37~P40〕教学后记 第16章第2节第3课时授课时间：2009-课题：排列的应用题教学目标知识与技能通过教学使学生进一步加深对乘法原理、排列意义的理解，初步掌握有关排列问题的根本解法，提高学生分析问题解决问题的能力过程与方法通过例题教学，进一步对概念的理解，公式的应用情感、态度与价值观教育学生从多个角度去认识人和事物，从而发现世界与人生的美丽，真正体会到学习的热趣。教学重点排列综合问题的解法教学难点针对具体问题采用适当的方法教学内容与教学过程一、概念回忆：1、排列：从n个不同元素中，任取m()个元素〔这里的被取元素各不相同〕按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列2、排列数的符号表示〔从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，叫做n个不同元素中取出m个元素的排列数。用符号表示。〕3、排列数的计算公式二、应用举例：【例１】用0、1、2、3、4、5、6组成满足以下条件的数各多少个？无重复数字的四位数；无重复数字的四位数偶数；〔奇数〕无重复数字的四位数且能被5整除；个位数字大于十位数字的四位数.分析：每一个四位数对应于从0、1、2、3、4、5、6七个数字中取出四个数的一个首位不为0的排列，采用位置填充法〔师生共同完成〕千百十个〔1〕、6×=720〔2〕、按个位分类+××=320〔3〕、+5×=220小结：解有条件限制的排列问题思路：①正确选择原理；②处理好特殊元素和特殊位置，先让特殊元素占位，或特殊位置选元素；③再考虑其余元素或其余位置；④数字的排列问题，0不能排在首位【例2】7个人排成一排，在以下情况下，各有多少种不同排法？〔1〕甲排在排头〔2〕甲不排头，也不排尾〔3〕甲、乙、丙三人必须在一起〔4〕甲、乙、丙三人两两不相邻〔5〕甲在乙的左边〔不一定相邻〕〔6〕甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序〔7〕甲不排头，乙不排尾；分析：〔1〕、=720；〔2〕、5×=3600或用间接法=3600〔3〕、〔相邻问题采用“捆绑法”〕〔4〕、〔不相邻问题采用“插入法”〕〔5〕、2520〔顺序一定采用“概率法”〕〔6〕、840〔7〕、+=3720小结：解决相邻问题通常用捆绑的方法；不相邻问题通常用插入的方法.【例3】〔1〕、某段铁路上有12个车站，共需准备多少种普通客票？〔2〕信号兵用红、黄、蓝三面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂一面、二面或三面，并且不同的顺序表示不同信号，一共可以表示多少种不同的信号？分析：〔1〕、每张车票对应于12个车站中2个车站的一个排列〔2〕、=15【例3】一台节目，由3个舞蹈节目和5个演唱节目组成，那么 1〕如果第一个节目是舞蹈，共有______种安排方法；

2〕如果第一个和最后一个节目不能是舞蹈，共有______种安排方法；

3〕如果要求舞蹈节目连续演出，共有______种安排方法；

4〕如果要求每两个舞蹈节目之间至少有一个演唱节目，共有______种安排方法。“特殊元素”、“特殊位置”优先原那么三、课堂练习1、看教材P56--P58例题2、教材P58练习16.2〔3〕四、课堂小结解有条件限制的排列问题思路：①正确选择原理；②处理好特殊元素和特殊位置，先让特殊元素占位，或特殊位置选元素；③再考虑其余元素或其余位置；④数字的排列问题，0不能排在首位解决相邻问题通常用捆绑的方法；不相邻问题通常用插入的方法.解有关排列的应用题时，先将问题归结为排列问题，然后确定原有元素和取出元素的个数，即n、m的值作业练习册P39-P42习题16.2A组习题B组教学后记 第16章第3节第1、2课时授课时间：2009-课题：计数原理Ⅱ——加法原理教学目标知识与技能1.正确理解和掌握分类计数原理,进一步培养学生的归纳概括能力；2、会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题.过程与方法通过具体问题引入加法原理，并进一步通过问题的解决，使学生准确理解加法原理情感、态度与价值观开展学生的思维能力。培养学生分析问题解决问题的能力；教学重点分类计数原理(加法原理)教学难点分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解.教学内容与教学过程复习引入：乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法.那么，完成这件事共有种不同的方法.前面我们已经学习了计数原理——乘法原理，今天我们学习另一个计数原理——加法原理应用乘法原理的前提条件是“完成一件事需要分成n个步骤二、讲解新课：我们先来研究两个具体问题问题一：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船.一天中，火车有4班,汽车有2班，轮船有3班.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?分析：从甲地到乙地有3类方法第一类方法，乘火车，有4种方法；第二类方法，乘汽车，有2种方法；第三类方法，乘轮船，有3种方法；所以，从甲地到乙地共有4+2+3=9种方法.问题二：用红、黄、蓝的小旗各一面挂在旗杆上表示信号，每次可以挂一面、两面、三面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？分析：表示的信号可以按用到的小旗的面数分为3类第一类：用1面小旗作出的信号有种；第二类；用2面小旗作出的信号有种第三类：用3面小旗作出的信号有种所以一共可以表示=15种不同的信号分类计数原理(加法原理)：做一件事情，完成它可以有n类方法，在第一类方法中有种不同的方法，在第二类方法中有种不同的方法，……，在第n类方法中有种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.原理浅释分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n类方法”，是说每种方法“互斥”，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏．进行分类时，要求各类方法彼此之间是相互排斥的，不管那一类方法中的哪一种方法，都能独立完成这件事.只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否那么不可以.两个根本原理的作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数.两个根本原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成三、讲解范例：例1．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，〔1〕从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？〔2〕从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？解：〔1〕从书架上任取1本书，有3类方法：第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类方法是从第3层取1本体育书，有2种方法.根据分类计数原理，不同取法的种数是4+3+2=9种.所以，从书架上任取1本书，有9种不同的取法；〔2〕从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步从第2层取1本艺术书，有3种方法；第3步从第3层取1本体育书，有2种方法.根据分步计数原理，从书架的第1、2、3层各取1本书，不同取法的种数是种.所以，从书架的第1、2、3层各取1本书，有24种不同的取法.例2：如果从7名运发动中选出4名运发动组成接力队，参加4×100米接力比赛，那么甲乙两人都不跑中间两棒的安排方法有多少种？分析：如果甲或乙参加比赛，那么都不跑中间两棒，第一类：甲、乙两人都不参加比赛，安排方法有种第二类：甲、乙两人仅有1人参加比赛，安排方法有2种第三类：甲、乙两人都参加比赛，安排方法有种根据加法原理共有400种安排方法教材P59例3、教材P60例5、例6四、课堂练习1、教材P60练习16.3〔1〕2、教材P62练习16。3〔2〕补充3.满足∪=｛1,2｝的集合、共有多少组?分析一:、均是｛1,2｝的子集:φ,｛1｝,｛2｝,｛1,2｝,但不是随便两个子集搭配都行,此题尤如含、两元素的不定方程,其全部解分为四类:1)当=φ时,只有=｛1,2｝,得1组解;2)当=｛1｝时,=｛2｝或=｛1,2｝,得2组解;3)当=｛2｝时,=｛1｝或=｛1,2｝,得2组解;4)当=｛1,2｝时,=φ或｛1｝或｛2｝或｛1,2｝,得4组解.根据分类计数原理,共有1+2+2+4=9组解.五、课堂小结小结：分类计数原理和分步计数原理,答复的都是有关做一件事的不同方法种数的问题,区别在于:分类计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,每一种方法只属于某一类,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤,只有各个步骤都完成才算做完这件事应用两种原理解题:1.分清要完成的事情是什么；2.是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立，“步”间互相联系；3.有无特殊条件的限制作业一课一练P65——P70教学后记 第16章第2节第1、2课时授课时间：2009-课题：组合教学目标知识与技能使学生正确理解组合的意义，明确组合与排列的区别与联系，掌握组合数公式，能够应用组合数公式解决一些简单的实际应用问题。理解并掌握组合数的两个性质过程与方法通过创设问题情景，引导学生主动探究，积极思考，学会学习，通过师生互动及时反映教学信息，以调整教学进度。情感、态度与价值观①通过组合数公式的推导过程，使学生学会用联系的观点看问题，从排列与组合的概念中找到区别与联系，来培养学生探索数学规律的能力。②通过问题的解决，树立自信心，体会成功与快乐，学会探究，学会自主学习，教学重点组合的概念；教学难点排列与组合的区别及运用教学内容与教学过程一、知识复习复习什么叫排列？什么叫排列数？写出排列数公式，并用阶乘表示.二、概念引入和形成1、思考一下问题：问题1：在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，有多少种不同的飞机票价？有多少种不同的飞机票，以上两个问题有何区别？分析、前边已经讨论过有要准备6种飞机票，但票价只有三种，北京——上海与上海一北京，北京一广州与广州一北京，上海一广州与广州一上海票价一样，共3种票价．问题2：1、甲、乙、丙三人作为元旦晚会的候选人，需要选2名作主持人，其中1名作正式主持人，一名作候补主持人，有多少种不同的方法？2．甲、乙、丙三人作为元旦晚会的候选人，需要选2名共同主持节目，有多少种不同的选法？．［生］第1个问题就是我们所学的排列问题，对应于从3个不同元素中选2个不同元素的排列，选出的2个元素有顺序之分；第2个问题只需2个人选出来即可，并不考虑取出的先后顺序［师］第2个问题中，所选2名主持人无顺序关系，因而它是从3个不同的元素中取出2个，不管怎样的顺序并成一组，求一共有多少个不同的组．这就是本节所要研究的组合问题．师：以上两个问题，有什么共同点?都是从一些元素中，任取某些元素的问题．可以分两类:一类属于前边学过的排列问题，即取出的元素要“按照一定的顺序排成一列”，只要交换位置，就是不同的排列．另一类是取出的元素，不必管顺序，只有取不同元素时，才是不同的情况，如飞机票价，2、组合的概念从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。所以组合的定义包含两个根本内容：一是“取出元素”，二是“并成一组”，对此定义的理解还应注意以下两点：1〕组合定义中“并成一组”的涵义是不考虑怎样的顺序，从而可知组合是研究无次序的选取问题。对于每一个组合，只要把所选出的m个元素并成一组，不要求规定顺序，因此，对于两个组合，判断它们是否相同，只要看这两个组合所含元素是否完全相同，假设两个组合所含的m个元素完全相同，就可以认为它们是同一个组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，是不同的组合．如ab与ba是两个不同的排列，但它们却是同一个组合．2〕对组合的定义与排列的定义比拟后，可知组合定义中少了一个要求顺序的条件，从而可知排列是有序的，而组合是无序的．因此区分它们时必须抓住“顺序”这个关键，下面举几个容易混淆的排列与组合的简单例子作一番比拟．例：判断以下问题哪个是排列问题哪个是组合问题：⑴从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览；〔组合〕⑵从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．〔排列〕注：1．不同元素2．“只取不排”——无序性3．相同组合：元素相同由于排列和组合有关知识是比拟相近、容易混淆的，因此在学习时要透彻地理解排列与组合的概念，抓住有序、无序这一核心．解决实际问题时，要注意判断问题是有序还是无序，从而确定是排列问题还是组合问题．3．组合数的概念及其组合数公式的推导〔1〕、组合数的概念：从n个不同元素中取出m〔m≤n〕个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号表示．⑴提问：从4个不同元素a，b，c，d中取出3个元素的组合数是多少呢？而从4个不同元素中取出3个元素的排列数可以求得，故我们可以考察一下和的关系，如下：组合排列：＝，所以：．⑵推广：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分如下两步：①先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数；②求每一个组合中m个元素全排列数，根据分布计数原理得：＝⑶组合数的公式：或⑷稳固练习：1．计算：⑴⑵2．求证：3．设求的值．解：由题意可得：即：2≤x≤4∵∴x=2或3或4当x=2时原式值为7；当x=3时原式值为7；当x=2时原式值为4．例题讲评例1．某班要选举班级干部，现有10名候选人，要从10候选人中选出5名。〔1〕、将这5人组成班委，有多少种不同的选法？〔2〕、让这5人分别担任班委中五项不同的职务，有多少种不同的选法？略解：〔1〕、=252；〔2〕、=252；30240；启发：由于排列是先组合再排列，通过组合公式的推导让学生进一步体会“排列”与“组合”的内在联系熟记：要点：根据“顺序”判断是排列还是组合问题5、课堂练习〔一〕P65练习16.4〔1〕6、组合数的两个性质利用计算器分别计算以下各对组合数的值，你能的车怎样的结论与；与；与；性质1；=；证明：〔利用组合的结成形式公式〕例2：〔1〕、计算；〔2〕、，求x的取值；性质2；=；证明：〔略〕体会性质1的应用7、课堂练习〔二〕P67练习16.4〔2〕课堂小结：1、理解并掌握组合的概念；2、了解公式的推导方法，并熟练的记忆和应用公式3、掌握组合数的两个性质；作业练习册P44-P47习题16.4A组习题B组教学后记 〔此课后需增加一节习题课完成教材例题的讲解〕第16章第2节第1、2课时授课时间：2009-课题：二项式定理教学目标知识与技能〔1〕、学生能够自己得到二项式定理的内容；〔2〕、学生能够观察出二项式系数的主要特征，正确书写二项式定理，并从中体会到组合数两个性质的应用；〔3〕、学生能够根据展开原理，写出三项式展开式中的某一项。过程与方法〔1〕着重培养学生自己探求知识、获取知识的能力；〔2〕培养学生思维的发散能力。情感、态度与价值观结合“杨辉三角”这一素材，向学生展示数学结构之美，并适时激发民族自豪感，进行爱国主义教育。教学重点二项式定理的内容以及相关概念教学难点二项式定理的得出、二项式系数确实定教学内容与教学过程一、定理的引入和推导1、复习引入；；2、探究引申、以及如何展开教师将以上各展开式的系数整理成如下模型11121133114641杨辉三角形15101051问题1：请你找出以上数据上下行之间的规律。预期答复：下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和。问题2：以的展开式为例，说出各项字母排列的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关系。预期答复：①展开式每一项的次数按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列，且两个字母的和等于乘方指数；②展开式的项数比乘方指数多1项；③展开式中第二项的系数等于乘方指数。你能根据杨辉三角形写出初步归纳出下式：〔※〕看特殊情形n=1时n=2时n=3时n=4时如何展开以及呢？。告诉学生以上的系数表是我国宋代数学家杨辉的杰作，称为杨辉三角形，这项创造比欧洲人帕斯卡三角早400多年。你们今天做了与杨辉同样的探索，以鼓励学生探究的热情，并激发作为一名文明古国的后代的民族自豪感和爱国热情。〔设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷的方法的欲望3、形成结论：呈现二项式定理——板书课题：这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数叫做二项式系数式中叫做二项展开式的通项，它是展开式中的第项，用表示即：“二项式定理”可用数学归纳法，并利用组合性质2进行证明4、深化认识请学生总结：①二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么？②二项式定理展开式的结构特征是什么？哪一项最具有代表性？由此，学生得出二项式定理、二项展开式、二项式系数、项的系数、二项展开式的通项等概念，这是本课的重点教师用边讲边问的形式，通过让学生自己总结、发现规律，挖掘学习材料潜在的意义，从而使学习成为有意义的学习二、应用举例【例1】求以下各式的二项展开式①②【例2】①求的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。②求的展开式中含项的系数。分析：利用通项公式，其中n=7①第四项的二项式系数为先求出第四项故第4项的系数为280；②分析：首先确定所求项在展开式中的位置〔第几项〕然后求之令9-2r=3，得r=3故含项是展开式的第四项，且，其系数为-84；利用“二项式定理”要点：正确确定nab的值注意：“二项式系数”和“系数”的区别课堂练习〔一〕教材72练习16.5〔1〕例3、求二项展开式中的常数项.分析：∵由=0的r=6∴因此常数项为5005；常数项中“字母”为0次例4：的二项展开式中，前三项的系数成等差数列，求二项展开式中的所有有理项.分析：所以：展开式前三项的系数分别为：1、、成等差数列的充要条件为例5：求证：例5、例6为二项定理的应用例6：求证能被7整除；课堂练习〔二〕教材P74练习16.5〔2〕三、课堂小结①本节课我们主要学习了二项式的展开，有两种方法，一是杨辉三角形，二是二项式定理，两种方法各有千秋。②二项式定理的表达式以及展开式的通项，③要正确区别“项的系数”和“二项式系数”，④将二项式定理中的字母赋上适当的值，就可以求一些特殊的组合多项式的值。作业一课一练：P75~P78教学后记 第16章第2节第1、2课时授课时间：2009-课题：二项式系数的性质教学目标知识与技能1.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用；2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题；过程与方法3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提高分析问题和解决问题的能力。情感、态度与价值观教学重点二项式样系数的性质．教学难点二项式样系数性质的运用教学内容与教学过程一、复习引入上一节课，我们已经学会了如何将二项式展开及求展开式中指定项或指定项系数、二项式系数的方法．今天，我们来研究一下二项式系数的性质．1.的展开式的二项式系数是；2.组合数的性质1是；3、二项式定理4、二项展开式的通项二、二项式系数的性质1、师：的展开式的二项式系数，，，…，共项，要研究它的一般规律，我们先通过杨辉三角看看n为特殊值时，二项展开式中二项式系数有什么特点?(从特殊到一般的思想由此引发)二项式系数表〔杨辉三角〕引导学生猜测，猜测是发现的开始。2、根据学生猜测，引导学生逐步归纳得出：(1)对称性与首末两端“等距离“的两个二项式系数相等，即＝．由此得二项式系数的性质：性质1：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等即其中m=0,1,2,3,……,n(2)、计算每一行的和值看有怎样的规律；所有二项式系数和等于2n，即：性质2：：在二项展开式中，所有项的二项式系数和等于2n；事实上,在二项定理中假设令那么有，令，那么．令，那么推论：(在二项展开式中,奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和)(3)、增减性与最大值当k＜时，二项式系数提逐渐增大的，当＞时，二项式系数是逐渐减小的，且在中间取得最大值，这一性质可以借助于杨辉三角来理解．具体写出二项式系数最大值如下：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项，相等，且同时取得最大值．性质3：如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数最大；[注意]二项展开式中各项的系数与各项的二项式系数的区别.〔设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷的方法的欲望思考：假设集合M含有n个元素，那么它的所有子集个数为___2n，真子集个数为__2n－1．三、应用举例：【例１】(1-x2)9展开式中二项式系数最大的项是，二项式系数最小的项是。说明：注意项与项数的区别；系数与二项式系数的区别.【例２】的展开式中所有奇数项系数和等于1024，求展开式中二项式系数最大的项及它的中间项。分析由于在二项式的展开式中，二项式系数最大的项是中间一项〔n为偶数〕或中两项(n为奇数)，所以必须