新教材同步备课2024春高中数学第7章随机变量及其分布7.4二项分布与超几何分布7.4.1二项分布教师用书新人教A版选择性必修第三册

7.4二项分布与超几何分布7.4.1二项分布学习任务1．理解n重伯努利试验的概念．(数学抽象)2．掌握二项分布的概率表达式．(数学抽象)3．能利用伯努利试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．(数学运算、数据分析)为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”(即正在使用的设备出故障时才启动的设备)．已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”(即一台正常设备，两台备用设备)的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.9，它们之间相互不影响，那么这个计算机网络不会断掉的概率是多少呢？知识点1n重伯努利试验(1)概念：我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验．(2)我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．(3)n重伯努利试验的共同特征①同一个伯努利试验重复做n次；②各次试验的结果相互独立．(1)每次试验结果只有两种，即事件要么发生，要么不发生．(2)每次试验在相同的条件下进行且各次试验中的事件互不影响．1．“试验的结果相互独立”的含义是什么？[提示]每次试验的概率相同，不受上次试验结果的影响．知识点2二项分布(1)二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．(2)二项分布的均值与方差若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．2．二项分布与两点分布有什么关系？[提示](1)两点分布的试验次数只有一次，试验结果只有两种：事件A发生(X＝1)或不发生(X＝0)；二项分布是指在n重伯努利试验中事件A发生的次数X的分布列，试验次数为n次(每次试验的结果也只有两种：事件A发生或不发生)，试验结果有n＋1种：事件A恰好发生0次，1次，2次，…，n次．(2)二项分布是两点分布的一般形式，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1的二项分布．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)n重伯努利试验每次试验之间是相互独立的． ()(2)n重伯努利试验只有发生与不发生两种结果． ()(3)n重伯努利试验中每次试验中发生的机会是均等的． ()(4)n重伯努利试验中每次试验发生的事件是互斥的． ()(5)两点分布属于二项分布． ()[答案](1)√(2)√(3)√(4)×(5)√2．某射手射击1次，击中目标的概率为0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第三次击中目标的概率为0.9；②他恰好击中目标3次的概率为0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率为1－0.14．其中正确结论的序号为__________．①③[在n重伯努利试验中，每次试验事件发生的概率都相等，故①正确；②中恰好击中3次需要看哪3次击中，正确的概率应为C43×0.93×利用对立事件求解，③正确．]3．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从该班中随机抽出5名同学，设其中数学成绩优秀的学生数为X，那么E(2X＋1)等于__________72[依题意X～B5则E(X)＝5×14＝5∴E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×54＋1＝72类型1n重伯努利试验n重伯努利试验的判断【例1】判断下列试验是不是n重伯努利试验．(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球．[解](1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是n重伯努利试验．(2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验．(3)每次抽取时，球的个数不一样多，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是n重伯努利试验．n重伯努利试验的概率【例2】甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和3(1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．[解](1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击3次，相当于3重伯努利试验，故P(A1)＝1－P(A1)＝1－233(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则P(A2)＝C22×232＝49，P(B2)＝C21×341×1[母题探究]1．(变设问)本例条件不变，求甲、乙各射击2次均击中目标1次的概率．[解]记“甲击中目标1次”为事件A3，“乙击中目标1次”为事件B3，则P(A3)＝C21×23×13＝49，P所以甲、乙均击中目标1次的概率为P(A3B3)＝49×32．(变设问)本例条件不变，求甲、乙各射击2次，甲未击中、乙击中2次的概率．[解]记“甲未击中目标”为事件A4，“乙击中2次”为事件B4，则P(A4)＝C201-232＝19，P(所以甲未击中，乙击中目标2次的概率为P(A4B4)＝19×9n重伯努利试验概率求法的三个步骤(1)判断：依据n重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为n重伯努利试验．(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆．(3)计算：就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解，最后利用乘法或加法公式计算．[跟进训练]1．(多选)下列事件不是n重伯努利试验的是()A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”D．在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标ABC[A，C符合互斥事件的概念，是互斥事件；B是相互独立事件；D是n重伯努利试验．]2．小明同学喜欢篮球，假设他每一次投篮投中的概率为23，则小明连续投篮四次，恰好两次投中的概率是(A．481B．881C．427D[因为小明每次投篮投中的概率是23，所以在他连续四次投篮中，恰有两次投中的概率为P＝C42×类型2求服从二项分布的随机变量的分布列【例3】(源自湘教版教材)抛掷两枚骰子，取其中一枚的点数为点P的横坐标，另一枚的点数为点P的纵坐标，连续抛掷这两枚骰子三次，求点P在圆x2＋y2＝16内的次数X的分布列．[解]由题意可知，P点的坐标可能有6×6＝36(种)情况，而符合题意的点只有下列8个：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，如图所示．那么在抛掷骰子时，点P在圆x2＋y2＝16内的概率为836＝2由题意可知X～B3，P(X＝0)＝C302P(X＝1)＝C312P(X＝2)＝C322P(X＝3)＝C332因此，随机变量X的分布列为X0123P34398288二项分布问题的两个关注点(1)判断：关键有两点，一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．(2)参数意义：X～B(n，p)中n为试验次数，p为成功概率．(3)公式用途：公式P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)是求n重伯努利试验发生[跟进训练]3．在某公司的一次招聘中，应聘者都要经过A，B，C三个独立项目的测试，通过其中的两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过A，B，C每个项目测试的概率都是12(1)求甲恰好通过两个项目测试的概率；(2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X，求X的分布列．[解](1)甲恰好通过两个项目测试的概率为C321(2)因为甲、乙、丙三人被录用的概率均为C321221-甲、乙、丙三人中被录用的人数X服从二项分布，即X～B3，所以P(X＝0)＝1-12P(X＝1)＝C311P(X＝2)＝C321P(X＝3)＝123＝故X的分布列为X0123P1331类型3二项分布的均值、方差及实际应用【例4】某商场为刺激消费，拟按以下的方案进行促销：顾客每消费500元便得到奖券一张，每张奖券的中奖概率为12，若中奖，商场返还顾客现金100元．某顾客现购买价格为2300元的台式电脑一台，得到奖券4(1)设该顾客中奖的奖券张数为X，求X的分布列；(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为Y元，用X表示Y，并求Y的均值．[解](1)由于每张奖券是否中奖是相互独立的，因此X～B4，所以P(X＝0)＝C401P(X＝1)＝C411P(X＝2)＝C421P(X＝3)＝C431P(X＝4)＝C441其分布列为X01234P11311(2)因为X～B4，12，所以E(X)＝4×12＝又由题意可得Y＝2300－100X，所以E(Y)＝E(2300－100X)＝2300－100E(X)＝2300－100×2＝2100(元)．即所求变量Y的均值为2100元．(1)在解决有关均值和方差问题时，要认真审题，如果题目中的离散型随机变量符合二项分布，就应直接利用二项分布求均值和方差，以简化问题的解答过程．(2)对于二项分布的均值与方差公式E(X)＝np和D(X)＝np(1－p)要熟练掌握．[跟进训练]4．为了了解校园噪音情况，学校环保协会对校园环境噪音值(单位：分贝)进行了50天的监测，得到如下统计表：环境噪音值(单位：分贝)[55，57](57，59](59，61](61，63](63，65](65，67]频数14122085(1)根据该统计表，求这50天校园噪音值的样本平均数(同一组的数据用该组区间的中点值作代表);(2)根据相关规定，“环境噪音值超过65分贝，视为重度噪音污染，环境噪音值不超过59分贝，视为轻度噪音污染．”把由上述统计表算得的频率视作概率，回答下列问题：①求周一到周五的5天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余3天都是轻度噪音污染的概率；②学校要举行为期3天的“汉字听写大赛”校园选拔赛，把这3天校园出现的重度噪音污染天数记为X，求X的分布列和方差D(X)．[解](1)由数据可知样本平均数为：56×1+58×4+60×(2)①由题意知，出现重度噪音污染的概率为110出现轻度噪音污染的概率为110设事件A为“周一至周五的5天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余3天都是轻度噪音污染”，则P(A)＝C521②由题意，得X～B3，则随机变量X的分布列为P(X＝k)＝C3k110k9103-k，所以X的分布列为X0123P729243271所以D(X)＝np(1－p)＝0.27．1．n重伯努利试验应满足的条件：①各次试验之间是相互独立的；②每次试验只有两种结果；③各次试验成功的概率是相同的；④每次试验发生的事件是互斥的．其中正确的是()A．①② B．②③C．①②③ D．①②④C[由n重伯努利试验的概念知①②③正确，④错误．]2．小方每次投篮的命中率为57，假设每次投篮相互独立，则他连续投篮2次，恰有1次命中的概率为(A．2049 B．C．2549 D．A[由题意可知，小方连续投篮2次，恰有1次命中的概率P＝C21×57×3．抛掷一枚质地均匀的硬币n(3≤n≤8)次，正面向上的次数ξ服从二项分布Bn，12，若P(ξ＝1)＝332，则6[因为3≤n≤8，ξ服从二项分布Bn，12，且P(ξ＝1)＝332，所以Cn1·12n＝332，即n4．某次考试中，第一大题由12道选择题组成，每题选对得5分，不选或错选得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为________．48[设小王选对的个数为X，得分为Y＝5X，则X～B(12，0.8)，E(X)＝np＝12×0.8＝9.6，E(Y)＝E(5X)＝5E(X)＝5×9.6＝48．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．n重伯努利试验中，X的分布列P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k[提示]k表示事件A发生的次数，n表示试验总次数，p表示事件A发生的概率，(1－p)表示事件A发生的概率．2．同一个伯努利试验重复做n次即为n重伯努利试验，重复意味着什么？[提示]重复意味着试验成功的概率相同．3．判断二项分布的关键点是什么？[提示](1)对立性．在一次试验中，事件A发生与否必居其一．(2)重复性．试验可以独立重复地进行，且每次试验事件A发生的概率为同一常数．(3)X的取值从0到n，中间不间断．课时分层作业(十六)二项分布一、选择题1．若某地居民中高血压的患病率为p，从该地区随机抽查n人，则下列说法正确的是()A．样本患病率服从二项分布X～B(n，p)B．n人中患高血压的人数X服从二项分布X～B(n，p)C．患病人数与样本患病率均不服从二项分布X～B(n，p)D．患病人数与样本患病率均服从二项分布X～B(n，p)B[由二项分布的定义知B正确．]2．(2023·天津杨柳青一中期中)设随机变量X～B4，12，则P(X＝2)等于A．35 B．C．38 D．C[由二项分布的概率公式可得，P(X＝2)＝C42×1223．已知X～B(20，p)，且E(X)＝6，则D(X)＝()A．1.8 B．6C．2.1 D．4.2D[因为X～B(20，p)，所以E(X)＝20p＝6，解得p＝0.3，故D(X)＝np(1－p)＝20×0.3×0.7＝4.2，故选D．]4．(多选)若随机变量X服从二项分布B4，23，则A．P(X＝1)＝P(X＝3)B．P(X＝2)＝3P(X＝1)C．P(X＝4)＝2P(X＝0)D．P(X＝3)＝4P(X＝1)BD[由题意，根据二项分布中概率的计算公式P(X＝k)＝C4k23k1-234-k，k＝0，1，2，3，4，则P(X＝0)＝C40230·1-234＝181，P(X＝1)＝C412311-233＝881，P(X＝2)＝C422321-232＝827，P(X＝3)5．(多选)某城镇小汽车的普及率为75%，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从该城镇中任意选出5个家庭，则下列说法中正确的是()A．这5个家庭均有小汽车的概率为243B．这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为27C．这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车D．这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为81ACD[由题得小汽车的普及率为34A．这5个家庭均有小汽车的概率为345＝B．这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为C53·34C．这5个家庭平均有5×34＝3.75(个)D．这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为C54344141二、填空题6．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝1，且ξ～B(8，p)，E(ξ)＝2，则E(η)＝________；D(η)＝________．－132[因为随机变量ξ，η满足ξ＋η＝1且ξ～B(8，p)，E(ξ)＝2，所以E(ξ)＝8p＝2，解得p＝14所以D(ξ)＝8×14×3因为ξ＋η＝1，所以η＝1－ξ，所以E(η)＝1－E(ξ)＝1－2＝－1，D(η)＝(－1)2D(ξ)＝D(ξ)＝32．7．箱子中有标号为1，2，3，4，5，6且大小、形状完全相同的6个球，从箱子中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．若有4人参与摸奖，则恰好有3人获奖的概率为_________________．96625[获奖的概率为p＝6C6记获奖的人数为ξ，ξ～B4，所以4人中恰好有3人获奖的概率为P＝C43253·8．(2022·山东枣庄三模)已知随机变量X～B(6，0.8)，若P(X＝k)最大，则D(kX＋1)＝________．24[由题意可知，P(X＝k)＝C6k0.26-k0.8要使P(X＝k)最大，则P(X＝k)≥P(X＝k－1)且P(X＝k)≥P(X＝k＋1)，即C6k0.26-k0.8k≥C6即0.8×7-kk≥0.2且0.2≥0.8解得235≤k≤285，故k＝易知D(X)＝6×0.8×0.2＝0.96，所以D(kX＋1)＝D(5X＋1)＝52D(X)＝24．]三、解答题9．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12(1)若第一次击鼓出现音乐，求该盘游戏获得100分的概率；(2)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列．[解](1)若第一次击鼓出现音乐，则该盘游戏获得100分的概率为P＝12×1(2)X可能的取值为10，20，100，－200，P(X＝10)＝C31×P(X＝20)＝C32×P(X＝100)＝C33×P(X＝－200)＝C30×所以X的分布列为X1020100－200P331110．连续投掷2枚大小相同、质地均匀的骰子3次，则恰有2次点数之和不小于10的概率为()A．112 B．C．115 D．B[连续投掷2枚大小相同、质地均匀的骰子1次，基本事件总数n＝6×6＝36，出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有(4，6)，(6，4)，(5，5)，(5，6)，(6，5)，(6，6)，共有6个，所以每次投掷，两骰子点数之和不小于10的概率为16，又投掷3次，相当于3重伯努利试验，故恰有两次点数之和不小于10的概率为C32×11．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}：an＝-1，第n次摸到红球，1，第n次摸到白球，如果Sn为数列{an}的前nA．CB．CC．CD．CB[由S7＝3知，在前7次摸球中有2次摸到红球，5次摸到白球，而每次摸到红球的概率为23，摸到白球的概率为13，所以S7＝3的概率为C7212．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，有关部门要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响．若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则P(X≥－80)等于(A．27128 B．C．43256 D．B[由题意得该产品能销售的概率为1-16易知X的所有可能取值为－320，－200，－80，40，160，设ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则ξ～B4，34，所以P(ξ＝k)所以P(X＝－80)＝P(ξ＝2)＝C42×342×142＝27128，P(X＝40)＝P(ξ＝3)＝C43×343×1故P(X≥－80)＝P(X＝－80)＋P(X＝40)＋P(X＝160)＝27128+276413．某学校在春天来临时开展了以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为p，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领取了此种盆栽植物10株，设X为其中成活的株数，若D(X)＝2.1，P(X＝3)<P(X＝7)，则p＝________．0.7[由题意可知X～B(10，p)，∴10p即100p2-100p+21=0，C14．某科技公司为5G基站使用的某种装置生产电子元件，该装置由元件