第八章傅里叶变换

第八章傅里叶变换1第1页，课件共53页，创作于2023年2月积分变换简介1、何为积分变换？

所谓积分变换，实际上就是通过积分算，把一个函数变成另一个函数的一种变换.第2页，课件共53页，创作于2023年2月2、积分变换的产生

数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为比较简单的问题，求解后，再求其逆运算就可得到原问题的解.原问题原问题的解直接求解困难变换较简单问题变换后问题的解求解逆变换第3页，课件共53页，创作于2023年2月

如，初等数学中，曾经利用取对数将数的积、商运算化为较简单的和、差运算；

再如，高等数学中的代数变换，解析几何中的坐标变换，复变函数中的保角变换，其解决问题的思路都属于这种情况.

基于这种思想，便产生了积分变换.其主要体现在：

数学上：求解方程的重要工具；能实现卷积与普通乘积之间的互相转化.

工程上：是频谱分析、信号分析、线性系统分析的重要工具.第4页，课件共53页，创作于2023年2月第八章傅立叶变换主要内容：1、傅立叶积分公式2、傅立叶变换及其性质

3、卷积第5页，课件共53页，创作于2023年2月§1傅立叶级数与积分1、傅立叶级数的指数形式在《高等数学》中有下列定理：定理1（1）连续或只有有限个第一类间断点；（2）只有有限个极值点.

则在连续点处，有第6页，课件共53页，创作于2023年2月第7页，课件共53页，创作于2023年2月注意：于是第8页，课件共53页，创作于2023年2月则（2）式称为傅立叶级数的复指数形式，具有明显的物理意义.第9页，课件共53页，创作于2023年2月2、傅立叶积分

任何一个非周期函数

f(t),都可看成是由某个周期函数

fT(t)当T→+∞时转化而来的.第10页，课件共53页，创作于2023年2月{O

w1

w2

w3

wn-1wn{{{w于是第11页，课件共53页，创作于2023年2月从而按照积分的定义，（4）可以写为：或者第12页，课件共53页，创作于2023年2月公式（5）称为函数

f(t)的傅氏积分公式.定理2若

f(t)在(-,+)上满足条件:

(1)f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件;

(2)f(t)在无限区间(-,+)上绝对可积,即则（5）在

f(t)的连续点成立.上述定理称为傅氏积分定理.第13页，课件共53页，创作于2023年2月事实上,根据欧拉公式,有第14页，课件共53页，创作于2023年2月所以由(7),得到于是(6)成立.第15页，课件共53页，创作于2023年2月§2傅立叶变换1、傅立叶变换的概念

上一节介绍了：当f(t)满足一定条件（？）时，在f(t)的连续点处有：第16页，课件共53页，创作于2023年2月简称傅氏变换,记为F简称傅氏逆变换,记为F还可以将

f(t)和

F(w)用箭头连接:

f(t)

F(w).第17页，课件共53页，创作于2023年2月tf(t)o第18页，课件共53页，创作于2023年2月解:根据定义,有这就是指数衰减函数的傅氏变换.第19页，课件共53页，创作于2023年2月根据积分表达式的定义,有注意到化简整理第20页，课件共53页，创作于2023年2月---钟形脉冲函数.解:根据定义,有第21页，课件共53页，创作于2023年2月化简整理如何计算？这里利用了以下结果：第22页，课件共53页，创作于2023年2月2、傅立叶变换的物理意义

如果仔细分析周期函数和非周期函数的傅氏积分表达式第23页，课件共53页，创作于2023年2月由此引出以下术语：

在频谱分析中,傅氏变换F(w)又称为f(t)的频谱函数,而它的模|F(w)|称为f(t)的振幅频谱(亦简称为频谱).

由于w是连续变化的,我们称之为连续频谱,对一个时间函数作傅氏变换,就是求这个时间函数的频谱.显然，振幅函数|F(w)|是角频率w的偶函数,即第24页，课件共53页，创作于2023年2月显然相角频谱argF(w)是w的奇函数.第25页，课件共53页，创作于2023年2月例3求单个矩形脉冲函数的频谱图.解：第26页，课件共53页，创作于2023年2月请画出其频谱图.频谱为

以上术语初步揭示了傅氏变换在频谱分析中的应用，更深入详细的理论会在有关专业课中详细介绍！第27页，课件共53页，创作于2023年2月本讲小结：1.掌握傅氏积分定理的条件和结论；2.掌握傅氏变换和傅氏逆变换的概念；3.了解傅氏变换的物理意义.第28页，课件共53页，创作于2023年2月§3单位脉冲函数2、单位脉冲函数1、单位脉动函数de(t)1/eeOt

在物理和工程技术中,有许多物理现象具有脉冲性质.例如断电以后的突然来电等;在力学中,机械系统受冲击力作用后的运动情况等.研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.物理学家狄拉克首先引入，此后在物理及工程技术中被广泛地采用.第29页，课件共53页，创作于2023年2月

在原来电流为零的电路中,某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲,现在要确定电路上的电流i(t).以q(t)表示上述电路中的电荷函数,则由于电流强度是电荷函数对时间的变化率,即所以,当t0时,i(t)=0,由于q(t)不连续,从而在普通导数意义下,q(t)在这一点是不能求导数的.第30页，课件共53页，创作于2023年2月如果我们形式地计算这个导数,得

这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度.为此,引进一称为狄拉克(Dirac)的函数.有了这种函数,对于许多集中于一点或一瞬时的量,例如点电荷，点源,集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等,就能够象处理连续分布的量那样,以统一的方式加以解决.广义函数，没有普通意义下的函数值.第31页，课件共53页，创作于2023年2月2.1单位脉冲函数的定义定义对于任何一个无穷次可微的函数f(t),称满足2.2单位脉冲函数的性质(1)积分性质证明：第32页，课件共53页，创作于2023年2月一些工程书中，δ-函数常用一个长度等于1的有向线段来表示.tOd(t)1(2)筛选性质对于无穷次可微的函数f(t)，有一般地第33页，课件共53页，创作于2023年2月

这一性质在近代物理和工程技术中有着较广泛的应用.例1

求单位脉冲函数的傅氏变换.解：可见,单位脉冲函数d(t)与常数1构成了一傅氏变换对；

同理,

d(t-t0)和亦构成了一个傅氏变换对.第34页，课件共53页，创作于2023年2月

需要指出的是，此处的广义积分是按(1)式计算的，不是普通意义下的积分值，我们称这种傅氏变换为广义的傅氏变换.根据傅氏积分公式，函数f(t)能取傅立叶积分变换的前提条件是它首先应绝对可积，即实际上这个条件非常强，它要求f(t)条件较高，因而一些常见的函数都不满足这一点.如第35页，课件共53页，创作于2023年2月如此以来，较强的条件使得傅立叶变换的应用受到限制.为克服这一缺陷，我们把单位脉冲函数及其傅氏变换应用到其他函数的傅氏变换中，得到它们的广义傅氏变换.实际运算时，我们通常用傅氏逆变换来推证.比较典型的有：

u(t)（单位阶跃函数）,sint,cost.

同样可以说,象函数F(w)和象原函数f(t)亦构成一个傅氏变换对.第36页，课件共53页，创作于2023年2月例2称为单位跃阶函数.证：首先注意，这里的变换显然指的是广义变换.我们用考察逆变换的方法证明.第37页，课件共53页，创作于2023年2月由于所以当t<0时,有第38页，课件共53页，创作于2023年2月同理当t>0时，有综上所述，根据(*),有证毕.第39页，课件共53页，创作于2023年2月解：由定义，有例3求的傅氏逆变换.特别地故得到第40页，课件共53页，创作于2023年2月于是，有例4求正弦函数

f(t)=sinw0t

的傅氏变换.解：第41页，课件共53页，创作于2023年2月同理，可得即注：我们介绍δ-函数，主要是提供一个应用工具，而不去追求数学上的严谨性.第42页，课件共53页，创作于2023年2月§4傅立叶变换的性质

为了能更好的用傅立叶变换这一工具解决各类实际问题，它的一些基本性质必须熟练掌握.为了叙述方便起见,假定在这些性质中,凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件,在证明这些性质时,不再重述这些条件.1、线性性质FF则F逆变换也具有类似的性质，请写出相应的性质.第43页，课件共53页，创作于2023年2月2、位移性质证明：根据定义，得第44页，课件共53页，创作于2023年2月

显而易见，位移公式的作用是：知道了一个函数的变换，便可由此求出其位移函数的变换！同理可得推论提示：利用欧拉公式和位移性质容易证明.第45页，课件共53页，创作于2023年2月3、微分性质证明：根据定义，得

如果f(t)在(-,+)上连续或只有有限个可去间断点,且当|t|+时,f(t)0,则

第46页，课件共53页，创作于2023年2月类似地可推得象函数的导数公式：

一般地，如果

在(-,+)上连续或只有有限个可去间断点,且当|t|+时,有

则第47页，课件共53页，创作于2023年2月例如，设思考题：第48页，课件共53页，创作于2023年2月4、积分性质证明：第49页，课件共53页，创作于2023年2月例1求解微分积分方程其中<t<+,a,b,c均为常数.解：设则从而第50页，课件共53页，创作于2023年2月运用傅氏变换的线性性质,微分性质以及积分性质,可以把线性常系数微（积）分方程转化为代数方程,通过解代数方程与求傅氏逆