第四章系统预测时间序列预测

第四章系统预测时间序列预测1第1页，课件共53页，创作于2023年2月时间序列的概念时间序列：系统中某一变量或指标的数值或统计观测值，按时间顺序排列成一个数值序列，就称为时间序列(TimeSeries)

，又称动态数据。年份199019911992199319941995一季度4.776.387.4610.348.4810.39二季度6.168.066.3710.458.1510.48三季度5.049.648.469.549.4312.23四季度5.136.838.898.279.6710.98某市六年来汽车货运量（亿吨公里）2第2页，课件共53页，创作于2023年2月时间序列的概念系统预测中讨论的时间序列，一般是某随机过程的一个样本。通过对其分析研究，找出动态过程的特性、最佳的数学模型、估计模型参数，并检验利用数学模型进行统计预测的精度，是时间序列分析的内容。年份199019911992199319941995一季度4.776.387.4610.348.4810.39二季度6.168.066.3710.458.1510.48三季度5.049.648.469.549.4312.23四季度5.136.838.898.279.6710.98某市六年来汽车货运量（亿吨公里）3第3页，课件共53页，创作于2023年2月时间序列的概念某市六年来汽车货运量4第4页，课件共53页，创作于2023年2月

时间序列特征：趋势性T：总体上持续上升或下降的总变化趋势，其间的变动幅度可能有时不等。季节性S：以一年为周期，四个季节呈某种周期性，各季节出现波峰和波谷的规律类似。周期性C：决定于系统内部因素的周期性变化规律，又分短周期、中周期、长周期等几种。不规则性I：包括突然性和随机性变动两种。时间序列的概念任一时间序列可表示为几种变动的不同组合的总结果，且可表示为：加法模型：Y=T+S+C+I

乘法模型：Y=T·S·C·I5第5页，课件共53页，创作于2023年2月时间序列的概念某市六年来汽车货运量时间序列分解——

趋势项——

周期项——

随机项6第6页，课件共53页，创作于2023年2月时间序列特征的识别设时间序列x1,x2,…,xn，K个自相关系数：其中时间序列的概念7第7页，课件共53页，创作于2023年2月(1)时间序列的随机性识别自相关系数法：如所有自相关系数都近似为零，表明该时间序列完全由随机数组成。若计算较多（>20）的自相关系数，rk,k=1,2,…,20，当则有95%的置信度认为所有rk与0无显著差异，因而认为该时间序列具有随机性特征。时间序列的概念8第8页，课件共53页，创作于2023年2月(1)时间序列的随机性识别Box和Pierce方法：计算m个自相关系数r1,r2,…,rm(m≥6,n>4m)，构造统计量Q为取一定显著性水平α，则当时，诸rk(k=1,2,…,m)与零无显著差异，时间序列有随机性，否则为非随机性。时间序列的概念9第9页，课件共53页，创作于2023年2月时间序列的概念例：10第10页，课件共53页，创作于2023年2月(2)时间序列的平稳性识别即检验平稳序列的以下特性：随机过程的数学期望和方差取常数相关函数仅与时间间隔有关，与时间起点无关统计检验：所有rk与0均无显著差异（置信度95%内），或统计量的关系满足，也可认为该序列具有平稳性。时间序列的概念11第11页，课件共53页，创作于2023年2月(3)时间序列的趋势性识别单调趋势的识别：计数方法设时间序列x1,x2,…,xn，每出现一次xj>xi(j>i),定义为xi的一个逆序。xi的逆序数为xi的出现逆序的总数。于是，时间序列的逆序总数为于是，统计量近似成立。其中时间序列的概念12第12页，课件共53页，创作于2023年2月(3)时间序列的趋势性识别如果，则可认为“序列无趋势”，否则认为有趋势（0.05的显著水平上）。有趋势的条件下：如A很大，表明时间序列有上升趋势；如A很小，表明时间序列有下降趋势。复杂趋势的识别：数据分成若干段，分段用上法识别时间序列的概念13第13页，课件共53页，创作于2023年2月(4)时间序列的周期性识别一般而言，rk序列与原序列会具有相同的周期性规律。基于自相关系数，序列的峰、谷处有其余的rk大多仍然满足时间序列的概念14第14页，课件共53页，创作于2023年2月根据时序变动的方向和程度进行外延和类推，用以预测下一时期或以后若干时期可能达到的水平。

平滑预测法包括移动平均法和指数平滑法两种，其具体是把时间序列作为随机变量，运用算术平均和加权平均的方法做未来趋势的预测。这样得到的趋势线比实际数据点的连线要平滑一些，故称平滑预测法。

趋势外推预测法根据预测对象历史发展的统计资料，拟合成预先指定的某种时间函数，并用它来描述预测目标的发展趋势。时间序列分析预测方法15第15页，课件共53页，创作于2023年2月（1）移动平均法设时序为x1，x2，……，xn，对其中连续N(n)个数据点进行算术平均，得t时点的移动平均值，记为Mt，有当用移动平均法进行超前一个周期预测时，采用移动平均值作为预测值，则有平滑预测法——移动平均法16第16页，课件共53页，创作于2023年2月

[例1]现有某商场1——6月份的销售额资料如下表所示，试用N=5来进行移动平均，并预测7月和8月的销售额。月份123456销售额（万元）333435373840平滑预测法——移动平均法17第17页，课件共53页，创作于2023年2月移动平均法方法简单，但它一般只对发展变化比较平坦，增长趋势不明显，并且与以往远时期的状况联系不多的时序有效。平滑预测法——移动平均法18第18页，课件共53页，创作于2023年2月平滑预测法——指数平滑法一次指数平滑法为平滑系数，St(1)为t时刻的一次指数平滑值。（2）指数平滑法只能预测一期，不能预测多期。19第19页，课件共53页，创作于2023年2月二次指数平滑法预测公式t为预测起点，T为预测步长。平滑预测法——指数平滑法20第20页，课件共53页，创作于2023年2月三次指数平滑预测公式平滑预测法——指数平滑法21第21页，课件共53页，创作于2023年2月平滑系数的物理意义：描述对过程变化的反应速度：越大（接近1），表示重视近期数据的作用，对过程变化反应越快；也描述预测系统对随机误差的修匀能力：越小（接近0），表示重视离现时更远的历史数据的作用，修匀（滤波）能力越强，但对过程变化的反映越迟钝。平滑预测法——指数平滑法22第22页，课件共53页，创作于2023年2月平滑系数的选择：如对初始值有疑问，准确性差，宜取较大值，以体现近期数据作用，降低初值影响；如外部环境变化较快，则数据可能变化较大，值宜取大一些，以跟踪过程变化（如取0.3~0.5）；如原始资料较缺乏，或历史资料的参考价值小，值宜取大一些；如时序虽然具有不规则变动，但长期趋势较稳定（如接近某一稳定常数）或变化甚小，值应较小（0.05~0.2）。平滑预测法——指数平滑法23第23页，课件共53页，创作于2023年2月

值的最后确定，一般是选择不同的，通过对预测结果的评价来实现的。评价原则：（1）对不同的计算平均绝对误差选择MAE最小的值。（2）历史数据检验。即对每个，用离现时较远的历史数据建立预测模型，去“预测”离现时较近的历史数据（事后预测），看符合程度如何？从中选取一个符合得好的。（3）对不同所得模型的预测结果，专家评估。根据经验，一般取=0.01—0.3平滑预测法——指数平滑法24第24页，课件共53页，创作于2023年2月初始值S0(1)确定：（1）当时序原始数据样本较多，值较大时，可取S0(1)=x1，S0(2)=S0(1)，S0(3）=S0(2)。（2）当数据点不够多，初始值对预测精度影响较大时，可取开始几个观测值的算术平均值作为S0(1)。平滑预测法——指数平滑法25第25页，课件共53页，创作于2023年2月

[例2]已知某城市公共交通过去20日的实际客运量的统计数据如下表所示，当取

=0.3时，试计算一次、二次指数平滑值，并预测今后第10日时的客运量。平滑预测法——指数平滑法26第26页，课件共53页，创作于2023年2月周期数客运量xtSt(1)St(2)t（日）（万人次）(=0.3)(=0.3)012345...17181920－5052475159…69767580505050.649.5249.9649.67…64.2367.7669.9372.95505050.1849.9849.9849.88…59.2861.7964.2366.85平滑预测法——指数平滑法27第27页，课件共53页，创作于2023年2月解：平滑预测法——指数平滑法28第28页，课件共53页，创作于2023年2月平滑预测法——指数平滑法29第29页，课件共53页，创作于2023年2月滞后偏差数据点连线一次平滑二次平滑102020406080Xt（万人次）t（日）平滑预测法——指数平滑法30第30页，课件共53页，创作于2023年2月假定目前处在周期20，对周期30进行预测平滑预测法——指数平滑法31第31页，课件共53页，创作于2023年2月两点假设：预测对象的发展趋势不变；预测对象的发展过程是渐变，而不是突变。两个问题：找到合适的趋势拟合曲线方程确定趋势曲线方程中的参数趋势外推预测法32第32页，课件共53页，创作于2023年2月1、常用趋势曲线（1）多项式函数趋势外推预测法33第33页，课件共53页，创作于2023年2月1、常用趋势曲线（2）指数函数例如：人口或生物种群繁殖生长质变前的发展速度新产品成长期的销量趋势外推预测法34第34页，课件共53页，创作于2023年2月（3）生长曲线（S形曲线）

Logistic曲线（皮尔曲线）拐点：趋势外推预测法极限：t

，ytK35第35页，课件共53页，创作于2023年2月（3）生长曲线（S形曲线）龚伯茨（Gompartz）曲线拐点：趋势外推预测法极限：t

，ytK36第36页，课件共53页，创作于2023年2月（4）其它曲线趋势外推预测法37第37页，课件共53页，创作于2023年2月2、趋势预测模型的选择研究五个问题：时间特征：单调增或减，有趋势或周期变化，有极限或无极限，渐变或跳跃变化。极值特征：有否极大或极小值，极值点是否稳定，可达还是渐进。曲线形状：是否有拐点，是否对称。发展阶段：对象发展过程在时间上是否有明显限制。发展速度：预测对象未来发展速度是等速或变速，速度和加速度的变化特点等。趋势外推预测法38第38页，课件共53页，创作于2023年2月3、模型参数的识别（1）最小二乘法时间序列样本数据(t1,y1)，(t2,y2)，…，(tn,yn)若选定趋势曲线为：则拟合目标是使误差的平方和最小，即：趋势外推预测法——参数识别的最小二乘法39第39页，课件共53页，创作于2023年2月例[3]：某省谷物产量历史数据如下表所示，要求预测今后10年的产量。年份196419651966196719681969197019711972期数t-8-7-6-5-4-3-2-10产量yt54.135.456.646.646.752.156.144.868.3年份19731974197519761977197819791980期数t12345678产量yt36.375.057.269.055.573.364.160.0趋势外推预测法——参数识别的最小二乘法40第40页，课件共53页，创作于2023年2月趋势外推预测法——参数识别的最小二乘法41第41页，课件共53页，创作于2023年2月解：采用趋势线模型求解系数时本有：趋势外推预测法——参数识别的最小二乘法由于取中间点(1972年)时间坐标为0，可简化为42第42页，课件共53页，创作于2023年2月预测模型：趋势外推预测法——参数识别的最小二乘法预测值为：43第43页，课件共53页，创作于2023年2月最小二乘法适于能通过取对数等手段转化为多项式函数的曲线，如指数曲线：趋势外推预测法——参数识别的最小二乘法44第44页，课件共53页，创作于2023年2月3、模型参数的识别（2）三段和值法

，求参数K,a,b。把n个样本点等分为3组，每组r个数据，趋势外推预测法——参数识别的三段和值法45第45页，课件共53页，创作于2023年2月令三段和值法还适于修正指数曲线和Gompartz曲线的参数估计，具体公式见教材。趋势外推预测法——参数识别的三段和值法46第46页，课件共53页，创作于2023年2月3、模型参数的识别（3）三点法同样考虑对Logistic曲线的拟合，在时间序列中等间距任取三点τ0,τ1,τ2，且T=τ1-τ0=τ2-τ1。假设这三点(τ0,yτ0),(τ1,yτ1),(τ2,yτ2)恰在Logistic曲线上，则：

趋势外推预测法——参数识别的三点法47第47页，课件共53页，创作于2023年2月解得：

趋势外推预测法——参数识别的三点法48第48页，课件共53页，创作于2023年2月例[4]：浏阳县历年总人口（单位：万人）演变情况如下表所示，要求预测1990年和2000年该县人口。年份1949195019511952195319541955