旧教材适用2023高考数学一轮总复习 第十二章算法初步复数推理与证明第2讲数系的扩充与复数的引入

第2讲数系的扩充与复数的引入

--------木础知/椎不I

□知识梳理

1.复数的有关概念

(1)复数的概念

形如a+6i(a,6∈R)的数叫做复数，其中a,6分别是它的画实部和外虚部.若国QO,

则a+bi为实数，若画8≠0,则a+bi为虚数，若ma=0,b≠0,则a+bi为纯虚数.

(2)复数相等

a+历=c+diol≡a=c∙且6=d(a,b,c,√∈R).

(3)共③复数

a+历与c+di共轨=a=c且6=—d(a,b,c,√∈R).

(4)复数的模

—►

向量OZ=(a,A)的模Jr叫做复数z=a+6i(a,0∈R)的模，记作画∣Zl或IiIla+6i|,即

IZl=Ia+biI=r=画ʌ/4+。2(r。0,r∈R).

2.复数的几何意义

一一对应

(1)复数z=a+6i<--------------复平面内的点Z(a,6)(a,6∈R)∙

一一对应一*,

(2)复数Z=a+从<--------->平面向量”(a,b∈R).

3.复数的运算

设Zι=d+bi,Z2=c+di(a,b,c,√∈R),则

(1)加法：Zι+Z2=(a+Z>i)+(c÷<Λ)=画(a+C)+(b+d)i；

(2)减法：Zi-Z2=(a+0i)—(c÷√i)=叵1(LC)+(b—d)i；

(3)乘法：Zl∙Z2=(a+6i)∙(c+di)=回(以—bd)+(/++/%)i；

、“人、工一出

∕zι∖r½>?,÷._Z∖____a_+_Z_?_i__a+∕icac+bdbe-ad..

⑷z除区：—i—1¢71六U/

Zz。十dic+dic-di丁+八c+d∖C-Γ

知识拓展

1.(l±i)=±2i;—=i；γ-pγ=-i.

2.—⅛+^i=i(a+⅛i).

12344+1n+2n+3

3.i"=l,i"'=i,i=-l,i'=-i(∕7∈N*).

4.i"'+严'+i"'+2+i"M=05∈N*).

2

5.Z”,|Zi∙Z2I=|ZiI∙IZ2|,

ZlZi

,∖z∖=∖z∖".

Zl∖z2∖

6.复数加法的几何意义：若复数Z1,Z2对应的向量OZ,，族不共线，则复数为+说是以的,

织为邻边的平行四边形的对角线”所对应的复数.

―►—>—►

7.复数减法的几何意义：复数久一及是必一四=%/所对应的复数.

□双基自测

1.（2021•北京高考）在复平面内，复数Z满足（1—i）z=2,则z=（）

A.2+iB.2-i

C.1-iD.1+i

答案D

991+i21÷i

解析由题意可得，Z=L=丁J——-9—=l+i.故选D.

2.（2021•浙江高考）已知a∈R,（1+ai）i=3+i（i为虚数单位），则a=（）

A.-1B.1

C.-3D.3

答案C

解析解法一：因为（l+ai）i=—a+i=3+i,所以一a=3,解得a=-3.故选C.

解法二：因为（l+ai）i=3+i,所以l+ai=∙1^~J∙=l-3i,所以a=-3.故选C.

2

3.已知复数Z=--,则（）

一1r十τ1

A.Z的模为2B.Z的实部为1

C.Z的虚部为一1D.Z的共轨复数为1+i

答案C

22—1—ɪ

解析根据题意可知，一rɪr=-------7--------=—1—i,所以Z的实部为一1,虚部为一1,

—I-FlZ

模为√iZ的共轨复数为-1+i.故选C.

V

4.（2021•内蒙古赤峰3月模拟）若干=2—yi（x,y∈R,i为虚数单位），则∣*+yi∣

=（）

Λ∙√5B.5

C.2√5D.20

答案C

X

解析∙.∙γ^τγ=2-yi(x,y∈R,i为虚数单位)，∙∙.x=(l+i)(2—yi)=2+y+(2—y)i,

x-2+y,2—y—O,解得x=4,y=2.则∣x+yi=[4+2i∣4.故选C.

5.(2021•三门峡模拟)已知复数Z满足(l+√5i)z=l+i,则复平面内与复数Z对应的

点在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案D

汨_1+i_1+iIfi_

解析由(1+/i)z=1+i,得％=77^7=l+√3il-√3i=

l+√5+1-√5i=l+∙∖βIf.

1+3―4+41.∙.复数Z在复平面内对应的点的坐标为

,在第四象限.故选D.

6.(2022•安徽毛坦厂中学月考)设复数Z的共朝复数是z,若复数z∣=3+4i,Zz=t

+i,且©∙Z2是实数，则实数t等于—

答案4

解析Zi∙Z2=(3+4i)(1一i)=(3l+4)+(4--3)i是实数，则43=0,，1=彳.

核心—向突破

考向一复数的有关概念

例1(1)(2020•全国HI卷)复数的虚部是()

答案D

解析因为γ⅛=-]二:3；+3；+3i_=t+Ki，所以复数γ⅛的虚部为号.故选D.

(2)设i是虚数单位，若复数z=l+2i,则复数Z的模为()

A.1B,2√2

C.√3D.√5

答案D

解析依题意，Iz∣=√F转=乖.故选D.

触类旁通求解与复数概念相关问题的技巧

复数的分类、复数的相等、复数的模、共辗复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所

以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a+历（a,6∈R）的形

式，再根据题意列方程（组）求解.

即时训练1.(2021•全国乙卷)设2(z+z)+3(z-z)=4+6i,贝∣Jz=()

A.l-2iB.l+2i

C.1+iD.1-i

答案C

解析设z=a+bi（a,b∈R）,贝IJZ=a—bi,2（z+z）+3（z—z）=4d+6bi=4+6i,

所以a=l,⅛=1,所以z=l+i.

2.已知i是虚数单位，复数Z=不，下列说法正确的是（）

A.Z的虚部为一i

B.Z对应的点在第一象限

C.Z的实部为一1

D.Z的共辗复数为1+i

答案D

解析∙.∙z=∙=l-i,.∙.z的虚部为一1；Z对应的点的坐标为（1,—1）,在第四象限;

Z的实部为1；Z的共辗复数为1+i.故选D.

考向二复数的几何意义

2—i

例2（D（2021∙新高考∏卷）复数E在复平面内对应的点所在的象限为（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案A

9—19—i1-∣-3i5÷*1÷i

解析丁丁=-------正二一ɪ-ɪ-ɪɪ,所以该复数在复平面内对应的点为

1—3110IUZ

该点在第一象限.故选ʌ.

(2)设复数Z满足∣z-i∣=l,Z在复平面内对应的点为(x,y),则()

A.(A-+l)2+y=lB.(ɪ-l)2+y=l

C.Λ∙2+(y-l)2=lD.x+(y+l)2=l

答案C

解析由已知条件，可得z=x+yi.丁Z—i∣=l,Λ∣ɪ+yi-i∣=l,Λ∕+(y-1)"=

1.故选C.

触类旁通J复数几何意义的理解及应用

复数集与复平面内所有的点构成的集合之间存在着一一对应关系，每一个复数都对应着

一个点（有序实数对）.复数的实部对应着点的横坐标，而虚部则对应着点的纵坐标，只要在

复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值.

即时训练3.设复数Z=IgE-I）+1二嬴，则Z在复平面内对应的点（）

A.一定不在第一、二象限

B.一定不在第二、三象限

C.一定不在第三、四象限

D.一定不在第二、三、四象限

答案C

/»—1>0,

解析V，欣一1,此时Ig（B-I）可正、可负，y∣l-∕∕i>y∣29故选C.

1—/zz≥0,

4.（2022•广西南宁质检）设复数为，a在复平面内对应的点关于实轴对称，z∣=2+i,

嘴=()

3.4

A.1+iB-5+?

,44

C.l+τiD.l+1-i

ɔO

答案B

解析因为复数Z”Z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z∣=2+i,所以劭=2—i,

Zl2+i2+i234

所以•=g+尹故选B.

Zi2-i5

精准设计考向，多角度探究突破

考向三复数的代数运算

角度1复数的乘法运算

例3⑴（2021•四川五校联考）己知a∈R,若（l—ai）（3+2i）为纯虚数，则a的值为

)

A.-∣3

B，2

22

C.D.

33

答案A

解析(1-ai)(3+2i)=(3+2a)+(2-3a)i,由于(1—ai)(3+2i)为纯虚数，故

3+2a=0,3

解得a=--故选A.

2-35≠0,

2-

(2)已知复数2=_]+的，则z・Z=()

A.—1B.1

答案B

解析2=_],=_"由，z=-g+*i,Z∙Z=1∙故选B.

角度2复数的除法运算

9—i

例4(1)(2020•新高考I卷)4F=()

A.1B.-1

C.iD.-i

答案D

2-i2-il-2i~5i

解析l+2i=l+2il-2ii.故选D.

⑵设复数Z满足±=i,则Izl=()

A.1B.√2

C.√3D.2

答案A

ɪ—1ɪ-12

解析由题意，知1+Z=i—zi,所以Z=∙i"∖=i,所以IZl=1.

i十1i十1i—1

角度3复数的混合运算

94--i3—4i

例5(1)已知i为虚数单位，则-----ɪ-----------=()

z—1

A.5B.5i

答案A

5M-2+i3-4i10-51

解析解法一：------T—：-----------=F——=5.故选A.

Z)—1Z—1

&…一2+i3-4i2+i23-4i

解法一：2→

2+i2-i

3+4i3-4i

=5.故选A.

5

(2)(2021•临沂模拟)设Z=F+Wp

则Z的虚部是()

4

A.-1B.-τi

5

C.-2iD.-2

答案D

2—i9—i1—21

解析Z=i3+τv^=i2×i+ʒɪ√——「一=一i—i=-2i.根据虚部的定义,

ɪ-t-Zl1十Nl1—Zl

可知虚部为一2.故选D.

触类旁通复数代数形式运算问题的解题策略

(D复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i的看作一类

同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.

(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共辗复数，解题中要注意把i的幕

写成最简形式.

「即时训练5.已知a∈R,i是虚数单位.若z=a+15i,z∙z=4,贝!]a=()

A.1或一1B.巾或一巾

C.-√3D.√3

答案A

解析由题意，得(a+∕i)(a-/i)=4,即4+3=4,.∙.a=±L故选A.

4.

6.已知i是虚数单位，若复数Z满足H=I-i,则z∙z=()

ι+z

A.4B.5

C.6D.8

答案B

44~

解析由737^=1-i,得z=^;—r—l=l+2i,则z∙Z=IZl?=5.故选B.

1十Z1—1

7.(2021•天津高考)i是虚数单位，复数9+崇2i"=.

答案4-i

绍柘区—.9+2i2-i20-5i

解析22±+i^-=^^=4—1∙

2+i2-i

课时作业I

1.已知复数z=7⅛-（i是虚数单位），则Z的实部为（）

1—Zl

_33

A.B.

55

_1ɪ

C.D.

55

答案B

33l+2i3,6

解析,--------=-----------------------------=—+—

l-2il-2il+2i55

3

.・.z的实部为m故选B.

5

2.若复数（1—di）?—2i是纯虚数，则实数a=（）

A.OB.±1

C.1D.-1

答案C

解析(l-‹ai)2-2i=l-a-2ai-2i=l-a-(2a+2)i.V(l-ai)2-2i是纯虚数,

l-a2=0,

解得a=l,故选C.

2a+2≠0,

3.（2021•全国乙卷）设iz=4+3i,则Z=（）

A.-3-4iB.-3+4i

C.3-4iD.3+4i

答案C

解析由iz=4+3i两边同时乘i,得一z=4i-3,所以z=3—4i,故选C.

4.（2021•湖南郴州模拟）设z=l-i（i是虚数单位），若复数士+/在复平面内对应的向

Z

量为OZ则向量应的模是()

A.1B.√2

C.√3D.2

答案B

922l÷i

解析z=l-i(i是虚数单位)，复数一+/2=1一+(1—i)2=————2i=l

z1-11—11+1

-A___________

-i.则向量应的模为√I甲=TF=√Σ故选B.

5.(2021•新高考I卷)已知z=2—i,则z(z+i)=()

A.6-2iB.4-2i

C.6+2iD.4+2i

答案C

解析z(z+i)=(2-i)(2+i+i)=(2-i)(2+2i)=4+4i-2i-2i2=6+2i.故选C.

6.(2022•长春质检)设复数©,质在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i,则z1z2

等于()

A.-5B.5

C.-4+iD.-4-i

答案A

解析由题意得，Z2=-2+i,Z1Z2=(2+i)•(-2+i)=-5,故选A.

7.若复数Z满足Z（―l+2i）=Il+3i∣2（i为虚数单位），则复数Z的共舸复数Z为（）

A.-2-4iB.-2+4i

C.4+2iD.4-2i

答案B

∣l+3i∣210-l-2i

解析由z(-l+2i)=∣l+3i∣2,得7=----------------ɪ:----------------------------------------------------------

'-l+2i-l+2i-l-2i

7——=-2-4i,则复数Z的共辗复数Z为一2+4i.故选B.

5

8.(2021•全国甲卷)已知(l-i)2∕=3+2i,则z=()

33

A.-l--iB.-l+'i

313

c∙^2+id-^2^i

答案B

解析由(1—i)~z=3+2i,得Z=I~~—=—τ~=-故选B.

9.己知i为虚数单位,复数Z满足(l-i)z=2i,则下列关于复数Z的说法正确的是()

A.Z=-1—iB.Iz∖=2

C.zz=2D.=2.

答案C

t

解析由条件知Z=吕~=2L2+'一=-1+"A错误;3=啦，B错误；zz=（一

1+1)(―1—i)=2,C正确；Z-(―1+i)2=—2i,D错误.故选C.

10.已知复数z∣=2+6i,z2=-2i,若幻，0在复平面内对应的点分别为4B,线段

的中点C对应的复数为z,则∣z∣=()

Λ∙√5B.5

C.2√5D.2√17

答案A

解析复数zι=2+6i,Z2=—2i,则z?在复平面内对应的点分别为力(2,6),B(O,

-2),线段/18的中点C(l,2)对应的复数为z=l+2i,则IZl=Nr+T=/.故选A.

i—2i

11∙已知陞R，i为虚数单位，句不〉。，则In=()

1

A.1B.

2

c∙3D.-2

答案B

l-2il-2im+iZZZ+2+1—2mi,1-2i—rzR

解析由已知得'由—>0'可得

m-im—im+i方+1

R+2>0,则ZH=∣∙故选B.

1—2%=0,

12.(2021•益阳、湘潭两市联考)已知命题?：若复数Z满足(z—i)(T)=5,则z=6i,

命题0复数∙j⅛⅛的虚部为一白，则下列命题为真命题的是()

1十Nlɔ

ʌ.(㈱夕)八(㈱扮B.∙p)∕∖q

C.p∕∖(⅛⅛q)D.p∕∖q

答案C

5

解析由已知可得，复数Z满足(ZT)(T)=5,所以Z==γ+i=6i,所以命题〃为

1+i1+il-2i3-i,其虚部为一(，故命题为假命题，命题

真命题；复数17

l+2il+2il-2i5ɔ

㈱g为真命题.所以0为真命题，故选C.

1—12021

13.(2021•陕西渭南模拟)不丁

答案-i

i__•20211