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PAGEPAGE1泛函分析证明题（40个）设是一个度量空间，，证明：若当时，且，则。设是两个赋范线性空间，是的线性子空间到中的线性算子。证明：若在中某一点处连续，则在上连续。设是H空间上的可列规范正交系，，令，（），证明：收敛的充要条件是收敛。设是H空间上的两个自伴算子。证明：为自伴算子的充要条件为：。设是线性空间，是一个给定的数，，令，证明：是线性算子。设，，令，证明：是一个度量空间。设是一个内积空间，且，令，证明：，成立设，是定义在上的二元连续函数，，令，证明：是有界线性算子。设是内积空间的一个规范正交系，，令。证明：若将展开成级数（其中是数）时，只有当时，取最小值。设为复H空间上的有界线性算子。证明：若为自伴算子，那么，，其中为实数集。设，，，令，证明：是可分度量空间。设，，令，证明：是连续线性算子。设是任一维线性空间，证明：与线性同构。设是一个内积空间，证明：，有。设为复H空间上的有界线性算子，且，是实数，证明：是自伴算子。设是一个度量空间，，令，证明：也是上的一个度量空间。设，，，且有，证明：存在唯一的，使。设是内积空间的闭线性子空间，且，证明：中必有非零元素。在线性空间中，，令，证明：是一个赋范线性空间。设为复内积空间上的有界线性算子，证明：的充要条件是成立。设是一个度量空间，是中的两个点列，且，（），证明：。设，，令，证明：是上的线性算子。设是一个赋范线性空间，令，证明：若在上连续，则是一个闭集。设是一个内积空间，证明：，若，则。设为复H空间上的有界线性算子，证明：为正常算子的充要条件为，成立。设是一个度量空间，是中的任一收敛点列，证明：为中的有界点列。设是度量空间，，且B在A中稠密，证明：以及，，使。设，，令，证明：是到中的一个连续映射。设是一个赋范线性空间，，令，证明：是一个度量空间。设是复H空间上的有界线性算子，令，，证明：均为上的自伴算子。设是一个度量空间，是中的一个收敛点列，证明：是一个柯西点列。在线性空间中，，令，证明：是一个赋范线性空间。设是两个赋范线性空间，，证明：是有界算子。设是一个维内积空间，是的一个正交系，证明：是的一个线性无关子集。设是复H空间上的有界线性算子，是的笛卡尔分解，证明：为正常算子的充要条件是。设是度量空间中的闭集，证明：有一列开集满足，，且有。设，，令，证明：是线性算子。设为赋范线性空间的子空间到赋范线性空间中的线性算子，证明：，。设是实线性空间，，令，证明：，。设是H空间上的两个酉算子，证明：也是酉算子。34、设是希尔伯特空间的两个酉算子，那么；当时，；是算子；是算子。35、设是赋范线性空

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