高等代数实践课不变子空间

高等代数实践课不变子空间第1页，课件共16页，创作于2023年2月引入：回忆：1.子空间：令w是数域F上向量空间的一个非空子集。如果W对于V的加法以及标量与向量的乘法都封闭，那么称W是V的一个子空间。*这一节课我们将学习不变子空间，大家想一下不变子空间与子空间有什么样的联系呢？下面我们比较着学习。第2页，课件共16页，创作于2023年2月不变子空间课程要求：1.了解不变子空间的定义

2.哪些是不变子空间，举例说明

3.“限制”以及它的应用

4.不变子空间的求法

5.不变子空间与一个线性变换的矩阵的关系第3页，课件共16页，创作于2023年2月定义V的一个子空间W说是在线性变换σ之下不变（或稳定），如果σ(w)⊆w.简单的说，如果子空间在σ之下不变，那么w就叫做σ的一个不变子空间第4页，课件共16页，创作于2023年2月下面，我们来看一下不变子空间的例子例1：V本身和零空间{0}显然在任意线性变换之下不变。所以V本身和零空间{0}都是不变子空间。再看几个例子：例2：令σ是V的一个线性变换，那么σ的核Ker(σ)和像Im(σ)都在σ之下不变，所以σ的核Ker(σ)和像Im(σ)都是不变子空间。解析：事实上，对于任意ξ∈Ker(σ)，都有σ（ξ）=0∈Ker(σ)，所以Ker(σ)在σ之下不变。即：Ker(σ)={σ（ξ）=0}至于Im(σ)在σ之下不变，是显然的。即：Im(σ)=σ（v）第5页，课件共16页，创作于2023年2月例3：V的任意子空间在任意位似变换之下不变

解析：首先请大家回忆一下“位似”的概念位似：令V是数域Ｆ上一个向量空间。取定Ｆ的一个数k.对于任意ξ∊V,定义σ(ξ)=kξ.容易验证,σ是V到自身的一个线性映射。这样的一个线性映射叫做V的一个位似。位似变换：ξ↦kξ第6页，课件共16页，创作于2023年2月例4：令σ是V₃中以某一过原点的直线L为轴，旋转一个角ѳ的旋转。那么旋转轴L是σ的一个一维不变子空间，而过原点与L垂直的平面H是σ的一个二维不变子空间。第7页，课件共16页，创作于2023年2月例5：

令f[x]是数域F上一切一元多项式所成的向量空间，σ：f(x)→f‘(x)是求导数运算。对于每一自然数n，令Fn[x]表示一切次数不超过n的多项式连同零多项式所成的子空间。那么Fn[x]在σ之下不变。第8页，课件共16页，创作于2023年2月限制设w是线性变换σ的一个不变子空间。只考虑σ在w上的作用，就得到子空间w本身的一个线性变换，称σ在w上的限制，并且记作σ｜w.这样，对于任意ξ∈W,σ｜w(ξ)=σ(ξ).然而，如果ξ∉W，那么σ｜w(ξ)没有意义。第9页，课件共16页，创作于2023年2月现在我们来看一下：不变子空间和简化线性变换的矩阵的关系设V是数域F上的一个n维向量空间,σ是V的一个线性变换。假设σ有一个非平凡不变子空间W，那么取W的一个基α₁,α₂,…,αγ,再补充成为V的一个基α₁,α₂…，αγ,αγ+₁,…,αn.由于W在σ之下不变,所以σ(α₁),σ(α₂),…,σ(αγ)仍在W内,因而可以有W的基α₁,α₂,…,αγ线性表示.有：

σ(α₁)=a₁₁α₁+a₂₁α₂+…+aγ₁αγ，……………

σ(αγ)=a₁γα₁+a₂γα₂+…+aγγαγ，

σ(αγ+₁)=a₁,γ+₁α₁+…+aγ,γ+₁αγ+aγ+1，γ+1αγ+1+…+an,γ+₁

αn

σ(αn)=a₁nα₁+…+aγnαγ+aγ+1,nαγ+1+…+annαn.第10页，课件共16页，创作于2023年2月因此,σ关于这个基的矩阵有形A=()，这里有A1=()A1A3OA2a11...a1γ..........aγ1…aγγ第11页，课件共16页，创作于2023年2月是σ|w关于W的基α₁,α₂,…,αγ的矩阵,而A中左下方的O表示一个（n-r）*r零矩阵。即：若线性变换σ有一个非平凡不变子空间,那么只要适当取定V的基,就可以使与σ对应的矩阵中有一些元素是零.特别,如果V可以写成两个非平凡子空间W1与W2的直和:V=W1⊕W2,那么选取W1的一个基α₁,α₂,…,αγ,和W2的一个基αγ+₁,…,αn，凑成V的一个基α₁,α₂,…,αn.当W1和W2都在σ之下不变时，容易看出,σ关于这样取定的基的矩阵是A=(),这里A1是r阶矩阵，它是σ|w1关于基α₁,α₂,…,αγ的矩阵，而A2是一个n-r阶矩阵，它是σ|w2关于基αγ+₁,…,αn的矩阵。A1OOA2第12页，课件共16页，创作于2023年2月例6：令σ是例4所给出的V3的线性变换，显然V3是一位子空间L与二维子空间H的直和，而L和H都在σ之下不变。取L的一个非零向量α₁，取H的两个彼此正交的单位长度向量α₂,α3,那么α₁,α₂,α3是V3的一个基，而σ关于这个基的矩阵是

()

1

0

00cosѳ-sinѳ0Sinѳ

cosѳ第13页，课件共16页，创作于2023年2月一般地，如果向量空间V可以写成s个子空间W1，W2,...,WS的直和，并且每一个子空间都在线性变换σ之下不变，那么在每一个空间中取一个基，凑成V的一个基,σ关于这个急的矩阵就有形状(),这里Ai是σ|wi关于所取的wi的基的矩阵。A10A1⋱0AS第14页，课件共16页，创作于2023年2月因此，给了n维向量空间V的一个线性变换，只要能够将V分解成一些在σ之下不变的子空间的直和，那么就可以适当的