历年高考数学（理）知识清单-专题20 坐标系与参数方程（考点解读）（原卷+解析版）

1专题20坐标系与参数方程考情解读1.考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化.2.考查利用曲线的参数方程、极坐标方程计算某些量或讨论某些量之间的关系.重点知识梳理知识点一、直角坐标与极坐标的互化如图，把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设My=ρsinθ,是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ,θ)，则xy=ρsinθ,ρ2＝x2＋y2，1tanθ=x≠0.【特别提醒】在曲线方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性.知识点二、直线、圆的极坐标方程(1)直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α,则它的方程为：ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).几个特殊位置直线的极坐标方程①直线过极点：θ=α;②直线过点M(a，0)且垂直于极轴：ρcosθ=a； ③直线过点M、2且平行于极轴：ρsinθ (2)几个特殊位置圆的极坐标方程①圆心位于极点，半径为r：ρ=r；②圆心位于M(r，0)，半径为r：ρ=2rcosθ;2π③圆心位于Mr，2，半径为r：ρ=2rsinθ.π【特别提醒】当圆心不在直角坐标系的坐标轴上时，要建立圆的极坐标方程，通常把极点放置在圆心处，极轴与x轴同向，然后运用极坐标与直角坐标的变换公式.知识点三、参数方程(1)直线的参数方程x＝x0＋tcosαy＝y0＋tsinα过定点M(x0，x＝x0＋tcosαy＝y0＋tsinα(2)圆、椭圆的参数方程①圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为,(θ为参数，0≤θ≤2π).②椭圆＋＝1的参数方程为,(θ为参数).【特别提醒】在参数方程和普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致.高频者点突破高频考点一坐标系与极坐标弧所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)，(1,π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，一曲线M3是弧CD.一（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|=，求P的极坐标.与圆【变式探究】在极坐标系中，直线与圆p=2sinθ的公共点的个数为.【变式探究】在极坐标系中，直线pcosθ-psinθ-1=0与圆p=2cosθ交于A，B两点，则【变式探究】在极坐标系中，圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A.θ=0(ρ∈R)和ρcosθ=2B.θ=(ρ∈R)和ρcosθ=2C.θ=(ρ∈R)和ρcosθ=1D.θ=0(ρ∈R)和ρcosθ=1高频考点二参数方程(1-t2例2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2pcosθ+psinθ+11=0.（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值.【变式探究】在平面坐标系中xOy中，已知直线l的参考方程为〈(|x=8+t(t为参数)，曲线C的参数2,(s为参数).设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值.(x=acost(x=acost在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ.（I）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（II）直线C3的极坐标方程为θ=a0，其中a0满足tana0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求4【变式探究】已知直线l的参数方程为〈(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ=4ρ>0，<θ则直线l与曲线C的交点的极坐标为.【变式探究】若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为()C.ρ=cosθ+sinθ,0≤θ≤D.ρ=cosθ+sinθ,0≤θ≤真题感悟1线l的距离是()(1-t2|4t2坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2pcosθ+psinθ+11=0.（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值.3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O为极点，点M(上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.（1）当θ0=时，求p0及l的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.5弧所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)，(1,π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，一曲线M3是弧CD.一（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|=，求P的极坐标.（1）求A，B两点间的距离2）求点B到直线l的距离.1.（2018年全国I卷理数）在直角坐标系xoy中，曲线G1的方程为y=KN+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2+29-3=0.（1）求C2的直角坐标方程；（2）若与C2有且仅有三个公共点，求G1的方程.2.（2018年全国Ⅱ卷理数）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（6为参数直线的参数方程为（为参数）.（1）求C和1的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线1所得线段的中点坐标为(1,2)，求1的斜率.3.（2018年全国Ⅲ卷理数）在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数过点且倾斜角为α的直线1与交于两点.（1）求α的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程.4.（2018年江苏卷）在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为p=4cos9，求直线l被曲线C截得的弦长.1.【2017天津，理11】在极坐标系中，直线4pcos(θ-)+1=0与圆p=2sinθ的公共点的个数为.2.【2017北京，理11】在极坐标系中，点A在圆p2-2pcosθ-4psinθ+4=0上，点P的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为.3.【2017课标1，理22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为〈ly=sinθl的参数方程为ly=1-t,.（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为√17，求a.【2017·江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面坐标系中xOy中，已知直线l的参考方程为〈|t(t为参数2,为参数).设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值.1.【2016年高考北京理数】在极坐标系中，直线pcosθ-psinθ-1=0与圆p=2cosθ交于A，B2.【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程(x=acost(x=acost在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ.（I）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（II）直线C3的极坐标方程为θ=a0，其中a0满足tana0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求3.【2016高考新课标2理数】选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(Ⅰ)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；率.4.【2016高考新课标3理数】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为〈sisc(c为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为psin(θ+)=2.（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；（II）设点P在C1上，点Q在上，求PQ的最小值及此时P的直角坐标.8专题20坐标系与参数方程考情解读1.考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化.2.考查利用曲线的参数方程、极坐标方程计算某些量或讨论某些量之间的关系.重点知识梳理知识点一、直角坐标与极坐标的互化如图，把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设My=ρsinθ,是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ,θ)，则xy=ρsinθ,ρ2＝x2＋y2，1tanθ=x≠0.【特别提醒】在曲线方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性.知识点二、直线、圆的极坐标方程(1)直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α,则它的方程为：ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).几个特殊位置直线的极坐标方程①直线过极点：θ=α;②直线过点M(a，0)且垂直于极轴：ρcosθ=a； ③直线过点M、2且平行于极轴：ρsinθ (2)几个特殊位置圆的极坐标方程①圆心位于极点，半径为r：ρ=r；②圆心位于M(r，0)，半径为r：ρ=2rcosθ;9π③圆心位于Mr，2，半径为r：ρ=2rsinθ.π【特别提醒】当圆心不在直角坐标系的坐标轴上时，要建立圆的极坐标方程，通常把极点放置在圆心处，极轴与x轴同向，然后运用极坐标与直角坐标的变换公式.知识点三、参数方程(1)直线的参数方程x＝x0＋tcosαy＝y0＋tsinα过定点M(x0，x＝x0＋tcosαy＝y0＋tsinα(2)圆、椭圆的参数方程①圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为,(θ为参数，0≤θ≤2π).②椭圆＋＝1的参数方程为,(θ为参数).【特别提醒】在参数方程和普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致.高频考点突破高频考点一坐标系与极坐标弧所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)，(1,π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，一曲线M3是弧CD.一（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|=，求P的极坐标.p=2sinθ<θ<，M3的极坐标方程为p=-2cosθ<θ<π.(π)(π)(2π)(5π)(π)(π)(2π)(5π)一一一【解析】（1）由题设可得，弧AB,BC,CD所在圆的极坐标方程分别为p=2cosθ,p=2sinθ,p=-2cosθ.所以M1的极坐标方程为p=2cosθ(|（0<θ<，M2的极坐标方程为p=2sinθ<θ<，M3的极坐标方程为p=-2cosθ<θ<π.（2）设P(p,θ)，由题设及（1）知若0<θ<，则2cosθ=，解得θ=；(π)(π)(2π)(5π)(π)(π)(2π)(5π)与圆【变式探究】在极坐标系中，直线与圆4pcos(θ-)+1=0p=2sinθ的公共点的个数为 .【答案】2<1，所以有两个交点【变式探究】在极坐标系中，直线pcosθ-psinθ-1=0与圆p=2cosθ交于A，B两点，则【答案】2【解析】直线x-y-1=0过圆(x-1)2+y2=1的圆心，因此AB=2.【变式探究】在极坐标系中，圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A.θ=0(ρ∈R)和ρcosθ=2B.θ=(ρ∈R)和ρcosθ=2C.θ=(ρ∈R)和ρcosθ=1D.θ=0(ρ∈R)和ρcosθ=1【解析】由ρ=2cosθ得x2＋y2－2x＝0.∴(x－1)2＋y2＝1，圆的两条垂直于x轴的切线方程为x＝0和x＝2.故极坐标方程为θ=(ρ∈R)和ρcosθ=2，故选B.【答案】B高频考点二参数方程(1-t2例2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2pcosθ+psinθ+11=0.（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值.=1，所以C的直角坐标方程为x2(x=cosa（2）由（1）可设C的参数方程为〈ly=2sin（a为参数，-π<a(x=cosa当a=-时，4cos(|（a-+11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为.【变式探究】在平面坐标系中xOy中，已知直线l的参考方程为〈(|x=8+t(t为参数)，曲线C的参数2,(s为参数).设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值.【答案】【解析】直线l的普通方程为x-2y+8=0.从而点P到直线l的的距离2s2-4s+8因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上点P到直线l的距离取到最小值.【考点】参数方程化普通方程(x=acost(x=acost在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ.（I）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（II）直线C3的极坐标方程为θ=a0，其中a0满足tana0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.【答案】（I）圆，p2-2psinθ+1-a2=0（II）1【解析】解：(Ⅰ)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆.将x=pcosθ,y=psinθ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为p2-2psinθ+1-a2=0.(Ⅱ)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组2若p产0，由方程组得16cos2θ-8sinθcosθ+1-a2=0，由已知tanθ=2，可得16cos2θ-8sinθcosθ=0，从而1-a2=0，解得a=-1（舍去a=1.【变式探究】已知直线l的参数方程为〈(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ=4ρ>0，<θ则直线l与曲线C的交点的极坐标为.【解析】直线l的直角坐标方程为y＝x＋2，由ρ2cos2θ=4得ρ2(cos2θ-sin2θ)＝4，直角坐标方程为x2-y2＝4，把y＝x＋2代入双曲线方程解得x2，因此交点为(－2，0)，其极坐标为(2，π).【答案】(2，π)【变式探究】若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为()1ρ=cosθ+sinθ, ρ=cosθ+sinθ,ρ=cosθ+sinθ,ρ=cosθ+sinθ,0≤θ≤0≤θ≤0≤θ≤0≤θ≤(x=pcosθ1ly=psinθ,cosθ+sinθ【解析】∵〈,∴y＝1－x化为极坐标方程为ρcos(x=pcosθ1ly=psinθ,cosθ+sinθ∴线段在第一象限内(含端点)，∴0≤θ≤.故选A.【答案】A真题感悟1．【2019年高考北京卷理数】已知直线l的参数方程为〈（t为参数），则点（1，0）到直线l的距离是()【答案】D所以点（1，0）到直线l的距离d=42+32(1-t22．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy中，曲线|4t2坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2pcosθ+psinθ+11=0.（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值.=1，所以C的直角坐标方程为x2(x=cosa（2）由（1）可设C的参数方程为〈ly=2sin（a为参数，-π<a(x=cosa当a=-时，4cos(|（a-+11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为.3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O为极点，点M(上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.（1）当θ0=时，求p0及l的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.【答案】（1）p0=2，l的极坐标方程为pcos(|(θ-=2（2）p=4cosθ,θ=,.p0【解析】（1）因为M(p0,p0;设Q(p,θ)为l上除P的任意一点．在Rt△OPQ中，pcos(|(θ-=|OP|=2，经检验，点P(2,)在曲线pcos(|(θ-=2上.所以，l的极坐标方程为pcos(|(θ-=2.（2）设P(p,θ)，在Rt△OAP中，|OP|=|OA|cosθ=4cosθ,即p=4cosθ.因为P在线段OM上，且AP」OM，故θ的取值范围是,.所以，P点轨迹的极坐标方程为p=4cosθ,θ=,.弧所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)，(1,π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，一曲线M3是弧CD.一（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|=，求P的极坐标.p=2sinθ<θ<，M3的极坐标方程为p=-2cosθ<θ<π.(π)(π)(2π)(5π)(π)(π)(2π)(5π)一一一【解析】（1）由题设可得，弧AB,BC,CD所在圆的极坐标方程分别为p=2cosθ,p=2sinθ,p=-2cosθ.所以M1的极坐标方程为p=2cosθ(|（0<θ<，M2的极坐标方程为p=2sinθ<θ<，M3的极坐标方程为p=-2cosθ<θ<π.（2）设P(p,θ)，由题设及（1）知若0<θ<，则2cosθ=，解得θ=；（1）求A，B两点间的距离2）求点B到直线l的距离.【答案】（12）2.【解析】（1）设极点为O．在△OAB中，A（3B（2）因为直线l的方程为psin(θ+)=3，则直线l过点(3,)，倾斜角为.1.（2018年全国I卷理数）在直角坐标系xoy中，曲线G1的方程为y=KN+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2+29-3=0.（1）求C2的直角坐标方程；（2）若与C2有且仅有三个公共点，求G1的方程.【答案】(1）+1)2+y2=4.（2）的方程为.【解析】+1)2+y2=4.（2）由（1）知C2是圆心为A(-1,0)，半径为2的圆.由题设知，G1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2．由于B在圆C2的外面，故与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且1与C2有两个公共点.当4与C2只有一个公共点时，A到4所在直线的距离为2，所以，故或K=0.经检验，当K=0时，与C2没有公共点；当时，与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点.当l2与c2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以，故k=0或.经检验，当k=0时，与c2没有公共点；当时，l2与c2没有公共点.综上，所求的方程为.2.（2018年全国Ⅱ卷理数）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（6为参数直线的参数方程为（为参数）.（1）求C和1的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线1所得线段的中点坐标为(1,2)，求1的斜率.【答案】（1）当cosa≠0时，1的直角坐标方程为y=tan·x+2-tana，当cosα=0时，1的直角坐标方程为x=12）【解析】（1）曲线的直角坐标方程为.当cosa≠0时，1的直角坐标方程为y=tan·x+2-tana，当cosa=0时，1的直角坐标方程为x=1.（2）将1的参数方程代入c的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1+3cos2)r2+4(2cosα+snt-8=0因为曲线C截直线1所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为则.又由①得，故2cosa+sin=0，于是直线的斜率k=tana=-2.3.（2018年全国Ⅲ卷理数）在平面直角坐标系。中，00的参数方程为（为参数过点且倾斜角为的直线1与交于A，B两点.（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程.（2）为参数，【解析】（1）的直角坐标方程为1.当时，与。0交于两点.当时，记，则的方程为yx-．与60交于两点当且仅当，解得k<-1或k>1，即或.综上，的取值范围是.（2）的参数方程为为参数，.设A，日，P对应的参数分别为则，且，满足.于是又点的坐标(xy)满足所以点的轨迹的参数方程是为参数，4.（2018年江苏卷）在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为p=4cos9，求直线l被曲线C截得的弦长.【答案】直线l被曲线C截得的弦长为25【解析】因为曲线C的极坐标方程为p=4cos9，所以曲线C的圆心为（2，0直径为4的圆.因为直线l的极坐标方程为，则直线l过A（4，0倾斜角为，所以A为直线l与圆C的一个交点.设另一个交点为B，则∠OAB=.连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=，所以.因此，直线l被曲线C截得的弦长为25.1.【2017天津，理11】在极坐标系中，直线4pcos(θ-)+1=0与圆p=2sinθ的公共点的个数为.【答案】22.【2017北京，理11】在极坐标系中，点A在圆p2-2pcosθ-4psinθ+4=0上，点P的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为.【答案】1【解析】将圆的极坐标方程化为普通方程为x2+y2-2x-4y+4=0，整理为，点P是圆外一点，所以AP的最小值就是AC-r=2-1=1.3.【2017课标1，理22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为〈ly=sinθl的参数方程为ly=1-t,（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.当a=-1时，直线l的普通方程为x+4y-3=0.由{x22解得{或{.由{x22解得{或{. （2）直线l的普通方程为x+4y-a-4=0，故C上的点(3cosθ,sinθ)到l的距离为 d=3cosθ+4sinθ-a-4. 【2017·江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面坐标系中xOy中，已知直线l的参考方程为〈|t(t为参数2,为参数).设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值. 【答案】5【解析】直线l的普通方程为x-2y+8=0. 因为点P在曲线C 因为点P在曲线C上，设2s2-4s+8从而点P到直线l的的距离2s2-4s+8从而点P到直线l的的距离5dmin因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上点pcosθ-pcosθ-psinθ-1=0与圆p=2cosθ交于A，B两点，则|AB|=.【答案】2x-3y-1=0过圆(x-1)2+y2=1的圆心，因此2.【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程(x