平面向量综合检测-2022-2023学年高一数学同步教学题型讲义（人教A版2019必修第二册）

重难点：平面向量综合检测(培优卷)-【同步题型讲义】2022-2023学年高一

数学同步教学题型讲义(人教A版2019必修第二册)

一、单选题(共24分)

1.下列命题中正确的个数是()

①起点相同的单位向量，终点必相同；

②已知向量mIlCD,则4B,C,D四点必在一直线上；

(3)⅛αIlb,bIlc,则五Il握

④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

A.0B.lC.2D.3

【答案】A

【解析】

【分析】

由平面向量的概念对选项逐一判断，

【详解】

对于A,单位向量的方向不确定，故起点相同的单位向量，终点不一定相同，故A错误，

对于B,向量而Il而，则4,8,C,D四点共线或4B〃CD,故B错误，

对于C,Ilb,bIlc,当卜=G时,五不一定平行,故C错误，

对于D,若4,B,C三点共线，则衣〃前，此时起点不同，终点相同，故D错误，

故选：A

2.已知向量Z=(2,1),b=(τn,-3),若(Z-b)j∙Z,则实数m=()

A.-6B.6C.-4D.4

【答案】D

【解析】

【分析】

根据平面向量坐标的加减法运算，及向量垂直的坐标表示，即可求出7∏.

【详解】

由题可知,a=(2,1)»b=(m,—3),

Ma—b=(2,1)—(m,-3)=(2-τn,4),

由于卡一则Q-b)G=O,

即：2X(2—nɪ)+4=0,解得：m=4.

故选：D

3.在AABC中，点D满足标=3而，则()

=-CA+-CBB£D=-CA+-CB

4433

C.CD=-G4+iCFD.CD=-CA+-CB

4433

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意画出△4BC并确定点D的位置，即可以向量Z%而为基底表示出而.

【详解】

根据题意如下图所示:

根据向量加法法则可知而=65+而，又而=3而，所以而=3荏

4

即而=株+河=方+X在一西=河+河，

可得而=」而+a而.

44

故选：A

4.设非零向量a与石的夹角为心定义五与族的“向量积”：GXb是一个向量，它的模IdX同=㈤同sin。，若(5=(2,0),b=

(LV5),则I五X同=()

A.2B.2√3C.√3D.1

【答案】B

【解析】

【分析】

根据G=(2,0),h=(l,√3),利用数量积运算求得夹角，进而得到夹角的正弦值，再代入公式IaXN=㈤间Sina求解.

【详解】

a-(2,0),b=(1,√3),

∙∙∙∣α∣-2>∣h∣=2,

∙,∙cosθ=⅛⅛=Z=?则Sine=当

•••∣α×h∣=∣α∣∣h∣sin0=2×2×ɪ=2√3.

故选：B.

5.设非零向量/若户=3卷+品则忸的取值范围为()

A.[0,4]B.[2,4]C.{0,4}D.{2,4}

【答案】B

【解析】

【分析】

根据向量模的性质和数量积公式，分析余弦的范围，即可得团的取值范围.

【详解】

解：2222

⅛^⅛P=(3⅛+⅛)=9(⅛)+(⅛)+6y⅛

=9×I2+I2+6cos(a,b)=10+6cos(α,b),

cos{a,b)∈[—1,1],

・・・P2∈[4,16],

.∙.IPI=√^∈[2,4].

故选：B.

6.已知,=(一2,1)1=(一2,—3),则五在3上的投影向量是()

A（-萼,-警）B（-⅛--⅛）V一等罄）D信自

【答案】B

【解析】

【分析】

根据,在另上的投影向量是∣2∣CoSe∙jfj=器•另计算即可解决.

∖b∖Ibl

【详解】

由题知，α=（-2,1）5=（-2,-3）,

所以五∙B=4—3=1,同=√4+9=√13,

设日与彼夹角为。，

所以五在E上的投影向量是IdlCoS。=黑∙E=ɪ-（-2,-3）=（-⅛1-⅛*

∣σ∣Ibl1∙5ɪɔɪɔ

故选：B

7.已知非零向量而、而满足（需+禽）•配=0,且需点j=（则A4BC的形状是（）

A.三边均不相等的三角形B.直角三角形

C.等腰（非等边）三角形D.等边三角形

【答案】D

【解析】

【分析】

由（j⅜+焉）屈=。可得AB=*,再由需篇=轲求出”即得三角形形状.

【详解】

因为黑和落分别表示向量而和向量正方向上的单位向量，

|4用∖AC∖

由（j⅜+点i）反=°'可得”的角平分线与Be垂直'

所以△48C为等腰三角形，且4B=4C,

2AB-AC=2∖AB∖∖AC∖-CoSA且需∙j=∣=p

所以CoSZ∙4=g又乙4€（0,n）,

所以乙4咨，

所以/B=ZC=Z.A—/

所以三角形为等边三角形.

故选：D.

8.在A4BC中，AC=BC=1,ZC=90°.尸为48边上的动点，则而•正的取值范围是（）

AJ/”B∙H4。卜μDJ-Q]

【答案】B

【解析】

【分析】

以C为坐标原点建立合理直角坐标系，求出直线48所在直线方程为y=r+1,设PQ,T+1),得到丽•丽=2«—§-∣,

利用二次函数的性质即可求出其值域.

【详解】

以C为坐标原点，C4CB所在直线分别为X轴，y轴，建立直角坐标系，

则4(0,1),8(1,0),直线48所在直线方程为y=-x+l,

设P(t,—t+l),tE[0,1],则PB=(1—t,t—1),PC=(—tlt—1),

PBPC=-t(l-t)+(t-I)2=2(t-ɪ)-ɪ,

当"0时，(PB-PC)max=I,当t=M(PB-PC)min=-I,

故其取值范围为卜,1],

故选：B.

二、多选题(共12分)

9.下列说法中错误的是()

A.单位向量都相等

B.向量方与而是共线向量，则点A、B、C、。必在同一条直线上

C两个非零向量正儿若恒+4=IIaI-I训，则不与■共线且反向

D.tl知向量a=(4,3-m),B=(l,m),若d与片的夹角为锐角，则-Icm＜4

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据向量相等判断A；根据向量共线判断BC根据向量夹角得｛4；黑病解不等式可判断D.

【详解】

解：对于A选项，单位向量方向不同，则不相等，故A错误；

对于B选项，向量方与而是共线向量，也可能是4B〃CD,故B错误；

对于C选项，两个非零向量&,人若∣a+瓦=Ilal—I用，则a与]共线且反向,故C正确：

对于D选项，向量a=(4,3-m)1=(Lm),若2与族的夹角为锐角，则五不＞0且五与坏共线，故片13m;症＞°,解得

(4m≠3-m

—1VTnV4且m≠|,故D错误；

故选：ABD

10.在菱形4BCD中，AB=2,4Zλ4B=60。，点E为线段Co的中点，AC和BZ)交于点0,则()

A.ΛC•丽=0BABAD=2

C^OEBA=-ɪD.OE-AE=-

42

【答案】ABD

【解析】

【分析】

以。为坐标原点可建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算依次验证各个选项即可.

【详解】

•••四边形A8CD为菱形，；.ACLBD,

则以O为坐标原点，炉,而正方向为x,y轴，可建立如图所示平面直角坐标系,

AB=AD=2,∆DAB=60°,BD=2)OA=OC-√22—I2=V3>

.∙.0(0,0),4(-√3,0),B(O,-1),D(O,1),f(ɪ,ɪ),

对于A,∙；4C_LBD,.•.亚•前=O,A正确；

对于B,•••荏=(√5,-l),ΛD=(√3,1)，.--AB-AD=3-1=2,B正确；

对于C,∙.∙而=停9,Sl=(-√3,1).∙∙∙0S∙B4=-∣+∣=-l,C错误;

对于D,「而=ʤ),而=(苧；)，.•.赤・荏=X=|,D正确.

故选：ABD.

IL已知向量a=(2,0),a-B=(3,1),则下列结论不正确的是()

A.a∙h=2B.a∕∕bC.b1(a+b)D.∣d∣=∣b∣

【答案】ABD

【解析】

【分析】

设族=(x,y),由商=(2,0)、益-3=(3,1)求出坂的坐标，求出a7可判断A；根据向量共线的坐标表示可判断B；计算出小

(a+a可判断C计算出同，同可判断D.

【详解】

设另=(x,y),

因为向量a=(2,0),a-b=(3,1),

KΞyZt解得忧I'所以心(TT),

对于A,因为五∙B=—2+0=-2,故A错误；

对于B,因为2x(-1)-OX(-1)≠0,故d与B不共线，故B错误；

对于C,α+h=(1,-1),所以九(五+3)=—1X1+(—1)X(—1)=0,

所以Ei(d+»,故C正确；

对于D,∣α∣=2,1^1=√1+1=√2,所以∣G∣≠向，故D错误.

故选：ABD..

12.下列说法中正确的有()

A.已知日在B上的投影向量为.且同=5,则d∙B=辛

B.已知五=(1,2),B=(i,i),且a与a+/i陕角为锐角，则a的取值范围是(号,+8)：

c.若非零向量日法满足回=∣⅛∣=∣α-⅛∣,则a与a+另的夹角是30。.

D.在AABC中，若荏•阮>0,则ZB为锐角；

【答案】AC

【解析】

【分析】

结合投影向量的概念以及平面向量数量积的定义可判断A选项，结合平面向量数量积和向量共线的坐标运算即可判断B选项,

根据平面向量夹角的公式以及数量积的运算律即可判断C选项，结合平面向量数量积的定义即可判断D选项.

【详解】

设益与片的夹角为α,又因为五在至上的投影向量为所以同∙cosα∙V=；儿即㈤∙cosα=；|同，所以五•方=|五|•|司∙cosα=

i×5×5=y,故A正确；

因为a=(i,2),b=(1,1),则五+篇=(i+z2+∙a),又因为a与a+高夹角为锐角，

所以a∙g+高)>o,且a与(a+加不共线，即°,解得所以则％的取值范围是(-*o)U

(0,+∞),故B错误；

因为Idl=Id-同，两边同时平方得同2=怔-司；即闷2=(a-B,,所以闷2=@2+问2-2d•儿即|B『=2d.B,

国时rc<√方∏Ψh∖-a∙(a+b)_闷2+痴_同2+河2

<‘α+少一则a+旷向向赤嬴一同g同2=

=½=T,又因为向量夹角的范围是W1801所以(d,a++=3。。，故C正确；

因为四BC>0,所以荏∙BC=∣^4B∣∙∖BC∖∙cos(τr-B)=-∣^4B∣∙∣BC∣∙CosB>0,

因为I荏I>0』就I>0,故COSB<0,又因为Be(0,n),故B€《,〃)，因此NB为钝角，故D错误，

故选：AC.

三、填空题(共12分)

13.设瓦？=(1,1),OB=(3,0),OC=(3,5)(其中O为坐标原点)，则AABC的面积为.

【答案】5

【解析】

【分析】

根据向量的坐标求出向量的模，发现向量的模之间满足勾股定理即可进一步得解.

【详解】

OA=(1,1),OB=(3,0)

所以同=(2,-1),

所以IxgI=√22+(-1)2=√5,

同理I前I=√22+(4)2=2√5,∣BC∣=√02+(5)2=5,

所以∣4B∣2+∣4C∣2=∣BC∣z,

所以A4BC为直角三角形，

所以SMBC=∣∣AB∣∙∣^∣=∣×√5×2√5=5,

故答案为：5.

14.已知闷=4,同=5,当五IE时，坂在五方向上的投影数量为；当d,坂时，下在五方向上的数量投影为；当值E)=

60。时，坂在d方向上的数量投影为

【答案】(1).±5⑵.0⑶.：

【解析】

【分析】

根据后在a方向上的投影数量为：I同CoS<a,b>=萼代入求解.

11Ial

【详解】

∙.∙B在日方向上的投影数量为：∣b∣cos<α,b>=⅛

当由E时<a,b>=0°或者<a,b>=180°,所以同CoS<a,b>=黑■=±5

当a±1时Va,b>=90°,所以BleoS<a,b>=署=0

当(“)=60。时,所以同CoS<a,b>=符=5Xcos60°=|

故答案为：±5,0尚

15.已知空间向量日，3满足闷=2,同=3,且乙岫夹角为或若侬-B)_!.(•+2»,则实数4等于.

【答案】I

【解析】

【分析】

运用平面向量数量积乘法分配律计算.

【详解】

依题意有(2五-6)∙(λα+2∂)=0,yp2λa2+4a-b-λa-b-2b2=0,

由条件知小=4,h2=9,α∙b=∣d∣∙∣∂∣cosɪ=3,

.∙.8λ+(4-A)×3-2×9=0,A=|；

故答案为：I.

16.已知平面向量b,瑞足Ial=同=|苍+同=2,且忖+5-己=或则同的最大值为.

【答案】⅛*2.5

【解析】

【分析】

由(3+B)?=或+23∙B+留=4,可求得di=—2,再求解Id+同=ʌ/d?+2&•»+京=2,结合向量模长的三角不等式

∖∖a-b∖-∣c∣∣≤∣a+ð-c∣≤∣a+h∣+∣c∣,即得解.

【详解】

由题意，(a+b)2=a2+2a-b+b2=4,又Ial=Bl=2,

故五-b=-2,

故Ia+b∖=∙Ja2+2a-b+b2=2,

由向量模长的三角不等式，M—司-间≤B+族一H≤忖+同+同,

即|2—|削≤g≤2+m∣,

解得;∣≤∣c∣≤∣,则同的最大值为条

故答案为：I

四、解答题（共36分）

设向量a,1满足五∙B=3,∣α∣=3,∣⅛∣=2.

17.求向量a方的夹角;

18.求怔一同.

[^⅛]17.<a,b>=l

18.√7

【解析】

【分析】

U）直接利用数量积求夹角即可；

（2）由Ia-瓦=Js-Bp展开后代入已知得答案.

[17题详解】

因为五∙I=3∣d∣=3,∖h∖=2,

所以cos<a范>=品i=嘉=；,

又Va,E>∈[0,τr],所以va,'>=,

【18题详解】

∣α-b∣=J（α-t>y=Jldl2-2db+∖b∖z=√9-2×3+4=√7.

设瓦，瓦是两个不共线的向量，已知费=2瓦-8瓦，CB=e；+3e;,方=2瓦-石.

19.求证：A,B,D三点共线；

20.若丽=3瓦-k匹且而〃丽，求实数k的值.

【答案】19.证明见解析

20.12

【解析】

【分析】

（1）由题意证明向量醺与前共线，再根据二者有公共点B,证明三点共线；

（2）根据而与前共线，设丽=4前UeR）由（1）的结论及题意代入整理，结合可，五是两个不共线的向量，构造方程解实

数k的值.

【19题详解】

由已知得8。=CD—CB=（2瓦—筱）—（β1+3瓦）=瓦—4瓦，

因为版=2瓦'-8五，所以荏=2而，

又而与而有公共点B,所以4B,。三点共线；

【20题详解】

由（1）知丽=西-4与，若丽1=3E-∕c蕊，旦而〃丽,

可设乔=λBD(λ∈R),

所以3瓦-呵=碣-4λ¾,即(3-Λ)βΓ=(k-4Λ)¾,

又瓦^,电是两个不共线的向量，

所以*解∕c=]2.

<k-4Λ=O

在AABC中，CA=6,AB=8,∆BAC=ɔD为边BC中点.

21.求而•丽的值；

22.若点P满足而=ΛG4(λ∈R),求而•玩的最小值；

【答案】21.14

22.最小值为-9

【解析】

【分析】

(1)以力为坐标原点，边4C、AB所在的直线为x、y轴的正方向建立平面直角坐标系求出而、方的坐标，再由向量数量积的坐

标运算可得答案；

(2)根据点P在AC上，设Po,0),求出两、近的坐标，则而•玩=(-x,8)∙(6-x,0),利用二次函数配方求最值可得答案.

[21题详解】

如图，以4为坐标原点，边AC、48所在的直线为x、y轴的正方向建立平面直角坐标系，

所以4(0,0),β(0,8),C(6,0),

D为边BC中点，所以D(3,4),AD=(3,4).CB=(-6,8),

则而-CB=-18+32=14；

【22题详解】

若点P满足丽=λCA(λ∈R),则点P在4G1上，

由(I),设P(X,0),则而=(-x,8),PC=(6-x,0),

则方•左=(-X,8)-(6-X,O)=(X-3)2-9,

所以当X=3时而•正的最小值为-9.

已知平面四边形4BCD中，∣ΛB∣=∖AD∖=2∖DC∖=2,∖BC∖=√3,向量而,标的夹角为去

23.求证：ABIBC；

24.点E是线段BC中点，求瓦5•前的值.

【答案】23.证明见解析；

24.ɪ.

4

【解析】

【分析】

(1)画出示意图，根据边的关系可得乙4BC=%因而荏∙L诙.

(2)以B为原点建立平面直角坐标系，写出各个点坐标，进而根据平面向量数量积的坐标运算即可求出结果.

【23题详解】

根据题意，画出示意图如下图所示

由题意可知I而I=I而∣=2,∆BAD=ɪ,

所以三角形AB。为等边三角形，

则I筋I=2,又IDCl=I,∣8Cl=遍，

所以IDCl2+IBCl2=∖BD∖2,

即ABCD为直角三角形，且NC=；/B=，，

所以/4BC=J+£=E，

所以而-L前；

【24题详解】

根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系,

V

则4(0,2),D(√5,l),因为点E是线段Be中点，所以E仔0),

则易=(-9,2),而=俘,1),

所以£1.丘=(-今2).停1),

3

=-4+2

5

=­

4

如图，已知正方形ABCz)的边长为2,过中心O的直线/与两边AB,CD分别交于点M,N.

25.若。是BC的中点，求丽•丽的取值范围；

26.若P是平面上一点，且满足29=，用+(1-Q瓦，求西•丽的最小值.

【答案】25.［-1,0］；

【解析】

【分析】

(1)由向量的加法和数量积运算将西•丽转化为诃2-丽2,再由I丽I的值和I而I的范围可求得结果.

(2)令词=2而=/1而+(1-Q沆可得点T在BC上，再将丽•丽转化为丽2-而2,由I而卜I而I的范围可求得结果.

［25题详解】

因为直线/过中心。且与两边AB、C。分别交于点M、N.

所以。为MN的中点，所以而=-而，

所以两∙QN=(QO+OM)∙(Q0+0∕V)=QO2-OM2.

因为。是BC的中点，所以I而I=1,l≤∣0M∣≤√2,

所以-1≤诃2-两2≤0,

即的丽•丽取值范围为［-1,0］；

【26题详解】

令罚=2OP,贝IJOT=2OP=WB+(1-λ)OC,

：.0T=λOB+0C-λOC,即：OT-OC=λOB-λOC

：.CT=λCB

∙∙.点r在BC上，

又因为。为MN的中点，

所以∣δf∣≥l,从而I赤I≥%^PM^PN=(PO+^OM}-(PO+OΛ?)=Pd2-OM2,

因为1≤∖0M∖≤√2,

所以丽.丽=词2_而2±