重难点三：函数的单调性-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习（解析版）

重难点03函数的单调性(6种考法)

砥【目录】

考法1：定义法判断或证明函数的单调性

考法2：根据函数的单调性求参数值

考法3：复合函数的单调性

考法4：根据函数的单调性解不等式

考法5：比较函数值的大小

考法6：根据函数的解析式直接判断函数的单调性

二、命题规律与备考策略

函数的单调性

【解题方法点拨】

判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循

“同增异减”；证明方法有定义法；导数法.

单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“U”联

结，也不能用“或"联结，只能用“和”或“，”连结.

设任意为，X2ela,6］且汨#即，那么

f(X)-f(X)

①------------(x)在［a,6］上是增函数；

xl-*x2

f(X)—f(X)

-----.......-<(%)在［a,6］上是减函数.

xl-x2

②(小-的)(*i)-/(^2)］>0=F(x)在［a,8］上是增函数；

(凡-兹)(xi)-f］<0<=>/(%)在［a,6］上是减函数.

函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间.

【命题方向】

函数的单调性及单调区间.是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性

定义证明考查大题的可能性比较小.从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问

题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、

最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、

数形结合、分类讨论的思想方法.预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调

性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力.

二、函数单调性判断

【解题方法点拨】

证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论.

利用函数的导数证明函数单调性的步骤：

第一步：求函数的定义域.若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑

定义域.

第二步：求函数F(x)的导数/(x),并令F(x)=0,求其根.

第三步：利用/(x)=0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表.

第四步：由/(%)在小开区间内的正、负值判断f(X)在小开区间内的单调性；求极值、最值.

第五步：将不等式恒成立问题转化为F(x)maxWa或f(x)miGa,解不等式求参数的取值范围.

第六步：明确规范地表述结论

【命题方向】

从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择

题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主

观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方

法.预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围

为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力.

三、复合函数的单调性

【解题方法点拨】

求复合函数尸f(g(外)的单调区间的步骤：

(1)确定定义域；

(2)将复合函数分解成两个基本初等函数；

(3)分别确定两基本初等函数的单调性；

(4)按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间.

【命题方向】

理解复合函数的概念，会求复合函数的区间并判断函数的单调性.

四.函数奇偶性

【解题方法点拨】

①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f(0)=0解相关的未知量；

②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用/1(x)--/1(-x)解相关参数；

③偶函数：在定义域内一般是用=/(-x)这个去求解；

④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反.

【命题方向】函数奇偶性的应用.

本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确

率.

五、奇偶性与单调性的综合

【解题方法点拨】

参照奇偶函数的性质那一考点，有：

①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用/XO)=0解相关的未知量；

②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用/'(X)=-f(-x)解相关参数；

③偶函数：在定义域内一般是用=/,(-%)这个去求解；

④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反

【命题方向】奇偶性与单调性的综合.

不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这

一个知识点.

U三、题型方法

考法1：定义法判断或证明函数的单调性

一、单选题

1.(2023•北京顺义•统考一模)下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+8)上单调递增的是()

A.y=cosxB.y=eHC.y=lgxD.y=-

X

【答案】B

【分析】根据函数的奇偶性和初等函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A,函数y=cosx的定义域为R,且满足cos(-x)=cosx,所以其为偶函数，

在(0,兀)上单调递减，在(兀,2兀)上单调递减，故A不符合题意；

e\x>0

对于B,设y=/（x）=M函数/（》）=朋=,1的定义域为R，

（一）<0

e

且满足〃T)=/(x),所以函数/(x)=e®为偶函数,

当xe(O,”)时，/(x)=e'为单调递增函数，故B符合题意；

对于C,函数y=lgx的定义域为(0,+8),不关于原点对称，

所以函数y=lgx为非奇非偶函数，故C不符合题意；

对于D,设y=f(x)=」，函数，(x)="!■的定义域为(YO,0)(0,4w),关于原点对称，

XX

且满足/(T)=-/(X),所以函数/(X)=J为奇函数，

X

又函数/(X)在(0,y)上单调递减，故D不符合题意.

故选：B.

2.(2023•浙江台州•统考二模)已知函数“X)同时满足性质:①/(-力=/(力；②当V%，we(O,l)时,

"西)[)<0,则函数/(x)可能为()

王一工2

A-/(x)=dB.f(x)=(1

C./(X)=cos4xD./(x)=ln(l-|x|)

【答案】D

【分析】①f(-X)=/(X)说明fM为偶函数，②收,々€(0,1),"*)一"〜)<0,说明函数在(0,1)上单调

递减，再逐项分析即可.

【详解】①/(-x)=/(X)说明fM为偶函数，②”,we(0,引<0,说明函数在(0,1)上单调

西一々

递减.

A不满足②，B不满足①，

C不满足②，因为/(x)=cos4x在(0,()单调递减，在仁,1)单调递增.

对于D,满足①，当xe(0,D,/(x)=ln(l-0,单调递减，也满足②.

故选：D.

3.(2023•宁夏银川・银川一中校考一模)己知函数/(》)=［置;I：］］，对任意公.刍，都有

＞0成立，则a的取值范围是()

为一々

A.(0,1)B.(1,2］C.(0,1］D.(1,2)

【答案】B

【分析】利用函数单调性的定义以及分段函数的单调性进行求解.

【详解】因为对任意与二天，都有色)＞0成立,

所以函数/(x)在定义域内单调递增，

a>1

logx,(x>l)

因为f(*)=,fl所以<a>0

ar-2,(x<1)

logul>a-2

解得1＜。42,故A,C,D错误.

故选：B.

4.(2023・辽宁大连•统考一模)已知对于每一对正实数x,九函数/(x)满足:

f(x)+f(y)=/(x+y)-孙T，若/⑴=1,则满足“〃)=葭(〃€此)的”的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】利用递推式判断了⑶在xeN*上的符号及单调性，并得到八々+1)=/(々)+々+2,即可判断〃的

个数.

【详解】令工+1=玉＞*=々＞0且均属于N*,则/■(々)+/(1)=/(%)-々一1,

所以/(5)一/(々)=々+2＞0,故/(々+1)=/(%)=/(々)+々+2,

又/⑴=1,故/。)＞。在xeN*上恒成立，且/(x)在xeN*上单调递增，

所以，满足/(〃)=〃(〃€、)仅有41)=1,即"仅有1个.

故选：A

二、多选题

5.(2023・山东•校联考二模)若定义在[0』上的函数f(x)同时满足：①/⑴=1；②对Vxe[0,l],

/a”。成立；③对％,X”4+小€[0』,/(%,)+/(/)4〃%+动成立；则称“X)为"正方和谐函

数"，下列说法正确的是()

A./(X)=X2,xe[o,l]是"正方和谐函数"

B.若f(x)为"正方和谐函数"，则/(0)=0

C.若"X)为"正方和谐函数"，则〃x)在[0,1]上是增函数

D.若〃x)为"正方和谐函数"，则对Vxe[0,l],/(x)42x成立

【答案】ABD

【分析】条件③/*,+三)-[/(玉)+/(创=(占Lx”？、％".即可判定A,由条件①③可得

/(0)>0,/(0+0)>/(0)+/(0)即可求得/(0)=0即可判断B,由条件③即可判断C,由迭代递推法即可判

断D.

【详解】对于A,函数〃x)=x2,xG[0,l],显然满足条件①②.

222

对任意吃2°，电20且%+%41时，/U,+A-,)-[/(X,)+/(x,)]=(%+x2)-x,-x2=2X,X2>0.

二函数〃力=/在区间[0,1]上是否为"正方和谐函数”.故A正确.

对于B,若函数f(x)为"正方和谐函数"，

则令占=0,x2=0,得令0)2/(0)+f(0),BP/(0)<0,

又由对Vx«0,l],/(x)>0,.-./(0)=0,故B正确；

对于C,设则0<%-再<1,所以/(%-苔)20

/te)=/(x2-占+x,)2/(x,-%,)+f(x,)>f(x,),BPW/(Xl)^/(X2)>

函数fw在区间[0,1]上不一定是单调递增，故C错误；

对于D,①当x=0时，/(O)=OW2xO成立，

②当;<x41时，2x>l,.-./(x)<l<2x,

③当0<x4时，2xe(g,l,/(2x)>2/(x),则〃x)4；〃2x)；

显然，当xw(盟时,〃力4吗度.⑪％“⑴成立;

假设当xe(击金时，有7(x)4★成立，其中％=1,2,,

那么当xe(击，击时，.击［"惇)《$=击,

可知对于xe(击小，总有〃力《，其中”1,2,,

而对于任意xe(0,g,存在正整数”，使得代(击,京，此时“x)4*2x

综上可知，满足条件的函数“X)对xe［O,l］时总有〃x)42x成立.

故D正确，

故选：ABD

6.(2023•山东潍坊,统考模拟预测)已知函数/(x)的定义域。关于原点对称，土W€2，〃>0且=

/(x)f(y)+i

当xe(0,,")时，/(%)>()；且对任意xe£),yeO,x-ye。且,都有/(x-y)=则

A./(x)是奇函数B.f(3»i)=0

C.〃x)是周期函数D.〃x)在(2〃?,3〃?)上单调递减

【答案】ACD

【分析】对于A,令r=x-y,根据/(x-y)=证明/(/)=一/(3)即可判断；对于B,根据

〃，")=1,结合/(x—y)=；称，；［；即可求得“2可J(3r),即可判断；对于C,先求出

再根据/(》-2")=/(%-加一%)求出/(%-2加),即可判断；对于D,^2m<y<x<3m,先判断

/(x)J(y)的符号，再根据/(x—y)=比较〃x)J(y)即可判断.

【详解】对于A,令，=彳一九

/(x)〃y)+i〃x))+i

则〃r)=f(x-y)=小

〃y)—小)〃x)73

所以函数/(X)是奇函数，故A正确;

对于B,由/（利）=1，得八加）=-2加一利）=常陆^告罂句，

所以/（2〃。=0,

则〃2〃〜（3…）二夕）・黑）：=泻罟=0,

所以/（3m）=-1,故B错误;

对于c,由/(x-y)=

“力-f(x)'

得…”常喘=舒，

£(x)+i

/\/\+1

f(x-m)+l=l-/(x)=__1

贝l]f{x-2m)=f(x-m-m)=

l-f(x-m)]〃x)+lf(x),

1-------------------

则/(X-4M?)=-=f(x),BP/(X+4TM)=/(X),

f{x-2m)

所以函数/（x）是以4m为周期的周期函数，故C正确;

对于D,^-2m<y<x<3m,则x—y£(0,m),x-2"2W(0,〃?)，y—2〃2£(0,/n),

，/c、f(x\f(2m\+\1/、

则〃>功)=J(乙)[/司=一再>0,所以〃x)<0,

〃y-2m)=%对需=—卷>0,所以〃y)<0,所以〃x)/(y)>0,

/(尤)")')+1

f(x-y)=>0,

因为/(x)〃y)>0,所以〃x)〃y)+l>o,

所以〃y)-〃力>0,即〃y)>/(x),

所以f（x）在（2见3%）上单调递减，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：本题考查了抽象函数的奇偶性，周期性及单调性，C选项的关键在于根据

/(x—2m)=/(x—加―利)判断了(x—2㈤与〃x)的关系，D选项的关键在于令2机<y<x<3,〃，判断出

f(x)J(y)的符号.

三、填空题

7.(2023•黑龙江哈尔滨•哈尔滨三中校考模拟预测)已知实数x,7满足lnj2y+1+y=2,e*+x=5,则

x+2y=.

【答案】4

【分析】根据指数式与对数式的互化公式，结合函数单调性和零点存在原理进行求解即可.

【详解】由InJ2y+1+y=2,即InJ2y+1=2-y,

即e4%=2y+l,

令4-2y=r,则2y=4-f,

即e'=57,即e'—5=0.

由e'+x=5,Wev+x-5=0，

设函数/a)=e'+元-5,显然该函数增函数，

又/⑴•〃2)=(e-4)x(e2_3)<0,

所以函数〃x)=e'+x-5在(1,2)上有唯一的零点，

因此f=x,即4-2y=x,

所以x+2y=4.

故答案为：4.

8.(2023•江西南昌•南昌县莲塘第一中学校联考二模)已知函数/(x)=or2-(a+2)x+Inx,若对定义域内

两任意的和三(工产々)，都有/‘)一/色)>_2成立,则a的取值范围是.

玉一今

【答案】0<a<8

【分析】变形给定的不等式，构造函数，利用函数单调性定义确定单调性，再利用导数求解作答.

【详解】函数/(x)=ar2_(a+2)x+lnx的定义域为(0,+8),

小一、一切合/(X)一/⑷)、)/[/(X)+2X]-[/(X)+2X]

因为对w,工2w(0，+00),演W々，都有>-2<=>1I22>()成乂，

设g(x)=/(x)+2x,则8(司=五一or+lnx,于是心,马€(0,+8),玉二々，都有>>_/上)>°成立,

X]—x2

因此函数g(X)在(o,+8)上单调递增，求导得/(X)=2ax-a+-=2/-3+1,

XX

则有Wx>0,g，(x)>0o2ax2-ax+l>0成立，

当〃=0时，gU)>0,函数g(“在(0,+功上单调递增；

当〃工0时，必有。>0,函数丁=2〃/一奴+1的图象过点(0,1),对称轴无=；>0,从而△=〃2—8〃40,解

得0<aW8,

而当a=8时，20？-6+1=(4x7)220,当且仅当x=!时取等号，符合题意，

所以”的取值范围是04。48.

故答案为：04a48

9.(2023•山东•潍坊一中校联考模拟预测)设奇函数〃x)的定义域为R,且对任意不赴«0,内)，都有

/(^)=/(%,)+/(%2).若当x>l时，/(%)<0,且=则不等式lg(f(x)+2)<0的解集为

【答案】信,-£|52,4)

【分析】由题知函数〃x)在(0,+8)上单调递减，在(-0。)上单调递减，且44)=—2,/(2)=-1,

力；)=-2,/,升-1,再根据对数函数单调性将lg(〃x)+2)<0转化为解—2<"x)<T即可得答

案.

【详解】解：设司,9«0,内)，且%>々，则上>1

X2

因为，当x>l时，/(x)<(),所以/五<0,

\*X27

因为对任意X|，We(O,-K»),都有y(xlx2)=/(x1)+/(x2).

所以，/(x,)-/(x2)=/A<0,即〃为)</伍)，

\X27

所以，函数/(X)在(0,+8)上单调递减,

因为“X)是定义域为R的奇函数，

所以，函数/(X)在(y,0)上单调递减，

因为不等式lg(f(x)+2)<0等价于不等式0</(力+2<1,即-2<〃x)<T,

因为对任意西,々e(0,+co),都有/(玉毛)=/(王)+/(&)，=

所以，当士=々=1时，得/(i)=o；当玉=刍=3时，得/Q)=i

所以《)+/0=〃1)=0,

所以，/(4)=-2,/(2)=-1,一：)=—2,=

所以,当xe(O,+w)时，-2</(力<T的解集为(2,4),

当XG(FO)时，—2</(x)<—1的解集为(-卜

所以，—2</(x)<—l的解集为(三,一；1(2,4),

所以，不等式电(/(司+2)<0的解集为,)-；卜(2,4)

故答案为：(-卜/(2,4)

四、解答题

10.(2023•吉林・东北师大附中校考二模)已知函数〃x)=e"-cosx,其中aeR.

(1)若a=2,求曲线y=/(x)在点(OJ(O))处的切线方程；

(2)已知在区间(0,劝上存在唯一的极小值点.

(0)求实数。的取值范围；

(0)记f(x)在区间(0,兀)上的极小值为g(a),讨论函数g(a)的单调性.

【答案】⑴y=2x+l

(2)⑴(fO)；(ii)g(a)在区间(7,0)上单调递减.

【分析】(1)当〃=2时-，求出/(())、:(。)的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程;

(2)(i)分〃=0、a>0、a<0三种情况讨论，利用导数分析函数/(X)在(0,兀)上的定义，结合极小值点

的定义可求得实数a的取值范围;

（ii）由⑴以及极小值的定义可得出8（。）=/。）=0吸85『=，叫85九令函数eGbeMfosx,

、£6,兀｝则g（a）=s（。，利用导数分析函数e（x）在（0,n）上的单调性，再结合函数单调性的定义可证

得g（。）在区间（-*0）上单调递减.

【详解】（1）解：若a=2,则〃x）=e2*.cosx,（x）=e2x（2cosX-sinX）,

所以，/（0）=l,尸（0）=2.

所以，曲线y=〃x）在点（0,〃0））处的切线方程为y=2x+l.

(2)解：(i)/'(x)=e'a(t/cosx-sinx),令〃(x)=acosx-sinx,

①若a=。，则〃x）=cosx,在区间（0㈤上单调递减，/（力不存在极值点;

②若a>0,则当xw,时，acos%-sinx<0,从而/'（工）<。.

因为正切函数y=tanx在（0段）上单调递增，且该函数在（0段）上的值域为（0,+e）,

贝I]三芭e,使得tanX]=a,g[Jacosx,-sinX）=0.

当时，p,（x）=-asinA--cosx<0,即函数p（x）在（0e）上单调递减.

当X£(0,玉)时，，acosx-sinx>acosX]-sin%】=0,从而>0；

当时,flcosx-sinx<acosx}-sinx]=0,从而/'(x)<0.

所以,〃力在（0小）上单调递增,在&㈤上单调递减,人力在（。㈤上不存在极小值点.

③若。<0,则当无时，6zcosx-sinx<0,从而/'（x）<0.

因为正切函数产tanx在百兀）上单调递增，且该函数在6，兀）上的值域为（-8，。），

所以，使得tan，=a,即acosf-sinf=0.

当j时，p,（x）=-asinx-cosx>0,所以，函数p（x）在（h）上单调递增.

当尤）时，6zcosx-sinx<6zcosr-sinr=0,从而/'（x）<0；

当X£(/,7c)时，«cosx-sinx>rzcosr-sinr=0,从而/,x)>0.

所以，f(x)在(0/)上单调递减，在(/，兀)上单调递增.

此时，x=f为“X)在区间(0,万)上的唯一的极小值点.

综上所述，实数”的取值范围为(-8,0).

(ii)由(回)知a<0,“X)在(0,兀)上的唯一的极小值点f满足f€仁,兀)且tanr=a.

由止匕，g(a)=/(。=e'"♦cosf=e"311'•cosf.

令函数*(x)=e"叫cosx,xw与则g(a)=e(f),

且d(x)=e“w(tanx+—^]cosx—sinx=ev,an,-^^<0.

VCOS-X)Jcosx

所以，e(x)在区间与兀)上单调递减.

卜面证明函数g(。)在区间(y,0)上单调递减.

对于任意的4<生<0,设当4=6和”出时，/(X)在(0,兀)上的极小值点分别为4、%

贝M兀)，且tanf|=q,tan/2=a2.

由4<〃2及函数),=tanx在[5,兀)上单调递增，有，।<仁

又由9(x)在区间■，兀)上单调递减，有g(4)=伊&)>/&)=g(弓).

综上，对于任意的4<生<0,均有g(q)>g(%),即g(a)在区间(~,0)上单调递减.

【点睛】方法点睛：函数单调性的判断方法：

(1)利用基本初等函数的单调性与图像：只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性；

(2)性质法：

①增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函

数；

②函数-〃x)与函数“X)的单调性相反;

③&>0时,函数/(x)与钢的单调性相反(/(x)*0)；

.k/、

上<0时，函数f(zx)与KJ的单调性相同(〃x)*°)•

(3)复合函数法：同增异减法.即函数y=/[g(x)]的单调性，由内层函数“=g(x)和外层函数y=/(〃)同

时决定，若内层函数和外层函数单调性相同，则函数y=/[g(x)]单调递增；若内层函数和外层函数单调

性相反，则函数y=/[g(x)]单调递减.

(4)导数法：在区间。上恒成立，则函数“X)在区间。上单调递增；/'(尤”0在区间。上恒成

立，则函数/(X)在区间。上单调递减.

(5)定义法：作差法与作商法(常用来函数单调性的证明，一般使用作差法).

考法2：根据函数的单调性求参数值

一、单选题

L(2023•甘肃兰州•校考模拟预测)命题P"("=/八一’二"，在X£(YO，1]上为增函数，命题

(-tz+4)x-3a,x<-l

q：g")=£2二i在(2,茁)单调减函数，则命题q是命题p的()

x-2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】求出命题，〃中〃的范围，根据充分条件，必要条件的概念判断.

,、+ax—8,—IVxVl/r

【详解】若〃x)=」在为增函数，

I(1+4J入X<1

--<-1

2

贝1卜-。+4>0,解得3工。<4；

（一1）2+”1）-82（一白+4）・（一1）一3〃

8(幻=公二1='「(-2)+2k-4="2+网：在(2,+00)为减函数,则2/-4>0,即a>夜或a<-上，

x—2x—2x—2

因为"34。<4"能推出"“>&或〃<-夜”，反之不成立，

所以命题q是命题P的必要不充分条件，

故选：B.

2.(2023•北京丰台•统考一模)已知函数/(x)的定义域为R,存在常数〃/>0),使得对任意xeR,都有

f(x+r)=f(x),当xw[O,f)时，f(x)=x-^.若f(x)在区间(3,4)上单调递减，贝心的最小值为()

88

A.3B.-C.2D.—

35

【答案】B

【分析】根据函数的周期性和绝对值型函数的单调性进行求解即可.

【详解】因为存在常数(「＞0),使得对任意xeR,都有/(x+，)=/(%),

所以函数的周期为7,

当xe[O,f)时，函数f(x)=x，在[0,夕单调递减，

所以当xNOB寸，函数f(x)=X-：在卬，号叫乂〃eN*)上单调递减,

因为f(x)在区间(3,4)上单调递减，

r3

nt<3t<—

一8

所以有，（2"+l）r=>1n=>、4/43,

-2--4t>-^—

12I2〃+l

故选：B

【点睛】关键点睛：根据函数的周期的性质，结合绝对值型函数的单调性是解题的关键.

3.(2023•河南洛阳•校联考三模)若对任意的毛，苍仁(加，长o),且与＜七，纪1上三达工＞1,则用的取

X\~X2

值范围是()

A.J,e]B.C.[e,+co)D.[e2,+＜»)

【答案】D

【分析】首先得出加＞0,再将】lnx2[马ln±＞]整理为构造函数y(x)=g-J_,

%X?X,2尤2X]xX

其中xw(0,«»),当用〈苍＜占时，/(x2)＜/(%,),即在(也物)，f(x)单调递减，求出f(x),分析得出

〃力减区间,即可得出机的取值范围.

【详解】由题可知，〃2＞0,

x.In尤,—x.Inx..

因为」_2_Z_L＞1,且0＜玉＜电，

西一W

所以xJnw-WlnX]＜X]一工2，两边同时除以X/2得,

lnxIn%11Inx1InAj1

-2＜,即2-,

x2X{x2X|x2x2x{xx

设函数，(x)=g-L,其中xe(o,*»),

XX

因为当机＜王＜工2时，/(X2)＜/(%,),

所以/(X)在(加,物)单调递减，

因为尸(x)=上生，

X

令尸(x)=0,x=e2,

当xe(0,/)时，f'(x)>0,即f(x)在(0,，)上单调递增，

当了€付,+8)时，r(x)<0,即f(x)在©,+“)上单调递减，

所以mNe?,

故选：D.

4.(2023・天津河东•统考二模)已知奇函数/(x)在R上是增函数，若a=-.f(bg2£],&=/(log,4.1),

c=f(2M),则4"。的大小关系为

A.a<b<cB.h<a<cC.c<b<aD.c<a<b

【答案】C

【详解】由题意：«=/[-log21]=/(log25),

且:1暇5>1呜4.1>2,1<2°8<2,

据此:log,5>log,4.1>208,

08

结合函数的单调性有：/(log25)>/(log24.1)>/(2),

a>b>c,c<b<a,

本题选择C选项.

【考点】指数、对数、函数的单调性

【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数

函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结

合不仅能比较大小，还可以解不等式.

5.(2023•陕西•西安市西光中学校联考一模)已知函数/*)的导函数尸(x)满足/(x)+(x+l)/'(x)>0对

xeR恒成立，则下列判断一定正确的是()

A./(0)<0<2/(1)B.0</(0)<2/(1)

C.0<2/(1)</(0)D.2/(1)<0</(0)

【答案】B

【分析】根据题意及选项构造函数g(x)=(x+l)/(x),然后求导判断出函数g(x)的单调性，再根据单调

性判断出各值的大小，进而得到结论.

【详解】由题意设g(x)=(x+l)/(x),

贝Ijg'(x)=/(x)+(x+l)/'(x)>o,

所以函数g(x)在R上单调递增,

所以g(T)<g(O)<g(l)，即0<〃0)<2〃1).

故选B.

【点睛】当题目条件中有含有导函数的不等式，而所求结论与判断函数值的大小有关时，解题时一般需要

通过构造函数来解决.构造函数时要根据题意及积或商的导数来进行，然后判断出所构造的函数的单调

性，进而可比较函数值的大小.

【答案】B

【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由八4)的近似值即可得出结果.

【详解】设y==则〃-力=与1=-；丁=-/(》)，所以/")是奇函数，图象关于原

点成中心对称，排除选项C.又/(4)=奈3>0,排除选项D；/(6)=垓名名7,排除选项A,故选

B.

【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择.本题较易,

注重了基础知识、基本计算能力的考查.

7.(2023・陕西汉中•统考二模)已知函数."X)的定域为R,图象恒过点(。，2),对任意当斗二々

时，都有"?则不等式用n(e'-2)]<2+ln(e,-2)的解集为().

A.(-00,In2)B.(In2,In3)C.(In3,2In2)D.(2ln2,+oo)

【答案】B

【解析】由/(引一/(々)>1,设演>马，得到/(玉)—用>〃9)一吃，令g(x)=〃x)-x,然后将不等式

X~X2

r

/[ln(e-2)]<2+In(e「2),转化为g[in(或-2)卜g(0),利用g(x)的单调性求解.

【详解】因为八刈一"％)>i,不妨设不>刍，

为一9

则/(与)一玉>/(々)一七，

令g(x)=/(x)-x,在R上递增，

又〃0)=2,

所以不等式用n(e，_2)]<2+In(e'-2),

即为/[山卜，-2)]-1"，-2)<2=/(0)-0,

即g[ln(e<2)]<g(O),

所以ln(e"—2)<0,

贝ij0<e*-2<l,

解得In2<x<ln3,

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题关键是由>1,构造函数g(x)=/(x)-x,利用其单调性得解.

X一工2

8.(2023•甘肃兰州♦兰州五十九中校考模拟预测)设函数〃x)=21n(x+5/7W)+3x3(-2<x<2),则使得

〃2*)+/(©-3)>0成立的》的取值范围是

A.(-1,1)B.I]/)C.(―,1)D.(―,^-)

【答案】B

【分析】本道题目结合奇函数的判定条件和单调函数满足的条件，建立不等式，即可得出答案.

7

【详解】，(-切=2111卜8+42)一3/=一/(外,所以/(力为奇函数,

2

/(X)=不窘+6/>°,所以“X)单调递增

〃26+〃4%-3)>(),转化成/(2力>〃3-4力

-2<2x<2

得到｛-2<3-4x<2，解得x满足，故选B.

2x>3-4x

【点睛】本道题目考查了奇函数判定条件和单调函数的性质，注意判断/(x)+/(-X)与0的关系.

二、多选题

9.(2023・重庆•统考模拟预测)已知函数〃x)=算日(aeR),则下列说法正确的是()

A.“X)的定义域为(f,-2»(-2,内)

B.“X)在［T0］上的值域为

C.若f(x)在(YO,-2)上单调递减,则a<1

D.若则/(x)在定义域上单调递增

【答案】AC

【分析】求得了")的定义域判断选项A；求得/(x)在上的值域判断选项B；求得。的取值范围判断

选项C；求得时f(x)的单调性判断选项D.

【详解】选项A：由x+2/0得，7,则〃x)的定义域为(",-2)"-2,").判断正确；

小々、ax+22-2a

选项B：/(%)=-----=a+-----

v7x+2x+2

由1,0],可得x+2e[l,2],贝IJ士e；』

当a=l时，f(x)=a,则〃x)在［TO］上的值域为物;

当a<l时，与善e[l-a,2-2可，a+^~-e\],2-a],

即〃x)在上的值域为[1,2-可；

当时，^^-e[2-2a,l-a],a+^~^-e[2-a,l],

即〃x)在［TO］上的值域为［2-41］.

综上，当。=1时,/(x)在［-1叫上的值域为｛1｝；

当a<1时,/(x)在［TO］上的值域为口,2-句；

当时，/(力在［TO］上的值域为［2-a」］.判断错误;

ax+22-2a

选项C：〃力==4+

x+2x+2

若“X)在(F,-2)上单调递减，则2-2a>0,解之得a<1.判断正确;

cvc+22-2。

选项D：小）==a+

x+2x+2

则a>l时，〃x)在(­，-2)和(-2,y)上单调递增.判断错误.

故选：AC

三、填空题

10.(2023•山东日照・山东省日照实验高级中学校考模拟预测)已知正实数覆y满足e2a+3-3x=e'-+y,

则上y+一1的最小值为.

【答案】|

【分析】构造函数/(x)=e*+x,利用单调性可得2-3x=y-l,再利用均值不等式即可求解.

【详解】由e2T'+3-3x=e'T+y,得e2a+2-3*=j+y-l,

令/(x)=e*+x,则在R上单调递增，所以2-3x=y-l,即3x+y=3,

又因为％)'是正实数，

y1y3x+yyx1［yx17

所以上+—=上+—^=上+—+；之2-x—+；=7，

xyx3yxy3\xy33

当且仅当』=土，即x=y=?时等号成立，

Xy4

7

故答案为：—

11.(2023•辽宁沈阳冻北育才学校校考模拟预测)函数/(幻，g(x)的定义域都是Q,直线mm

(xo0£»,与方f(x),尸g(x)的图象分别交于A,B两点，若|A3|的值是不等于。的常数，则称曲线方f

(x),y=g(x)为"平行曲线”,设f(%)=ex-alnx+c(a>0,e0),且y=/(x),y=g(x)为区间(0,+8)

的"平行曲线"，g(1)=e,g(x)在区间(2,3)上的零点唯一，则。的取值范围是,

23

【答案】(—).

In2In3

【详解】分析：根据平行曲线的定义，求出g(x)表达式；通过分离参数，分析出力(幻=£在(2,3)上的

Inx

单调性，即可求出〃的取值范围.

详解：因为了(幻与g(x)是在(0,+8)上的平行曲线，且|AB#0,所以可将/⑴的图像上下平移得到

g(x)的图像.

因为/(%)=/-alnx+c,设g(x)=/(x)+〃7=/-Mnx+c+7%,因为g⑴=e,代入可得c+m=0

所以g(x)=e*-alnx

令g(x)=0,分离参数“,Wa=—•令以幻=二

InxInx

x

因为g(x)在(2,3)上存在唯一零点，即y=a与〃(x)=工P-在(2,3)有且仅有一个交点.

Inx

eA(lnx--)

h\x)=------

(Inx)2

因为在xc(2,3)时，/?'(x)>0

所以"(x)在(2,3)上单调递增.

若满足即V="与〃(x)=二在(2,3)有且仅有一个交点

Inx

所以〃(2)vav力(3),代入

In2In3

即。的取值范围为(-0,区)

In2In3

点睛：本题考查了新定义，导函数的综合应用，分离参数法在综合型题目中的应用，应用函数的单调性求

其值域等知识点，综合性强，属于难题.

四、解答题

12.(2023•江苏徐州•徐州市第七中学校考一模)已知函数/(x)=gx2-acosx+法Inx-法,a,/>eR.

⑴若6=0且函数Ax)在(0弓)上是单调递增函数，求〃的取值范围；

⑵设/5)的导函数为/'(x),若0<"1,小多满足r(xj=r(%),证明:

【答案】⑴aN-1

⑵证明见解析

【分析】⑴由题意可得/'(x)=x+asinrNO在(0,f上恒成立，令g(x)=x+asinr,求导，分a2-l、

”-1讨论g(x)>0在(05上恒成立即可；

(2)由，(xj=r(w)可得(%-h)+a(sg-si叫)=(-8)(g-l叫),由(1)知siiUj-siiW]，即有

(-fe)ln—<(a+l)(x-X1),①，令%(x)=lnx-2」~求导得当x>l时，"(x)>6⑴=0,即有

X2X+1

于是得以lnX>4・

嘉+嘉，代入①式中化简即可得证.

【详解】(1)解：当6=0时，/(x)=^x2-acosx,r(x)=x+asinx,

因为/(X)在(0，£|上是单调递增函数，

所以r(x)=x+asinx20在(0身上恒成立，

令g(x)=x+asinx,贝ijg'(x)=l+acosx,

当〃之一1时，g(x)>x-sinx,

令p(x)=x-sinx,/7z(x)=l-cosx>0,

所以P(X)在(0,+8)上递增,

即〃(x)>〃(。)=0,

所以g(x)>0在(0,方上恒成立，符合题意；

当"T时，g〈0)=l+a<0,g，0=1>0,且g〈x)在陷为单调递增函数,

所以存在唯一Me(0彳)使得/伍)=0,

所以当xw((),Xo)时，g,(x)<0,g(x)在(0,y)递减,

即Vx«0,x.),g(x)<g⑼=0,不符合题意；

综上所述a2-1；

(2)证明:f(x)=x+asinx+felnx,

当aw（O,l）时，由（1）可知y=x+asinx是增函数，所