高中数学数列知识点总结

一、数列

1.数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.

⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规

律因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列.

⑵在数列中同一个数可以重复出现.

⑶项a"与项数n是两个根本不同的概念.

⑷数列可以看作一个定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数当自变量从小到大依

次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列

2.通项公式：如果数列｛。，｝的第〃项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫

做这个数列的通项公式，即％=/（〃）.

3.递推公式：如果已知数列｛。“｝的第一项（或前几项），且任何一项％与它的前一项

（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即/或

那么这个式子叫做数列｛4“｝的递推公式.如数列｛““｝中，卬=1,。“=2a“+1,其中

=24+1是数列｛%｝的递推公式.

4.数列的前"项和与通项的公式

®SH=a.+«2+­••+«„；②.

-―—=-----------"lSn-Sn_Sn>2）

5.数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.

6.数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列,摆动数列，常数数列；

有界数列，无界数列.

①递增数列：对于任何neN+,均有an+｝>an.

②递减数列:对于任何〃wN+,均有«n+l<an.

③摆动数列:例如：-1,1-1,1-1,-7-

④常数数列:例如例,6,6,6,…….

⑤有界数列:存在正数M使同《"eM.

⑥无界数列:对于任何正数M，总有项%使得|%|>M.

1、已知—（〃wN*）,则在数列｛4｝的最大项为_（答：—）；

nr+15625

2、数列｛”“｝的通项为凡=一竺一，其中。力均为正数，则明与。,用的大小关系为一（答:

bn+\

a

n<%+i）；

3、已知数列｛q｝中，4="2+2”,且｛《,｝是递增数列，求实数4的取值范围（答：2>-3）；

4、一给定函数y=/（x）的图象在下列图中，并且对任意6e（0,1）,由关系式％”=/（«„）

得到的数列｛%｝满足%>%（〃wN*）,则该函数的图象是（）（答：A）

二、等差数列

1、等差数列的定义：如果数列｛aJ从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，

那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。即

=

Cln-Cln-\d(〃eN*,且"22).(或Cln+\~dn=d(neN")).

2、(1)等差数列的判断方法：

①定义法：即+|-以="常数)o为等差数列。

②中项法：2。”+1=。"+。”+2。｛a,J为等差数列。

③通项公式法：a„=an+b(a,b为常数)o匕/为等差数列。

④前n项和公式法：S/AM+W(A,B为常数)o[aJ为等差数列。

Z7-4—//-4—•••—I—Z7

如设｛4｝是等差数列，求证：以卜=」一Z-------“cN*为通项公式的数列｛4｝为

n

等差数列。

(2)等差数列的通项：an=at+(n-\)d^a„=am+(n-ni)d»公式变形为：a“=a”+b.

其中a=d,b=a\-d.

如1、等差数列｛4｝中，%=30,%)=50,则通项。“=(答：2/1+10)；

2、首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是一

O

(答：一<dW3)

3

(3)等差数列的前〃和：s“=〃(q+“"),5”=叩+%纥Dd。公式变形为：

22

2£,

S“=A〃+叫其中A=E,B=0-2.注意：已知n,d,ai,a”,s"中的三者可以求

2

另两者，即所谓的“知三求二”。

1*315

如数列｛。“｝中，«„=«„_,+-(/?>2,«e?/*),a„=-,前n项和S“=--—,则

%=_,n—_(答：q=-3,〃=10)；(2)已知数列｛《,｝的前n项和S“=12〃一〃？，

12〃一〃2(〃<6,neN*)

求数列的前”项和I,(答：,*).

〃2-12〃+72(〃>6,〃wN)

(4)等差中项：若a,4,6成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且4=

2

提醒：(1)等差数列的通项公式及前“和公式中，涉及到5个元素：6、d、〃、。“及

S„,其中《、△称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个,

即知3求2。(2)为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，

a-2d,a-d,a,a+d,a+2d-(公差为d)；偶数个数成等差，可设为…，

a-3d,a—d,a+d,a+3d,­­­(公差为2d)

3.等差数列的性质：

(1)当公差时，等差数列的通项公式％=勾+(〃-1)”=办+4々是关于〃的一

次函数，且斜率为公差d；前”和S“=〃4+迎二Dd=[〃2+(4—是关于〃的二次

QQf

函数且常数项为0.等差数列｛a“｝中，」是n的一次函数，且点(n,—&)均在直线y=^x

nn2

(2)若公差d>0,则为递增等差数列，若公差d<0,则为递减等差数列，若公差

d=。,则为常数列。

(3)对称性：若｛aa｝是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之

和.当机+〃=p+q时，则有+a“=%,+4，特别地，当，〃+”=2〃时，则有

。,“+凡=2%,.

如1、等差数列｛4｝中，S“=18,a,,+a,T+a,L2=3,03=1,则〃=—(答：27)；

2、在等差数列｛风｝中，aw<0,«„>0,且%>|q°l，S“是其前〃项和，则A、

S„S2品,都小于0,SH,S,2都大于0B、St,S2S”都小于o,s20,s2]都大于

0C、岳,$2…$5都小于0,56,57.都大于0D、S｝,S2S20都小于0,S2I,S„

都大于0(答：B)

(4)项数成等差，则相应的项也成等差数列.即即以+“做+2,",...上，a€*)成等差.若

以｝、依｝是等差数列，则｛0｝、｛她+P2｝（k、p是非零常数）、他…/他””）、

S”,S2”-S”,S3“-S2“（公差为〃24）.,…也成等差数列，而｛*｝成等比数列；若｛2｝是

等比数列，且4〉0,则｛1g4｝是等差数列.

如等差数列的前n项和为25,前2n项和为100,则它的前3〃和为。

（答:225）

（5）在等差数列｛&“｝中，当项数为偶数2"时，S„=n（an+an+i）：S偶-5奇=〃"；

S偶—。“+1

S奇Un

项数为奇数2〃一I时，Ly2„_|=（2n-l）fl„;S偶-s奇=-a1;°

S奇

如1、在等差数列中，Su=22,则4=（答：2）；

2、项数为奇数的等差数列｛q｝中，奇数项和为80,偶数项和为75,求此数列的

中间项与项数（答：5；31）.

（6）单调性：设d为等差数列｛。”｝的公差，则

d>0o｛qj是递增数列；d<0o｛a.｝是递减数列：d=0o｛即｝是常数数列

A

⑺若等差数列｛4｝、依｝的前〃和分别为4、B,,,且寸=/（"），则

乙;（2〃T）4_

=/(2n-l).

勿一（2〃-购一小

如设｛七｝与｛2｝是两个等差数列，它们的前w项和分别为S”和7；,若

工=4〃-3

8n-7

I—m

（8）设力通〃a”为等差数列中的三项，且a,与a,“，a,“与"的项距差之比-----=2

m-n

（3—］）,则a/书绍

1+X

〃+772

（9）在等差数列｛a,J中，S“=a,S„,=b（n>m）,贝~-（a-b）.

n-m

8、已知｛a”｝成等差数列，求s“的最值问题：

①若a>0,d<0且满足,则s”最大；

［即河

②若为<o,d>o且满足!d-°，，则s“最小.

1加士。

“首正”的递减等差数列中，前〃项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等

差数列中，前〃项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组N°（或］

确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前”项是关于鹿的二次函数，故可转

化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性〃eN*。上述两种方法是运用了哪种数学

思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？

如1、等差数列｛&｝中，4=25,Sg=S'i,问此数列前多少项和最大？并求此最大值。

（答：前13项和最大，最大值为169）；

2、若｛。“｝是等差数列，首项4>0,%）03+a20M>°，

4003,。2004<°，则使前«项和S,,>0成立的最大正整数n是（答：4006）

（10）如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，

且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意：公共项仅是公共的项，其项

数不一定相同，即研究为=〃”.

三、等比数列

1、等比数列的有关概念：如果数列从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常

数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比。即&=g（”wN*,“z2）（或

%-1

2=453）

an

2、等比数列的判断方法：定义法—=为常数），其中或%比=区

ananan-\

2"+1项，奇数项之积为100,偶数项之积为120,则生川为一（答：-）；

6

2、数列｛%｝中，S〃=4%_[+1（九22）且4=1,若二见山一2。〃,求证：数列｛6〃｝

是等比数列。

n,n

3、等比数列的通项：a“=%q"T或凡=amq-。

如设等比数列｛。〃｝中，ay+an-66,a2an_｝=128,前〃项和S“=126,求〃和公比

q.（答：〃=6,q=5或2）

4、等比数列的前〃和：当4=1时，S,,=nat；当时，S,=色"二口=4一凡夕。

i-q\-q

如等比数列中，q=2,$99=77,求生+4-1----（答：44）

提醒：等比数列前〃项和公式有两种形式，为此在求等比数列前"项和时，首先要判断

公比4是否为1,再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比4是否为1时，要对

4分q=1和q工1两种情形讨论求解。

5、等比中项：如果a、G、b三个数成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G=±，石.

提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个±丁茄。

如已知两个正数a,仅的等差中项为A,等比中项为B,则A与B的大小关系为

（答：A>B）

提醒：（1）等比数列的通项公式及前〃项和公式中，涉及到5个元素：%、q、〃、a„

及S“，其中4、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2

个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，

…（公比为q）；但偶数个数成等比时，不能设为…工二,。/。/',…，

qqqq

因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为如有四个数，其中前三

个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三

个数的和为12,求此四个数。（答：15,,9,3,1或0,4,8,16）

6、等比数列的性质：

（1）对称性：若必”｝是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积.

即当加+〃=p+q时，则有风”.%=。”与，特别地，当〃2+〃=2〃时，则有a,“.a“=aj.

如1、在等比数列｛4｝中，%+4=124,4%=一512,公比q是整数，则qo=——（答:

512）；

2、各项均为正数的等比数列｛七｝中,若%•%=9,则log?"+log34++log3aio=

（答：10）o

（2）若｛a“｝是公比为q的等比数列，则｛|a“|｝、｛a：｝、｛ka“｝、｛—L｝也是等比数

an

歹U,其公比分别为Iq|｝、｛q2｝、｛q｝、｛-｝»若｛4｝、｛b“｝成等比数列，则｛。,九｝、(合｝

qbn

成等比数列；若仅“｝是等比数列，且公比qw—1,则数列5“,52”一5”,53”一52”，一也

是等比数列。当4=—1,且〃为偶数时，数列S”,S2”—S,,,S3“—S2“，…是常数数列0,

它不是等比数列.若｛©,｝是等比数列，且各项均为正数，则｛log“aj成等差数列。若项数

为3n的等比数列(qf-l)前n项和与前n项积分别为S1与「，次n项和与次n项积分别

为S?与丁2,最后n项和与n项积分别为S3与丁3,则Si，S2,S3成等比数列，L，T,,

T3亦成等比数列

如1、已知a>0且,设数列区｝满足log“x“+|=l+logax„(n&N*),且

玉+毛++x10G=100,则A01+X102++々00=.(答：100a'°°)；

2、在等比数列｛%｝中，S,为其前n项和，若530=13号0,510+530=140,则S2。

的值为(答：40)

(3)单调性：若q>0,q>l,或4<0,0<q<l则｛%｝为递增数列；若q<0，q>l,

或q>0,0<4<l则｛a,｝为递减数列；若4<0,则｛4｝为摆动数列；若q=l,则｛4｝为

常数列.

1

(4)当qwl时，Sn=——<7°+—^—=aq"+h,这里a+Z?=0,但“*0,。工0,

\-q\-q

这是等比数列前〃项和公式的一个特征，据此很容易根据S“，判断数列｛4｝是否为等比数

列。如若｛%｝是等比数列，且S,=3"+r,则「=(答：一1)

mn

(5)Sm+n=Sm+qSn=S„+qSm.如设等比数列｛a“｝的公比为g,前〃项和为S“，

若S“+”S”,S“+2成等差数列，则4的值为(答：-2)

(6)在等比数列｛%｝中，当项数为偶数2〃时，S偶=qS奇；项数为奇数2〃一1时，

s奇=q+qS偶.

(7)如果数列｛/｝既成等差数列又成等比数列，那么数列｛4｝是非零常数数列，故常数

数列｛七｝仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。

如设数列｛/｝的前〃项和为S“（〃eN）,关于数列｛%｝有下列三个命题：①若

a„=an+l（neN）,则｛%｝既是等差数列又是等比数列；②若S“=a〃2+b〃（a、beR）,

则｛%｝是等差数列；③若S“=1-（-1）”,则｛%｝是等比数列。这些命题中，真命题的序号

是（答：②③）