高考数学二轮复习一函数与导数练习题

专题突破练2函数的图象与性质

一、单项选择题

L(2021∙北京通州一模)下列函数中,是偶函数且值域为［0,+oo)的是()

A.y(x)=x2-1

1

B次X)=X2

CT(X)=Iog2X

D；/(X)=IXl

2.(2021•云南昆明月考)已知定义在R上的函数©满足火x+2)=∕(x),且火X)=惨君0’其中

αGR.若4-5)=/(4.5),则α=()

A.2.5B.3.5

C.4.5D.5.5

3∙(2021∙福建厦门月考)已知函数yω=9;Rgɑ2),x≥°，是奇函数,则方程g(χ)=2的根为()

3

A.-≡B.-6

4.(2021•安徽六安一模)已知函数产/⑴的部分图象如图所示,则段)的解析式可能为()

Ay(X)=I-SinX

Bt∕(jι)=∣x+sinX

Cζ∕(x)=∣x-cosX

DT(X)二夕+cosX

5.(2021•江苏苏州月考)函数y(x)=[My=o°'的图象上关于原点。对称的点有()对.

A.2B.3

C.4D.5

6.(2021•山东青岛一模)已知)，=危)为奇函数J=∕U+D为偶函数,若x≡Ol]时於)=log2(x+a),则Q

021)=()

A.-lB.0

C.lD.2

7.(2021・吉林长春模拟)己知函数段)二矢与函数g(x)=-x3+12x+l的图象交点分别

为：Pi(XIjI),P2(χ2,y2),…RaM⅛)(%eN*),则S+χ2+…+χ*)+(yι+”+“•+”)=()

A.-2B.0

C.2D.4

二、多项选择题

8.(2021•重庆八中月考)已知函数段)的定义域为(1,+8),值域为R,则()

A.函数次N+1)的定义域为R

B.函数yu2+i)-ι的值域为R

C函数乂蒙)的定义域和值域都是R

D.函数欢x))的定义域和值域都是R

9.(2021•山东潍坊二模)已知定义在R上的奇函数危)满足加+2)=∕(2-x),且在区间［0,2］上单调递增,则

下列说法正确的是()

A√(x)的周期是4

B√(2)是函数的最大值

C√(x)的图象关于点(-2,0)对称

DT(X)在区间［2,6］上单调递减

10.(2021•山东威海期中)己知函数段)=咛密竺则下列说法正确的是()

A.函数./(X)图象的对称中心是点(0,1)

B.函数y(x)在R上是增函数

C.函数兀0是奇函数

D.方程y(2r-l)+H2x)=2的解为Xw

三、填空题

11.(2021.四川成都月考)已知函数段)=｛篇;4,则A9=.

12∙(2021∙山东枣庄二模)写出一个图象关于直线x=2对称,且在区间［0,2］上单调递增的偶函数

TW=.

2

13.(2021•山西临汾一模)已知函数ι∕(τ)=ln(√4x+1+2x).西P若y(log2〃)=2,则

/Iogi«)=.

2

14.(2021•天津一中期中)已知函数y(x)=若+x∣x∣+2,且√(-α)t∕(24-3)>4,则实数α的取值范围

是.

专题突破练2函数的图象与性质

1.D解析对于A,X%)=Λ2-1为偶函数,但值域为[-1,+8),故A不符合题意;对于B,∕(x)=χ2

的定义域不关于原点对称,为非奇非偶函数,故B不符合题意;对于CsZ(X)=Iog2X的定义域

不关于原点对称,为非奇非偶函数,故C不符合题意;对于D√U)=∣x∣为偶函数,且值域为

[0,+⑼,故D符合题意.

2.C解析因为於:+2)=/U),所以./U)的周期为2,所以X-5)=Λ-l)=α-2√(4.5)=*0.5)=2.5.

因为4-5)寸4.5),所以α-2=2.5,故«=4.5.

3.B解析因为函数外)为R上的奇函数,所以负0)=0,即I-IOg“2=0,解得α=2.所以

fl-log(x+2),X≥0,

艮flX~lg(x),x2<0.

所以方程g(x)=2,即当x<0时JAX)=g(x)=2,又y(x)为奇函数,所以/(-x)=-g(x)=-2,所以

当x<0时,有I-Iog2(-x+2)=-2,整理得k>g2(2-x)=3,解得x=-6.

综上,方程g(x)=2的根为-6.

4.A解析由题中图象关于原点对称,可知函数.*X)为奇函数,排除选项C,D,对于选项B

中的函数/(x)=^+cosX,当0<x吟∕3>0,故段)在区间(0,须上单调递增,故选项B不

符合.故选A.

5.B解析依题意,函数图象上关于原点。对称的点的对数,即为g(x)=lθg4∙X与ZZ(JC)=-COS

X图象交点的个数.

如图,由于g(7t)=l0g4π<log44=1附兀)=1,g(3π)=log4(3π)>log44=1,%(3π)=1,故函数«x)

的图象上关于原点。对称的点有3对.

6.C解析：兆)为奇函数,且加)在x=0处有定义，

•次O)=O且於X)=√U)∙

：.χ∈[0,1]时,f(x)=log2(%+α),

Bog2(O+α)=O,解得a=l,

.1x∈[0,l]时√U)=l0g2(x+l)∙

7y=Λχ+D为偶函数,∙J=∕U+1)的图象关于y轴对称.

.：«r)的图象关于直线x=l对称，

•VW="-尤)，∙VW=Λ2-X)=√(Λ-2),

.:於+2)=√(x)∙

.：於+4)=-於+2)=段),.：函数,於)的周期为4.

.次202DyD=Iog22=1.

7.D解析由于段)=含7=去r+l,而Vw是奇函数,所以函数小)=尼+1的图

象关于点((M)对称.

因为>'=-Λ3+12X是奇函数,所以函数g(x)=-x3+12x+l的图象关于点(0,1)对称.

因为-=2<0,所以/(x)在区间(-8,0),(0,+8)上单调递减.因为g3=-3(f-4),所

(ezx-l)

以函数g(x)在区间(-00,-2),(2,+8)上单调递减,在区间(-2,2)上单调递增.画出函数y(x)和

g(x)的大致图象(图略),由图可知√(x)与g(x)的图象有4个交点,不妨设X1<X2<X3<X4,则点

P∖与P%点P2与尸3关于点(0,1)对称,所以Xi+χ4=θ,x3+∙r2=θ,y∣+y4=2,y3+y2=2,故所求和为

4.

8.BC解析对于选项A,令Λ2+1>1可得x≠0,所以凡？+1)的定义域为{X∣Λ≠0},故选项A

不正确；

对于选项B,因为yu)值域为R,x2+i2i,所以火x2+i)的值域为R,可得yu2+ι>ι的值

域为R,故选项B正确；

对于选项C,因为袈=1+2>1对x∈R恒成立,所以.(袈)的定义域为R,因为

蒙>1,所以./(竽)的值域为R,故选项C正确；

对于选项D,若函数欢x))的值域是R则式x)>l,此时无法判断其定义域是否为R故

选项D不正确.

9.BD解析由于段)是奇函数√(2+JO=A2-X),所以12+x)=√(x-2),所以外+4)=-

/(x)t∕(x+8)=√(x+4)=/(X),因此函数./(X)是周期为8的周期函数,故A项错误;由题意,知«x)

的图象关于直线x=2对称,且在区间［0,2］上单调递增,所以y(x)在区间［2,4］上单调递减,又

/U)是奇函数,所以Kr)在区间［-4,-2］上单调递减,在区间［-2,0］上单调递增,所以/2)是函数

«r)的最大值次X)的图象关于直线尤=-2对称,不关于点(-2,0)对称,在区间［2,6］上单调递减,

故B正确,C错误,D正确.

IOABD解析由于於芦变产=立等产=ι+等,对于选项A,设g。)=需，

则Xx)=1+g(x),g(-x)=：第=-g(x),所以函数g。)为奇函数,g(x)的图象关于原点成中心对

称,因此√U)=ι+g(x)的图象关于点(0,1)成中心对称,即点(0,1)是函数次龙)图象的对称中心.

故A正确.

对于选项B,由*X)=1+刍捍,贝I]/Xx)=穹注>0,所以函数TU)在R上是增函数,故B

x+i(xz+l)

正确.

对于选项c√u)=∣<-i)=f则川)≠√(-i),所以函数yu)不是奇函数,故c不正确；

对于选项D,由选项A知於)的图象关于点(0,1)成中心对称,所以由方程.*2x-

1)+Λ2x)=2,W∙2x-l+2光=0,解得X=;,所以D正确,故选ABD.

4

11I解析因为-R所以右)环(以=尼)=s吗=4

12.-cOSiX(答案不唯一)解析如.*X)=-CoS%,显然於幻=穴x)，即./W为偶函数,由IX=E,得

x=2k,kRZ.

当k=l时｛X)=-COSIX的图象关于直线X=2对称.

由X∈[0,2],得IX∈[0,兀],则由余弦函数的性质可知,函数兀T)=-COS分在区间[0,2]±单

调递增.

13.-3解析根据题意,函数√U)=ln(√4%2+l+2x)-/3,贝】穴-X)=In(∙√4χ2+l-2x)ɪ=-

ln(√4x2+l+2x)-^γ,于是∕x)+4-x)=-1,所以/(logiɑ)=/(-log2«)=-l√(l0g20)=-1-2=-3.

QX_1ɔ

14.(3,+∞)解析因为函数危)=再γ+x∣x∣+2=3-铲百+x∣x∣,

所以.*-X)=3-产百TXl=3-铲/TXI,因此於0+∕(-x)=4,于是.*α)∙tΛ-α)=4,而fi-d)+fi2a-

3)>4,即Ra)+42年3)次α)+4-a),所以fi,2a-3)习⑷,由于y=x∣x∣在R上单调递增,因此加)

在区上单调递增,所以2“-3>。,解得“>3,即实数。的取值范围为(3,+8).

专题突破练3基本初等函数、函数的应用

一'单项选择题

1.（2021•陕西西安月考涵数於）=岛-;的零点个数是（）

A.lB.2

C.3D.4

2.（2021福建泉州一模）己知。=|力=*嘿,则（）

A.a>b>cB.c>b>a

C.c>a>bD.a>c>h

3∙（2021∙浙江绍兴二模涵数於）=1Og“Q+p（a>l）的图象大致是（）

4.（2021•湖北十堰期中）已知关于X的方程"2。3，+4=0有一个大于21og32的实数根,则实数a的取值

范围为（）

A（M）B.（∣,4）C,（∣,+∞）D,（4,÷∞）

5.（2021•山东潍坊二模）关于函数/）J号a,%/<2,其中。力∈R,给出下列四个结论:

甲:6是该函数的零点;乙:4是该函数的零点;丙:该函数的零点之积为0;丁:方程y（x）=∣⅛两个根.

若上述四个结论中有且只有一个结论错误,则该错误结论是（）

A.甲BZC.丙D.T

6.（2021・湖南师大附中期末）已知函数段）=慌瑟ɪ则方程（.1）/）=1的所有实根之和为（）

A.2B.3C.4D.1

7.（2021•福建厦门期末）已知函数段）=["°g3X∣,0<X露遮，若关于X的方程F（X）+切（X）+±=0有6个

ιz

（l-log3x,x>√3,

解,则实数〃2的取值范围为（）

A.（-l,0）B.（-l,孚

D.

3,3

二、多项选择题

8.(2021∙江苏扬州期末)17世纪初,约翰・纳皮尔为了简化计算发明了对数.对数的发明是数学史上的重

大事件,恩格斯曾经把笛卡儿的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪

的三大数学发明.我们知道,任何一个正实数N可以表示成％=4'10"(1・〃<1(),〃右2)的形式,两边取常

用对数,则有IgN=n+lg。,现给出部分常用对数值(如下表),则下列说法正确的有()

M

数2345678910

X

Ig

r

,近0.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541.000

似

色

真

数111213141516171819

V

Ig

V

，近1.0411.079Ll141.1461.1761.2041.2301.2551.279

似

值)

A3。在区间(10it,10∙5)内

B.25°是15位数

C.若2-50="xl(F(lW4<10,m∈Z),则In=-16

D.若加(2(WJ∈N*)是一个35位正整数,则m-12

9.(2021•北京延庆模拟洞学们,你们是否注意到？自然下垂的铁链;空旷的田野上,两根电线杆之间的电

线;峡谷的上空,横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上,这些曲线在数

学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标

系中,这类函数的表达式可以为/)=αe'+be”(其中9是非零常数,无理数e=2.71828…),对于函数

KX),下列说法正确的是()

A.如果α=6,那么函数於)为奇函数

B.如果H<0,那么小)为单调函数

C.如果外>0,那么函数./)没有零点

D.如果时=1,那么函数的最小值为2

10.(2021•海南第四次模拟)已知&>0,函数TW=尸I贝W)

Un(MIX)^x>u,

A√(x)是奇函数

BT(X)的值域为R

C存在我,使得./(X)在定义域上单调递增

D.当Zm时,方程式*)=1有两个实数根

三、填空题

11.(2021.北京通州区一模)已知函数段)=｛；]"≤%>0)有两个零点,且其图象过点(e,l),则常数t

的一个取值为.

12.(2021・山东济宁期末)已知函数段)=e'+/+In(X+α)与函数g(x)=e'+e*+∕(x<0)的图象上存在关于)，

轴对称的点,则实数a的取值范围为.

专题突破练3基本初等函数、函数的应用

1.B解析令./W=Wf-T=O,即Λ2-2X-1=0,解得x=l士V∑,经检验x=l土V∑是方程火X)=O

的解,故T(X)有两个零点.故选B.

CC名力4匚37√3VSElljrrτr3ln331∩2-21n3In8-ln9八匕匕八/匕匕[、/

2c斛析"=/=我=T则a>b,因2为-位=="<0，所以加。，所以

"<α<c.故选C.

3.A解析令g(x)=x+*由于a>l,所以g(x)在区间(0,√H)上单调递减,在区间(√H,+oo)上单

调递增,故式X)在区间(0,√R)上单调递减,在区间(√H,+8)上单调递增,对照题中选项中的图

象,知A选项正确.

4.C解析令∕=3∙r,因为方程9，-203，+4=0有一个大于21og32的实数根,即x>2]og32,则

/>322832=4,所以函数加)=/22"+4有一个大于4的零点,所以.*4)=42-8α+4<0,解得«>|,

即实数a的取值范围是(|,+oo).故选C.

5.B解析若甲是错误的结论,则由乙正确可得8=4,由丙正确得α=l,此时丁不正确,不符

合题意;若乙是错误的结论,则由甲正确可得匕=6,由丙正确得α=l,此时丁也正确,符合题

意;若丙或丁是错误的结论,则甲和乙不可能同时正确,不符合题意,故选B.

6.A解析当x>l时,2-x<l,所以y(2-x)=-ln[2-(2-x)]=-lnx=7(X),

当x<∖时,2-x>l,所以/2-x)=ln(2-x)=√(x),当x=∖时√U)=0,所以函数/U)的图象关于

点(1,0)对称.

显然X=I不是方程的根,当x≠∖时,原方程可变为∕O)=∖γ,画出函数y=∕ζx)和y=Jγ的

图象(如图所示).

1

由图知,二者仅有两个公共点,设为点A（尤1,丁1）,5（%2,”）,因为函数产7沁和）=77的图

X-I

象都关于点（1,0）对称,所以点A,B关于点（LO）对称,所以巴尹=1,即X∣+X2=2.故选A.

7.D解析令外）=f,则原方程可化为尸+加什去=0,画出函数/U）的图象（如图）.

Z2+制+2=0必须在区间（0,?上有两个不相等的实根,由二次方程根的分布得

>

O,

/d21

n->回

1=T"l30>,

-11.3

+-+

4_

2Irɪ

O12O,

1工

∈

-%-

22

8.ACD解析对A,令x=3∣°,则IgX=Ig3∣°=101g3=4.77,所以X=IO4∙77∈(1()4,IO5),A正确;

对B,令y=25°,则Igy=Ig25°=501g2=15.05,所以y=10i5∙°5∈(i()i5,10i6),则25。是16位

数,B错误；

对C,令z=2吗则IgZ=Ig2.=-50坨2=-15.05,又因为2-5θ=αxlOm(l这α<10,m∈Z),所

以l(T∣5.θ5=αχio7贝IJιo∣5gm=α∈[ioθ,ιoi),所以r=/6,C正确;

对D,令A=wp2,贝I[jg%=]g"产=323形,因为"产(，/eN*)是一个35位正整数,所以

34<321gm<35,则差<lg机<||,即1.063<lg机<1.094,所以m=12,D正确.故选ACD.

9.BC解析对A,当a=h时次x)=αe"+αe∖此时人-%)=正*+。曰*=*X),故於)为偶函数.故A

错误.

对B,当口0<0时,若。>0力<0,则函数y=αe*在其定义域上单调递增,函数),=9在其定

义域上也单调递增,故函数危）=αe'+9在其定义域上单调递增;若加0力＞0,则函数y=ae

在其定义域上单调递减,函数产摄在其定义域上也单调递减,故函数段)=αe'+9在其定

义域上单调递减.

综上,如果那么“¥)为单调函数.故B正确.

对C,当。>0力>0⅛,®/(x)=aex+bex≥2√αex∙be~x=2y[ab>0,⅛α<0乃Vo时,函数

xxx

β,x)=-(-a^-be)≤-2λ∕(-ae)∙(-6e-)=-2VaF<0.

综上,如果次?>0,那么函数yu)没有零点.故c正确.

1

对D,由ab=1,得b=-.

当a<09h<0时,函数fix)=-ɑege`r)≤

-2J(-αex)∙G*)=2

当a>O,b>O时,函数/)=。©'+$"22Jaex∙-^e^x=2.

故必=1时,函数KO没有最小值.故D错误.

10.AC解析当%>0时5∕(-x)=-ln(Z+x)=√(x),当x<0时√(-x)=ln(hx)=;/(X),所以.於)是奇函

数,故选项A正确；

当%>0时√(x)=ln(Z+x)单调递增,且./U)>ln%,当x<0时<X)=-In(hx)单调递增,且

X%)<-ln%/(X)的值域为(-8,-Ink)U(InA,+oo),若⅛≥l,ln左20,此时1犬)的值域不包含0,且

«r)在定义域上单调递增,故选项B错误,选项C正确；

1

对于选项D,若.=♦，InZ=-In2,而In2<1,由前面的分析可知,方程兀X)=I在区间Go°,0)

上没有实数根,在区间(0,+oo)上有一个实数根,故选项D错误.

11.2(答案不唯一)解析由χ2+2χ=o可得X=O或X=一2,由InX=O可得X=I,因为函数

段)=仔+≤%>0)有两个零点,且其图象过点(e,l),所以e>∕^l.

Unx,%>t

所以I可取2.

12.(-∞,e)解析由题意得,g(-x)="x)在区间(0,+oo)上有解,即e*=ln(x+α)在区间(0,+oo)上

有解,所以函数>=e"与函数y=ln(x+α)的图象在区间(0,+oo)上有交点.

如图,函数y=ln(x+a)的图象是由函数y=lnX的图象左右平移得到的,当y=Inx的图

象向左平移至使y=ln(x+a)的图象经过点(0,1)时,函数y=e'与函数y=ln(x+α)的图象交于

点(0,1),将点(0,1)的坐标代入e*=In(X+α),有I=In(O+α),得α=e,所以,若函数y=lnX的图象

往左平移4个单位长度,且a》e时,则函数y=e"与函数y=ln(x+a)的图象在区间(0,+oo)上

无交点.

将函数>,=lnX的图象向右平移时,函数y=ex与y=ln(x+α)的图象在区间(0,+oo)上恒

有交点.

所以α<e,即A∈(-∞,e).

专题突破练4利用导数研究函数的单调性、极值与最值

一'单项选择题

1.(2021.浙江丽水联考)若函数於)=(x-a>-3x+匕的极大值是极小值是孙则例-/〃的值()

A.与α有关,且与匕有关

B.与。有关,且与b无关

C.与“无关,且与人无关

D.与“无关,且与6有关

2.(2021•山东青岛期末)若函数√(x)=x2-0r+lnx在区间(l,e)上单调递增,则实数。的取值范围是()

A.[3,÷∞)B.(-∞,3]

C.[3,e2+1]D.[-e2+l,3]

3.(2021•陕西西安月考)已知函数於)9,则下列关于函数危)的说法正确的是()

A.在区间(-8,+8)上单调递增

B.在区间(-oo,l)上单调递减

C.有极大值?无极小值

D.有极小值三,无极大值

e

4.(2021・湖南岳阳期中)已知直线y=fcφt>0)和曲线於)=x-alnx(α≠0)相切,则实数a的取值范围是

()

A.(-∞,0)U(0,e)B.(O,e)

C.(0,l)U(l,e)D.(-∞,0)U(l,e)

3

5.(2021•湖北十堰二模)已知函数yU)=2x+3,"χ2+2πχ+wz2在χ=ι处有极小值,且极小值为6,则m-

()

A.5B.3

C.-2D.-2或5

6.(2021•四川成都二模)已知尸是曲线y=-sinx(x∈[0,π])上的动点,点Q在直线x-2y-6=0上运动,贝IJ当

IPQl取最小值时,点P的横坐标为()

A≡BqC.⅞D⅞

4236

7.(2021・湖北荆门期末)已知曲线y=誓+1(x20)的一条切线的斜率为1,则该切线的方程为()

A.y=x-1B.y=x

C.y=x+∖D.y=x+2

二、多项选择题

8.(2021•广东湛江一模)己知函数於)=P31nx-l,则()

ATU）的极大值为O

B.曲线y=∕（x）在点（1次1））处的切线为X轴

C<x）的最小值为O

DKX）在定义域内单调

9.（2021.山东淄博二模）已知e是自然对数的底数,则下列不等关系中错误的是（）

A.ln20B.ln3<-

ee

CJn*D.^<≡

Inππ

10.（2021•辽宁沈阳二模）已知函数应v）=[g[G1’若关于X的方程∙Ax）="?恰有两个不同的根

XlΛ（Xl<X2）,贝IJ（X2-Xly（X2）的取值可能是（）

A.-3B.-lC.0D.2

三、填空题

11.（2021•福建三明二模）已知曲线y=lnx+αr与直线y=2x-l相切,则a-.

12.（2021•江苏无锡月考）试写出实数a的一个取值范围,使函数^x）=竽有极值.

13.（2021.四川成都月考）设函数以）=82,直线y=αr+b是曲线y=∕（x）的切线,则2“+b的最大值

是.

四、解答题

14.（2021•山东潍坊二模）已知函数,穴X）=竺学出的单调递增区间是[0,1],极大值是∣∙

⑴求曲线y=∕（x）在点（-1弧1））处的切线方程；

（2）若存在非零实数孙使得y（xo）=l,求HX）在区间（-8,"7]（W>0）上的最小值.

15.(202卜河北唐山期末)已知函数y(x)=αe∙'-x-1(a∈R),g(x)=x2.

(1)讨论函数危)的单调性；

⑵当a>0时,若曲线C必=AX)+x+l与曲线C2g=g(x)存在唯一的公切线,求实数a的直

16.(202卜浙江嘉兴月考)已知y(x)=α2lnΛ-∣ΛX2-(iz2-4z)x(0≠O).

⑴当α=l时,求心)的单调区间；

(2)若函数氏0在x=l处取得极大值,求实数a的取值范围.

专题突破练4利用导数研究函数的

单调性、极值与最值

1.C解析因为兀C)=(X-α)3-3x+/?,所以/Xr)=3(x-α)2-3,令八%)二3(犬-。尸-3=0,得x=4-l或

x=α+l,判断可得函数的极大值M=人〃・1)=・1・3(〃・1)+/?=2・3。+。,极小值m=fia+l)=l-

3(。+1)+〃=・2-3。+〃,因此M-JT7=4.故选C.

11

2.B解析依题意外X)=2x-α+星≥0在区间(Le)上恒成立,即“W2x+^在区间(l,e)上恒成

立,令g(x)=2x+%l<x<e),则g,(x)=2-^2==(&"?严")>。，所以g(x)在区间(Le)上

单调递增,而g(l)=3,所以α≤3,即实数0的取值范围是(。,3].故选B.

3.C解析由题意得函数/U)的定义域为R『(X)=当/.令/(x)=O,得X=I,当x<l

时√V)>o√U)单调递增;当x>l时√V)<0√W单调递减,故川)是函数.*X)的极大值,也是最

大值,且y∏)=∣,函数无极小值.故选c.

4.A解析设直线y=息(女>0)与曲线∕ζr)=x∙αlnx(存0)相切于点P(XO,xo∙HnXO)(XO>0)∙

由题意得√∖x)=l上,则以P为切点的切线方程为y∙xo+Hn%o=(1.巴)0沏),因为该切

XXQ

线过原点,所以-Xo+αlnXO=(1-巴)(-次),因此InXo=L即XO=e,所以A=I-2>0,得α<e,又a≠Q,

xOe

故实数4的取值范围是(-8,0)U(O,e).故选A.

(Al)=0,

T2因为凡¥)在处有极小值,且极小值为所以

5.A解析∕(X)=6X+6"JX+2”.X=I6,1/(1)=6,

即保黑WU一解叫肃8或｛:二3,

当/71=5,/7=-18时F(X)=6Λ2+30X-36=6(X+6)(X-1),贝危)在区间(-00,-6)上单调递增,在

区间(-6,1)上单调递减,在区间(1,+8)上单调递增,所以«r)在x=l处取得极小值,且极小值

为yo)=6∙

当/77=-2,/7=3时/(x)=6x2-12x+6=6(x-l)2eθ,

则7U)在R上单调递增√U)无极值.

综上可得JlZ=5,〃=-18.

C解析如图所示,要使IPQl取得最小值,则曲线y=-sinxα∈[O,τι])在点P处的切线与直

11

线x-2y-6=0平行,对函数y=-sinX求导得V=-CoSx,令y--,^5T得cosx=3,由于O≤x≤π,

所以X=学故选C.

cos%∙ex-sinx∙exCosx-Sinx

7.C解析由题得V=

设切点为(xo,yoXxo2O),则=c°sx°^'nx°,⅛ʃ1=1,得眇。=COSXo-SinM).

fix')=ex-cosx+sinX(X20),则/(x)=ev+sinx+cosΛ=e'+√2sinQ+J,当0≤x<1

时/(x)>0,当x21时金》g或疝。:+：)≥-√Σ∕(x)>O,所以VX20∕(x)>0,所以yu)在区间

[0,+8)上单调递增,则以)Wy(O)=O,所以方程ex°=COSΛ^o-sinxo只有一个实根XO=O,所以

泗=罂+1=1，故切点为(°』)，切线斜率为I,所以切线方程为y=χ+L

ɔO

8.BC解析函数"r)=x3-31nx∙l的定义域为(0,+oo)F(X)=3%2-j=-(x3-l).

ɔ

令∕,(x)=-(x3-l)=0,得X=1,列表得：

V___(0,1)TII「一

二ɪ-O+

单调递单调递

心)

2___⅛_____

所以./U)的极小值,也是最小值为.*1)=0,无极大值,在定义域内不单调,故C正确,A,D

错误；

对于B,由.*1)=0及八I)=O,所以曲线y=∕(x)在点(1次1))处的切线方程为y-O=O(x-l),

即y=0,故B正确,故选BC.

9.ACD解析令√U)=lnx?,x>0测F(X)=：—，,令/(x)=0,得x=e,当O<x<e时/(x)>O,当

Λ>e时/(x)<O,所以；U)在区间(O,e)上单调递增,在区间(e,+oo)上单调递减,故

∕x)maxMe)=lne尚=0,则∕2)=ln2-∣<0得In2<|,故A错误短)=ln3-∣<0得In3<|,故B

正确次兀)=lnπ-2<0得In兀<£,故C错误;对于D项,令g(x)=等/>0,则g<x)=^要,当

0<x<e时g(x)>0,当Λ>e时,g(x)<O,所以g(x)在区间(0,e)上单调递增,在区间(e,+8)上单

调递减,则g(3)>g(兀),得苧>叫ξ即粤>工故D错误.故选ACD.

ɔIrlnlTIl

10.

BC解析画出函数./U)的图象,如图,因为兀¥)=〃2的两根为X1,X2(X1<X2),所以

ɪi~-γ--χ2=ew+1,加∈(-1,0],从而(X2-X1MX2)=(e'"+'-ɪ)m=me"l+

令g(x)=xev+i-∕2+x,χW(-l,0]4∣Jg,(x)=(x+1)ex+1-x+1.

因为χ∈(-l,0],所以χ+1>0,er+1>e0=1,-x+1>0,

所以g3>o,从而g(%)在区间(-1,0]上单调递增.

又g(O)=O,g(-I)=-I,所以g(x)∈(-∣,θl即(X2-笛MX2)的取值范围是(-∣,θl故选BC.

1

11.1解析由题意得函数y=lnx+αx的定义域为QOyq+a

-1

设曲线y=lnx+αr与直线y=2x・l相切于点尸(Xo,州),可得一+々=2,即axo=2xo-l

χo

①,yo=lnxo+αro,yo=2m1,所以Inxo+的=2M)・1②,联立①②,可得XO=1,〃=1.

12.(-√Σ,√Σ)(答案不唯一)解析«r)=写三的定义域为R√V)=c°sx*nx+α,由于函数

sinx-αcosx-sinx÷α

/%)二:有极值,所以八X)=:有变号零点,因此由COSX∙sinx+α=O,即a=sinX-

Cosx=√2sinQT

,可得Q∈(-√Σ,√Σ),答案只要为(-M√Σ)的子集都可以.

13.e2-4解析∕τ(x)=ev-2.

设切点为(相。),则fit)=ec2r∕(r)=ez-2,^f以切线方程为广©・2。=(62)O。,即y=(et-

2)x+e'(l-r),所以α=e'-2,〃=e'(l"),则2βr+⅛=-4+3ez√ez.

令g(f)=∙4+3eJd则g∖t)=(2-t)et.

当t>2时/(。〈0,虱。在区间(2,+8)上单调递减；

当1<2时必”)>0田(。在区间(-8,2)上单调递增,所以当/=2时由(。取最大值8(2)二.

4+3e2-2e2=-4+e2,≡P2a+h的最大值为e2-4.

14.解(1)因为Kv)=号±£,所以AY)=二一+(2股)x+b-c

因为e*>0,所以八x)20的解集与-ωc2+(2a-b)x+b-c^0的解集相同,且同为。1].

ra>0,

2a-b_

所以有《α=λI解得a-b-c,

厚。,

所以./W=迤宇2α>0)∕(x)=&等m>0)∙

因为α>0,所以当尤<0或x>l时/(x)<0,函数/U)单调递减,当O≤x≤l时/(x)20,函

数段)单调递增,且/(1)=0,所以段)在x=l处取得极大值,又由题知,极大值为|,

所以川)=7=|,解得α=l,所以a=b=c=∖.

所以於)=三段

1

所以代1)=更=e∕(-1)=亚=-2e.

所以曲线>=段)在点G1√GD)处的切线方程为y-e=-2e(x+l),即y=-2ex-e.

1

⑵由(1)知函数.*x)在区间GOo,0)上单调递减,在区间(0,1)上单调递增,且.*O)=亚=1,

所以满足√Uo)=l(xo≠O)的xoe(l,+∞)∙

所以当ODwWxo时,由函数fix')的单调性易知√(x)在区间(-8,m]上的最小值为/(O)=1;

当m>xo时加”)勺(Xo)=*O)=I√(x)在区间(-∞,m]Ji的最小值为.大⑼="二粤土ɪ.

1,0<m<x0,

综上所述√(x)在区间G8,"H上的最小值为.：2+m+1

—zn百一,小>&.

15.解(l)∕Xx)=αe*-l.

当α≤0时/(x)<0恒成立Sy(X)在区间(-8,+8)上单调递减.

当a>0时,由∕r(x)=0,得X=-Ina.

当x<-lna时/(x)<0<x)单调递减；

当x>-lna时/(x)>O√U)单调递增.

综上,当47≤O时√(x)在区间(-00,+00)上单调递减；

当α>0时√(x)在区间(-00,-Inα)上单调递减,在区间(-lnα,+oo)上单调递增.

(2)因为曲线G：yI=ɑeɪ与曲线。2：>2=/存在唯一的公切线,设该公切线与曲线CbC2

分别切于点(Xl,优血),(X2H),显然Xl≠X2.

由于yi'="e',y2'=2x,所以aeX1=2x2=竺」攵，

xΓx2

因此2xιx↑-2x2=aexι—石=2x2-蟾,所以2x∣*2-蟾=2J⅛即xι-1x∖-1.

由于α>0,故X2>0,从而％2=2让2>0,因此为>1.

此时α=冬=(XI>1).

elel

设F(X)=4(I)(X>1),则问题等价于当x>l时,直线y=a与曲线y=F(x)有且只有一个

公共点.

又Aa)=警N令F(X)=O,解得x=2,所以R(X)在区间(1,2)上单调递增,在区间(2,+8)

e人

上单调递减.

而尸(2)=去,F(I)=O,当》一+8时,小)-0,

所以F(X)的值域为(0,，],故a=∙^.

IC1I-Y2

16.解⑴由题意得,当«=1时,函数/(x)=InX-其定义域为(0,+oo),因此∕r(x)=[-x=-

令/(x)>0,即l-x2>0,得0<x<1,所以於)在区间(0,1)上单调递增；

令∕r(x)<0,即1-Λ2<0,得x>l,所以兀r)在区间(l,+oo)上单调递减.

故函数7U)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(I,+00).

22

(2)由题意,函数fix)=aln心,办.(/.4)1(4/))的定义域为(O,+oo)9

且八")=『6(/M=W+;)-).

当a<0时,-α>0,

①若-l<α<0,令/(x)>0,即(X+a)(X-I)>0,得x>l或0<x<-α;令人X)<0,即(x+α)(x-l)<0,

得-α<x<l,所以函数段)在区间(1,+8),(0,-α)上单调递增,在区间(Sl)上单调递减.

所以当X=I时,函数人犬)取得极小值,不符合题意.

②若α=-ι,可得/(X)=曜≥o,此时函数∕ω在区间(0,+8)上单调递增,函数yω无极

值,不符合题意.

③若&<-1,令/(%)>0,即(》+4)(》-1)>0,得x>-a或O<x<l,令∕γ(x)<0,即(x+a)(x-l)<O,得

l<x<-α,所以函数兀r)在区间(1,/)上单调递减,在区间((M),(-a,+OO)上单调递增,所以当

X=i时,函数/U)取得极大值,符合题意.

当a>0⅛,-a<0.

令∕γ(x)>0,即(X+α)(X-I)<0,得O<x<l;

令KX)<0,即(X+α)(X-I)>0,得x>l,

所以./U)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+8)上单调递减,所以当x=l时,函数_Ax)

取得极大值,符合题意.

综上可得,实数α的取值范围是(-8,-1)U(O,+8).

专题突破练5利用导数求参数的值或范围

1.(2021•广东惠州期中)已知函数以X)=(X+1)Inx-a(x-∖∖

(1)当α=4时,求曲线)，=信)在点(1√(1))处的切线方程；

⑵若x>l时√(x)>0,求实数a的取值范围.

1

2.（2021•辽宁大连联考）已知fiix）=x+a∖nx+—.

(1)若在区间［1,2］上单调递增,求实数a的取值范围；

(2)当α<0时,若不等式风r)2d在区间(1,+8)上恒成立,求实数a的最小值.

3.(2021•江苏六校联合第四次适应性考试)已知函数KX)=In2(χ+l)ʌ.

(1)求加x)的单调区间；

(2)若不等式(1+"+"We对任意n∈N*恒成立,求实数0的取值范围.

n

4.(2021・广东七校联考)已知函数危)=lnx-αr.

(1)若函数4幻在定义域上的最大值为1,求实数α的值；

(2)设函数依(:)=(片2把*填0当〃=1时,力(X)W6对任意的x∈(ɪ1)恒成立,求满足条件的实数b的最

小整数值.

11

5.(2021•江苏泰州二模)已知函数J(x)=-+ax,g(x)=InΛ+-.

(1)当x>0,a≤0时,求证次X)Vga);

⑵当x>0时,若於)>g(x+l),求实数a的取值范围.

6.(2021•浙江湖州期末)已知函数火x)="(lnx+?+2Λ-N.

⑴若0<α<2,试讨论函数y(x)的单调性；

(2)若存在实数αC[l,+8),使得於)+f(χ)≤2对于任意的X》机恒成立,求实数m的取值范围.

专题突破练5利用导数求参数的值或范围

11

1.解⑴当a=4时√(x)=(x+l)InX・4x+4,所以/(X)=InX+73,所以/T(I)=,+In1・3=-2,又

√U)=0,故曲线产危)在点(1川))处的切线方程为y-0=-2(∕l),即2x+y-2=0.

(2)令g(x)=∕3=lnx+g+l-α,则gQ)=g一去=黄.

当九∈(l,+8)时,g<x)>0,所以F(X)在区间(1,+8)上单调递增产(l)=2-α

①当α<2时∕U)20,故段)在区间(1,+8)上单调递增,且./0)=0.所以/)>0,符合题

意；

②当a>2时,因为/(l)=2-α<0∕(e")=α+专+l-α=*l>0,且I(X)在区间(1,+8)上单调

递增,所以AoW(1,e。),使得/(xo)=0,所以当X∈(1,xo)时,於)单调递减,而.*1)=0,所以

7Uo)<o,不符合题意.

综上,实数α的取值范围是(-oo,2]∙

2.解(l)∕7(x)=l+-—依题意∕,(x)=l+-—：>0在区间[1,2]上怛成立,即a>壬RXW

XeXee

[1,2])恒成立.

令g(x)=2九,则当x∈[l,2]时由3=崇-1<0,

所以g(X)在区间[1,2]上单调递减,因此g(x)max=g⑴=/.故实数4的取值范围是[

1-e)

—e,+∞•

⑵不等式f(x)≥ΛZZ即x+aln^+ɪ≥ΛZ∖

11

所以x+~F≥∕/lnX,即x+-≥√z-lnΛZ∖

因此・lne"+e'Nf-Ind(*).

令h(x)=x-∖n尤,则(*)式即为∕z(e-v)≥A(Λz7).

由于"(x)=l[=

所以当x>l时”(x)>0,当0<Λ<1时,〃(x)<0,所以〃(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间

(1,+oo)上单调递增.

1

又因为尤>1,且α<0,所以O<ex<-<1,O<√,<1,

因此eyχα,两边取自然对数得-x≤αlnx,又x>l,所以Inx>0,于是a≥溪

令P(X)=三,贝∕>>(x)=^lnx+^,由p'(x)=O得x=e,所以当1<x<e时,p<x)>O,当x>e

lnx(Inx)

时,p(x)<O,所以P(X)在区间(1,e)上单调递增,在区间(e,+oo)上单调递减.

故P(X)在x=e处取得极大值亦即最大值,且p(e)=-e,

故-eWα<O,即实数。的最小值为-e.

3.解(1VU)的定义域为(-1,+θO))∏X)=2叱,)-立刍=2(x+Dln(无

x÷1(x+l)(x+l)

令g(χ)=2(Λ+1)ln(x+1)-X2-2Λ,X≡(-1,+∞),ɪ/lɪ]g'(x)=21nQ+l)∙2x,令h(x)=21n(x+1)-2x,x

∈(-l,+00),则/?3=岳-2,当-l<x<O时”(九)>0,当x>0时”(x)<0,所以人(九)在区间(-1,0)上

单调递增,在区间(O,+oo)上单调递减,又Zz(O)=O,故∕z(x)WO,即当x>-l时,g(x)WO,所以g(x)

在区间(-l,+oo)上单调递减,于是当-l<x<O时,g(x)>g(O)=O,当x>0时,g(x)<g(O)=O,所以当-

l<x<O时/(x)>0,当x>0时/(x)<0,所以./U)的单调递增区间为(-1,0),单调递减区间为

(0,+∞)∙

⑵不等式(1+；)"+ye(〃eN*)等价于s+α)ln(1+；)W1,又1+；>1,所以In(1+；)>0,

故a≤八-〃对恒成立.

ln(J14)

设^)=b⅛jγ,g°,i],则83=黠需芸=盗用又加)wa=o,故

11

当九∈(0,l]时"(x)<0,所以夕(X)在区间(0,1]上单调递减,于是夕(幻2贝1)=高-1,故a≤ʌ-

1,所以实数α的取值范围为(-8,1⅛-J∙

4.解(1)函数/U)的定义域为(O,+8)∕(χ)=["

当αWO时Fa)>0√U)在区间(O,+oo)上单调递增,不存在最大值.

当a>Q时,令八X)=La=O得X=」,且x∈(OP时/(x)>0,当x∈(1+oo)时/(x)<0,所以