历年高考数学（理）知识清单-专题14 直线与圆（考点解读）（原卷+解析版）

1专题14直线与圆考情解读(1)以客观题形式考查两条直线平行与垂直的关系判断，常常是求参数值或取值范围，有时也与命题、充要条件结合，属常考点之一.(2)与三角函数、数列等其他知识结合，考查直线的斜率、倾斜角、直线与圆的位置关系等，以客观题形式考查.(3)本部分内容主要以客观题形式考查，若在大题中考查，较少单独命制试题，常常与圆锥曲线相结合，把直线与圆的位置关系的判断或应用作为题目条件的一部分或一个小题出现，只要掌握最基本的位置关系，一般都不难获解.重点知识梳理1．直线方程(1)直线的倾斜角与斜率的关系倾斜角α的取值范围：0°≤α<180°.倾斜角为α(α≠90°)的直线的斜率k＝tanα,倾斜角为90°的直线斜率不存在.当0°<α<90°时，k>0且k随倾斜角α的增大而增大.当90°<α<180°时，k<0且k随倾斜角α的增大而增大.(2)直线方程名称方程适用范围点斜式y－y1＝k(x－x1)不能表示与x轴垂直的直线斜截式y＝kx＋b不能表示与x轴垂直的直线两点式y－y1x－x1 =y2－y1x2－x1不能表示与坐标轴垂直的直线截距式x＋y不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)适合所有的直线(3)两直线的位置关系2位置关系l1：y＝k1x＋b1l2：y＝k2x＋b2：A1x＋B1y＋C1＝0：A2x＋B2y＋C2＝0平行k1＝k2，且b1≠b2A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0相交k1≠k2特别地，l1⊥l2⇒k1k21A1B2≠A2B1特别地，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0重合A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0(4)距离公式①两点P1(x1，y1)，P(x2，y2)间的距离2②点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离A2＋B2d＝|Ax0＋By0A2＋B22．圆的方程(1)圆的方程①标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心坐标为(a，b)，半径为r.-D－E②一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，圆心坐标为2，2，半径-D－E(2)点与圆的位置关系①几何法：利用点到圆心的距离d与半径r的关系判断：d>r⇔点在圆外，d＝r⇔点在圆上；d<r⇔点在圆内.②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r2(或0)作比较，大于r2(或0)时，点在圆外；等于r2(或0)时，点在圆上；小于r2(或0)时，点在圆内.(3)直线与圆的位置关系直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系如下表.方法位置关系几何法：根据d＝与r的大小关系代数法：Ax＋By＋C＝0代数法：2＋y－b2＝r2消元得一元二次方程，根据判别式Δ的符号相交d<rΔ>0相切Δ=0相离d>rΔ<0(4)圆与圆的位置关系表现形式位置关系几何表现：圆心距d与r1、r2的关系代数表现：两圆方程联立组成的方程组的解的情况相离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交两组不同实数解d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解【误区警示】1．应用点斜式或斜截式求直线方程时，注意斜率不存在情形的讨论，应用截距式求直线方程时，注意过原点的情形.2．判断两直线平行与垂直时，不要忘记斜率不存在的情形.高频者点突破高频考点一直线及其方程例1.过点(2,1)且与直线3x－2y＝0垂直的直线方程为()A．2x－3y－1＝0B．2x＋3y－7＝0C．3x－2y－4＝0D．3x＋2y－8＝0【举一反三】已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()A．1B1C．2或1D2或1【变式探究】设点P为直线l：x＋y－4＝0上的动点，点A(－2,0)，B(2,0)，则|PA|＋|PB|的最小值为()【变式探究】已知点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是() 4 高频考点二两直线的位置关系例2、已知平行直线l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0，则l1,l2的距离.【举一反三】已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有()C．(b－a3)(b－a3－)＝0D．|b－a3|＋|b－a3－|＝0【变式探究】设λ∈R，则“λ=-3”是“直线2λx＋(λ-1)y＝1与直线6x＋(1-λ)y＝4平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【变式探究】设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是.高频考点三圆的方程例3．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是()A．(－2,3)，1B．(23)，3C．(－2,3)，D．(23)，【举一反三】若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为()A．(x－1)2＋y2＝1B．x2＋(y＋1)2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．(x＋1)2＋y2＝1【变式探究】圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=()33（D）2【变式探究】一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程高频考点四直线与圆、圆与圆的位置关系例4．直线ax－by＝0与圆x2＋y2－ax＋by＝0的位置关系是()A．相交B．相切5C．相离D．不能确定【举一反三】设直线x－y＋a＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则a＝()A1或1B．1或5C1或3D．3或5【变式探究】已知直线l：x－y－a＝0与圆C：(x－3)2＋(y＋)2＝4交于点M，N，点P在圆C上，且∠MPN=，则实数a的值等于()【变式探究】过三点A(1，3)，B(4，2)，C(17)的圆交y轴于M、N两点，则|MN|＝()真题感悟 x x线x+y=0的距离的最小值是.22019·北京高考）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为.3.（2019·浙江高考）已知圆C的圆心坐标是(0,m)，半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆相切于点4.（2018·天津高考）在平面直角坐标系中，经过三点（0，01，12，0）的圆的方程为.5．(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ,sinθ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ,m变化时，d的最大值为()6.（2018·全国高考）直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A，B两点，则AB=.7．(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为.8.(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则ΔABP面积的取值范围是()A．[2,6]B．[4,8]69．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2,6]B.[4,8]10．(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ,sinθ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ,m变化时，d的最大值为()2.(2017·天津卷)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°,则圆的方程为.1.【2016高考新课标2理数】圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=()33（D）22.【2016高考上海理数】已知平行直线l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0，则l1,l2的距离.3.【2016高考新课标3理数】已知直线l：mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点，过A,B分别做l的垂线与x轴交于C,D两点，若AB=2，则|CD|=.且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明EA+EB为定值,并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.7专题14直线与圆考情解读(1)以客观题形式考查两条直线平行与垂直的关系判断，常常是求参数值或取值范围，有时也与命题、充要条件结合，属常考点之一.(2)与三角函数、数列等其他知识结合，考查直线的斜率、倾斜角、直线与圆的位置关系等，以客观题形式考查.(3)本部分内容主要以客观题形式考查，若在大题中考查，较少单独命制试题，常常与圆锥曲线相结合，把直线与圆的位置关系的判断或应用作为题目条件的一部分或一个小题出现，只要掌握最基本的位置关系，一般都不难获解.1．直线方程(1)直线的倾斜角与斜率的关系倾斜角α的取值范围：0°≤α<180°.倾斜角为α(α≠90°)的直线的斜率k＝tanα,倾斜角为90°的直线斜率不存在.当0°<α<90°时，k>0且k随倾斜角α的增大而增大.当90°<α<180°时，k<0且k随倾斜角α的增大而增大.(2)直线方程名称方程适用范围点斜式y－y1＝k(x－x1)不能表示与x轴垂直的直线斜截式y＝kx＋b不能表示与x轴垂直的直线两点式y－y1x－x1 =y2－y1x2－x1不能表示与坐标轴垂直的直线截距式x＋y不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)适合所有的直线(3)两直线的位置关系8位置关系l1：y＝k1x＋b1l2：y＝k2x＋b2：A1x＋B1y＋C1＝0：A2x＋B2y＋C2＝0平行k1＝k2，且b1≠b2A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0相交k1≠k2特别地，l1⊥l2⇒k1k21A1B2≠A2B1特别地，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0重合A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0(4)距离公式①两点P1(x1，y1)，P(x2，y2)间的距离2②点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离A2＋B2d＝|Ax0＋By0A2＋B22．圆的方程(1)圆的方程①标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心坐标为(a，b)，半径为r.-D－E②一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，圆心坐标为2，2，半径-D－E(2)点与圆的位置关系①几何法：利用点到圆心的距离d与半径r的关系判断：d>r⇔点在圆外，d＝r⇔点在圆上；d<r⇔点在圆内.②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r2(或0)作比较，大于r2(或0)时，点在圆外；等于r2(或0)时，点在圆上；小于r2(或0)时，点在圆内.(3)直线与圆的位置关系直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系如下表.方法位置关系几何法：根据d＝与r的大小关系代数法：Ax＋By＋C＝0代数法：2＋y－b2＝r2消元得一元二次方程，根据判别式Δ的符号相交d<rΔ>0相切Δ=0相离d>rΔ<0(4)圆与圆的位置关系表现形式位置关系几何表现：圆心距d与r1、r2的关系代数表现：两圆方程联立组成的方程组的解的情况相离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交两组不同实数解d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解【误区警示】1．应用点斜式或斜截式求直线方程时，注意斜率不存在情形的讨论，应用截距式求直线方程时，注意过原点的情形.2．判断两直线平行与垂直时，不要忘记斜率不存在的情形.高频考点突攻高频考点一直线及其方程例1.过点(2,1)且与直线3x－2y＝0垂直的直线方程为()A．2x－3y－1＝0B．2x＋3y－7＝0C．3x－2y－4＝0D．3x＋2y－8＝0【解析】设要求的直线方程为2x＋3y＋m＝0把点(2,1)代入可得4＋3＋m＝0，解得m7.故所求直线方程为：2x＋3y－7＝0，故选B.【答案】B【举一反三】已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()A．1B1C．2或1D2或1【解析】当a＝0时，直线方程为y＝2，显然不符合题意，当a≠0时，令y＝0时，得到直线在x轴上的截距是，令x＝0时，得到直线在y轴上的截距为2＋a，根据题意得＝2＋a，解得a2或a=1，故选D.【答案】D【变式探究】设点P为直线l：x＋y－4＝0上的动点，点A(－2,0)，B(2,0)，则|PA|＋|PB|的最小值为()【解析】依据题意作出图象如下：设点B(2,0)关于直线l的对称点为B1(a，b)， a＋2b则它们的中点坐标为2，2，且|PB| a＋2b×(－11由对称性可得4＝0，解得a＝4，b＝2.所以B1(4,2)．因为|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PB1|，所以当A，P，B1三点共线时，|PA|＋|PB|最小.此时最小值为|AB1|2.故选A.【答案】A【变式探究】已知点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()A．(0，1)B.x＋y＝1a＋1a【解析】(1)当直线y＝ax＋b与AB、BC相交时(如图①)，由y＝ax＋b，得yE＝a＋bx＋y＝1a＋1aa2aa＋12＋1.a2aa＋12＋1.(2)当直线y＝ax＋b与AC、BC相交时(如图②)，由S△FCG＝(xG－xF)·|CM|＝得b＝1－∈(∵0<a<1)，∵对于任意的a>0恒成立， ， 【答案】B高频考点二两直线的位置关系例2、已知平行直线l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0，则l1,l2的距离.【答案】【解析】5利用两平行线间距离公式得d= 【举一反三】已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有()C．(b－a3)(b－a3－)＝0D．|b－a3|＋|b－a3－|＝0【解析】若△OAB为直角三角形，则A＝90°或B＝90°.当B＝90°时，有·1，故(b－a3)(b－a3－)＝0，选C.【答案】C【变式探究】设λ∈R，则“λ=-3”是“直线2λx＋(λ-1)y＝1与直线6x＋(1-λ)y＝4平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解析】当λ=-3时，两条直线的方程分别为6x＋4y＋1＝0,3x＋2y－2＝0，此时两条直线平行；若两条直线平行，则2λ×(1-λ)6(1-λ)，所以λ=-3或λ=1，经检验，两者均符合，综上，ℼλ=-3”是“直线2λx＋(λ-1)y＝1与直线6x＋(1-λ)y＝4平行”的充分不必要条件，故选A.【答案】A【变式探究】设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是.【解析】易求定点A(0，0)，B(1，3)．当P与A和B均不重合时，不难验证PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2=|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立)，当P与A或B重合时，【答案】5高频考点三圆的方程例3．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是()A．(－2,3)，1B．(23)，3C．(－2,3)，D．(23)，【解析】∵圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝2，∴圆的圆心坐标和半径长分别是(23)故选D.【答案】D【举一反三】若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为()A．(x－1)2＋y2＝1B．x2＋(y＋1)2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．(x＋1)2＋y2＝1【解析】由题得圆心坐标为(0,1)，所以圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.故选C.【答案】C【变式探究】圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=()（A）-（B）-（CD）2【答案】A【解析】圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：d=a+4-1a2+1-，故选A.【变式探究】一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程【解析】由题意知圆过(4，0)，(0，2)，(02)三点，(4，0)，(02)两点的垂直平分线方程为y＋1=-2(x－2)，令y＝0，解得x圆心为，0，半径为.故圆的标准方程为x－2＋y2＝. x－3225【答案】2 x－3225高频考点四直线与圆、圆与圆的位置关系例4．直线ax－by＝0与圆x2＋y2－ax＋by＝0的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不能确定【解析】将圆的方程化为标准方程得x－2＋y＋2∴圆心坐标为半径ra2＋b2∵圆心到直线ax－by＝0的距离d＝2r，则圆与直线的位置关系是相切．故选B.a2＋b22【答案】B【举一反三】设直线x－y＋a＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则a＝()A1或1B．1或5C1或3D．3或5【解析】由题得圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝3，所以圆心为(－1,2)，半径为.所以圆心到直线的距离【答案】B【变式探究】已知直线l：x－y－a＝0与圆C：(x－3)2＋(y＋)2＝4交于点M，N，点P在圆C上，且∠MPN=，则实数a的值等于()【解析】由∠MPN=可得∠MCN＝2∠MPN＝.在ΔMCN中，CM＝CN＝2，∠CMN=∠CNM=，可得点C(3)到直线MN，即直线l：x－y－a＝0的距离为2sin＝1.所以＝1，解得a＝4或8.故选B.【答案】B【变式探究】过三点A(1，3)，B(4，2)，C(17)的圆交y轴于M、N两点，则|MN|＝()+(y＋2)2＝25，令x＝0得(y＋2)2＝24，解得y12－2，y22＋2，所以|MN|＝|y1－y2|＝4，选C.【答案】C真题感怪线x+y=0的距离的最小值是.【答案】4离最小.22019·北京高考）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为.【答案】(x-1)2+y2=4.【解析】抛物线y2=4x中，2p=4，p=2，焦点F（1,0准线l的方程为x=-1，以F为圆心，且与l相切的圆的方程为(x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.3.（2019·浙江高考）已知圆C的圆心坐标是(0,m)，半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆相切于点【解析】【答案】x2+y2-2x=0【解析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，圆经过三点（0，01，12，0则：5．(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ,sinθ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ,m变化时，d的最大值为()【答案】C【解析】易知d|sicosθ+2|=(其中cosφ=，sinφ=)，因为－1≤sin(θ-φ)≤1，所以|2－|＋2＋22 ≤d≤,=1＋，所以当|2－|＋2＋226.（2018·全国高考）直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A，B两点，则AB=.【答案】2【解析】根据题意，圆的方程可化为x2+(y+1)2=4，所以圆的圆心为(0,-1)，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得d==，结合圆中的特殊三角形，可知AB=2=2，故答案为2.7．(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为.【答案】x2＋y2－2x＝0【解析】设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.将已知三点的坐标代入方程可得D＋E＋F＋2＝4＋2D＋F＝0，解得E＝0解得E＝0，所以圆的方程为x2＋y2－2x＝0.F＝0，8.(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2,6]B．[4,8]【答案】A【解析】圆心(2,0)到直线的距离d2，所以点P到直线的距离d1∈[，3]．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2,0)，B(02)，所以AB＝2，所以△ABP的面积S＝|AB|d1=d1.因为d1∈[，3]，所以S∈[2,6]，即△ABP面积的取值范围是[2,6].9．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2,6]B.[4,8]【答案】A【解析】设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线xr所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为＝2，由已知条件可得|AB|＝2，所以△ABP面积的最大值为|AB|·dmax＝6，△ABP面积的最小值为|AB|·dmin＝2.综上，△ABP面积的取值范围是[2,6].10．(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ,sinθ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ,m变化时，d的最大值为()【答案】C【解析】解法一：由点到直线的距离公式得d1cosθ-msinθcosθ-msinθ=11cosθ-ms