四川省乐山市峨眉第二中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题

高2023级高一上期数学十二月月考题一、选择题（共8小题，每题5分，共40分，每个小题只有一项符合题目要求）1.已知集合A＝{－1，0}，B＝{0，1}，C＝{1，2}，则(A∩B)∪C等于（）A.∅ B.{1}C.{0，1，2} D.{－1，0，1，2}【答案】C【解析】【分析】先求交集，再求得与的并集．【详解】A∩B＝{0}，所以(A∩B)∪C＝{0}∪{1，2}＝{0，1，2}．故选：C.【点睛】本题考查集合的交集、并集运算，属于基础题．2.下列函数中与函数相等的函数是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据相等函数的要求一一判定即可.【详解】两函数若相等，则需其定义域与对应关系均相等，易知函数的定义域为R，对于函数，其定义域为，对于函数，其定义域为，显然定义域不同，故A、D错误；对于函数，定义域为R，符合相等函数的要求，即B正确；对于函数，对应关系不同，即C错误.故选：B3.函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的解析式有意义，结合对数的性质，列出不等式，即可求解.【详解】由函数有意义，则满足，即，解得，所以函数的定义域为.故选：B.4.一个扇形的弧长为6，面积为6，则这个扇形的圆心角是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根据扇形的弧长公式和扇形的面积公式，列出方程组，即可求解，得到答案.【详解】设扇形所在圆的半径为，由扇形的弧长为6，面积为6，可得，解得，即扇形的圆心角为.故选C.【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，以及扇形的面积公式的应用，其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和扇形的面积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.方程的根所在的区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】计算各个区间的端点的函数值，根据零点存在性定理可得结果.【详解】设，因为，。，，，因为，所以根据零点存在性定理可得函数在区间内存在零点，所以方程根所在的区间为.故选：B6.设，，，则，，三个数的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的性质，求得的范围，结合，即可求解.【详解】由指数函数的性质，可得，又由对数函数性质，可得，因为，所以.故选：A.7.设定义在区间上的函数是奇函数（，，且），则的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：由题意，所以，，因为，所以，由得，所以，，故选A．考点：函数的奇偶性．【名师点晴】已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用f（x）±f（－x）＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．8.幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一簇美丽的曲线（如图）．设点，，连结，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有，则（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】求出的坐标，不妨设，，分别过，，分别代入点的坐标，变形可解得结果.【详解】因为，，，所以，，不妨设，，分别过，，则，，则，所以．故选：D.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有（）A. B.所有的正方形都是矩形C. D.至少有一个实数，使【答案】AC【解析】【分析】若该命题是真命题，则其否定为假命题，若该命题为全称量词命题，则其否定为特称量词命题.【详解】对A：该命题的否定为，是全称量词命题，又，故为真命题，故A符合要求；对B：该命题为全称量词命题，故其否定为特称量词命题，故B不符合要求；对C：该命题的否定为，是全称量词命题，又，故为真命题，故C符合要求；对D：存在实数，使，故该命题为真命题，则其否定为假命题，故D不符合要求.故选：AC.10.已知且则函数与函数的图像不可能是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】先根据题干讨论的取值范围，然后根指对函数图像的性质判断即可.【详解】且，分类讨论有：情况一：时：先讨论，当单减，此时C选项满足，此时D选项不满足；现在讨论，当单减，此时C选项不满足，此时D选项满足；综上所述：CD选项不可能；情况二：时：这种情况直接舍去，因对且；情况三：时：先讨论，当单增，此时AB选项满足，现在讨论，当单增，此时B选项满足，综上所述：B选项是有可能正确的；对于A选项的对数图像显然不在定义域内，故也是不可能的.综上所述：图像不可能是ACD选项.故选：ACD.11.若在区间上递减，则的取值可以是（）A1 B.1.5 C.2 D.3【答案】AB【解析】【分析】利用复合函数同增异减的性质，求出参数需要满足的不等式，解不等式即可求得结果.【详解】设，可知函数在上单调递减，又函数在定义域内单调递增；由复合函数单调性可知需满足，解得；所以的取值可以是1或1.5.故选：AB12.下列说法正确的是（）A.的最小值是2 B.的最小值是C.的最小值是2 D.的最大值是【答案】AB【解析】【分析】根据均值不等式判断A，根据判断B，根据均值不等式判断C，取特殊值判断D.【详解】因，所以，当且仅当时，即时等号成立，故A正确；因为，当时等号成立，故最小值是，故B正确；因为，当且仅当时，即，无解，等号不成立，故C错误；因为中，令时，，所以的最大值不是，故D错误.故选：AB三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数（且）的图象恒过点__________．【答案】【解析】【分析】利用对数函数图象过定点求解即得.【详解】函数中，当，即时，的值恒为0，即恒有，所以函数（且）的图象恒过点.故答案为：14.计算的结果是__________．【答案】##【解析】【分析】根据三角函数的诱导公式，准确化简、运算，即可求解.【详解】根据三角函数的诱导公式，可得：原式.故答案为：.15.已知，则_________.【答案】【解析】【分析】令，利用换元法可得，进而可得出的解析式.【详解】令，则，由，得()，即().故答案为：.16.已知函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】结合分段函数、指数函数与二次函数性质即可得.【详解】由函数是上的单调递增函数，故在时单调递增，即，在时单调递增，即，解得，且，即或，综上可得，即.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．17.计算求值：（1）（2）【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）以实数指数幂的运算规则解之即可；（2）以对数运算规则解之即可.【小问1详解】．【小问2详解】18.已知集合，．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）化简集合A，B,利用并集运算求解；’（2）分和两种情况，利用集合间关系列不等式求解.【小问1详解】由题意，当时，，【小问2详解】，当时，，解得，满足题意当时，得或解得综上所述：或19.若不等式的解集是．（1）解不等式；（2）b为何值时，的解集为R．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）由题意可得和1是方程的两个根，则有，求出的值，然后解不等式即可，（2）由（1）可知的解集为R，从而可得，进而可求出的取值范围【小问1详解】由题意得和1是方程的两个根，则有，解得，所以不等式化为，，解得或，所以不等式的解集为或【小问2详解】由（1）可知的解集为R，所以，解得，所以的取值范围为20.科学家发现某种特别物质的温度（单位：摄氏度）随时间（时间：分钟）的变化规律满足关系式：（，）.（1）若，求经过多少分钟，该物质的温度为摄氏度；（2）如果该物质温度总不低于摄氏度，求的取值范围.【答案】（1）经过分钟，该物质的温度为摄氏度；（2）.【解析】【分析】（1）将代入函数解析式，令，结合解出的值；（2）令，换元，于是得出，由参变量分离法得出，然后求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.【详解】（1）由题意，当，令，时，解得，因此，经过分钟时间，该物质的温度为摄氏度；（2）由题意得对一切恒成立，则由，得出，令，则，且，构造函数，所以当时，函数取得最大值，则.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查给定函数模型的应用，考查指数方程的求解以及指数不等式恒成立问题的求解，在含单一参数的不等式问题中，通常利用参变量分离法转化为函数最值来求解，考查化归与转化思想，属于中等题.21.已知函数是奇函数，当时，．（1）求的解析式；（2）判断函数的单调性；（3）若方程有三个不同的根，求的取值范围．【答案】（1）（2）的单调递减区间是，单调递增区间是，（3）【解析】【分析】（1）根据题意，利用函数为奇函数，结合，即可求解；（2）作出函数的图象，结合图象，即可得到函数的单调区间；（3）根据题意，转化为函数与的图象有三个不同的交点，结合图象，即可求解.【小问1详解】解：设，则，因为时，，可得，又因为函数是奇函数，所以，即，所以函数的解析式为.【小问2详解】解：作出函数的图象，如图所示：可得的单调递减区间是，单调递增区间是，【小问3详解】解：要使得方程有三个不同的根，即函数与的图象有三个不同的交点，如图所示，可得，即的取值范围是．22.已知定义在上的函数对任意实数、恒有，且当时，，又．（1）求证为奇函数；（2）求证：为上的减函数；（3）解关于的不等式：．（其中）【答案】22.证