2022-2023学年陕西省汉中市洋县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年陕西省汉中市洋县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）

A.x+y<0B.x+l<y—3C.2x<2yD,-2x<—2y

3.若用反证法来证明命题“若a>1,则a2>1"，第一步应假设（）

A.a2>1B.a2>1C.a2<1D.a2<1

4.如图，8七14（：于点5,CF_LAB于点F,若BE=CF,贝ijRt△

BCF^Rt）

A.AAS

B.HL

C.S4S

D.ASA

5.如图，在△力BC中，ZB=Z.C=70°,。为BC的中点，连接AD,则NB4D

的度数为（）

A.55°

B.20°

C.25°

D.40°

6.在44BC中，AB=BC,两个完全一样的三角尺按如图所示摆放，

它们一组较短的直角边分别在力B、BC上，另一组较长的对应边的顶

点重合于点P,BP交4C于点D,则下列结论不正确的是（）

A.BP平分"BC

B.AD=CD

C.BD垂直平分4c

D.AB=AC

7.已知关于x的不等式组修°有四个整数解，则m的取值范围是（）

A.6<m<9B.6<m<9C.6<m<9D.6<m<9

8.如图，己知△4BC绕点4逆时针旋转a（0<a<NB4C）得到△

ADE,S.AB=AC,AD交BC于点、F,DE交BC、4c于点G、H,则以

下结论：①△4BF三△AE"；@FG=CG；③连接4G、FH,则4G1

FH；④当DF的长度最大时，4。平分NB4C.其中正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.y与4的差不小于1,用不等式表示为.

10.命题“若ma2>na2,则m>n"的逆命题是.

11.在直角坐标平面内，已知点4（1,-3）,8（4,-1）,将线段4B平移得到线段&&（点4的对

应点是点点B的对应点是点BQ,如果点①坐标是（-2,0）,那么点当的坐标是.

12.如图，直线y=mx+n与％轴交于点（-2,0）,与y轴交于点（0,5）,

则关于x的不等式mx+n<0的解集为.

13.如图，在AABC中，乙4cB=90。，将ZkABC绕点4顺A

时针旋转90。得至IJ△4DE,连接BD,若4c=2\^2,DE=

则线段BD的长为.

三、解答题（本大题共13小题，共8L0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.（本小题5.0分）

解不等式：亨-等20.

15.（本小题5.0分）

如图，乙4BC=90°,将AABC沿力B方向平移4D距离得到^DEF,BC交DF于点G,已知：AB=

16,BE=6,BG=5,求图中阴影部分的面积.

16.（本小题5.0分）

如图，己知NB=NC,AB“DE,DE交BC于点E.求证：AOEC是等腰三角形.

17.（本小题5.0分）

请用尺规作图法在直线上作一点P,连接PC,P。使得△PCC是以CO为底边的等腰三角形.

18.（本小题5.0分）

如图，点4、B、C都在格点上，在方格纸中画出△ABC绕点B顺时针方向旋转90。后得到的图

形4A'BC.

19.（本小题5.0分）

如图，在△4BC中，zB=ZC=30°,P是BC上的点且PA14B,求证：BP=2PC.

A

BPC

20.（本小题5.0分）

2（x—1）<4（T）

解不等式组：2）-1二并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来.

--<%+1（2）

□

—5—4—3—2—1012345

21.（本小题6.0分）

△4BC在平面直角坐标系中的位置如图所示.

（1）作4ABC关于点。成中心对称的44B1G；

（2）作出将△4BC向右平移4个单位，再向上平移1个单位后的△4282c2.

yM

T5-

I4

3

个

4

。

一

一

卜

2

一

3

一

-,

-今

22.（本小题7.0分）

有甲、乙两种客车，甲种客车载客量为45人/辆，乙种客车的载客量为生送到指定地点，学校

组织300名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共8辆，一次将全部师则至少需要租用

甲种客车多少辆？

23.（本小题7.0分）

如图，在△48C中，D为AC边上一点，AD=BD,AE1BD,交BD的延长线于点E,DF1BC,

垂足为F,且力E=DF.

（1）求证：CB=CD；

（2）若点。是4c的中点，求NC的度数.

24.（本小题8.0分）

如图，已知等腰△4BC中，AB=AC,^BAC=120°,4。18c于点。，点P是BA延长线上一

点，点0是线段4。上一点，OP=OC.

⑴求乙4P。+WCO的度数；

（2）求证：点P在OC的垂直平分线上.

25.（本小题8.0分）

某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配

久（x23）个羽毛球供社区居民免费借用，该社区附近4B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍

和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为40元，每个羽毛球的标价为4元，目前两家超市同时

在做促销活动：

4超市：所有商品均打八折（按标价的80%销售）；

B超市：买一副羽毛球拍送3个羽毛球.

设在4超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为以（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为

玲（元）•请解答下列问题：

(1)分别写出为，功与X之间的关系式；

(2)若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？

26.(本小题10.0分)

【问题提出】在AABC和△OEC中，/.ACB=^DCE=60°,^.CBA=2LCAB,^.CED,UDE,

点E在△ABC内部，直线力。与BE交于点尸，探究线段4尸、BF、CF之间的数量关

(1)先将问题特殊化.如图(1),当点。，F重合时，写出一个等式表示4尸、BF、CF之间的数关

系，并说明理由；

(2)再探究一般情形.如图(2),当点。，F不重合时，(1)中的结论是否仍然成立，请证明.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：选项B、C、。中的图形均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图

形重合，所以不是中心对称图形；

选项A能找到一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；

故选：A.

根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形

重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案.

本题主要考查了中心对称图形，解题的关键是找出对称中心.

2.【答案】D

【解析】解：A.x>y,令x=2,y=—1,则x+y=2+(-1)=1>0,故x+y<0不成立，不

符合题意；

B.x>y,根据不等式的性质1得%+1>y+1>y-3,故x+1<y-3不成立，不符合题意；

C.x>y,根据不等式的性质2得2x>2y,故2x<2y不成立，不符合题意；

D.x>y,根据不等式的性质3得一2x<—2y,符合题意；

故选：D.

根据不等式的性质逐项分析即可.

本题考查不等式的性质；解题关键是熟练掌握不等式的性质，性质1：不等式两边同加或同减同一

个数或式子，不等号的方向不变；性质2：不等式两边同乘或同除以同一个正数，不等号的方向不

变；性质3：不等式两边同乘或同除同一个负数，不等号的方向改变.

3.【答案】C

【解析】解：用反证法来证明命题“若a>1,则a2>1"，

第一步假设a?W1,

故选：C.

根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可.

本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.在假设结论不成立时要注意考虑

结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须

一一否定.

4.【答案】B

【解析】证明：•••8后工4。于点£,于点F,

乙BEC=4BFC=90°,

在RMBCF和中，

(BE=CF

IBC=CB'

•••Rt△BCFmRt△CBE(HL),

Rt△BCFmRt△CBE的理由是HL.

故选：B.

由直角三角形全等的判定方法，即可判断.

本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法：HL.

5.【答案】B

【解析】解：丫NB=4C=70°,

AB=AC,

v。为BC的中点，

•••^ADB=90°,

/.BAD=90°一NB=20。，

故选：B.

根据等角对等边可得48=AC,然后利用等腰三角形的三线合一性质可得=90°,从而利用

直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答.

本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键.

6.【答案】D

【解析】解：由题意得，PE_LAB,PF1BC,PE=PF,

BP平分N2BC,

AB=BC,

AD=DC,B。垂直平分AC,

故选项A、B、C正确，不符合题意；

只有当A力BC是等边三角形时，才能得出ZB=AC,

故选项。错误，符合题意.

故选：D.

先根据角平分线的判定定理得到BP平分乙4BC,再根据等腰三角形三线合一的性质得到AC=DC,

8D垂直平分4C,进而即可求解.

本题考查的是角平分线的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握到角的两边距

离相等的点在角的平分线上是解题的关键.

7.【答案】A

【解析】解：解不等式3x—m>0,得：x>j,

解不等式X-1W5,得：x<6,

•••不等式组有4个整数解，

2<^<3,

解得：6<m<9.

故选：A.

解不等式组的两个不等式，根据其整数解的个数得出2W1V3,解之可得.

本题主要考查不等式组的整数解问题，根据不等式组的整数解的个数得出关于m的不等式组是解

题的关键.

8.【答案】C

【解析】解：•・・△ABC绕点A逆时针旋转Q(0<a<NB4C)得到△ADE,

・•・乙BAD=^CAE,Z.B=Z.D,Z.C=Z.E,AB—AD,AC=AE,

AB=4C,

:.乙B=Z.C,AB=AE,

・•・(B=Z-E,

/.△BAF^LEAH^ASA),故①正确；

/.AF=AH,Z,AFB=

DF=CH,

vZ.AFB=Z.DFG,乙AHE=cCHG,

乙DFG=4CHG,

又：4DGF=4CGH,

：.^DGF=^CGH(AAS),

；.FG=GH,故②错误；

"AF=AH,FG=HG,

•••4G垂直平分FH,故③正确；

当。F最大时，即4F最短，

•••AF1BC,

AB=AC,

4。平分NB4C,故④正确.

故正确的个数是3个，

故选：C.

由旋转的性质可知△B4F三△区4/7(454),故①正确；再证明△DGF三△CGH(44S),得FG=GH,

故②错误；由=FG=HG,得4G垂直平分FH,故③正确；当。尸最大时，即4尸最短，

得力F1BC,即可判断.

本题主要考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的

判定等知识，证明AOGF三ACGH是解题的关键.

9.【答案】y-4>1

【解析】解：根据题意得：y-4>l.

故答案为：y—4>1.

根据“y与4的差不小于1”，即可得出关于y的一元一次不等式，此题得解.

本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等

式是解题的关键.

10.【答案】若m>n,则>na2

【解析】解：命题“若ma2>ntl2,则巾>/’的逆命题是若血〉葭，则ma2>na2,

故答案为：若m>n,则ma?>na2.

根据逆命题的概念解答即可.

本题考查的是逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一

个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个

命题的逆命题.

11.【答案】（1,2）

【解析】解：•••4（1,-3）平移后对应点A1的坐标为（-2,0）,

•••4点的平移方法是：先向左平移3个单位，再向上平移3个单位，

•••B点的平移方法与4点的平移方法是相同的，

平移后的坐标是：（1,2）.

故答案为：（1,2）.

各对应点之间的关系是横坐标减3,纵坐标加3,那么让点B的横坐标减3,纵坐标加3即为点昂的

坐标.

此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，

上下移，横不变，纵加减.

12.【答案】x<-2

【解析】解：••・直线y=mx+n与支轴交于点（一2,0）,

二关于x的不等式mx+n<0的解集为x<-2.

故答案为：x<—2.

一次函数y=mx+般的图象落在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围即为不等式nix+n<0

的解集.

本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b

的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在%轴

上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.

13.【答案】3，2

【解析】解：由旋转的性质可知：BC=DE=1,AB=AD,/.BAD=90°,

在RtAABC中，AC=BC=1,Z.ACB=90°,

由勾股定理得：AB=AD=VAC2+BC2=3,

在RMADB中，BD=7402+482=3。，

即：BD的长为34，

故答案为：3一臣.

根据旋转的性质可知：BC=DE=1,AB=AD,/.BAD=90°,由勾股定理求出48的长，8。的

长.

本题考查了旋转的性质与勾股定理的应用，掌握旋转的性质是本题的关键.

14.【答案】解：写一等20,

5(x+3)-2(5x-l)>0,

5%+15-10x+2>0,

5%—10%N—2—15,

-5%>-17,

,17

X^-5-

【解析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答.

本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键.

15.【答案】解：•.•将三角形ZBC沿方向平移AD距离得到三角形。EF,4B=16,BE=6,BG=5,

•••AB=DE=16,AD=BE=6,

・•・BD=16-6=10,

•・・BG=5,

1

-XX5=25

・•・图中阴影部分的面积为:210

【解析】直接利用平移的性质得出对应线段长，进而利用三角形面积求法得出答案.

此题主要考查了平移的性质，正确得出8D的长是解题关键.

16.【答案】证明：•:AB"DE,

:.乙DEC=乙B,

v乙B=ZC,

：•Z.DEC=Z-C,

••.△DEC是等腰三角形.

【解析】根据平行线的性质和等腰三角形的判定定理即可得到结论.

本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键.

17.【答案】解：如图，点P即为所求作.

【解析】作线段CD的垂直平分线交4B于点P,连接PD,PC即可.

本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知

识解决问题.

18.【答案】解：如图，△4B'C'即为所求.

【解析】根据旋转变换的性质分别作出4C的对应点火,C'即可.

本题考查作图-旋转变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

19.【答案】证明：•••4B=NC=30°,

•••AB=AC,ABAC=120°,

vPALAB,

乙BAP=90°,

/.PAC=4BAC-乙BAP=30°,

:.乙C=z^PAC,

・•・AP=PC.

vZ-B=Z-C=30°,

・・・BP=24P,

・•・BP=2PC.

【解析】先求4C=/B,再求出4BAC=120。，得出NC=NP4C,即可证出4P=PC.

本题考查了等腰三角形的性质以及垂直的定义；弄清角之间的关系求出NC=NP4C是解题的关键.

,2(x-1)<4@

20.【答案】解:［不<x+l②'

解不等式①得：x<3,

解不等式②得：%>-2,

不等式组的解集为：一2<*33,

在数轴上表示为:

-5-4-3-2-10I2345

【解析】分别将两个不等式的解集表示出来，再数轴上表示即可.

本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，熟记数轴表示解集的步骤是解题关键.

21.【答案】解:(1)如图，△&B1G即为所求;

(2)如图,A&B2c2即为所求.

【解析】⑴根据旋转的性质即可作4ABC关于

点C成中心对称的△4B1Q；

(2)根据平移的性质即可将△为&&向右平移

4个单位，再向上平移1个单位作出平移后的△

4282c2.

本题考查了作图-旋转变换，平移变换，解决

本题的关键是掌握旋转和平移的性质.

22.【答案】解：设需要租用x辆甲车，则租用(8-x)辆乙车，

依题意得：45%+30(8-%)>300,

解得：x>4,

》的最小值为4.

答：至少需要租用甲车4辆.

【解析】设需要租用x辆甲车，则租用(8-x)辆乙车，根据租用的8辆客车的总载客量不少于300人,

即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论.

本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的

关键.

23.【答案】(1)证明：-.-AE1.BD,交8D的延长线于点E,DF1BC,垂足为F,

•••乙E=Z.DFB=90°,

在RtAADE和RMDBF中，

(AD=DB

UE=DF'

Rt△ADEmRt△DBF(HL),

・•・Z.ADE=乙DBF,

•・,Z-ADE=Z-CDB,

:,乙CDB=eDBF,B|JzCDF=Z.CBD,

・•.CB=CD.

(2)解：・.•点。是AC的中点,

AAD=CD9

vAD=BD,

CD=BD,

由(1)得CO=CB,

:*CD=BD=CB,

.•.△BCD是等边三角形，

・・・ZC=60°,

•・•的度数是60。.

【解析】(1)由ZE1BD,DF1BC,得/E=NDFB=90。，由ZD=DB,AE=DF,根据直角三

角形全等的判定定理“HL”证明Rt△ADEmRtADBF,得NADE=乙DBF,而ZJ1DE=乙CDB,

即可证明NCDB=乙CBD,则CB=CD；

(2)由点。是4c的中点，得40=CO,而4。=8。，所以CO=BD,因为CO=CB,所以△BCD是

等边三角形，则4c=60。.

此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质等知识，

证明Rt△ADE三Rt△DBF是解题的关键.

24.【答案】解：(1)如图1,连接。B,

P

vAB=AC,AD1BC,月

BD=CD,/.BAD=^BAC=x120°=60°,\

OB=OC,/.ABC=90°-/.BAD=30°瑞0

vOP=OC,

.・.OB=OC-OP,

••・Z.APO=乙ABO,Z-DCO=乙DBO,

・•・Z,APO+乙DCO=乙ABO+乙DBO=Z.ABD=30°；

(2),・•Z.APC+乙DCP+乙PBC=180°,

・・・Z,APC+Z.DCP=150°,

•・•^LAPO+乙DCO=30°,

AZOPC+ZOCP=120°,

・・・Z,POC=180°-QLOPC+(OCP)=60°,

•・・OP=OC,

：.△OPC是等边三角形，

AOP=PC,

，点P在OC的垂直平分线上.

【解析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的

判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键.

(1)利用等边对等角，即可证得：乙4P0=4AB。，乙DCO=乙DBO,则乙4PO+△。。。=乙430+

(DBO=LABD,据此即可求角制

(2)证明4Poe=60。且OP=0C,即可证得AOPC是等边三角形，进而解答即可.

25.【答案】解：(1)根据题意得：

在4超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为为=40x