北京市海淀区、石景山区高考数学三年（2021-2023）模拟题汇编-集合与常用逻辑用语

北京市海淀区、石景山区高考数学三年(2021-2023)模拟题

知识点分类汇编-集合与常用逻辑用语

一、单选题

1.(2023•北京海淀•统考一模)已知等比数列{q,}的公比为q且4≠1,记

?；=­(〃=1,2,3,...)、则“q>0且g>i”是“{Z,}为递增数列”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.(2023•北京海淀•统考一模)已知集合A={x∣l<x<3},3={0,l,2},则AB=()

A.{2}B.{0,l}C.{L2}D.(0,1,2)

3.(2023•北京石景山•统考一模)设x>0,y>0,则“x+y=2"是"孙≤1”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.(2023•北京石景山•统考一模)已知集合A={x∣-2≤x≤2},B={x∣x2+x-2≤0),则

AuB=()

A.[-2,2]B.[-2,1]C.[0,1]D.[0,2]

5.(2022.北京石景山.统考一模)设全集U={xeR∣x≥l},集合A={xe∕Γ∣x2≥3},

则①A=()

A.[1询B.[1,√3]

C.(G,+8)D.[G,+8)

6.(2022•北京石景山•统考一模)“加<4”是“2/一〃a+1>0在xe(l,4w)上恒成立”的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.(2022•北京海淀•统考二模)设函数/(x)的定义域为R,则""x)是R上的增函数”

是“任意4>0,y=f(x+q)-f(X)无零点”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8.（2022•北京海淀•统考二模）已知集合A={x∣x（0或力1},则AtA=（）

A.{x∣0vx<l}B.{x∣0≤x<l}

C.1x∣0<x≤l∣D.{x∣0≤x≤l}

9.（2022•北京海淀•统考一模）在JIBC中，A=%则“sinB<也”是“一AeC是钝角三

42

角形”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

10.（2022・北京海淀•统考一模）已知集合A={x|—l≤x≤2},B={ψ>θ},则AuB=

（）

A.{x∣x42}B.{x∣x>-l}C.{x∣x>-l}D.{x∣x>θ}

11.（2021•北京海淀.统考模拟预测）已知集合A={2,3,4},B={x∣∕>4},则集合AB=

（）

A.{3,4}B.{2,3,4}C.{-2,-1,0,1,2}D.（-2,2）

12.（2021•北京海淀•统考模拟预测）正方形A8CO,如图所示，边长为2,E为正方形

ABCD内一动点，连接4E,将AE绕A逆时针旋转90,到达A尸,连接EF,BE.M∣J

忸4=j而是四边形43瓦•是平行四边形的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

13.（2021•北京海淀•统考模拟预测）若全集U=R,A={x∣x<l},B={x∣x>-l）,则（）

A.AcBB.BaAC.BcdilAD.gAaB

22

14.（2021•北京海淀•统考模拟预测）"=5”是“双曲线C：三+上=1的虚轴长为2”

m4一"/

的（）

A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

试卷第2页，共4页

15.（2021•北京海淀•统考二模）已知实数α,尸,“a+汽=2br,%eZ”是

“sin（a+/?）=Sina+sin∕?”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

16.（2021.北京海淀.统考一模）已知点A（XI,引，B（X2,X;）,则“_43C是等

边三角形''是"直线AB的斜率为0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

17.（2021•北京海淀.统考一模）已知集合A={l},B={x∣x≥a},若AUB=8,则实数。

的取值范围是（）

A.（→Λ,1）B.（→o,]JC.（l,+∞）D.[l,+∞）

18.（2021•北京海淀•统考模拟预测）在ΔABC中，"cosA<cosB''是"sinA>sin3”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

19.（2021.北京石景山.统考一模）“直线加垂直平面a内的无数条直线”是“加_Le”的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必安条件

20.（2021•北京石景山•统考一模）已知集合A={l,3,5},B={x∣d一"4},则AB=

（）

A.{∣,3}B.{3,5）C.{1,3,5}D.（0,4）

二、填空题

21.（2022∙北京石景山•统考一模）已知非空集合4,8满足：AB=R,ACB=0,函

数"x）=L：6N对于下列结论：

[3x-2,xeB

①不存在非空集合对（A8）,使得“X）为偶函数；

②存在唯一非空集合对（A可，使得/（X）为奇函数；

③存在无穷多非空集合对（AB）,使得方程/（x）=0无解.

其中正确结论的序号为.

三、解答题

22.(2021•北京海淀•统考二模)已知有限集X,匕定义集合X-V={x∣χeX,且X史丫},

∣X∣表示集合X中的元素个数.

(1)若X={l,2,3,4},y={3,4,5},求集合XT和"X,以及∣(X-丫)5"X)∣的值；

(2)给定正整数〃，集合S={l,2,,n},对于实数集的非空有限子集A,B,定义集合

C={x∖x=a+b,aEA,b≡B}

①求证：∣A-s∣+忸-S∣+∣S-C∣≥1;

②求I(A-S)U(S-A)I+∣(B-S)U(S-B)I+∣(C-SMS-C)I的最小值.

23.(2021•北京石景山•统考一模)由机个正整数构成的有限集"=也,%,%••4}(其

中q<∕<的<…<%)，记PW)=q+/+•••+4,特别规定尸(0)=0,若集合M满

足：对任意的正整数％≤P(M),都存在集合"的两个子集A8,使得Z=P(A)-P(B)

成立，则称集合例为'‘满集”.

(1)分别判断集合M={1,2}与%={2,3}是否为“满集”,请说明理由;

(2)若集合M为“满集”，求4的值；

(3)若4，%,%，一，4”是首项为1，公比为2的等比数列，判断集合”是否为“满集”，

并说明理由.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.B

【分析】由等比数列及己知，要｛1,｝为递增数列只需qg"T>l在〃≥2上恒成立，讨论4<0、

0<4<1、q>l,结合4的符号，再根据充分必要性的定义即可得答案.

【详解】由题设3=",,=qg"'且"≥2,要｛1｝为递增数列，只需q∕τ>l在"22上恒成

立，

当4<0,不论q取何值，总存在q/i<0,不满足要求；

当O<q<l,

4<0,则“"i<0,不满足要求；

q>0,总存在O<V<1,不满足要求；

当9>1,

4<0,则α∕τ<0,不满足；

0<q<l,若α∣=g,（I-2,显然qg<l,即£<7；,不满足；

q≥l,则％4"|>1在"22上恒成立，满足.

所以｛G为递增数列有4≥1且g>i∙

综上，“4>0且q>l''是”｛刀,｝为递增数列”的必要不充分条件.

故选：B

2.A

【分析】求交集可得答案.

【详解】因为集合A=｛x∣l<x<3｝,3=｛0,l,2｝,所以ACB=｛2｝.

故选：A.

3.A

【分析】根据基本不等式判断充分性，根据举反例说明必要性不成立，即可得结论.

【详解】因为χ>o,y>（）,则盯≤（受J=ι,当且仅当χ=y=ι时等号成立，故充分性

成立;

答案第1页，共10页

若x=3,y=g,满足ΛV≤1,但x+yx2,故必要性不成立，

所以“x+y=2"是"刈≤1”的充分而不必要条件.

故选：A.

4.A

【分析】解一元二次不等式得集合8,再根据并集运算得结果.

【详解】由d+χ一240解得—2Mx<l,所以8={R-2≤X≤1},又A={x|—2≤x≤2},

所以4□3={x∣-2≤x≤2}=[-2,2].

故选：A.

5.A

【分析】求得集合A={x∣x≥g},结合集合补集的概念及运算，即可求解.

【详解】由题意，集合A={x∣x≥g}

又由U={x∈R∣x21},所以Q,A={x∣l≤x<百}=[l,g).

故选：A.

6.B

【分析】在给定区间内恒成立问题，可参变分离求解后判断

【详解】2/-如+l>0在Xe(I,+∞)上恒成立，

BPtn<2,xH—在Xe(l,+∞)上恒成立，2XH—∈(3,+oo)

故加43

“〃?<4"是"≤3"的必要不充分条件

故选：B

7.A

【分析】由/(x)是R上的增函数得了(x+q)>∕(x),即y=f(x+α)T(X)>0无零点,满

足充分性；反之若对任意0>0,f[x+a)<f(x),满足y="x+4)-"x)无零点，但不满

足/(x)是R上的增函数，不满足必要性，即可判断.

【详解】若/(x)是R上的增函数，则对任意”>0,显然x+α>x,故"x+G>"x),即

答案第2页，共10页

y=∕(x+α)-/(x)>0无零点，满足充分性；

反之，若对任意α>O,f(x+a)<f(x),即/(x+a)—/(x)<O,满足y=∕(x+α)-∕(x)无

零点，但/(x)是R上的减函数，不满足必要性，

故"/(x)是R上的增函数”是“任意α>O,y="x+α)-"力无零点”的充分而不必要条件.

故选：A.

8.D

【分析】直接由补集的概念求解即可.

【详解】由题意知：¾A={x∣0≤x≤l}.

故选：D.

9.A

【分析】先判断如果sinB<必能不能推出一ΛBC是钝角三角形，

2

再判断如果ABC是钝角三角形，是否一定有SinB<也即可.

2

【详解】如果sinB<立，由于8是三角形的内角，并且A=f,则O<B<f,

244

TT

A+B<-,一ABC是钝角三角形，

所以SinB<也是充分条件；

2

如果ABC是钝角三角形，不妨设B=M，则sin8=@>也，

322

所以sinB<也不是必要条件；

2

故选：A.

10.B

【分析】利用并集的定义可求AU3.

【详解】AB=[T,M),

故选：B

11.A

【分析】确定集合B,根据集合的交集运算可得答案.

【详解】解Y>4,得x>2或x<—2,

答案第3页，共10页

故B={x∣f>4}={x∣x>2或x<-2},故AB={3,4}.

故选：A

12.D

【分析】结合图形，利用三角形性质，平行与垂直的关系推导充分，必要条件即可.

【详解】若四边形ABM为平行四边形，则由题意得：

EF=AB=2,BE=AF=AE,且ZEAF=90,

在RtAEF中，AF2+AE2=EF2^>2AF2=4^>AF=y∕2>

所以BE=AF=&与卜©=J布矛盾，所以必要性不成立，

假设Bq=Jid,四边形ABE厂是平行四边形，

则此时AB=EF=2,BE=AF=晒,

由RtAf尸中，AF2+AE2=EF2≈>2AF2=4AF=√2>

矛盾，故假设不成立，即当WEI=Ji6,四边形ABEF不是平行四边形，

所以充分性不成立，

故∣BE∣=布是四边形ABEF是平行四边形的既不充分也不必要条件，

故选：D.

13.D

【分析】由条件可得"A={Mx≥l},然后可判断出答案.

【详解】因为A={x∣x<l},B={x∣x>-l},

所以δbA={Hx≥l},所以

故选：D

14.A

【分析】根据双曲线C：三+上=1的虚轴长为2求出对应的加值即可判断.

m4—m

22

【详解】若双曲线C：工+上=1的虚轴长为2,

m4-m

则当机>0且4τ%<0时∙，即机>4时，2y∣m-4=2,解得〃?=5,

当帆Vo且4一〃2>0时，即机<0时，2Jfz=2,解得〃?=一1,

答案第4页，共10页

ɪ22

所以“双曲线C：工+-vɪ-=1的虚轴长为2”对应的加值为6=5或机=-1,

m4—m

r22

故“m=5”是“双曲线C：二+工一=1的虚轴长为2”的充分但不必要条件.

m4-m

故选：A.

15.A

【分析】由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性.

【详解】当c+∕7二2攵乃次∈Z时，sin(a+/?)=O,

且Sina+sin£=sinα+sin(-α+2Z∕r)=sinα-sinα=0,充分性成立；

当sin(α+夕)=5布。+5抽/时，未必有ɑ+/?=2kπ,keZ,

例如a=πyβ=0时,此时sin(α+尸)=sinα+sin4=。,但不满足a+β=2kπ,keZ.

所以实数ɑ4,“a+B=2kπ,k&Z”是“sin(α+夕)=sinα+si””的充分而不必要条件.

故选：A.

16.A

【分析】根据三个点的坐标可知，点AB在抛物线r=y上，C为抛物线的焦点，利用抛物

线的定义，结合充分不必要条件的定义可得结果.

【详解】由可知，点在抛物线＞上，为抛物线的

A(Λ,X),B(X2,X^},C(OVA,BV=C

焦点，

若_A5C是等边三角形，则IACI=I8C∣,根据抛物线的定义可知，AB两点到准线的距离相

等，所以直线A8与X轴平行，其斜率为0,

若直线AB的斜率为0,则AB两点到准线的距离相等，则IACI=I8C∣,只能得到一ABC是

等腰三角形，不能推出_A3C是等边三角形，

所以".ABC是等边三角形”是“直线AB的斜率为0”的充分不必要条件.

故选：A

【点睛】关键点点睛：利用抛物线的定义以及充分不必要条件的定义求解是解题关键.

17.B

【分析】将AuB=B转化为AqB,根据子集关系列式可得结果.

【详解】因为AU8=3,所以AgB,

因为A={l},8={x∣x≥a},

所以α≤l.

答案第5页，共10页

故选：B

18.C

【分析】由余弦函数的单调性找出CoSA<cos3的等价条件为/>B,再利用大角对大边，

结合正弦定理可判断出“854<8$3''是气访4>$吊3”的充分必要条件.

【详解】余弦函数y=cosx在区间((U)上单调递减，且0<A<"，0<B<π,

由COSA<cos6,可得/>β,.∖a>b,由正弦定理可得SinA>sin3.

因此，“cosA<cos8"是"sinA>sin8”的充分必要条件.

故选：C.

【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及

正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.

19.B

【分析】根据线面垂直的定义和性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.

【详解】因为当直线机垂直平面α内的所有直线时，才能得到〃

所以由直线垂直平面ɑ内的无数条直线不一定能推出mLa,

但是由mJ_a一定能推出直线m垂直平面ɑ内的无数条直线，

所以直线机垂直平面α内的无数条直线是mLa的必要不充分条件，

故选：B

20.A

【分析】算出集合8,再求交集即可.

【详解】因为8=(-4,4),所以AB={1,3}

故选：A

21.①③

【分析】通过求解V=3x-2可以得到在集合A,B含有何种元素的时候会取到相同的函数

值，因为存在能取到相同函数值的不同元素，所以即使当X与-X都属于一个集合内时，另

一个集合也不会产生空集的情况，之后再根据偶函数的定义判断①是否正确，根据奇函数的

定义判断②是否正确，解方程/(χ)=o判断③是否正确

【详解】①若XeA,-xeA,则f(χ)=χ3,f(-χ)=-χ3,/(x)≠∕(-x)

若xeB,-JceB,则F(X)=3x-2,f(-x)=-3x-2,f(x)≠f(-x)

答案第6页，共10页

若Xe'4,-χ∈B,则/(x)=x*,f(-x)=-3x-2,f(x)≠f(-x)

若xeB,-xeA,贝∣Jf(X)=3x-2,f(-x)=-xi,f(x)≠f(~x)

综上不存在非空集合对(A3),使得/(x)为偶函数

②若d=3x-2,则X=I或x=-2,当B={l},A=∖B时，/⑴=3x1-2满足当χ=l时/=1,

所以/(x)可统一为/(X)=X3,此时A-X)=-r,=-∕(χ)为奇函数

当B={-2},A=QB时，2)=3、(一2)-2=-8满足当》=—2时》3=_8,所以/⑺可统一

为/(X)=丁，此时/(-X)=-X3=-f(X)为奇函数

所以存在非空集合对(AB),使得为奇函数，且不唯一

22

③Y=O解的x=0,3x—2=0解的X=;,当非空集合对(AB)满足OeA且;¢8,则方程

33

无解，又因为AB=R,Ac3=0,所以存在无穷多非空集合对(AB),使得方程/(x)=0

无解

故答案为：①③

【点睛】本题主要考查集合间的基本关系与函数的奇偶性，但需要较为缜密的逻辑推理

①通过对X所属集合的分情况讨论来判断是否存在特殊的非空集合对(AB)使得函数/(χ)为

偶函数

②观察可以发现犬为已知的奇函数，通过求得不同元素的相同函数值将解析式3x-2归并到

χ3当中，使得/(X)成为奇函数

③通过求解解析式零点，使得可令两个解析式函数值为0的元素均不在所对应集合内即可得

到答案

22.(I)X—y={l,2},y—X={5},I(X—y)U(yu%)∣=3;(2)①见解析；②“+1.

【分析】(1)直接根据定义求解即可；

(2)①分若AUB中含有一个不在S中的元素和A=S,且3=5,两种情况讨论即可，当

A=S,且BqS时，可通过1/C得证；

②结合①知

∣(A-S)o(S-A)∣+∣(β-S)u(S-β)∣+∣(C-S)u(S-C)∣≥∣S-Λ∣+∣S-S∣+∣C-S∣+l,讨论若

AcS=0,或BcS=0,得|S—A∣+∣5-即≥”,若AcSx0,且5cS*0,设

答案第7页，共10页

Ar>S={aλ,a2,,4},BcS=他也，,bl},可证得

∣(A-S)5S-A)∣+∣(B-S)5Sd)∣+∣(C-S)u(S-C)∣的最小值是“+1.

【详解】(1)根据定义直接得x—y={i,2},γ-x={5},∣(x-y)u(rux)∣=3.

(2)①显然∣x∣≥o.

若4UB中含有一个不在S中的元素，则|A—S∣+忸一S∣≥l,即

∣A-S∣+∣Z?-S∣+∣S-C∣≥l,

若AuS,且B=S,则IA-Sl=忸-Sl=O

此时A中最小的元素421,B中最小的元素匕21,

所以C中最小的元素α+b≥2.

所以1任C.

因为S={l,2,,n},

所以|S—即M-S1+忸-S∣+∣S-C∣≥1.

综上，∣A-S∣+忸-S∣+∣S-C∣21.

②由①知∣A-s∣+∣B-s∣+∣s-c∣≥ι.

所以KA-S)U(S-A)I+"-s)5s-3)∣+∣(c-s)5S-C)I

=∣A-S∣+∣5-A∣+∣β-5∣+∣5-β∣+∣C-5∣+∣5-C∣

≥∣S-Λ∣+∣S-B∣+∣C-S∣+I.

若ACS=0,或8cS=0,则∣S-A∣+∣S-同≥”.

若ACSH0,且3cSx0,设AcS={q,%,,4},BCS=他也，，白}

arι

且1≤4<出<s-∖WU<b?<b[≤n,

则IS_H=∖B-S∖=n-t.

若，

因为2≤q+4<q+H<<ax+bl<a2+bl<a3-∖-bt<as+bl,

所以4+4,4+4,,al+bl,a2+bt,a3+bl,,4+2这s+r-1个数一定在

集中C中，且均不等于L

答案第8页，共10页

所以∣S-^∙A∣+∣S-β∣+∣C-5∣≥2〃—s—/+G+r—ri)—n.

所以"-S)5S-A)∣+∣(B-S)5S-3)∣+∣(C-S)=(S-C)I

≥∣S-A∣+∣S-B∣+∣C-S∣+l>rt+l.

当力=B=S,C={2,3,,2〃}时