湖南省岳阳市汩罗市第三中学2022年高二数学理模拟试题含解析

湖南省岳阳市汩罗市第三中学2022年高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，则下列不等式：①；②；③；④中正确的不等式是（***）

A.①②

B.②③

C．③④

D．①④参考答案：D略2.实半轴长等于，并且经过点B（5，﹣2）的双曲线的标准方程是（）A．或B．C．D．参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】若实轴在x轴上，可设其方程为=1，b＞0，若实轴在y轴上，可设其方程为=1，b＞0，分别把B（5，﹣2）代入，能求出结果．【解答】解：由题设，a=2，a2=20．若实轴在x轴上，可设其方程为=1，b＞0，把B（5，﹣2）代入，得b2=16；若实轴在y轴上，可设其方程为=1，b＞0，把B（5，﹣2）代入，得b2=﹣（舍），故所求的双曲线标准方程为．故选：C．3.双曲线的渐近线方程是A. B.C. D.参考答案：B【分析】由双曲线方程求得，由渐近线方程求得结果.【详解】由双曲线方程得：，渐近线方程为：本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线渐近线的求解，属于基础题.

4.已知椭圆C：+y2=1的左、右顶点分别为A、B，点M为C上不同于A、B的任意一点，则直线MA、MB的斜率之积为（）A． B．﹣4 C．﹣ D．4参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【分析】求得A和B点坐标，求得直线MA和MB的斜率，由M在椭圆上，x02=4﹣4y02，即可求得k1?k2=?==﹣．【解答】解：由题意得，椭圆C：+y2=1焦点在x轴上，a=2，b=1，设M（x0，y0）（y0≠0），A（﹣2，0），B（2，0），直线MA的斜率k1=，MB的斜率k2=，又点M在椭圆上，∴（y0≠0），x02=4﹣4y02，∴k1?k2=?==﹣，直线MA、MB的斜率之积﹣，故选C．【点评】本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，直线的斜率公式的应用，考查计算能力，属于基础题．5.定义方程实数根为函数的“和谐点”.如果函数，，的“和谐点”分别为，则的大小关系是

A． B． C． D．参考答案：D6.若（

）A、直角三角形

B、钝角三角形

C、锐角三角形

D、等腰三角形参考答案：A7.经过函数y=﹣图象上一点M引切线l与x轴、y轴分别交于点A和点B，O为坐标原点，记△OAB的面积为S，则S=（）A．8 B．4 C．2 D．1参考答案：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用导数可求得切线l的斜率及方程，从而可求得l与两坐标轴交于A，B两点的坐标，继而可求△OAB的面积．【解答】解：设M（x0，y0）为曲线y=﹣上任一点，则y0=﹣．∵y=﹣，∴y′=，设过曲线y=﹣上一点M的切线l的斜率为k，则k=，∴切线l的方程为：y+=（x﹣x0），∴当x=0时，y=﹣，即B（0，﹣）；当y=0时，x=2x0，即A（2x0，0）；∴S△OAB=|OA|?|OB|=×|2x0|?|﹣|=4．故选：B．8.直线：3x-4y-9=0与圆：，(θ为参数)的位置关系是(

)A．相切

B．相离C．直线过圆心

D．相交但直线不过圆心参考答案：D略9.在下列各数中，最大的数是（

）A．

B．C、

D．参考答案：B10.过曲线上横坐标为的点处的一条切线的方程为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.半径为r的圆的面积S(r)＝r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(r2)`＝2r

①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，类比以上结论，请你写出类似于①的式子：

②，②式可以用语言叙述为：

。参考答案：，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。”12.抛物线的准线方程是

.参考答案：13.复数的虚部为________.参考答案：14.数列……的前100项的和等于

。参考答案：略15.给出下列几种说法：①在中，若，则为钝角三角形；②在中，由可得；

③若、、成等差数列，则；④若，则、、成等比数列．其中正确的有____________(填上你认为正确命题的所有序号).（改编题）参考答案：①②③16.已知x,y的取值如下表所示，由散点图分析可知y与x线性相关，且线性回归方程为y=0.95x+2.6，那么表格中的数据m的值为

。

x0134y2.24.34.8m

参考答案：6.717.已知圆与圆相交，则实数的取值范围为_▲_．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知正数列的前n项和(I)求的通项公式;(II)令,问数列的前多少项的和最大?参考答案：令令两式相减,得移项得:是公差为2,首项为1的等差数列,(2)要使的前n项和最大,则满足解得则n=1005即前1005项的和最大19.已知函数。（1）过点是否存在曲线的切线?请说明理由；（2）设，求证：存在极小值。参考答案：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）设切点坐标为，求得切线方程，将代入得，把方程有解，等价于过点作曲线的切线存在，令，利用导数求得函数单调性与最值，即可求解．（2）由，求得，且，得到函数单调递增函数，再利用零点的存在定理，即可求解．【详解】（1）假设存在切线，设切点坐标，则切线方程为，即，将代入得，方程有解，等价于过点作曲线的切线存在，令，所以.当时，，所以当时，，函数在上单调递增；当时，，在上单调递减．所以当时，，当时，，所以方程有解；当时，方程无解，综上所述，当时存在切线；当时不存在切线．（2）由，即则，所以，则，所以函数单调递增函数，又由，可知存在，使得，即函数存在极值点．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，以及利用导数判定函数的极值点问题，其中解答中正确求解函数的导数，合理利用导数与原函数的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．

20.已知椭圆的离心率为，直线过点，，且与椭圆相切于点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点、，使得，若存在，试求出直线的方程；若不存在，请说明理由．参考答案：解:（Ⅰ）由题得过两点，直线的方程为.因为，所以，.

设椭圆方程为,

………2分由消去得，.又因为直线与椭圆相切,所以

………4分

………6分又直线与椭圆相切，由解得，所以

…………8分则.所以.又

………10分所以，解得.经检验成立.所以直线的方程为.

略21.已知△的两个顶点的坐标分别是，，且所在直线的斜率之积等于． （1）求顶点的轨迹的方程，并判断轨迹为何种圆锥曲线；（2）当时，过点的直线交曲线于两点，设点关于轴的对称点为(不重合)，试问：直线与轴的交点是否是定点？若是，求出定点，若不是，请说明理由.参考答案：（1）由题知：

化简得：……………2分当时轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去两点；当时轨迹表示以为圆心半径是１的圆，且除去两点；当时

轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去两点；当时

轨迹表示焦点在轴上的双曲线，且除去两点；…6分（2）设依题直线的斜率存在且不为零，则可设:，代入整理得，，………9分又因为不重合，则的方程为令，得故直线过定点.………………14分解二：设依题直线的斜率存在且不为零，可设:代入整理得：,，…………………9分的方程为

令，得直线过定点…………………