2023-2024学年贵州省高二年级上册质量检测考试数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年贵州省高二上学期质量检测考试数学模拟试题

一、单选题

1.直线χ-y-3=o的倾斜角为()

A.30oB.45oC.60oD.135°

【正确答案】B

【分析】根据给定方程求出直线的斜率，再由斜率的定义直接计算作答.

【详解】直线x-y-3=0的斜率为4=1,设这条直线的倾斜角为α(0≤α<180),

显然aX90，则tanα=l,解得α=45,

所以直线χ-y-3=o的倾斜角为45。.

故选：B

2.a=(2,m,0),⅛=(l,3,w-l),若〃///?,则，”+2〃=()

A.6B.7C.8D.9

【正确答案】C

【分析】根据给定条件，利用空间向量共线求出，的值作答.

【详解】因为α=(2,m,0),6=(1,3,〃-1),a∕∕b>则存在ZIeR,使得b=；U，

22=1

即(1,3,〃—1)=4(2,m,0)=(24,√1Λ7,0),于是，力n=3,解得义="!■,〃?=6,〃=1,

H-I=O

所以∕n+2"=8.

故选：C

3.斜率为2,且过直线y=4-x和直线y=x+2交点的直线方程为()

A.y=2x+lB.y=2x-∖C.y=2x-2D.y=2x+2

【正确答案】A

求出两直线的交点坐标，根据点斜式可得结果.

fy=4-xfx=1.、

【详解】联立1；=x+2,解得),=3'所以两直线的交点坐标为(L3)，

所求直线方程为y-3=2(x-l).整理为y=2x+l.

故选：A

本题考查了求两直线的交点，考查了直线方程的点斜式，属于基础题.

22

4.已知点P为椭圆「二+二=1上一点，椭圆的两个焦点分别为写，F2,则耳巴的周长是()

IOO36

A.20B.36C.64D.100

【正确答案】B

【分析】根据给定的椭圆方程，求出长短半轴长、半焦距即可作答.

【详解】椭圆会卷=1的长半轴长”10,短半轴知6=6,半焦距C=TT彳=8，

依题意，4PF∖F?的周长为2Q+2c=20+16=36.

故选：B

5.已知圆C∣:χ2+y2_,nr-3=0平分圆C2：(x—lf+(y—2)2=4的周长，则加=()

A.2B.4C.6D.8

【正确答案】C

【分析】利用圆C2的圆心在两圆的公共弦上求解.(两圆方程相减可得公共弦所在直线方程).

25

【详解】由圆G：X+√-≡-3=0F^∙∣1C2:(X-I)2+(y-2)2=4的周长可知，圆G经过圆C?的

一条直径的两个端点，

所以圆G的圆心在圆Cl与圆c?的公共弦上，两圆方程相减整理得圆G与圆G的公共弦所在直线的

方程为(2-w)x+4y-4=()，

又圆心。2(1，2)，所以2-，〃+8—4=0,所以,〃=6,

故选：C.

6.在平行六面体ABCO-AqGA中，M为AC与8。的交点，若44=。，A1D1=b,AA=3，则

下列向量中与4例相等的向量是().

B∙L+4+c

A.——a+-h+c

2222

ɪ1

CD

2-2-

【正确答案】A

[分析]利用空间向量线性运算法则进行运算即可.

【详解】因为在平行六面体ABCO-A耳Ca中，BM=^BD=^AD-AB)=^(AtDl-AtBt),

所以BlM=8∣8+8M=AA+g(AQ-ABJ=+^AtDt+A,A=-^a+^b+c.

故选：A.

7.已知曲线y=_内二，■与直线X=Sy+5只有一个交点，则实数加的值为()

ʌ-4c

B-?∙4d∙Z

【正确答案】B

【分析】由y=-√9-χ2，得f+y2=9(y<0),将X=祖y+5代入V+y?=9(y<0)中，得到

(∕n2+l)/+IOmy+16=0,再根据判别式为零得到用的值即可.

【详解】由y=-√^Ξ7,得/+/=/"O).表示下半圆,

X=冲+5表示过(5,0)的直线，

要使两图象有一个交点必须判别式为零，

将X=WJy+5代入/+),2=9(y<0)中，n]"#(zn2+l)y2+IOwy+16=0,

曲线y=-√^二P^与直线X=My+5只有一个交点，

4

2,

△=IOOw-64(W2+1)=0,∙.m=±—,

3

,

9-X2..0,..x∈[-3,3],

4

，当机=——时，x=w>+5>5⅛x∈[-3,3]矛盾，

3

..团=一4.

3

故选：B.

2

8.已知双曲线U∕-2L=ι的左，右焦点为大,八，P为双曲线右支上的一点，NPKE=30。，/是

2

△尸耳用的内心，则下列结论错误的是()

A.ZXPEK是直角三角形B.点/的横坐标为1

C.∣P∕∣=2√5-2D.ZVj耳E的内切圆的面积为万

【正确答案】D

【分析】由双曲线的定义得，IWHPEI=2,忻图=2百,设IP闾=x,IPMl=X+2,由余弦定理可求

解x=2,即可判断出Pg-L耳心，再由等面积法计算内接圆的半径，即可得点/的坐标和面积，写出

点P坐标，利用距离公式可求解出I刊I.

【详解】由已知可得，I百|一段=2,恒周=26，设IP国=x,IP6I=x+2,则

8SRE=税Ml；)¥,得I'所以陶=2,网|=4,则崎+mHP用2,所

以竺，耳心，所以A正确；设内接圆半径为，则g∙(∣p用+∣P周+g∣H=g∙∣也IME|,得

r=J5-1,所以/的坐标为(1,石-1),面积为S=4(6―1)=(4-28,所以B正确，D错误；由

题意P(百,2),IP/I=J(G-I)2+(3-Gy=2(g-l),所以C正确;

故选：D.

二、多选题

9.已知向量。=(4,-2,7)/=(6,-3,2),则下列结论不正确的是()

A.α+6=(10,-5,-2)B.α-b=(2,-l,6)

C.a>b-IOD.忖=6

【正确答案】BC

【分析】利用向量坐标运算法则直接求解.

【详解】解：向量α=(4,-2,-4),O=(6,-3,2),

a+b=(↑O,-5,-2),故A正确；

a—b=(—2,1,^^6),故B错误；

α∙⅛=24+6-8=22,故C错误;

∖a∖=√16+4+16=6,故。正确.

故选：BC.

10.对于直线/：x=my+∖,下列说法错误的是()

A.直线/恒过定点(1,0)

B.直线/斜率必定存在

C.机=2时直线/与两坐标轴围成的三角形面积为,

D.机=6时直线/的倾斜角为60。

【正确答案】BD

【分析】求出/过的定点判断A；根据，"的取值情况判断B；当m=2时，求出直线/的横纵截距计

算判断C；当帆=6时，求出直线/的斜率判断D作答.

【详解】对于A,直线/：X=冲+1恒过定点(1,0),A正确：

对于B,当,w=0时，直线/：X=I垂直于X轴，倾斜角为90,斜率不存在，B错误；

对于C,当〃?=2时，直线/：x=2y+l与X轴、y轴分别交于点(1,0),(0,-

此时直线/与两坐标轴围成的三角形面积为《χiχ∣-1∣=!,C正确；

224

对于D,当机时，直线/：X=Gy+1的斜率/=4，因此倾斜角为30。，D错误.

故选：BD

11.已知圆C：(x-5p+(y-5)2=16与直线/：尔+2y-4=0,下列选项正确的是()

A.直线/与圆C不一定相交

B.当机＜J∣时，圆C上至少有两个不同的点到直线/的距离为1

C.当〃?=-2时，圆C关于直线/对称的圆的方程是(x+3)2+(y+3)2=16

D.圆心(5,5)到直线/距离的最大值为5

【正确答案】AB

【分析】利用直线/经过的定点与圆的关系判断A；利用圆心到直线/距离小于5判断B；求出圆心

关于/的对称点判断C；求出圆心到/的距离最大值判断D作答.

【详解】显然直线/：皿+2)，-4=0过定点A(0,2),圆C：(x-5)2+(y-5)2=16的圆心C(5,5),半

径r=4,

对于A,∣ΛC∣=√52+(-3)2=√34>r,即点A在圆C外，因此直线/与圆C不一定相交，A正确;

对于B,圆C上至少有两个不同的点到直线/的距离为1,当且仅当点C到直线/的距离小于5,

15根+61

因此<5解得，"<s即B正确;

λ∕zn2+4

对于C,当〃/=-2时，直线/：x-y+2=0,令圆心C(5,5)关于/的对称点为(o,b),

则="+5…,解得α=3,2,因此圆C关于直线/对称的圆的方程是

(x-3)2+(y-7)2=16,C错误;

对于D,由选项A知，IACl=后，当且仅当直线/_LAC时，圆心(5,5)到直线/距离取得最大值后,

D错误.

故选：AB

12.抛物线C:f=4),的焦点为尸，尸为其上一动点，设直线/与抛物线C相交于A,8两点，点

M(2,2),下列结论正确的是()

A.∣PM∣+∣PF∣的最小值为3

B.抛物线C上的动点到点W(0,3)的距离最小值为3

C.不存在直线/,使得A,B两点关于x+y-3=O对称

D.若直线AB过焦点F,则SABo(O为坐标原点)的面积的最大值为2

【正确答案】AC

【分析】根据抛物线定义计算∣PM∣+∣PFI最小值判断A;利用两点间距离公式结合二次函数求出最

小值判断B；利用对称思想探求直线/的条件判断C；设出直线A3方程，求出.ABO面积关系判断

D作答.

【详解】对于A,设/'是抛物线C的准线，过户作PNL'于N,贝"nW∣+∣Pq=IPM+1PM≥3,

当且仅当P,M,N三点共线时等号成立.所以IPM+归周最小值是3,A正确；

2222

对于B.设尸”,S)是抛物线上任一点，即产=4s,∖PH∖=y∣t+(s-3)=√4,v+(5-3)=√(Λ-1)+8,

当S=I时，IPMmM=&=2板，B错误；

对于C,假设存在直线/,使得A,8两点关于x+y-3=0对称，设/方程为x-y+m=0,

(x2=4y

由(C得χ2-4x-4"7=0,于是A=16+16∕”＞0,即机＞一I,

[x-y+〃?=0

4

设A(Xl,凹),8(々,必)，则为+巧=∙AB中点为Q(XO,%),则XO=Xl：♦=2,y0=x0+m=2+m,

。必在直线x+y-3=0上，即2+2+∕n-3=0,w=-l,与机＞一1矛盾，因此直线/不存在，C正确:

对于D,显然点F(0,1),直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为V=履+1,

X2—4y

由＜,',消去y得：2-4kx-4=0,设A(X3,y)8(X4,X),则鼻+汽=4%,XΛ=-4,

y=fcr+1xt

于是.ABO的面积Sλbo=—IOFI∙IX3—x4I=—y∣(x3+x4)^—4x,x4=2yjk^+1≥2,

当且仅当&=0时取等号，因此。的面积有最小值2,无最大值，D错误.

故选：AC

三、填空题

13.已知向量α=(T,2,2),6=(3,-1,-2),^(λa+b)1a,贝ij；I=.

【正确答案】1

【分析】根据给定条件，求出|〃|及再利用垂直关系的向量表示求解作答.

【详解】向量a=(T,2,2),⅛=(3-1,-2),则∣α∣=J(T)?+2?+2,=3,

α∙⅛=-l×3+2×(-l)+2×(-2)=-9,由(∕lα+b)JL4得:

(λa-∖-b)a=λa+ab=9λ-9=0所以4=1.

故1

14.在平面直角坐标系中，点(%,%)到直线At+By+C=O的距离d=IAyB%:0,类比可得在

√A+B^

空间直角坐标系中，点(2,1,1)到平面2x+2y+z+8=O的距离为.

【正确答案】5

【分析】把平面点到直线距离公式类比到空间点到平面的距离公式：点P(x0,%,%),平面方程

Ax+By+Cz+D=O,距离dJ-：：Cz°：J,由此计算.

√A2+B2+C2

__j∣2×2+2×1+1+8∣U

【详解】类比可得点(2,1,1)到平面2x+2y+z+8=O的距离"=飞=+]—=5∙

故5.

15.已知圆C：(Λ+2)2+/=1,P(X,力为圆C上任一点，则二的最大值为______.

X-I

【正确答案】四回

4

【分析】设％=子，得到直线方程为"-y+2-A=o,根据条件得到直线与圆有公共点，转化为

圆心C(-2,0)到直线的距离d小于等于半径1,从而得到关于Z不等式，即可求解.

【详解】设％=)三，则y-2=依-k,即直线方程为丘-y+2-k=0,

x-1

因为P(χ,y)为圆C上任一点，

∣-2⅛+2-⅛∣∣2-3⅛∣^

则圆心(-2,0)到直线的距离4=

∙J∖+k2∖j∖+k2

即∣2-3K≤√iTP^,解得上旦

所以二的最大值为史史，

X-I4

故答案为.也叵

4

16.已知点P为椭圆上+工=1上的动点，EF为圆N:£+(y_i)2=i的任意一条直径，则pg.PF的

1612

最大值是.

【正确答案】19

【分析】设点P(x,y),则χJ16-gy2且-2石≤y≤2指，计算得出尸E∙PF=-g(y+3?+19,再

利用二次函数的基本性质即可求得PE∙PF的最大值.

【详解】解：圆N"2+(yT)2=ι的圆心为N(O,1),半径长为1,

设点尸(χ,y),

22Λ

由点P为椭圆三+二=1上的动点，可得：XjI6-；y2且-2石≤y≤2√L

16123

由EF为圆N:Y+(>-1)?=1的任意一条直径可得：

PE=PN+NE<PF=PN+NF=PN-NE，

:.PE∙PF=(PN+NE)∙(PN-NE)=PN。-屐=x2+(ʃ-l)2-1,

=16-^√+y2-2y+l-l=-∣γ2-2y+16=-∣(y+3)2+19,1-2yβ≤y≤2吟,

，当y=-3时，PE∙PF取得最大值，即(PE∙P尸L=I9.

故答案为.19

四、解答题

17.已知向量α=(2,1,-2),⅛=(-2,3,1),C=(X,3,5).

⑴当∣α+c∣=5&时，求实数X的值；

⑵若向量C与向量4,6共面，求实数X的值.

【正确答案】(I)X=3或x=-7.

C46

(2)-—•

【分析】(1)由空间向量的坐标运算，建立方程，求解即可；

(2)设c=4α+2,〃eR),根据空间向量的坐标线性运算建立方程组，求解即可.

【详解】(1)解:α+c=(x+2,4,3),

因为∣α+c∣=5√∑,所以J(χ+2y+42+32=50,即W+4X_21=0,解得X=3或X=-7；

(2)解：因为向量C与向量〃，人共面，所以设c=2α+W(4"wR).

x=2λ-2/μ,

因为(％3,5)=处2,1,-2)+4(-2,3,1),，3=2+3〃，所以U=-M所以实数X的值为-今.

5=-∑λ,+〃[[

18.已知.ΛBC的顶点A(l,2),AC边上的高BQ所在直线方程为x-2y=0.AC边上的中线BE所在

直线方程为x-4y-2=0.

⑴求点B的坐标；

(2)求点C的坐标及8C边所在直线方程.

【正确答案】(1)(一2,-1)；

(2)(3,-2)；x+5y+7=0.

【分析】(1)解直线8。与直线BE的方程组成的方程组，即可得点B的坐标.

(2)求出直线AC的方程，与直线BE的方程联立求出点E的坐标，再利用中点坐标公式求出点C

的坐标，进而求出直线8C方程作答.

x-2y=0Jx=-2

【详解】(1)依题意，点B是直线BD与直线BE的交点，由解得jy=τ

x-4y-2=0

所以点B的坐标是(-2,-1).

(2)因ACJ.BD,则设直线AC的方程为2x+y+=O,而点A(1,2),则2xl+2+∕n=0,解得m=-4,

[2x+y-4=O(x=2

直线AC：2x+y-4=0,由；CC解得八，于是得边AC的中点E(2,0),

[x-4y-2=0[y=0

因此点C的坐标为(3,-2),直线BC的方程为y-(7)=(X+2),即x+5y+7=0,

33一(一2)

所以点C的坐标为(3,-2),BC边所在直线方程X+5y+7=0.

19.已知圆C的圆心在直线/：x-2y=0上，且过点O(0,0)和A(2,6).

⑴求圆C的方程；

(2)求证：直线4：(m-l)x+y-3"z=0,,∙R与圆C恒相交.

【正确答案】(I)(X-4>+(y-2)2=20；

(2)证明见解析.

【分析】(1)根据给定条件，求出圆心坐标及半径作答.

(2)求出直线4过的定点，再判断该定点与圆C的位置关系作答.

【详解】(1)因为圆C过点0(0,0)和A(2,6),则圆心C在线段Q4的中垂线上，

线段04的中点(1,3),直线OA的斜率为3,因此线段04的中垂线方程为y-3=-g(x-1),即

x+3y-10=0,

(x-2y=O[x=4-----------

r

由√ιn八，解得ɔ-则点C(4,2),圆C半径r=∣OC∣="7Ξ=2石，

[x+3>,-10=0[y=2

所以圆C的方程为*-4)2+(y-2)2=20.

,、fx-3=0

(2)直线∕∣:(∕w-l)x+γ-3∕n=0,即(x-3)”?-(X-y)=O,m≡R,由,一。解得X=y=3,

因此直线小恒过定点8(3,3),[∣ij∣seiɪ√(3-4)2+(3-2)2=√2<2√5,则点83,3)在圆C内，

所以直线乙与圆C恒相交.

20.已知双曲线C的右焦点与抛物线E：V=8x的焦点/重合，且双曲线的一条渐近线为/：

百

y=τx∙

⑴求双曲线C的方程；

(2)若过点尸且与/平行的直线加交抛物线E于A,8两点，求线段A8的长.

【正确答案】⑴兰-俨=1;

(2)32.

【分析】(1)根据题意，求出抛物线的交点，结合双曲线焦点的位置，以及渐近线方程，即可求解:

(2)根据题意，求出直线〃?的方程，联立方程组，结合韦达定理与抛物线焦点弦的公式，即可求解.

【详解】(1)根据题意，易知抛物线E的焦点为F(2,0),

22

故可设双曲线C的方程为%-g=l(α>0,6>0),且c=2,

因为双曲线的一条渐近线为y=乎x,

a2+⅛2=4,

所以，解得〃=6，6=1，

a3

故双曲线C的方程为三-丁=]

(2)由已知，可得直线心的方程为y=*-2),设AaM,3(孙％)，

y2=Sx

联立√3z、，消去y,整理得X-28X+4=0,故X∣+Λ⅛=28,

"手1)

因此线段A8的长为∣AB∣=Λ1+Λ2+P=32.

21.如图，在四棱锥P-ABCr)中，底面ABCr)是边长为2的正方形，平面A4Q_L底面ABer),

PB=PC=瓜

(1)证明：平面P43，平面PC。；

(2)已知点M是线段PC的中点，求二面角A-BM-C的余弦值.

【正确答案】(1)证明见解析；

⑵-逑.

5

【分析】(1)利用面面垂直的性质，结合勾股定理求出PB,PC,再利用勾股定理的逆定理及线面垂

直的判定、面面垂直的判定推理作答.

(2)取AaBC的中点O,E,以点O为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.

【详解】(1)连接BD,在四棱锥P—ABCO中，底面ABC。是边长为2的正方形，则8。=2夜，

CDA.AD,ABVAD,

因为平面R4。，底面ABCr>,平面PAE>c底面ΛBCO=AD,CD,ABcABCD,

则CQ_L平面PA。，Aβ∕平面尸4£),又C。,ABU平面PA£>,于是CD_LP£>,AB_L∕¾,

而PB=PC=巫,则有PA=PD=α在『-22=0，

T⅛PD2+PB2≈8=BD2,PD2+PA2=4=AD2,因此PO_LPB,POJ.PA,

而PD尸A=P,尸£>,尸AU平面B4B,则PZ)J_平面B4B,又PDu平面PCr),

所以平面∕¾B_L平面PCD

(2)取ABe。边A。,BC的中点QE,连接OE,OP,则OE//CD,由(1)知OEJ•平面∕¼D,

OPlAD,

显然OE,02OP两两垂直，以点。为原点，射线OE,OROP的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立

空间直角坐标系，

则A(O,-1,O),B(2,-l,O),C(2,l,0),P((U,1),ʌ/(l,ɪ,ɪ),

3131

AB=(2,0,0),AM=(1,1,-),BC=(0,2,0),BΛ∕=(-1,-,ɪ),

fm∙AB=2xl=O

设加=(Xl,*,Zl)是平面ABΛ∕的一个法向量，则(3I,令M=I,得MZ=(0,1,-3),

in-AM=XlH■—yl+—z1=O

n∙BC=2y2=O

设〃=(Λ2,%,Z2)是平面BCM的一个法向量，则，31,令々=1，得"=(1,0,2),

n∙BM——%2+e%+5z2=O

m`n-3×23√2

因此COS〈碗