2023北京高三一模数学汇编：压轴填空（第15题）

2023北京高三一模数学汇编

压轴填空（第15题）

1.（2023,北京西城•统考一模）如图，在棱长为2的正方体ABCO-A耳GA中，点M，N分别在线段AR

给出下列四个结论：

①MN的最小值为2；

4

②四面体MwBC的体积为§；

③有且仅有一条直线MN与垂直；

④存在点M,N,使AMBN为等边三角形.

其中所有正确结论的序号是一.

2.（2023•北京东城•统考一模）己知函数"x）=∕lSin生+9∣（∕l>0,0<s<π）的部分图象如图1所示，

A、8分别为图象的最高点和最低点，过A作X轴的垂线，交X轴于A,点C为该部分图象与X轴的交点.

将绘有该图象的纸片沿X轴折成直二面角，如图2所示，此时∣A3∣=√iU,则Zl=.

给出下列四个结论:

①联小

②图2中，ABAC=5∙,

③图2中，过线段A3的中点且与AB垂直的平面与X轴交于点C；

④图2中，S是。ABC及其内部的点构成的集合.设集合T={QeS∣∣AQ∣≤2},则7表示的区域的面积大于

π

4,

其中所有正确结论的序号是.

3.(2023・北京朝阳•统考一模)某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力(战斗单位数)随时间的

x(r)=X0cosh

变化遵循兰彻斯特模型：其中正实数χ°,天分别为红、蓝两方

y(f)=%cosh

初始兵力，r为战斗时间；χ(r),y(r)分别为红、蓝两方r时刻的兵力;正实数。，匕分别为红方对蓝方、蓝

方对红方的战斗效果系数；CoShX==二和SinhX=W二分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数.规定当

22

红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T.给出

下列四个结论：

①若X。〉匕且α=b,则x(f)>y(f)(04f≤T);

②若X(>>E且α=b,则T=IlnJx：W；

CXnb

③若f>一，则红方获得战斗演习胜利；

γ

0a

④若与>，则红方获得战斗演习胜利.

其中所有正确结论的序号是.

4.(2023•北京石景山•统考一模)项数为MZeN.,a2)的有限数列｛叫的各项均不小于T的整数，满足

k3

4•2J+a2-*2+a3,2-+...+a^∙2+ak=0,其中q≠0.给出下列四个结论:

①若k=2,则％=2；

②若k=3,则满足条件的数列｛%｝有4个；

③存在4=1的数列｛《,｝；

④所有满足条件的数列｛%｝中，首项相同.

其中所有正确结论的序号是.

5.(2023•北京房山•统考一模)设函数Ax)=1'.：给出下列四个结论：①函数/⑴的值域是

X+4x+l,x≤0.

R；②Vα>l,方程F(X)="恰有3个实数根；③mx°eK,使得/(』)—/(%)=0；④若实数

%<W<匕，且/(玉)=/(毛)=/(七)=/(天)-则(玉+工2)(为一七)的最大值为46-：.其中所有正确结论

的序号是.

6.(2023・北京顺义•统考一模)如果函数/(x)满足对任意s,re(0,3),有/(s+f)</(s)+f⑺，则称

/(x)为优函数.给出下列四个结论：

①g(x)=ln(l+x)(x>0)为优函数；

②若f(x)为优函数，则/(2023)<2023/⑴；

③若/(x)为优函数，则/(x)在(0,+∞)上单调递增；

④若F(X)=幺2在(0,+8)上单调递减，则/(x)为优函数.

X

其中，所有正确结论的序号是.

7.(2023,北京平谷•统考一模)如图，矩形ABC£>中，AD=2AB=2,例为BC的中点，将“A&W沿直线

AM翻折，构成四棱锥4-AMCO,N为BQ的中点，则在翻折过程中，

①对于任意一个位置总有CN〃平面ABlM；

②存在某个位置，使得CN_LAB|；

③存在某个位置，使得A。

④四棱锥B1-AMCD的体积最大值为变.

上面说法中所有正确的序号是.

8.(2023•北京海淀.统考一模)在./SC中，ZACB=90°,AC=BC=2,。是边AC的中点，E是边AB上

的动点(不与A,B重合)，过点E作AC的平行线交BC于点凡将Z∖BE尸沿EF折起，点8折起后的位

①AC〃平面PEF；

②，PEC不可能为等腰三角形；

③存在点E,P,使得AE；

④当四棱锥P-ACT芯的体积最大时，AE=y∣2.

其中所有正确结论的序号是.

9.(2023•北京丰台•统考一模)三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，目前尺规作图仍不能解决这个问

题.古希腊数学家PaPPUS(约300~350前后)借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法：如图，以角

的顶点C为圆心作圆交角的两边于A,8两点；取线段AB的三等分点O,D；以8为焦点，A,。为顶点

作双曲线H.双曲线，与弧AB的交点记为E,连接CE,则∕BCE=g∕ACB.

①双曲线，的离心率为；

②若NACB=],∣AC∣=3√2,CE交AB于点P,则IOPI=

参考答案

1.①②④

【分析】对于①，利用直线之间的距离即可求解；对于②，以M为顶点，NBC为底面即可求解；对于

③，利用直线的垂直关系即可判断；对于④，利用空间坐标即可求解.

【详解】对于①，由于例在AA上运动，N在B£上运动，所以IMM的最小值就是两条直线之间距离

∣OlC1∣.而I。GI=2,所以MN的最小值为2；

对于②，VjNc=g∙S,wc∙∣AG∣=‘S",而"zwc=gx2x2=2,所以四面体MWBC的体积为:

对于③，由题意可知，当M与。重合，N与G重合时，O1C1ɪADt,又根据正方体性质可知，

ADtLAlBlCD,所以当M为4"中点，N与巴重合时，此时MN_LA。，故与A。垂直的MN不唯一，③

错误；

对于④，当AMBN为等边三角形时，BM=BN,则此时AM=4N.所以只需要与BN的夹角能等于彳

即可.

以。为原点，DA,DC,DA分别为X轴、V轴、Z轴建立空间直角坐标系，如下图，

Z∙'

A____________C1

Ti/1

力上

设AM=AN=〃，则由题意可得B(2,2,0),N(2-",2,2),则可得

BMBN&+a"*,™

BM=(―ʌʃ-,—2,),BN=(—n,0,2),则COSNM8N=5=

1Γ^i[=2~Λ-'整理可得

〃+4

Δ=4-4×^-1J×2√2=8√2-4>0所以存

ry-∣n2-2n+2√2=0,该方程看成关于，的二次函数，I

\/

在«使得AMBN为等边三角形.

故答案为：①②④

2.√3②③

【分析】在图2中，以点。为坐标原点，OC、AA的方向分别为》'、z'轴的正方向建立空间直角坐标系

。-XyZ根据已知条件求出入的值，结合。的取值范围求出夕的值，可判断①；利用空间向量数量积的

坐标运算可判断②；求出线段AB的中点”的坐标，计算CM∙A8,可判断③；求出CoSNB4'C,结合扇

形的面积公式可判断④.

T_空_4

【详解】函数“X)的最小正周期为-V^,

2

在图2中，以点O为坐标原点，OC、A”的方向分别为y'、z'轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐

标系O-Xyz，，

设点A'(0,t,0),则点A(OJ㈤、5(4f+2,0),

*222

∖AB∖=λ∕(0-Λ)+(r+2-r)+(/L-O)=√2Γ+4=√10,因为人〉0,解得2=JL

所以，/(x)=6Sin(Ae)，贝IJf(O)=Wsins=*，可得Sine=g，

又因为函数/(x)在X=O附近单调递减，且0＜9＜兀，所以，S=营，①错；

6

因为/(r)=6sin(£+V)=G,可得sin(∙^+^)=l,

又因为点A是函数f(χ)的图象在y轴左侧距离＞轴最近的最高点，则=可得/=-：，

所以，/(x)=6Sin传+引，

因为点C是函数f(x)在V轴右侧的第一个对称中心，所以，手+乎=兀，可得,

263

翻折后，则有A(O,-,可、C(Oq,0)、A(O

所以，AB=(√3,2,-√3),Ae=(0

所以，在图2中，ΛB∙ΛC=0+2×l+(-√3)2=5,②对；

在图2中，线段AB的中点为MFgg,咚)，

因为CΛf=-ɪ,θ,-ɪ,则AB∙CM=∙^∙x6+0+∙^∙x卜6)=0,即GVɪAB,③对;

在图2中，设点°亿％0),|40=，2+[>+|)+(0-6)242,可得/+卜+：]金，

,

zL∖∕n"A'CAB22√7y/2

A，C=((UO),^=(Λ2,O),cθsZBAC=^^=^=^r>-,

易知44'C为锐角，则0<N8AC<2TT,

4

所以，区域T是坐标平面X'。)，'内以点A为圆心，半径为∣A'C=1,且圆心角为/BAC的扇形及其内部,

故区域T的面积5r<〈xgxl2=3,④错

24o

故答案为：√3i②③.

【点睛】关键点点睛：本题考查翻折问题，解题的关键在于建立空间直角坐标系，通过空间向量法来求解

相应问题.

3.①②④

【分析】对于①根据已知条件利用作差法比较大小即可得出χ(f)-y(f)=e"(X°-E)>O,所以①正确；对

于②，利用①中结论可得蓝方兵力先为0,即立匚匕-±SXo=O解得T=,∣n职J,②正确；

0

2°2a∖X0-Y0

对于③和④，若要红方获得战斗演习胜利，分别解出红、蓝两方兵力为。时所用时间4、L，比较大小即

可知③错误，④正确.

Mr)=XCoShW)-YSinh(")

【详解】对于①，若X0>4且q=b,贝卜0Q

y(r)=Y()COSh(⑺-X0Sinh

ea'+e^a'

Mf)=

2

即.所以XoM=暧落一以,

,u

M=e"+e-'

2

由X0>匕可得x(f)-y(r)=e"'(X。一匕)>O,即①正确；

对于②，当α=〃时根据①中的结论可知χ(f)>y(f),所以蓝方兵力先为0,

aι.-«zat-«/

即“。=XO=O，化简可得e"(X。一天)=e-W(X。+4),

X0+L

即e2fl,两边同时取对数可得2画=InX。+%

X。-%X。-%

aprɪɪin'x°+E],所以战斗持续时长为T=LIn

[×n-y0)Cl

所以②正确;

对于③，若红方获得战斗演习胜利，则红方可战斗时间大于蓝方即可,

设红方兵力为O时所用时间为*蓝方兵力为O时所用时间为G，

2病,J。+%')。

'-Ysinh^∖[abtj=O,可得e

0t噌-x。

L"X°jl

27az,,

同理可得e≈=——j=*∙>O

χ°h

χ<>+%P及+x。Wγ2；,

即a卜>厂VJ解得各>2

yj-χ<,XoA-Yo0α

又因为X0,%,a,b都为正实数，所以可得*>《，红方获得战斗演习胜利；

所以可得③错误，④正确.

故答案为：①②④.

4.①②④

【分析】根据有限数列｛《,｝的性质”,NT,"WN",∈Z,及满足

kt2t3

al∙2-'+a2-2-+a3.2^+...+¾.l.2+¾=O,其中。产0,利用不等式放缩，结合等比数列求和可得

-1≤6Z1≤1-^J'<1,即可确定外的值，从而可判断①③④的正误，若k=3,得44+2%+%=0,结合

叫，求得的,知的关系，根据不等式求得々的范围，一一列举得数列｛凡｝,即可判断②.

【详解】由于有限数列｛%｝的各项均不小于T的整数，所以《2-1,n∈N∖an∈Z,

又因为4∙21+%"τ+4∙2"3+…+a*-∙2+%=0,

ΛI2t23li

所以q∙2'^=-(α2∙2*'^+4-2*7+…+6_].2+4)≤(2^+2*^++2+l)=2'^'-l

所以T≤q41-(g)<1,且4产()，4为整数，所以q=-l,故③不正确，④正确；

当我=2时，得2q+%=0,所以q=-l,则％=2,故①正确；

当A:=3时-，得4q+2%+4=0，因为4=T,所以2%+%=4,则2%=4-%≤5,

所以-1≤%≤∣,出为整数，则生的可能取值为T，0，L2,对应的生的取值为6,4,2,0,

故数列｛4｝可能为T，T，6；-l,0,4i-1,1,2；-1,2,0,共4个，故②正确.

故答案为：①②④.

【点睛】思路点睛：项数为ZkeN∙,上N2)的有限数列｛q,｝的性质入手勺2-1,"eN”,/eZ

从各项为2-1,结合不等式放缩，确定％的范围，从而得外的值，逐项验证即可.

5.②③④

【分析】画出函数图象，结合图象对四个结论依次分析，即可求解结论.

【详解】因为函数=其图象如下图所示：

xz+4x+l1,x≤0.

对于①，由图可知，函数f(χ)的值域不是R,故①不正确；

对于②，由图可知，V0>l,方程/(X)=a恰有3个实数根，故②正确；

对于③，当叫eR*时，使得有/(F)=/(x°)成立，即y=V-4x+l与y=∣lnx∣有交点，这显然成立，故③

正确；

对于④，不妨设互不相等的实数X∣,X2,∙x⅛,∙¾满足用<%3，当满足/(λ⅛)=∕(W)=/(W)=/(最)

时，

由图可知土要=-2,即斗+々=-4,

∣ln¾∣=∣lnx4∣,即-InX3=lnx4,x3=',

所以(斗+工2)(^--------------------X4，由图可知，与£(1，。］，

而y=Lf在尤w(l,e］上单调递减，所以J-Zeg-aθ}

所以(大+修)|工3----=T-------x4I∈I0,4e—,

^I-⅞JIX4)VeJ

贝IJa+x2)(七一%)的最大值为4e-g,故④正确.

故答案为：②③④.

6.①②④

【分析】①计算出g(s)+g(f)-g(s+f)=ln(l+元匕)>lnl=0,故g(s)+g(f)>g(s+r),得到①正确；

②赋值法得到2/(1)>/(2),3∕(1)>∕(3),依次类推得到/(2023)<2023/⑴；

③举出反例；

④由F(X)=」堡在(0,+8)上单调递减，得到丝2</@,区±2<&,整理变形后相加得到

XS+tSS+tt

(s+f)∕(s+f)<(s+f)"(s)+∕(r)］,即/(s+f)</(6)+/(r),④正确.

【详解】因为s,f∈(O,+∞),

所以g(s)+g(∕)-g(s+∕)=ln(l+s)+ln(l+r)-ln(l+s+∕)=ln

,1+s+r+sf{.st、.

=In-------------=I1nIH---------->In1ɪ1On,

1+s+r11+s+〃

故;g(s)+g(f)>g(s+f),故g(x)=ln(l+x)(x>O)是优函数,①正确；

因为/(X)为优函数，½∕(1)+∕(1)>∕(1+1),即2"1)>"2),

/(2)+∕(l)>∕(2+l)=∕(3),故3"I)>"3),

同理可得4/⑴>/(4),........2023/(1)>/(2023),②正确；

例如/(X)=-x2,x>0,满足f(s+t)-f(s)-f(t)--(s+t)2+s2+t2--2st<O,

即f(s+t)<∕(s)+f⑺，为优函数，但“力=—f在X«o,上单调递减，

故③错误；

若尸(X)=也在(0,+8)上单调递减，

X

任取s,f∈(0,+∞),s+t>s,s+t>t,

则F(s+t)<F(s),F(s+f)<F(f),即<凡」(：：；)<邛,

变形为ST(S+f)<(s+。/(s),/(s+。<(s+f)/。)，

两式相加得：(s+f)f(s+∕)<(s+r)[∕(s)+f(f)],

因为s+r>O,所以〃s+f)<∕(s)+∕Q),

则/(X)为优函数，④正确.

故答案为：①②④

【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：

(I)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；

(2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；

(3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；

(4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使

用书上的概念.

7.①④

【分析】证明EM〃NC,结合线面平行判定判断①；由EM〃NC结合AA与EM不垂直，判断②；由线

面垂直的判定得出点且与点F重合，从而判断③；取AM的中点为G,连接当BlG，平面AMCD

时，四棱锥用-AMC。的体积最大，从而判断④.

【详解】分别取ABl,的中点为E,F,连接EN,EM,BlF,FM.

因为AB∣,BQ的中点分别为E,N,所以EN〃AO〃MC,且EN=；AD=MC.

即四边形ENCM为平行四边形，故EM“NC,由线面平行的判定可知对于任意一个位

置总有CN〃平面4月M,故①正确；

因为NABm=90。，所以4片与EM不垂直，由R0〃NC可知，A片与NC不垂直，故②错误;

由题意A4M,若ADLMB∣,则由线面垂直的判定可得Mg，平面ABQ.

则MB∣，Α。，因为AM=MD,所以与aMBQ全等，则A与=BQ=I,

此时点Bl与点尸重合，不能形成四棱锥A-AMa),故③错误；

取.的中点为G,连接的BQ争当BG平面AMCO时，四棱锥BiM8

的体积最大，最大值为:(l+2)xlx；x[=¥，故④正确；

故答案为：①④

【分析】根据线面平行的判断定理，判断①；证明.PFC三即C,即可判断②；利用垂直关系转化，结合

反证法，即可判断③；表示四棱锥的体积后，利用导数计算最值，即可判断④.

【详解】①因为AC7∕EF,EFU平面PEF,ACu平面P肝，

所以AC〃平面EEF,故①正确；

②因为,ABC是等腰直角三角形，所以！PE尸也是等腰直角三角形，则M=P尸，

因为AClBC,EFHAC,所以所2BC,且所，所

当NpFC=90时，PFC=EFCmEC=PC,

此时PEC是等腰三角形，故②错误；

③因为EFI8C,且£F_LPF,BCPF=F,

且BCU平面PCF,PEU平面PCT7,所以所立平面PCF,EFU平面ABC,

所以平面ΛBC1平面PEF,且平面ΛBCC平面PEF=BC,

如图，过点尸作PMlBC,连结ZM7,

则PM_L平面ABC,AEU平面ABC,所以PMJ_他，

PD±AE,PDCPM=P,P£>U平面尸£>M,RWU平面PDW,

所以A£1.平面PDM,DMU平面PDM,

所以AE_LE>Λ/,

如图，AC=2,延长交AB于点N,

则ADCM和4WD都是等腰直角三角形，

则CM=I,点、N到直线AC的距离等于ɪ,

这样在翻折过程中，若能构成四棱锥，则8尸>句0,

设尸C=X,则2-x>l+x,则0<x<