历年高考数学（理）知识清单-专题24 解答题解题方法与技巧（考点解读）（原卷+解析版）

1专题24解答题解题方法与技巧考情解读解答题在高考数学试题中占据半壁江山，试题并不是单纯的知识叠加，而是知识、方法和能力的综合，且试题具有明显的区分度，前3题一般难度中等，最后两题一般难度较大、多为把关题．结合近几年的高考试题，题目的设计一般围绕三角函数或解三角形、立体几何、函数、解析几何、数列这几个方面展开．对于考生来说，想要得到高分，必须争取在前3个解答题上不丢分或少失分，这就需要考生在做题时计算准确、推理严谨、书写规范、步骤清晰，从根本上解决“会而不对，对而不全”的“老大难”问题.高频者点突破高频考点一三角函数或解三角形【命题角度】(1)三角函数式的求值与化简问题；(2)单纯三角函数知识的综合；(3)三角函数与平面向量交汇；(4)三角函数与解三角形的交汇；(5)单纯解三角形；(6)解三角形与平面向量的交汇.例1、设函数f(x)sin2ωx－sinωxcosωx(ω>0)，且y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为. 3π(1)求ω的值；(2)求f(x)在区间π,2上的最大值和最小值.3π【增粉策略】解决此类问题还应注意：①化简时，公式应用要准确；②注意所给角或参数的范围；③在求单调区间、对称轴和对称中心时要注意不能忽略k取整数；④求最值或范围时，应满足在定义域内.【变式探究】在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝2A.(1)求cosA的值；(2)求c的值.2【增粉策略】解决三角形问题还应注意：①不要忘记三角形中的隐含条件(A＋B＋C=π,a＋b>c)；②注意边角互化，化为所求的问题；③利用正、余弦定理解决实际问题时应明确仰角、俯角和方向角等有关术语的含义.高频考点二立体几何【命题角度】(1)证明空间线、面平行或垂直；(2)利用综合法计算空间中的线、面夹角；(3)立体几何中的探索性问题.例2、如图，已知四棱锥PABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD＝2DC＝2CB，E为PD的中点.(1)证明：CE∥平面PAB；(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.【变式探究】如图，P-ABD和Q-BCD为两个全等的正棱锥，且A，B，C，D四点共面，其中AB＝1，(1)求证：BD⊥平面APQ；(2)求直线PB与平面PDQ所成角的正弦值.【增粉策略】解决此类题目应注意：①证明线、面平行或垂直，应注意直线在平面内，两直线相交等情况；②找到或作出线面角后，要证明所找或作的线面角为所求角；③计算线面角的大小时一定要仔细.高频考点三函数、导数与不等式求导数零点列表求导数零点列表导数日益成为解决问题必不可少的工具，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交汇命题，是高考的热点和难点.解答题的热点题型有：(1)利用导数研究函数的单调性、极值、最值；(2)利用导数证明不等式或探讨方程根；(3)利用导数求解参数的范围或值.（一）利用分类讨论思想探究函数性质例1、设函数f(x)alnx.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间和极值.【感悟提升】1．解答这类题的模板定义域遇见参数要讨论.哪一步遇见就在哪一步展开讨论.2．解答这类题的难点(1)何时讨论参数？由于题目条件的不同，有的在求零点时讨论，有的在列表时讨论；(2)如何讨论参数？需要根据题目的条件确定，有时还需参考自变量的取值范围，讨论的关键是做到不重不漏.【变式探究】函数f(x)＝x3＋|x－a|(x∈R，a∈R).(1)若函数f(x)在R上为增函数，求a的取值范围；(2)若函数f(x)在R上不单调时，记f(x)在[－1,1]上的最大值、最小值分别为M(a)，m(a)，求M(a)－m(a).（二）利用数形结合思想探究函数的零点例2、函数f(x)＝ax＋xlnx在x＝1处取得极值.(1)求f(x)的单调区间；(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围.【感悟提升】利用导数探究函数零点的一般思路(1)转化为可用导数研究其函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题.(2)利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象.(3)结合图象求解.【变式探究】设函数f(x)＝lnx＋，m∈R.(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数.（三）利用函数思想证明不等式例3、已知函数f(x)lnx在(1，+∞)上是增函数，且a>0.(1)求a的取值范围；(2)若b>0，试证明<ln<.【感悟提升】1．利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形.(2)构造新的函数h(x).(3)利用导数研究h(x)的单调性及最值.(4)根据单调性及最值，得到所证不等式.2．构造辅助函数的四种方法(1)移项法：证明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x))的问题转化为证明f(x)－g(x)>0(f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x).(2)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数.(3)主元法：对于(或可化为)f(x1，x2)≥A的不等式，可选x1(或x2)为主元，构造函数f(x，x2)(或f(x1，x)).(4)放缩法：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数.【变式探究】已知函数f(x)＝ex＋m－x3，g(x)＝ln(x＋1)＋2.(1)若曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线斜率为1，求实数m的值；(2)当m≥1时，证明：f(x)＞g(x)－x3.（四）利用转化与化归思想求解恒成立问题例4、已知函数f(x)＝lnx.(1)求函数g(x)＝f(x＋1)－x的最大值；5(2)若对任意x>0，不等式f(x)≤ax≤x2＋1恒成立，求实数a的取值范围.【变式探究】已知函数f(x)＝lnx＋x2－(a＋1)x.(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y2，求f(x)的单调区间；(2)若x>0时，<恒成立，求实数a的取值范围【感悟提升】函数与导数压轴题堪称“庞然大物”，所以征服它需要一定的胆量和勇气，可以参变量分离、把复杂函数分离为基本函数、可把题目分解成几个小题、也可把解题步骤分解为几个小步，也可从逻辑上重新换叙．注重分步解答，这样，即使解答不完整，也要做到尽可能多拿步骤分．同时要注意分类思想、数形结合思想、化归与转化等数学思想的运用.高频考点四、圆锥曲线的综合问题【命题角度】解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板块，是高考考查的重点知识之一，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等．试题难度较大，多以压轴题出现．热点题型有：(1)直线与圆锥曲线位置关系；(2)圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解；(3)轨迹方程及探索性问题的求解.（一）巧妙消元证定值例4、已知椭圆C：＋＝1，过A(2,0)，B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.【方法策略】解答圆锥曲线的定值问题的策略(1)从特殊情形开始，求出定值，再证明该值与变量无关；(2)采用推理、计算、消元得定值．消元的常用方法为整体消元(如本例)、选择消元、对称消元等.【变式探究】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为(－，0)，e＝.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，设R(x0，y0)是椭圆C上一动点，由原点O向圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝4引两条切线，分别交椭圆于点P，Q，若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求证：k1k2为定值；(3)在(2)的条件下，试问|OP|2＋|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.（二）构造函数求最值-1，13，9－1<x<3如图，已知抛物线x2＝y，点A24，-1，13，9－1<x<3AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|·|PQ|的最大值.【感悟提升】最值问题的基本解法有几何法和代数法(1)几何法是根据已知的几何量之间的相互关系、平面几何和解析几何知识加以解决的(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等)；(2)代数法是建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值(普通方法、基本不等式方法、导数方法等)解决的.【变式探究】已知椭圆1(a>b>0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，离心率e短轴长为2.求椭圆的方程；（三）寻找不等关系解范围已知椭圆E1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围.【感悟提升】解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，寻找不等关系，其方法有：(1)利用判别式来构造不等式，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系；(3)利用隐含的不等关系，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用函数值域的求法，确定参数的取值范围.【变式探究】已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4.直线l：y＝kx＋m与y轴交于点P，与椭圆E相交于A，B两个点.(1)求椭圆E的方程；(2)若＝3，求m2的取值范围.（四）确定直线寻定点已知椭圆C1(a>b>0)，四点P1(1,1)，P2(0，1)，P3－1P41，中恰有三点在椭圆C上.(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点.【变式探究】已知动圆M恒过点(0,1)，且与直线y1相切.(1)求圆心M的轨迹方程；(2)动直线l过点P(02)，且与点M的轨迹交于A，B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点.（五）假设存在定结论(探索性问题)22已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，点A22(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y＝上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足＝？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.【方法策略】探索性问题的解题策略探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.8(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论.(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径.【变式探究】已知椭圆x2＋2y2＝m(m>0)，以椭圆内一点M(2,1)为中点作弦AB，设线段AB的中垂线与椭圆相交于C，D两点.(1)求椭圆的离心率；(2)试判断是否存在这样的m，使得A，B，C，D在同一个圆上，并说明理由.【方法策略】圆锥曲线解答题的常见类型是：第1小题通常是根据已知条件，求曲线方程或离心率，一般比较简单．第2小题往往是通过方程研究曲线的性质——弦长问题、中点弦问题、动点轨迹问题、定点与定值问题、最值问题、相关量的取值范围问题等等，这一小题综合性较强，可通过巧设“点”“线”，设而不求．在具体求解时，可将整个解题过程分成程序化的三步：第一步，联立两个方程，并将消元所得方程的判别式与根与系数的关系正确写出；第二步，用两个交点的同一类坐标的和与积，来表示题目中涉及的位置关系和数量关系；第三步，求解转化而来的代数问题，并将结果回归到原几何问题中.在求解时，要根据题目特征，恰当的设点、设线，以简化运算.【变式探究】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，且点P1，2在椭圆C上，O为坐标原点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过定点T(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围；(3)过椭圆C11上异于其顶点的任一点P，作圆O：x2＋y2＝的两条切线，切点分别为M，N(M，N不在坐标轴上)，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m，n，证明：＋为定值.【方法技巧】解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤(1)设方程及点的坐标；(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二次项系数是否为零)；9(3)应用根与系数的关系及判别式；(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解.【变式探究】已知点F为椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线＋＝1与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，若λ|PM|2＝|PA|·|PB|，求实数λ的取值范围.专题24解答题解题方法与技巧考情解读解答题在高考数学试题中占据半壁江山，试题并不是单纯的知识叠加，而是知识、方法和能力的综合，且试题具有明显的区分度，前3题一般难度中等，最后两题一般难度较大、多为把关题．结合近几年的高考试题，题目的设计一般围绕三角函数或解三角形、立体几何、函数、解析几何、数列这几个方面展开．对于考生来说，想要得到高分，必须争取在前3个解答题上不丢分或少失分，这就需要考生在做题时计算准确、推理严谨、书写规范、步骤清晰，从根本上解决“会而不对，对而不全”的“老大难”问题.高频考点突攻高频考点一三角函数或解三角形【命题角度】(1)三角函数式的求值与化简问题；(2)单纯三角函数知识的综合；(3)三角函数与平面向量交汇；(4)三角函数与解三角形的交汇；(5)单纯解三角形；(6)解三角形与平面向量的交汇.例1、设函数f(x)sin2ωx－sinωxcosωx(ω>0)，且y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为. 3π(1)求ω的值；(2)求f(x)在区间π,2上的最大值和最小值.3π【解析】(1)f(x)sin2ωx－sinωxcosωx=－·－sin2ωx=cos2ωx－sin2ωx=-sin.2ωx-=-sin.因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，又ω>0，所以=4×，)因此ω=1.(2)由(1)知f(x)＝－sin2x-.当π≤x≤时，≤2x-≤.(10分) 2x-π所以－2 2x-π因此－1≤f(x)≤ 3π故f(x)在区间π,2上的最大值和最小值分别为13π【增粉策略】解决此类问题还应注意：①化简时，公式应用要准确；②注意所给角或参数的范围；③在求单调区间、对称轴和对称中心时要注意不能忽略k取整数；④求最值或范围时，应满足在定义域内.【变式探究】在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝2A.(1)求cosA的值；(2)求c的值.【解析】所以在△ABC中，由正弦定理得＝.(2)由(1)知cosA所以sinA.又B＝2A，所以cosB＝2cos2A－1＝所以sinB在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝.所以c5【增粉策略】解决三角形问题还应注意：①不要忘记三角形中的隐含条件(A＋B＋C=π,a＋b>c)；②注意边角互化，化为所求的问题；③利用正、余弦定理解决实际问题时应明确仰角、俯角和方向角等有关术语的含义.高频考点二立体几何【命题角度】(1)证明空间线、面平行或垂直；(2)利用综合法计算空间中的线、面夹角；(3)立体几何中的探索性问题.例2、如图，已知四棱锥P-ABCD，ΔPAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E为PD的中点.(1)证明：CE∥平面PAB；(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.【解析】(1)证明：如图，设PA的中点为F，连接EF，FB.因为E，F分别为PD，PA的中点，所以EF∥AD且EF＝AD.又因为BC∥AD，BC＝AD，所以EF∥BC且EF＝BC，即四边形BCEF为平行四边形，所以CE∥BF.所以CE∥平面PAB(2)分别取BC，AD的中点为M，N.连接PN交EF于点Q，连接MQ，BN.因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，所以Q为EF的中点，在平行四边形BCEF中，MQ∥CE.由△PAD为等腰直角三角形得PN⊥AD.由DC⊥AD，N是AD的中点得BN⊥AD.又PN∩BN＝N，所以AD⊥平面PBN.由BC∥AD得BC⊥平面PBN，那么平面PBC⊥平面PBN过点Q作PB的垂线，垂足为H，连接MH.则MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角.在△PBN中，由PN＝BN＝1，PB＝得QH在Rt△MQH中，QHMQ所以sin∠QMH所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是【变式探究】如图，P-ABD和Q-BCD为两个全等的正棱锥，且A，B，C，D四点共面，其中AB＝1，(1)求证：BD⊥平面APQ；(2)求直线PB与平面PDQ所成角的正弦值.【解析】由已知得P-ABD和Q-BCD是顶角处三条棱两两垂直，底面是正三角形的正棱锥，其中侧棱长为.(1)证明：易知底面ABCD是菱形，连接AC(图略)，则AC⊥BD.易证PQ∥AC，所以PQ⊥BD.由已知得P-ABD和Q-BCD是顶角处三条棱两两垂直，所以AP⊥平面PBD，所以BD⊥AP，因为AP∩PQ＝P，所以BD⊥平面APQ.(2)法一：由(1)知PQ⊥BD，取PQ中点M，连接DM，BM，分别过点P，Q做AC的垂线，垂足分别为H，N.由正棱锥的性质可知H，N分别为△ABD，△BCD的重心，可知四边形PQNH为矩形.其中PQ＝ACPH＝.DM令B到平面PQD的距离为h，则V三棱锥PBDM＝V三棱锥BPQD，设BP与平面PQD所成角为θ,则sinθ=.2法二：设AC与BD交于点O，取PQ的中点M，连接OM，易知OM，OB，OC两两垂直，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，-a＋b－c＝0.则―→-1令m＝(a，b，c)为平面PQD的法向量，-， 6Q 6 6，－设直线PB与平面PDQ成角为θ,||1＋0＋1|2== 2【增粉策略】解决此类题目应注意：①证明线、面平行或垂直，应注意直线在平面内，两直线相交等情况；②找到或作出线面角后，要证明所找或作的线面角为所求角；③计算线面角的大小时一定要仔细.高频考点三函数、导数与不等式【命题角度】导数日益成为解决问题必不可少的工具，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交汇命题，是高考的热点和难点.解答题的热点题型有：(1)利用导数研究函数的单调性、极值、最值；(2)利用导数证明不等式或探讨方程根；(3)利用导数求解参数的范围或值.求导数零点列表求导数零点列表例1、设函数f(x)alnx.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间和极值.【解析】(1)当a＝1时，f(x)lnx，则f′(x)＝x所以f′(1)＝0，又f(1)所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝.(2)由f(x)alnx，得f′(x)＝x(x>0).①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，函数既无极大值，也无极小值；②当a>0时，由f′(x)＝0，得x＝或x(舍去).于是，当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：xa)aa，+∞)f′(x)-0+f(x)2 aa函数f(x)在x＝处取得极小值f()无极大值．综上可知，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，+∞)，函数f(x)既无极大值也无极小值；当a>0时，函数f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间为(，+∞)，函数f(x)有极小值，无极大值. aa【感悟提升】1．解答这类题的模板定义域遇见参数要讨论.哪一步遇见就在哪一步展开讨论.2．解答这类题的难点(1)何时讨论参数？由于题目条件的不同，有的在求零点时讨论，有的在列表时讨论；(2)如何讨论参数？需要根据题目的条件确定，有时还需参考自变量的取值范围，讨论的关键是做到不重不漏.【变式探究】函数f(x)＝x3＋|x－a|(x∈R，a∈R).(1)若函数f(x)在R上为增函数，求a的取值范围；(2)若函数f(x)在R上不单调时，记f(x)在[－1,1]上的最大值、最小值分别为M(a)，m(a)，求M(a)－m(a).【解析】由已知得，f(x)＝1【解析】由已知得，f(x)＝1令g(x)＝x3＋x－a，则g′(x)＝x2＋1>0，所以g(x)在[a，+∞)上为增函数.令h(x)＝x3－x＋a，则h′(x)＝x令h′(x)＝0，得x=±1，所以h(x)在(-∞,-1)和(1，+∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数.(1)因为f(x)在R上是增函数，所以h(x)在(-∞,a)上为增函数，所以a≤-1.故a的取值范围为(-∞,-1].(2)因为函数f(x)在R上不单调，所以a>－1.当－1<a<1时，f(x)在(-∞,-1)上是增函数，在(－1，a)上是减函数，在[a，+∞)上是增函数，所以m(a)M(a)＝max{h(－1)，g(当－a≥a＋，即－1<a≤时，M(a)＝－a，M(a)－m(a)＝－(a3＋3a－4)；当－a<a＋，即<a<1时，M(a)＝a＋，M(a)－m(a)＝－(a3－3a－2).当a≥1时，f(x)在[－1,1]上是减函数，所以m(a)＝h(1)＝aM(a)＝h(－1)＝a＋.故M(a)－m(a)＝.-(a3＋3a－4)1<a≤，综上，M(a)－m(a)(-(a3＋3a－4)1<a≤， ，a≥1.（二）利用数形结合思想探究函数的零点例2、函数f(x)＝ax＋xlnx在x＝1处取得极值.(1)求f(x)的单调区间；(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围.【解析】(1)由题意知，f′(x)＝a＋lnx＋1(x>0)，f′(1)＝a＋1＝0，解得a1，当a1时，f(x)x＋xlnx，即f′(x)＝lnx，令f′(x)>0，解得x>1；令f′(x)<0，解得0<x<1.∴f(x)在x＝1处取得极小值，f(x)的单调递增区间为(1，+∞)，单调递减区间为(0,1).(2)y＝f(x)－m－1在(0，+∞)上有两个不同的零点，可转化为f(x)＝m＋1在(0，+∞)上有两个不同的根，也可转化为y＝f(x)与y＝m＋1的图象有两个不同的交点，由(1)知，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，f(x)min＝f(1)1，由题意得，m＋1>－1，即m>－2，①当0<x<1时，f(x)＝x(－1＋lnx)<0；当x>0且x→0时，f(x)→0；当x→+∞时，显然f(x)→+∞.如图，由图象可知，m＋1<0，即m<－1，②由①②可得－2<m<－1.故实数m的取值范围为(－21).【感悟提升】利用导数探究函数零点的一般思路(1)转化为可用导数研究其函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题.(2)利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象.(3)结合图象求解.【变式探究】设函数f(x)＝lnx＋，m∈R.(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数.【解析】(1)由题设，当m＝e时，f(x)＝lnx则f′(x)∴当x∈(0，e)时，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上单调递减，当x∈(e，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(e，+∞)上单调递增，∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝lne2，∴f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)＝f′(x)(x＞0)，令g(x)＝0，得mx3＋x(x＞0).设φ(x)x3＋x(x≥0)，则φ′(x)x2＋1(x－1)(x＋1).当x∈(0,1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0,1)上单调递增；当x∈(1，+∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，+∞)上单调递减.∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点，∴φ(x)的最大值为φ(1)＝.又φ(0)＝0，结合y=φ(x)的图象(如图)，可知，①当m＞时，函数g(x)无零点；②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；③当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点；④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点.综上所述，当m＞时，函数g(x)无零点；当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点.（三）利用函数思想证明不等式例3、已知函数f(x)lnx在(1，+∞)上是增函数，且a>0.(1)求a的取值范围；(2)若b>0，试证明<ln<.【解析】(1)f′(x)因为在(1，+∞)上f′(x)≥0，且a>0，所以ax－1≥0，即x≥，所以≤1，即a≥1.故a的取值范围为[1，+∞].(2)证明：因为b>0，a≥1，所以>1，又f(x)lnx在(1，+∞)上是增函数， a＋b1－所以fb>f(1)，即＋ln>0 a＋b1－ln<等价于lnln1<0，令g(x)＝ln(1＋x)－x(x∈(0，+∞))，则g′(x)1＝<0，所以函数g(x)在(0，+∞)上为减函数，所以g＝ln1ln－<g(0)＝0，即ln<.综上，<ln<，得证.【感悟提升】1．利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形.(2)构造新的函数h(x).(3)利用导数研究h(x)的单调性及最值.(4)根据单调性及最值，得到所证不等式.2．构造辅助函数的四种方法(1)移项法：证明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x))的问题转化为证明f(x)－g(x)>0(f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x).(2)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数.(3)主元法：对于(或可化为)f(x1，x2)≥A的不等式，可选x1(或x2)为主元，构造函数f(x，x2)(或f(x1，x)).(4)放缩法：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数.【变式探究】已知函数f(x)＝ex＋m－x3，g(x)＝ln(x＋1)＋2.(1)若曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线斜率为1，求实数m的值；(2)当m≥1时，证明：f(x)＞g(x)－x3.【解析】(1)因为f(x)＝ex＋m－x3，所以f′(x)＝ex＋m－3x2.因为曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线斜率为1，所以f′(0)＝em＝1，解得m＝0.(2)证明：因为f(x)＝ex＋m－x3，g(x)＝ln(x＋1)＋2，所以f(x)＞g(x)－x3等价于ex＋m－ln(x＋1)－2＞0.当m≥1时，ex＋m－ln(x＋1)－2≥ex＋1－ln(x＋1)－2.要证ex＋m－ln(x＋1)－2＞0，只需证明ex＋1－ln(x＋1)－2＞0，设h(x)＝ex＋1－ln(x＋1)－2，则h′(x)＝ex＋1－.设p(x)＝ex＋1－(x>－1)，则p′(x)＝ex＋10.所以函数p(x)＝h′(x)＝ex＋1－在(－1，+∞)上单调递增.-1因为h′2＝e－2＜0，h′(0)＝e－1-1所以函数h′(x)＝ex＋1－在(－1，+∞)上有唯一零点x0，-1，0-1，0因为h′(x0)＝0，所以ex0＋1即ln(x0＋1)(x0＋1).当x∈(－1，x0)时，h′(x)＜0；当x∈(x0，+∞)时，h′(x)＞0，所以当x＝x0时，h(x)取得最小值h(x0).所以h(x)≥h(x0)＝ex0＋1－ln(x0＋1)－2(x0＋1)－2＞0.综上可知，当m≥1时，f(x)＞g(x)－x3.（四）利用转化与化归思想求解恒成立问题例4、已知函数f(x)＝lnx.(1)求函数g(x)＝f(x＋1)－x的最大值；(2)若对任意x>0，不等式f(x)≤ax≤x2＋1恒成立，求实数a的取值范围.【解析】(1)∵f(x)＝lnx，∴g(x)＝f(x＋1)－x＝ln(x＋1)－x(x>－1)，当x∈(－1,0)时，g′(x)>0，∴g(x)在(－1,0)上单调递增；当x∈(0，+∞)时，g′(x)<0，∴g(x)在(0，+∞)上单调递减.∴g(x)在x＝0处取得最大值g(0)＝0.(2)∵对任意x>0，不等式f(x)≤ax≤x2＋1恒成立，xa≤x＋xa≥xa≤x＋x∴1在x>0上恒成立，进一步转化为xmax≤a≤xmin，ln进一步转化为xmax≤a≤xmin，设h(x)则h′(x)当x∈(1，e)时，h′(x)>0；当x∈(e，+∞)时，h′(x)<0，∴h(x)在x＝e处取得极大值也是最大值.要使f(x)≤ax恒成立，必须a≥.另一方面，当x>0时，x＋≥2，当且仅当x＝1时等号成立，要使ax≤x2＋1恒成立，必须a≤2，∴满足条件的a的取值范围是e.【变式探究】已知函数f(x)＝lnx＋x2－(a＋1)x.(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y2，求f(x)的单调区间；(2)若x>0时，<恒成立，求实数a的取值范围【解析】(1)由已知得f′(x)ax－(a＋1)，则f′(1)＝0.而f(1)＝ln1(a＋1)1，∴曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y1.∴-－12，解得a＝2.∴f(x)＝lnx＋x2－3x(x>0)，f′(x)2x－3.由f′(x)2x－3＝>0，得0<x<或x>1，由f′(x)2x－3<0，得<x<1，∴f(x)的单调递增区间为0，2和(1，+∞)，f(x)的单调递减区间为2，1(2)若<，则＋x－(a＋1)<＋x即－<在区间(0，+∞)上恒成立.设h(x)则h′(x)由h′(x)>0，得0<x<e，因而h(x)在(0，e)上单调递增，由h′(x)<0，得x>e，因而h(x)在(e，+∞)上单调递减.∴h(x)的最大值为h(e)＝e，∴>e，故a>2e－1.从而实数a的取值范围为(2e－1，+∞).【感悟提升】函数与导数压轴题堪称“庞然大物”，所以征服它需要一定的胆量和勇气，可以参变量分离、把复杂函数分离为基本函数、可把题目分解成几个小题、也可把解题步骤分解为几个小步，也可从逻辑上重新换叙．注重分步解答，这样，即使解答不完整，也要做到尽可能多拿步骤分．同时要注意分类思想、数形结合思想、化归与转化等数学思想的运用.高频考点四、圆锥曲线的综合问题【命题角度】解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板块，是高考考查的重点知识之一，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等．试题难度较大，多以压轴题出现．热点题型有：(1)直线与圆锥曲线位置关系；(2)圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解；(3)轨迹方程及探索性问题的求解.（一）巧妙消元证定值例4、已知椭圆C：＋＝1，过A(2,0)，B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.【解析】(1)由题意得，a＝2，b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.又c所以离心率e.(2)证明：设P(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则x＋4y＝4.又A(2,0)，B(0,1)，所以直线PA的方程为y＝(x－2).令x＝0，得yM＝－，从而|BM|＝1－yM＝1＋.直线PB的方程为y＝x＋1.令y＝0，得xN从而|AN|＝2－xN＝2＋.所以四边形ABNM的面积S＝|AN|·|BM|=2y0－1x0－2=2y0－1x0－2x＋4y＋4x0y0－4x0－8y0＋4=2x0y0－x0－2y0＋2=2x0y0－2x0－4y0＋4＝2.x0y0－x0－2y0＋2从而四边形ABNM的面积为定值.【方法策略】解答圆锥曲线的定值问题的策略(1)从特殊情形开始，求出定值，再证明该值与变量无关；(2)采用推理、计算、消元得定值．消元的常用方法为整体消元(如本例)、选择消元、对称消元等.【变式探究】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为(－，0)，e＝.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，设R(x0，y0)是椭圆C上一动点，由原点O向圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝4引两条切线，分别交椭圆于点P，Q，若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求证：k1k2为定值；(3)在(2)的条件下，试问|OP|2＋|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.【解析】(1)由题意得，ce解得a＝2，b(2)证明：由已知，直线OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x，且与圆R相切，1＋k化简得(x－4)k－2x0y0k1＋y－4＝0，同理，可得(x－4)k2－2x0y0k2＋y－4＝0，∴k1，k2是方程(x－4)k2－2x0y0k＋y－4＝0的两个不相等的实数根，∵点R(x0，y0)在椭圆C上，＝－x－42故k1k2为定值.(3)|OP|2＋|OQ|2是定值.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立方程1，解得 2k12 同理，可得x2＋y2＝12). 2k12 由k1k2得|OP|2＋|OQ|2＝x＋y＋x2＋y2=1)＋12)-1-1=12(1＋k)＋12-1-12k121＋2k2k12=18＋36k＝18.1＋2k综上，|OP|2＋|OQ|2为定值，且为18.（二）构造函数求最值-1139－1<<3如图，已知抛物线x2＝y，点A2，4，B2-1139－1<<3AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|·|PQ|的最大值.【解析】(1)设直线AP的斜率为k，kx所以直线AP斜率的取值范围是(－1,1).(2)设直线AP的斜率为k，则直线BQ的斜率为－.则直线AP的方程为y－4k直线BQ的方程为y－91x4kkx－y＋k0，即x＋ky－k0，联立x＋ky－k0，解得点Q的横坐标xQ＝.因为|PA|＝x(k＋1)，所以|PA|·|PQ|(k－1)(k＋1)3.令f(k)(k－1)(k＋1)3，因为f′(k)(4k－2)(k＋1)2，所以f(k)在区间－1，上单调递增，在区间，1上单调递减，因此当k＝时，|PA|·|PQ|取得最大值.【感悟提升】最值问题的基本解法有几何法和代数法(1)几何法是根据已知的几何量之间的相互关系、平面几何和解析几何知识加以解决的(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等)；(2)代数法是建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值(普通方法、基本不等式方法、导数方法等)解决的.【变式探究】已知椭圆1(a>b>0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，离心率e短轴长为2.求椭圆的方程；【解析】由题意得2b＝2，解得b＝1，故椭圆的标准方程为＋y2＝1.（三）寻找不等关系解范围已知椭圆E1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围.【解析】设M(x1，y1)，则由题意知y1>0.(1)当t＝4时，E的方程为1，A(－2,0由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为y＝x＋2.将x＝y－2代入＋＝1，得7y2－12y＝0.解得y＝0或y所以y1＝.因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝.(2)由题意t>3，k>0，A(－t，0).将直线AM的方程y＝k(x＋t)代入1得(3＋tk2)x2＋2t·tk2x＋t2k2－3t＝0.由x1·(－t)得x1由题设，直线AN的方程为y＝－(x＋t)，故同理可得|AN|＝.即(k3－2)t＝3k(2k－1).<k，即<0.故k的取值范围是(3，2).【感悟提升】解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，寻找不等关系，其方法有：(1)利用判别式来构造不等式，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系；(3)利用隐含的不等关系，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用函数值域的求法，确定参数的取值范围.【变式探究】已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4.直线l：y＝kx＋m与y轴交于点P，与椭圆E相交于A，B两个点.(1)求椭圆E的方程；(2)若AP＝3PB，求m2的取值范围.【解析】(1)根据已知设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，∵以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4，∴椭圆E的方程为x21.由消去y，(2)根据已知得P(0，m)，设A(x1，kx1＋m)，B(x2，kx2＋m由消去y， y＝kx＋m，4x2＋y2－4＝0得(k2＋4)x2＋2mkx＋m2－4＝0.由已知得Δ=4m2k2－4(k2＋4)(m2－4)>0，即k2－m2＋4>0，且x1＋x2x1x2＝.由AP＝3PB，得x13x2.∴3(x1＋x2)2＋4x1x2＝12x2－12x2＝0.即m2k2＋m2－k2－4＝0.当m2＝1时，m2k2＋m2－k2－4＝0不成立，－m2＋4>0，4－t22.∴－m2＋4>0，即>0.4－t22.解得1<m2<4.∴m2的取值范围为(1,4).（四）确定直线寻定点已知椭圆C1(a>b>0)，四点P1(1,1)，P2(0，1)，P3－1P41，中恰有三点在椭圆C上.(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点.【解析】(1)由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过P3，P4两点.又由＋>＋知，椭圆C不经过点P1，所以点P2在椭圆C上.解得解得故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.则k1＋k21，得t＝2，不符合题设.从而可设l：y＝kx＋m(m≠1).将y＝kx＋m代入＋y2＝1得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.由题设可知Δ=16(4k2－m2＋1)>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2x1x2＝.-4－t22而k1＋k2=＋=2kx1x2＋(m－1.)(x1＋x2).x1x2由题设k1＋k21，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.解得k.当且仅当m>－1时，Δ>0，于是l：yx＋m，即y＋1(x－2)，所以l过定点(21).【变式探究】已知动圆M恒过点(0,1)，且与直线y1相切.(1)求圆心M的轨迹方程；(2)动直线l过点P(02)，且与点M的轨迹交于A，B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点.【解析】(1)由题意得，点M与点(0,1)的距离始终等于点M到直线y1的距离，由抛物线的定义知圆心M的轨迹是以点(0,1)为焦点，直线y1为准线的抛物线，则＝1，p＝2.∴圆心M的轨迹方程为x2＝4y.(2)证明：设直线l：y＝kx－2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(－x2，y2)，y＝kx－2联立方程消去y，得xy＝kx－2kAC＝y1－y2x1－x2，x1＋x2x1＋x24直线AC的方程为y－y1＝(x－x1).即直线AC恒过定点(0,2).（五）假设存在定结论(探索性问题)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，点A1，2在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y＝上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足PM＝NQ？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.【解析】(1)设椭圆C的焦距为2c，则c＝1，因为因为A2在椭圆C上，故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)不存在满足条件的直线，证明如下：假设存在斜率为2的直线，满足条件，则设直线的方程为y＝2x＋t，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，Px3，3，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)，y＝2x＋t，由＋y2＝1消去x，得9y2－2ty＋t2－8＝0，所以y1＋y2且Δ=4t2－36(t2－8)>0，故y0且－3<t<3.x1－x3，y1x1－x3，y1-由PM＝NQ，得3＝(x4－x2，y所以有y1y4－y2，y4＝y1＋y2t－.也可由PM＝NQ，知四边形PMQN为平行四边形，而D为线段MN的中点，因此，D也为线段PQ的中点，所以y09，9又－3<t<3的中点，所以y09，9又－3<t<3，所以－<y4<－1，与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[－1,1]矛盾.2因此不存在满足条件的直线.2【方法策略】探索性问题的解题策略探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论.(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径.【变式探究】已知椭圆x2＋2y2＝m(m>0)，以椭圆内一点M(2,1)为中点作弦AB，设线段AB的中垂线与椭圆相交于C，D两点.(1)求椭圆的离心率；(2)试判断是否存在这样的m，使得A，B，C，D在同一个圆上，并说明理由.【解析】(1)将方程化成椭圆的标准方程1(m>0)，2(2)由题意，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y＝k(x－2)＋1，代入x2＋2y2＝m(m>0)，消去y，得(1＋2k2)x2＋4k(1－2k)x＋2(2k－1)2－m＝0(m>0).所以x1＋x24，即k1，此时，由Δ>0，得m>6.则直线AB的方程为x＋y－3＝0，直线CD的方程为x－y－1＝0.2-1得3y2＋2y＋2-1得3y2＋2y＋1－m＝0，y3＋y4故CD的中点N为3.x2＋2y2＝m由弦长公式，可得·12(m－6).·12(m－6).3 >|AB|，若存在圆，则圆心在CD上， >|AB|，若存在圆，则圆心在CD上，3因为CD的中点N