湖南省湘潭市严冲中学高二数学理下学期摸底试题含解析

湖南省湘潭市严冲中学高二数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=cos（2x﹣）在区间[0，]上的最小值为（）A．﹣1 B．﹣ C．0 D．参考答案：B【考点】余弦函数的图象．【分析】由条件利用余弦函数的定义域和值域求得f（x）在区间[0，]上的最小值．【解答】解：由x∈[0，]，可得2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣=时，函数f（x）取得最小值为﹣，故选：B．2.如图，是直棱柱，，点，分别是，的中点.若，则与所成角的余弦值为A.

B.

C.

D.参考答案：A略3.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度参考答案：B【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．故选B4.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(

) A．（￢p）∨（￢q） B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．p∨q参考答案：A考点：四种命题间的逆否关系．专题：简易逻辑．分析：由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示．解答： 解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（￢p）V（￢q）．故选A．点评：本题考查了复合命题的真假，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题．5.已知直线l1：x﹣y+1=0和l2：x﹣y+3=0，则l1与l2之间距离是（）A．2

B．C． D．2参考答案：C【考点】两条平行直线间的距离．【分析】直接利用两条平行直线间的距离公式，运算求得结果．【解答】解：∵已知平行直线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0，∴l1与l2间的距离d==，故选C．【点评】本题主要考查两条平行直线间的距离公式的应用，注意未知数的系数必需相同，属于基础题．6.已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则()A．a>b>c

B．a>c>b

C．b>a>c

D．c>a>b参考答案：B7.已知：，求z=x2+y2最小值为（） A．13 B． C．1 D．参考答案：B【考点】简单线性规划． 【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用． 【分析】作出可行域，则Z表示可行域内得点到原点的距离的平方． 【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图： 由图可知原点到可行域内点的最小距离为原点到直线2x+y﹣2=0的距离d=． ∴z=x2+y2最小值为（）2=． 故选：B． 【点评】本题考查了简单的线性规划，根据z的几何意义寻找最小距离是关键． 8.已知回归直线斜率的估计值为1.23，样本点的中心为点(4,5)，则回归直线的方程为()A.＝1.23x＋4

B.＝1.23x＋5C.＝1.23x＋0.08

D.＝0.08x＋1.23参考答案：C略9.现有A、B、C、D、E五位同学分别报名参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组竞赛，每人限报一组，那么不同的报名方法种数有(

)A.120种 B.5种 C.种 D.种参考答案：D【分析】先计算每个同学的报名方法种数,利用乘法原理得到答案.【详解】A同学可以参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组,共有3种选择.同理BCDE四位同学也各有3种选择,乘法原理得到答案为D【点睛】本题考查了分步乘法乘法计数原理,属于简单题目.10.直线的倾斜角是

（

）A

B

C

D参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律，拼成若干个图案：

则第4个图案中有白色地面砖____________块，第n个图案中有白色地面砖__________块.参考答案：解：第(1)个图中，黑：1白：6；

第(2)个图中，黑：2白：10；第(3)个图中，黑：3白：14；

第(4)个图中，黑：4白：18；第(n)个图中，黑：n白：6+(n－1)4=4n+2块.

12.一副扑克牌中去掉大小王，还有方块、红桃、梅花、黑桃四种花色各13张共52张，当随机抽出3张扑克牌，则这三张牌同花色的概率为_____.参考答案：13.已知椭圆左右焦点分别是，点A是直线上的动点，若点A在椭圆C上，则椭圆C的离心率的最大值为

▲

.参考答案：【分析】利用直线与椭圆C有公共点，得到，从而得到了椭圆的离心率的最大值【详解】由题意易知：直线与椭圆C有公共点，联立方程可得：∴∴，即∴椭圆C的离心率∴椭圆的离心率的最大值为

14.已知函数g（x）=x2﹣2ax，f（x）=﹣ln（x+1），若存在x1∈[0，1]，存在x2∈[1，2]使得f′（x1）≥g（x2）成立，则实数a的取值范围是．参考答案：a≥1【考点】5B：分段函数的应用；3R：函数恒成立问题；3W：二次函数的性质．【分析】先将问题等价为：f'（x）min≥g（x）min，再分别对二次函数和指数函数在相应区间上求最值，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：根据任意x1∈[0，1]，存在x2∈[1，2]，使f′（x1）＞g（x2）成立，只需满足：f'（x）min≥g（x）min，而f'（x）=x2﹣，x∈[0，1]时为增函数，所以，f'（x）min=f（0）=﹣1，g（x）=x2﹣2ax的图象是开口朝上，且以直线x=a为对称轴的抛物线，①若a＜1，则x∈[1，2]时函数单调递增，所以，g（x）min=g（1）=1﹣2a，因此，﹣1≥1﹣2a，解得a≥1，故此时不存在满足条件的a值；②若1≤a≤2，则x∈[1，a]时，函数单调递减，x∈[a，2]时函数单调递增，所以，g（x）min=g（a）=﹣a2，因此，﹣1≥﹣a2，解得a≤﹣1，或a≥1，故此时1≤a≤2；③若a＞2，则x∈[1，2]时函数单调递减，所以，g（x）min=g（2）=4﹣4a，因此﹣1≥4﹣4a：，解得a≥，故此时a＞2；综上可得：a≥1故答案为：a≥115.已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是

．参考答案：16.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若27a3﹣a6=0，则=．参考答案：28【考点】等比数列的通项公式．【分析】设出等比数列的首项和公比，由已知求出公比，代入等比数列的前n项和得答案．【解答】解：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由27a3﹣a6=0，得27a3﹣a3q3=0，即q=3，∴=．故答案为：28．17.过点P（1,2）引直线使A（2，3），B（4，5）到直线的距离相等，求这条直线方程_____________参考答案：或三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知圆C的方程为：（1）若圆C的切线l在x轴和y轴上的截距相等，求切线l的方程；（2）过原点的直线m与圆C相交于A、B两点，若|AB|=2，求直线m的方程.参考答案：(1)①若切线l过原点,设l方程为y=kx,即kx-y=0

则由C（-1,2）到l的距离：得：

∴此时切线l的方程为：y=

②若切线l不过原点,设l方程为x+y-a=0,

则由C（-1,2）到l的距离：得：3或a=-1此时切线l的方程为：x+y-3=0或x+y+1=0

∴所求切线l的方程为：y=或x+y-3=0或x+y+1=0

(2)①当直线m的斜率不存在时，其方程为x=0,m与圆C的交点为A(0,1),B(0,3)

满足|AB|=2，∴x=0符合题意。

②当直线m的斜率存在时，设m的方程为y=kx,即kx-y=0，

则圆心C到直线m的距离为：

解得：k=-

∴此时m的方程为：3x+4y=0

故所求m的方程为：x=0或3x+4y=0

19.已知函数=，.(1)求函数在区间上的值域T；(2)是否存在实数，对任意给定的集合T中的元素t，在区间上总存在两个不同的，使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；参考答案：（1）

在区间上单调递增，在区间上单调递减,且

的值域T为

（2）则由（1）可得，原问题等价于：对任意的在上总有两个不同的实根，故在不可能是单调函数

当时,,在区间上单调递增，不合题意当时,,在区间上单调递减，不合题意当即时,在区间上单调递减;在区间上单递增，由上可得，此时必有的最小值小于等于0且的最大值大于等于1，而由可得，则综上，满足条件的不存在。而，故有即，令，则上式化为，令，则由可得在上单调递增，故，即方程无解，所以不存在。20.已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点在椭圆上，且(1)求椭圆的方程；(2)过(0,－2)作与x轴不垂直的直线l与椭圆交于B，C两点，求面积的最大值及l的方程．参考答案：（1）（2）．【分析】（1）根据椭圆定义得到，将代入椭圆方程可求得，从而求得椭圆方程；（2）假设直线，代入椭圆方程，写出韦达定理的形式；根据弦长公式表示出，利用点到直线距离公式表示出点到直线的距离：，从而可表示出所求面积，利用基本不等式求出最值和取得最值时的值，从而求得结果.【详解】（1）由题意可得，解得，故椭圆的方程为（2）由题意可知：直线的斜率存在，设直线的方程为设，联立，化为：由韦达定理可知：，点到直线的距离面积当且仅当，即时取等号此时直线方程为故面积的最大值为，直线的方程为【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、椭圆中与面积有关的最值和范围的求解问题.涉及到椭圆中的多边形面积问题，通常将所求面积利用韦达定理来表示为关于变量的函数关系式，再借用函数值域的求解方法或者基本不等式求解得到最值或范围，属于重点题型.

21.已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心C在直线y=x上，又直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点．（1）求圆C的方程；（2）若?=﹣2，求实数k的值；（3）过点（0，4）作动直线m交圆C于E，F两点．试问：在以EF为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P，使得圆P经过点M（2，0）？若存在，求出圆P的方程；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）设圆心C（a，a），半径为r．|AC|=|BC|=r，由此能求出圆C的方程．（2）由?=2×2×cos＜，＞=﹣2，得∠POQ=120°，圆心C到直线l：kx﹣y+1=0的距离d=1，由此能求出k=0．（3）当直线m的斜率不存在时，圆C也是满足题意的圆；当直线m的斜率存在时，设直线m：y=kx+4，由，得（1+k2）x2+8kx+12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出在以EF为直径的所有圆中，存在圆P：5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0或x2+y2=4，使得圆P经过点M（2，0）．【解答】解：（1）设圆心C（a，a），半径为r．因为圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），所以|AC|=|BC|=r，即，解得a=0，r=2，所以圆C的方程是x2+y2=4．…（2）因为?=2×2×cos＜，＞=﹣2，且与的夹角为∠POQ，所以cos∠POQ=﹣，∠POQ=120°，所以圆心C到直线l：kx﹣y+1=0的距离d=1，又d=，所以k=0．…（3）（ⅰ）当直线m的斜率不存在时，直线m经过圆C的圆心C，此时直线m与圆C的交点为E（0，2），F（0，﹣2），EF即为圆C的直径，而点M（2，0）在圆C上，即圆C也是满足题意的圆．…（ⅱ）当直线m的斜率存在时，设直线m：y=kx+4，由，消去y整理，得（1+k2）x2+8kx+12=0，由△=64k2﹣48（1+k2）＞0，得或．设E（x1，y1），F（x2，y2），则有①…由①得，②，③若存在以EF为直径的圆P经过点M（2，0），则ME⊥MF，所以，因此（