5.1导数的概念及其意义（六大考点）（原卷版）

5.1导数的概念及其意义1.通过对实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景.2.理解函数的平均变化率、瞬时变化率,会求函数在某一点附近的平均变化率.3.理解导数的概念,会利用导数的定义求函数在某点处的导数.4.理解导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.一、平均速度与瞬时速度（1）平均速度：一般地,在这段时间里,物体的平均速度（2）瞬时速度：把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.物体在某一时刻的瞬时速度为当时间间隔无限趋近于0时平均速度的极限,即二、割线的斜率和切线的斜率（1）割线的斜率：如图所示，平均变化率表示割线的斜率.（2）切线与切线的斜率①曲线的切线：如图所示，在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.②切线的斜率：曲线在某一点处切线的斜率,即当横坐标间隔无限趋近于0时,割线斜率的极限,即.三、导数（1）平均变化率：把比值,即叫做函数从到的平均变化率（2）导数的概念：如果当时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称在处可导,并把这个确定的值叫做在处的导数(也称为瞬时变化率),记作或,即.（3）导数的几何意义：函数在处的导数,就是切线的斜率,即.（4）导函数当时,是一个唯一确定的数,当变化时,是的函数,称它为的导函数(简称导数),的导函数有时也记作,即.说明:①平均变化率与瞬时变化率的区别:平均变化率刻画函数值在区间上变化快慢,瞬时变化率刻画函数值在处变化的快慢.②平均变化率与瞬时变化率的联系:当趋于0时,平均变化率趋于一个常数,这个常数为函数在处的瞬时变化率,它是一个固定值.四、求切线方程1.求曲线“在”点处的切线方程：第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率；第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率；第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：.2.求曲线“过”点处的切线方程第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数；第三步：利用Q在曲线上和，解出及；第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：.考点01平均变化率（平均速度）1．函数在区间上的平均变化率为（

）A．1 B．2 C． D．02．某物体运动后，其位移（单位：）为．在这段时间里，该物体的平均速度为（

）A． B． C． D．3．若函数在区间上的平均变化率为3，则m等于．4．如图，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，试分别找出与各容器对应的水面高度h与时间t的函数图象A．

B．

C．

D．

5．路灯距地面，一个身高为的人以84m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影C点处沿直线匀速离开路灯.(1)求身影的长度y(单位：m)与人距C点的距离x(单位：m)之间的关系式；(2)求人离开C点10s内身影长度的平均变化率.6．已知气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是.(1)求半径r关于体积V的函数r(V)；(2)比较体积V从0L增加到1L和从1L增加到2L半径r的平均变化率；哪段半径变化得快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？考点02瞬时变化率（瞬时速度）7．在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度单位：）是，则运动员在时的瞬时速度为（

）A． B． C． D．8．一个质量的物体作直线运动，设运动距离（单位：m）与时间（单位：s）的关系可用函数：表示，若，则该物体开始运动后第2s时的速度是（

）A．3m/s B．5m/s C．6m/s D．12m/s9．物体位移s和时间t满足函数关系，则当时，物体的瞬时速度为．10．球的体积V（单位：）与半径R（单位：cm）的关系为，则时体积关于半径的瞬时变化率为（

）A． B． C． D．11．枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是，枪弹从枪口射出时所用的时间为s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度.12．某赛车比赛中，一赛车的位移s（单位：m）与比赛时间t（单位：s）存在函数关系.(1)当，时，求与的值；(2)求当时的瞬时速度.考点03导数的定义13．若函数的满足，则（

）A．2 B．1 C．0 D．14．若可导函数满足，则（

）A． B． C． D．15．已知函数，若，则实数的值为（

）A． B． C． D．16．若是函数的导数，且，则（

）A． B． C． D．017．设函数，则（

）A． B． C． D．18．已知函数的导函数为，且，，则实数t的值为.19．已知，用割线逼近切线的方法可以求得.考点04利用导数的定义求切线斜率20．曲线在点处的切线的斜率为（

）A． B．C． D．21．设为可导函数，且当时，，则曲线在点处的切线斜率为（

）A．2 B． C．1 D．22．已知函数，则该函数在处的切线斜率为（

）A．0 B．1 C．2 D．323．若为可导函数，且，则过曲线上点处的切线斜率为．24．函数的图象在点处的切线的倾斜角的大小为．25．抛物线y＝x2＋4在点(1，5)处的切线的斜率为.26．求函数的图象上点处切线的斜率．考点05求切线方程27．曲线在点处的切线方程为.28．求曲线上点处的切线方程．29．（1）求曲线在点处的切线方程．（2）求函数在点处的切线方程．30．已知函数．(1)求函数的导函数；(2)过点作函数的图象的切线，求切线方程．31．已知曲线(1)求过的点的切线方程；(2)（1）中以为切点的切线与曲线是否还有其他公共点？32．已知，求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积S．33．已知函数f(x)＝x3.（1）求函数f(x)的图象在点(1，1)处的切线方程；（2）若函数f(x)的图象为曲线C，过点P(，0)作曲线C的切线，求切线的方程．考点06已知切线(斜率)求其他34．如图，函数的图象在点处的切线是，则（

）A． B． C．2 D．135．（多选）下列各点中，在曲线上，且在该点处的切线倾斜角为的是（）A． B．C． D．36．若曲线在点处的切线垂直于直线，则点的坐标是．37．曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的坐标为．38．函数y＝x2＋4x在x＝x0处的切线斜率为2，则x0＝.39．若曲线y＝2x2－4x＋m与直线y＝1相切，则m＝.40．若曲线在点A处的切线方程为，且点A在直线（其中，）上，求的最小值．基础过关练1．设函数在处可导，若，则（

）A．3 B．6 C．8 D．122．质点M按规律s＝2t2＋3t做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t＝2s时的瞬时速度是（

）A．2m/s B．6m/sC．4m/s D．11m/s3．已知函数，，，，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（

）A．B．C．D．4．设曲线在点处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则的面积等于（

）A．1 B．2 C．4 D．65．（多选）设函数，当自变量由变化到时，下列说法正确的是（

）A．可以是正数也可以是负数，但不能为0B．函数值的改变量为C．函数在上的平均变化率为D．函数在上的平均变化率6．（多选）设在处可导，下列式子中与相等的是（

）A． B．C． D．7．如图所示为物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的序号是．①在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；②在时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度；③在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；④在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度．8．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则，．9．已知曲线在点P处的切线方程为，则切点P的坐标为.10．（1）已知函数，分别计算在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快；（2）已知函数，求在区间上的平均变化率．11．正方形的边长变化时，其面积关于的变化率是正方形周长的多少倍？12．求双曲线在点处的切线方程．能力提升练1．若一射线从处开始，绕点匀速逆时针旋转（到处为止），所扫过的图形内部的面积是时间的函数，的图象如图所示，则下列图形中，符合要求的是（

）A．

B．

C．

D．

2．吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为，为的导函数．已知在上的图像如图所示，若，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．存在，使得3．校考期中）①若直线与曲线有且只有一个公共点，则直线一定是曲线的切线；②若直线与曲线相切于点，且直线与曲线除点外再没有其他的公共点，则在点附近，直线不可能穿过曲线；③若不存在，则曲线在点处就没有切线；④若曲线在点处有切线，则必存在.则以上论断正确的个数是（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4．（多选）下列有关导数的说法，正确的是（

）.A．就是曲线在点处的切线的斜率B．与的意义