2023-2024学年人教版九年级上册期中数学模拟试卷

2023-2024学年人教版九年级上册期中数学模拟试卷

一.选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）

1.（3分）已知抛物线的解析式为）=一义（x+2）2-3,则该抛物线的顶点坐标是（）

A.(2,3)B.(-2,3)C.(2,-3)D.(-2,-3)

2.（3分）下列图形中，属于中心对称图形的是（）

3.（3分）已知“1,%2是一元二次方程47-5χ-3=0的两个实数根，则（xι+2）（x2+2）的

值为（）

4.（3分）如图，AB是。。的直径，EF,EB是Oo的弦，连接。F,若NAoF=40°,则

/E的度数是（）

C.55oD.70°

5.(3分)如图，已知在aABC,ZvVDE中，ZBAC^ZDAE=90°,AB=AC,AD=AE,

点C,D,E三点在同一条直线上，连接BD,BE以下四个结论：(I)BD=CEi②∕4CE+

NQBC=45°；③ABDE%ABDC®BD±CE；⑤若NA8E+NAEB=22.5°,则AO

=CD.其中结论正确的个数是（）

B

A.2个B.3个C.4个D.5个

6.（3分）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点尸为完美点.已知

二次函数y=∕+bT（α,人是常数，4≠0）的图象上有且只有一个完美点（|,|）,且

当0≤xW,"时，函数y=0r2+灰-3的最小值为-3,最大值为I,则，”的取值范围是

（）

7

A.-l≤∕n≤0B.2≤∕nC.2≤w≤4D.∕w22

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

7.（3分）若关于X的一元二次方程X2-∕nr+6=0的一个根为2,则它的另一个根为.

8.（3分）如图，在平面直角坐标系XOy中，点3在X轴的正半轴上，OB=6,ABLOB,

/408=30°.把aABO绕点。逆时针旋转150°后得到^A∣B1O,则点A的对应点4

9.（3分）如图，扇形40B中，/408=90°,04=4,点C在弦AB上，且AC=VL点

。在弧AB上，KCD//OB,贝IJCf）=.

B

AO

分）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数

10.（3X1）f-2Λ-1=0Z

的取值范围是.

11.（3分）如图，将RtaABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到RtZ∖ADE,点B的对应点

。恰好落在BC边上.若AC=2√5,ZB=60O,则CQ的长为

E.

W∖

：

cL"D…∖Δ∙W∙%30

P

12.（3分）如图，BC中，ZACB=90°,SinA=言，将AABC绕点C顺时针旋转90°

△A'B'C,P为线段A'B1上的动点，尸为圆心，PA1长为半径作。尸，当。尸与△

ABC的边相切时，。尸的半径为.

三.解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）

13.（6分）如图，利用函数y=/-4x+3的图象，直接回答:

（1）方程?-4x+3=0的解是；

（2）当X时，y随X的增大而减小；

（3）当X满足时，函数值大于0；

（4）当OVX<5时，y的取值范围是.

14.（6分）如图，已知AABC为直角三角形，NA=30°,ZACB=90°,BC=4,。是直

线A8上一点.以CO为斜边作等腰直角三角形C£>E,求AE的最小值.

B

E.

D

CT

15.（6分）已知等边三角形A8C.

（1）用尺规作图画出AABC外接圆。。；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）已知平面中不同于点A、B、C的点D若点。也在（1）中的。。上，连接B。，

CD,则NBDC的度数为.

（3）在（1）的条件下，若已知等边三角形ABC的边长为6,则Oo的直径长

16.（6分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-/+云+。的图象与了轴交于点4（0,

2）,且对称轴是直线x=2,过点4作X轴的平行线交抛物线于另一点艮

（1）求抛物线解析式，并根据该函数图象直接写出y>2时X的取值范围.

（2）已知点C是抛物线上一点且位于直线AB上方，若点C向左平移m个单位，将与

抛物线上点。重合；若点。向下平移〃个单位，将与X轴上点E重合.当机+〃=1AB

17.（6分）某商品原售价400元，经过连续两次降价后售价为225元，求每次平均降价的

百分率是多少？

四.解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）

18.（8分）已知X=2是方程Λ2+"ZX-8=0的一个根，求：

(1)，"的值;

11

(2)—+一的值.

XiXl

19.(8分)如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度A8为30皿，拱高PM为9机，当洪水泛滥

到跨度只有15%时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2%,即PN=

2%时，试求：

(1)拱桥所在的圆的半径；

(2)通过计算说明是否需要采取紧急措施.

20.(8分)某商场销售某种商品，平均每天可售出20件，每件可盈利40元.在某次活动

期间，该店采取降价措施进行促销，经调查发现，销售单价每降低0.5元，每天可多售出

1件.

(1)若降价2元，求每天销售数量；

(2)在每件盈利不少于25元的前提下，当每件商品降价多少元时，该商场销售这种商

品每天可获得利润1200元？

五.解答题(共2小题，满分18分，每小题9分)

21.(9分)如图，在RtZ∖ABC中，NACB=90°,。为AB边上的一点，以AO为直径的

Oo交BC于点E,过点C作CGL48,垂足为G,交AE于点F,过点E作EHLA8,

垂足为P,NEAD=NDEB.

(1)求证：BC是C)O的切线；

(2)若CE=EP,CG=I2,AC=I5,求四边形CFPE的面积.

22.(9分)如图，抛物线y=-χ2+bx+c与X轴交于A,B两点，与y轴交于点C,抛物线的

对称轴交X轴于点。.已知A(-1,O),C(0,3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴上有一点M,使得M4+MC的值最小，求此点M的坐标；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在P点，使APCO是等腰三角形，如果存在，求出点P

的坐标，如果不存在，请说明理由.

A/OX

六.解答题(共1小题，满分12分，每小题12分)

23.(12分)BC中，三个内角的平分线交于点O,过点。作NoDC=NAOC,交边BC

DC

DC

于点D.

(1)如图1,若NABC=50°,求NB。。的度数；

(2)如图1,若NABC=,求NBO。的度数：

(3)如图2,作/ABC外角NABE的平分线交Co的延长线于点F.求证：BF//OD-,

(4)若N尸=NABC=40°,将480D绕点。顺时针旋转一定角度α后得(0°

<α<360o),B77所在直线与FC平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度α的值.

2023-2024学年人教版九年级上册期中数学模拟试卷

参考答案与试题解析

选择题(共6小题，满分18分，每小题3分)

1.(3分)已知抛物线的解析式为y=-±(x+2)2-3,则该抛物线的顶点坐标是()

A.(2,3)B.(-2,3)C.(2,-3)D.(-2,-3)

【分析】依据二次函数的顶点式y=α(x-〃)2+%的顶点坐标(h,k)的形式可点已知抛

物线的顶点.

【解答】解：根据顶点式y=α(X-/z)2+Z的顶点是(力，％)可得y=-W(X+2)2-3的

顶点是(-2,-3).

故选：D.

【分析】根据中心对称图形的概念求解.

【解答】解：A.此图形不是中心对称图形，不符合题意;

B.此图形是中心对称图形，符合题意；

C.此图形不是中心对称图形，不符合题意；

D.此图形不是中心对称图形，不符合题意；

故选:B.

3.(3分)已知Xi,%2是一元二次方程4Λ2-5X-3=0的两个实数根，则Gl+2)(m+2)的

值为()

232613

A.-B.4C.-D.一

444

【分析】先根据根与系数的关系得到Xl+X2=*,Q=-率再利用多项式乘法展开得到

(XI+2)(X2+2)=XlX2+2(尤［+尤2)+4,然后利用整体代入的方法计算.

【解答】解：根据根与系数的关系得到处+3"XU2=一，

4-4-

Qς9Q

所以(Xl+2)(X2+2)=XIX2+2(x1+x2)+4=—彳+2x彳+4=才.

故选：A.

4.（3分）如图，AB是。。的直径，EF,EB是OO的弦，连接。凡若NAoF=40°,则

NE的度数是（）

【分析】连接F8,得到NFoB=I40°,利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半求解.

【解答】解：：/AO尸=40°,

ΛZFOB=180°-40°=140°,

1

；.NE=aNFOB=70。

故选：D.

5.（3分）如图，已知在4ABC,ZkADE中，ZfiAC=ZDAE=90o,AB=AC,AD=AE,

点C,D,E三点在同一条直线上，连接BD,BE以下四个结论：①BD=CE；②∕4CE+

NOBC=45°；③ABDE会∕∖BDC;@BD1CE；⑤若NABE+∕AEB=22.5°,则AO

=CD其中结论正确的个数是（）

【分析】①由条件证明aABO&AACE,就可以得到结论；

②由条件知NA8C=NA8。+/。BC=45°,由N。BC+/ACE=90°,就可以得出结论；

③根据ED不一定等于CD就可以进行判断；

④由448OgZX4CE就可以得出NABO=NACE,就可以得出NBDC=90°而得出结论;

⑤根据周角360°计算ND4C=22.5°,再计算出∕ACE=ABO=22.5°就可以进行判断.

【解答】解：①YNBAC=/O4E,

ZBAC+ZDAC=ZDAE+ZDAC,

即NBAo=NeAE.

在AABO和aACE中，

AD=AE

∆BAD=Z.CAEJ

AB=AC

Λ∆ABD^ΔACE(SAS),

：.BD=CE.故①正确；

,.∙∆ΛBD^ΔACE,

，NABD=ZACE.

,：ZCAB=90Q,

：.ZABD+ZDBC+ZACB=90o,

ΛZDBC+ZACE+ZACB=90°,

.'.ZBDC=ISOo-90°=90°.

ΛBDlCE；故④正确；

②∙.∙NB4C=90°,AB=AC,

：.ZABC=45°,

ΛAABD+ADBC=ASQ.

：.ZACE+ZDBC=45Q,故②正确；

JBDLCE,

.∖BE1=BD2+DE2,

在RtΔBCD中，∙/BC2=CD2+BD2,

而ED不一定等于CD,

二BE不一定等于BC,

ABDEZZXBOC不一定成立，故③错误；

@VZABE+ZAEB=22.5°,

.∙.∕BAE=180°-(NA8E+/AEB)=157.5°,

ZDAC=360o-NEAD-NBAC-NBAE

=360°-90°-90°-157.5°

=22.5°,

RtZ∖8DE中，NA80=90°-ZDEA-{ZABE+ZAEB）

=90°-45°-22.5°

=22.5°,

又YNABD=NACE.

ΛZACE=ABD=22.5o,

・•・ZACE=ZDAC,

：.AD=CD,

故⑤正确.

故选：C.

6.（3分）在平面直角坐标系中，若点。的横坐标和纵坐标相等，则称点尸为完美点.已知

二次函数），=Ox2+灰一W（a,%是常数，α≠0）的图象上有且只有一个完美点（|，|）,且

当0«%时，函数y=αr2+⅛x-3的最小值为-3,最大值为1,则m的取值范围是

（）

7

A.-l≤τπ≤OB.2≤∕π<∣C.2≤∕n≤4D.

99

-=-

［分析］根据完美点的概念令ax1+hx44由题意，△=（b

-l）2-4Ο∙（-［）=0,即17）2=-9α,方程的根为一（"一"=』从而求得Q=-

42a2

1,b=4,所以函数y=0r2+笈-3=-X2+M-3,根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标

的交点坐标，根据y的取值，即可确定X的取值范围.

9

【解答】解：令2即（-

Ox+bx-5=x,O?+⅛4

9

-即⅛

4O,

又方程的根为胃a=

2a2

解得α=-1,6=4或（⅛=1舍去）

故函数y=0x2+bx-3=-x2+4x-3,

如图，该函数图象顶点为（2,1）,与y轴交点为（0,-3）,由对称性，该函数图象也经

过点（4,-3）.

由于函数图象在对称轴x=2左侧y随X的增大而增大，在对称轴右侧y随X的增大而减

小，且当OWXW时，函数y=-W+4χ-3的最小值为-3,最大值为1,

Λ2≤w≤4,

故选：C.

填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

7.（3分）若关于X的一元二次方程7-〃a+6=0的一个根为2,则它的另一个根为3.

【分析】设方程的另一个根是m根据根与系数的关系得出24=6,求出即可.

【解答】解：设方程的另一个根是”,

则根据根与系数的关系得：2a=6,

解得：ɑ=3,

即方程的另一个根是3,

故答案为：3.

8.（3分）如图，在平面直角坐标系尤Oy中，点B在X轴的正半轴上，OB=®ABLOB,

NAO8=30°.把aABO绕点。逆时针旋转150°后得到a4BιO,则点A的对应点AI

【分析】根据三角函数可得OA,结合NAoB=30°可知aABO绕点。逆时针旋转150°

后OA的对应边04位于X轴上，继而可得答案.

【解答】解：BO中，ABlOB,OB=√3,∕AO8=30°,

ΛcosZAOB=

∙∙Q=COSN408=W=2,

T

如图，当AABO绕点。逆时针旋转150°后得到AAiBiO,

9.（3分）如图，扇形AoB中，NAOB=90°,04=4,点C在弦AB上，且AC=√Σ点

。在弧AB上，J≡LCD//0B,则CO=_V7-1_.

B

A0

【分析】延长。C交A。于点E,连接0Q,根据勾股定理即可求出答案.

【解答】解：延长。C交40于点E,连接0£>,

∖"CD∕∕OB,

：.ZAEC=ZAOB=90c,,

YOA=OB,

ΛZBAO=45o,

VAC=√2,

."E=CE=I,

.∙.E0=4-1=3,

∖"OD=4,

由勾股定理可知：DE=41,

ΛCD=√7-l,

故答案为：V7—1

B

10∙（3分）关于X的一元二次方程（k-1）7-2x-1=0有两个不相等的实数根，则实数上

的取值范围是Qo且k≠l

【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k-IWO且4=（-2）2+4Ck-

1）>0,再求出两个不等式的公共部分即可得到答案.

【解答】解：Y关于X的一元二次方程&-1）/-2χ-1=0有两个不相等的实数根,

：.k-l≠0J⅛Δ=(-2)2+4(k-1)>0,

解得：心>0且心勺.

故答案为：4>0且kWl.

11.（3分）如图，将RtZ∖ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到RtZ∖AQE,点B的对应点

。恰好落在BC边上.若AC=2√5,ZB=60O,则CD的长为2.

【分析】直角三角形A8C中利用三角函数首先求得AB和3C的长，然后证明aABO是

等边三角形，根据CD=BC-B。即可求解.

【解答】解：；直角AABC中，AC=2√3,/8=60°,

..AC2√3ɔAC2√3.

∙∙abr=tan^ABC=JT=2'BC=sin^ABC==4'

T

X'：AD=AB,ZB=60o,

∙*∙∆ABZ）是等边二角形,

：.BD=AB=I,

ICD=BC-Br)=4-2=2.

故答案为：2.

12.（3分）如图，ZXABC中，NACB=90°,sinλ=卷将aABC绕点C顺时针旋转90°

△A'B'C,P为线段A'B'上的动点，P为圆心，PA'长为半径作OP,当OP与4

156102

48C的边相切时，GP的半径为宏或彳7,

【分析】当OP与直线AC相切于点。时，连接P。，根据题意可得PQ〃CA',从而得

到言二而？代值进行计算即可求出PJ即为圆的半径；当。尸与AB相切于点T时,

易证A'、B'、7共线，从而得到BTSAABC,利用相似三角形对应边成比例得

AfTAfB

到前=/,从而代值计算求出A'T即直径,即可求出半径•

【解答】解：如图中，当OP与直线AC相切于点。时，连接PQ.

VPQ//CA,,

.丝_PB'

**CArArBf"

.r13-r

••二,

1213

.156

芯•

如图中，当OP与AB相切于点T时,

∙.W、B'过圆心P,

ΛA,,B'、7共线,

V∆A,BTSAABC,

AfTAfB

AC~AB

AfT17

12-13,

204

ΛA

1T,

.1,,T102

∙∙r=2λ7=百

156102

综上所述，OP的半径为玄或不

156102

故答案为：行或

三.解答题(共5小题，满分30分，每小题6分)

13.(6分)如图，利用函数y=∕-4x+3的图象，直接回答:

(1)方程7-4x+3=0的解是xι=l,7=3；

(2)当X<2时,y随X的增大而减小；

(3)当X满足x<l或x>3时,函数值大于0；

(4)当OeXV5时，y的取值范围是-lLy<8.

【分析】(1)根据函数图象，可以得到方程7-4x+3=0的解；

(2)根据函数图象，可以写出当X为何值时)，随X的增大而减小;

(3)根据函数图象可以写出，当X为何值时，函数值大于0；

(4)根据函数图象和二次函数的性质，可以得到当0<χV5时，y的取值范围.

【解答】解：(1)由图象可得，

当y=O时，X=I或x=3,

故方程X2-4x+3=0的解是Xl=1,X2=3,

故答案为：Xl=l,X2=3;

(2)由图象可得，

当〉=0时，》〈导=2时，y随X的增大而减小，

故答案为：<2；

(3)由图象可得，

当尤<1或x>3时，函数值大于0,

故答案为：XVI或x>3；

(4)由图象可得，

函数y=∕-4x+3的对称轴是直线X=警=2,当x=2时，该函数取得最小值-1,

工当0<x<5时，x=2取得最小值-1,x=5时)，的值为8,

即当0<x<5时，y的取值范围是-l≤y<8,

故答案为：-IWy<8.

14.(6分)如图，已知442C为直角三角形，NA=30°,ZACB=90°,8C=4,。是直

线AB上一点.以CO为斜边作等腰直角三角形COE,求AE的最小值.

B

【分析】如图，作CHJ_A8于H,取8的中点0,连接OE,OH,EH,作AG_LEH交

EH的延长线于G.利用四点共圆证明N4HG=45°,推出点E的运动轨迹是直线GH,

当AE与AG重合时∙，AE的值最小，求出AG即可解决问题.

【解答】解：如图，作CHLAB于”，取CQ的中点。，连接OE,OH,EH,作AGl.

EE交EH的延长线于G.

:NCED=NCHD=90°,CO=OD,

：.OE=OH=OC=OD,

：.C,E,H,。四点共圆，

；.NEHC=NEDC=45°,

：.ZAHG=90Q-/EHC=45°,

.∙.点E的运动轨迹是直线GH,当AE与AG重合时，AE的值最小，

在RtZXABC中，∙.∙BC=4,NCAB=30°,

：.AC=√3BC=4√3,AH=AC∙cos30°=6,

"：AGVHG,

：.ZG=90o,

VZAHG=ZGAH=45°,

：.AG=GH=^AW=3√2,

：.AE的最小值为3√Σ

15.（6分）已知等边三角形48C.

（1）用尺规作图画出AABC外接圆。。（不写作法，保留作图痕迹）

（2）已知平面中不同于点A、B、C的点D若点力也在（1）中的。。上，连接BZX

CD,则N8Z）C的度数为60°或120°.

（3）在（1）的条件下，若已知等边三角形ABC的边长为6,则00的直径长为_JV3_.

【分析】（1）过BC和AC的垂直平分线，它们的交点为O,然后以。点为圆心，OA为

半径作圆即可；

（2）先根据等边三角形的性质得到NBAC=60°,再根据圆周角定理得到NBQC=60°,

然后根据圆内接四边形的性质求出NBO'C即可；

(3)延长Bo交。。于E,连接CE,如图，根据圆周角定理得到NBCE=90°,ZBEC

=NBAC=60°,然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出BE即可.

【解答】解：(1)如图，。。为所作；

(2)如图，∙.∙ZL4BC为等边三角形，

ΛZBAC=60o,

：.ZBDC^ZBAC=60o,

:NBD'C+∕BOC=180°,

ΛZBD1C=180°-60°=120°,

故答案为60°或120°；

(3)延长Bo交。。于E,连接CE,如图，

：BE为直径，

：.NBCE=90°,

'：ZBEC=ZBAC=60°,

/.CE=苧8C=6xɪ=2√3

.∙.BE=2CE=4√5,

即。。的直径为48.

故答案为：4√3.

16.(6分)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-/+⅛r+c的图象与y轴交于点A(0,

2),且对称轴是直线x=2,过点A作X轴的平行线交抛物线于另一点反

(1)求抛物线解析式，并根据该函数图象直接写出y>2时X的取值范围.

(2)已知点C是抛物线上一点且位于直线AB上方，若点C向左平移m个单位，将与

抛物线上点。重合；若点。向下平移〃个单位，将与X轴上点E重合.当加+〃=

时，求点C坐标.

【分析】(1)先求得抛物线的解析式，然后求得抛物线与y=2的交点，由图象即可求得；

(2)根据题意求得小+〃=7,由点C,点。关于对称轴直线尤=2对称，可设点C(2+今，

7-加)，代入y=-X2+4X+2,即可求得加的值，从而求得点C的坐标.

【解答】解：(1)由二次函数y=-/+灰+c图象的对称轴是直线冗=2,

・b-ɔ

,∙^2×(-l)^z,

.∙.b=4,

又Y图象过点(0,2),可知c=2,

.∙.抛物线的解析式为：y=-∕+4χ+2,

令y=2,则X=O或戈=4,

,A(0,2),B(4,2),

由图象可知，当y>2时，OVXV4；

(2)VΛ(0,2),B(4,2),

ΛAB=4,

∖*m+n=

Λ∕n+n=7,

•・・点C,点。关于对称轴直线x=2对称，

可设点C(2+手,7-tn),

代入y=-∕+4x+2,解得"”=〃?2=2,

点C坐标为(3,5).

17.(6分)某商品原售价400元，经过连续两次降价后售价为225元，求每次平均降价的

百分率是多少？

【分析】设每次平均降价的百分率是X,根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即

可得出关于X的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论.

【解答】解：设每次平均降价的百分率是X,

依题意，得：400(1-X)2=225,

解得：Xl=O.25=25%,Λ2=1.75(舍去).

答：每次平均降价的百分率是25%.

四.解答题(共3小题，满分24分，每小题8分)

18.(8分)己知X=2是方程/+mχ-8=0的一个根，求：

(1)W的值；

1I,,,一

(2)—+一的值.

XlX2

【分析】(1)由x=2为已知方程的解，将x=2代入方程即可求出〃?的值；

(2)利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，将所求式子通分并利用同分母分式

的加法法则计算，把求出的两根之和与两根之积代入计算，即可求出值.

【解答】解：(1)将x=2代入方程得：4+2,〃-8=0,

解得：机=2；

(2)将机=2代入方程得：/+2Λ-8=0,

ΛX1+Λ2=-2,XiX2=-8,

.11x1÷x2-21

*X1X2%1%2-84

19.(8分)如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30加，拱高PM为9团，当洪水泛滥

到跨度只有15,"时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m,即PN=

2胆时，试求：

(1)拱桥所在的圆的半径；

(2)通过计算说明是否需要采取紧急措施.

【分析】(1)由垂径定理可知AM=BM、A'N=B'N,再在RtZ∖AOM中，由勾股定理

得出方程，即可求出半径；

(2)求出ON=OP-PN=15(机)，再由勾股定理可得A'N=8(m),则A'B'=2AN

=16米＞15机，即可得出结论.

【解答】解：（1）设圆弧所在圆的圆心为。，连接OA、OA',

设半径为xm

则OA=OA'=OP,

由垂径定理可知4W=BM,A1N=B'N,

"：AB=30m,

ΛAΛ∕=∣AB=15(M,

在RtZ∑40Λ∕中，OM=OP-PM=(X-9)m,

由勾股定理可得：AO1=OM2+AM2,

即X2=(X-9)2+152,

解得：X=17,

即拱桥所在的圆的半径为17m；

(2),：OP=Ylrn,

：.ON=OP-PN=I7-2=15(.m),

在Rt△4ON中，由勾股定理可得月'N=>JOA'2-ON2=√172-152=8(〃?),

.∙.A'B'=2AW=I6米>15，”,

不需要采取紧急措施.

20.（8分）某商场销售某种商品，平均每天可售出20件，每件可盈利40元.在某次活动

期间，该店采取降价措施进行促销，经调查发现，销售单价每降低0.5元，每天可多售出

1件.

（1）若降价2元，求每天销售数量;

（2）在每件盈利不少于25元的前提下，当每件商品降价多少元时，该商场销售这种商

品每天可获得利润1200元？

每件商品降低的钱数

【分析】（1）利用每天的销售数量=20+1X,即可求出结论:

0.5

（2）设每件商品降价X元，则每件可盈利（40-χ）元，平均每天可售出（20+2r）件,

根据该商场销售这种商品每天可获得利润1200元，即可得出关于X的一元二次方程，解

之即可得出X的值，再结合每件盈利不少于25元，即可得出结论.

【解答】解：（1）20+1×θ-ʒ

=20÷4

=24（件）.

答：每天销售数量为24件.

（2）设每件商品降价X元，则每件可盈利（40-χ）元，平均每天可售出20+IX叁=

（20+2x）件，

依题意得：（40-χ）（20+2x）=1200,

整理得：X2-30x+200=0,

解得：xι=10,X2=20,

当X=Io时，40-χ=40-10=30>25,符合题意：

当x=20时，40-χ=40-20=20<25,不符合题意，舍去.

答：当每件商品降价10元时，该商场销售这种商品每天可获得利润1200元.

五.解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）

21.（9分）如图，在RtZVlBC中，NACB=90°,。为AB边上的一点，以AO为直径的

Oo交BC于点E,过点C作CGL4B,垂足为G,交AE于点尸，过点E作EPL48,

垂足为P,/EAD=NDEB.

（1）求证：BC是G）O的切线；

（2）若CE=EP,CG=12,AC=15,求四边形CFPE的面积.

【分析】（1）由等腰三角形的性质和直径定理可得NAEz）=90°,ZOED^ZADE,由余

角的性质可得∕OE8+NOED=90°,进而可得∕BEO=90°,可得结论；

(2)连接P凡先证四边形CFPE是菱形，可得CF=EP=CE=P凡由可证Rt△

ACE^RtΛAPE,可得AP=AC=15,由勾股定理可求CF的长，即可求解.

【解答】证明：(1)连接OE,

：.40ED=ZADE,

：AO是直径，

ΛZAED=Wo,

：.ZEAD+ZADE=WQ,

又二4DEB=NEAD,

：.NDEB+NOED=90°,

：.NBEO=90°,

：.OElBC,

；OE是。。的半径，

二BC是。。的切线；

(2)连接尸F,

,AG=y∕AC2-CG2=√152-122=9,

'JACLCE,EP±AB,CE=EP,

：.ZCAE=ZEAO9

：.ZAEC=ZAFG=ZCFEf

：.CF=CE,

：.CF=PEf

VCG±AB9EPLABi

.∖CF∕∕EP,

，四边形CFPE是平行四边形，

又•：CF=CE,

・・・四边形CFPE是菱形，

:.CF=EP=CE=PF,

9CAE=AE,CE=EP,

ΛRt∆ACE^Rt∆APE(HL),

,AP=AC=15,

.∖PG=AP-AG=\5-9=6,

222

VPF=FG+GPf

ΛCF2=(12-CF)2+36,

・「口必

・・Cr=-ɪ,

1C

，四边形CFPE的面积=CFXGP=与x6=45.

22.(9分)如图，抛物线y=-/+fev+c与X轴交于A,B两箴,与y轴交于点C,抛物线的

对称轴交无轴于点D已知4(-1,O),C(0,3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴上有一点M,使得MA+WC的值最小，求此点M的坐标；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△「(?£)是等腰三角形，如果存在，求出点P

的坐标，如果不存在，请说明理由.

【分析】(1)将A(-1,O),C(0,3)代入y=-Λ2+bx+c,求出AC的值即可；

(2)由对称可知，直线BC与对称轴的交点就是点M,求出直线BC的关系式，进而求

出其与对称轴的交点；

(3)设P(I,r),则Pc2=V+(L3)2,C£>2=32+12=I。，Pa=4,根据aPS为等

腰三角形，分三种情况讨论：①当尸C=C。时，②当Cr)=P。时，③当尸C=P。时，分

别建立方程求解即可得出答案.

【解答】解：(1)：抛物线y=-x2+fev+c经过A(-1,0),C(0,3)两点，

.(—1—ð+c=0

*ɪe=3

解得：H，

Ic=3

该抛物线的解析式为y=-Λ2+2Λ+3:

(2)由对称性可知，直线BC与抛物线对称轴的交点就是点M,

抛物线y=-x2+2r+3的对称轴是直线X=-S1、=1,由于点A(-1,0),则点B(3,

0)