陕西省西安市周至县2024届高三一模数学（文）试题（含答案解析）

周至县2023~2024学年度高考第一次模拟考试数学（文科）试题注意事项：1.本试卷共4页，答题时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无数.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用并集的定义求解即得.【详解】集合，，所以.故选：D2.若，则复数的共轭复数在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则求得复数，继而求得共轭复数对应的点，即可判定.【详解】因为，所以，则，其对应的点为，在第四象限，故选：D.3.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】首先判断函数的奇偶性，再由函数在上的取值情况判断即可.【分析】函数则，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除C、D；当时，，所以，则，故排除B.故选：A4.记为等差数列的前项和，，则（）A.24 B.42 C.64 D.84【答案】B【解析】【分析】根据等差数列前项和公式结合等差数列的性质化简已知，即可求得的值.【详解】因为为等差数列的前项和，所以，若，则，所以.故选：B.5.已知甲、乙两人进行篮球罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如图所示，则下列结论错误的是（）A.甲命中个数的极差为29 B.乙命中个数的众数是21C.甲的命中率比乙高 D.甲每组命中个数的中位数是25【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图及中位数、众数、极差的定义计算一一判定选项即可.【详解】根据茎叶图可知甲命中最多37，最少8，即极差为29，故A正确；显然乙命中个数的众数为21，出现两次，故B正确；甲命中共214个，乙命中共169个，所以甲命中率高，故C正确；甲命中的个数中位数为，故D错误.故选：D6.过点的圆C与直线相切于点，则圆C的方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由圆心和切点连线与切线垂直可得，得到关于圆心的一个方程，根据圆的性质，可知圆心C在的垂直平分线上，由此可求得的值，得到圆心坐标，进而可求得圆的半径即可求解.【详解】设圆心，因为直线与圆C相切于点，所以，即，因为中垂线为，则圆心C满足直线，即，所以半径，所以圆C的方程为，故选：7.如下图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成角.【详解】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，，，，，，设异面直线与所成的角为,，则,所以.故选：C8.中国算力大会“算力中国”创新成果展区分为A区和B区两大板块.A区由最新数据中心产业图谱和国家新型工业化示范基地组成，B区由算力筑基优秀案例、算力赋能案例、算力网络案例组成.若从该创新成果展区5个成果中，随机抽取3个成果，则其中恰有2个成果均是来自于B区的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据古典概型的概率公式，可直接计算概率.【详解】设从该成果展区5个成果中，随机抽取3个成果，则被抽到其中恰有2个成果均是来自于区的概率是.故选：D．9.已知函数.则“”是“为偶函数”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】分别根据和为偶函数求出相应的取值集合，然后由包含关系可得.【详解】若，则，，若为偶函数，则，得，因为，所以“”是“为偶函数”的充分不必要条件.故选：A10.剪纸和折纸都是中华民族的传统艺术，在折纸界流传着“折不过8”的说法，为了验证这一说法，有人进行了实验，用一张边长为的正方形纸，最多对折了13次.记第一次对折后的纸张厚度为，第2次对折后的纸张厚度为，以此类推，设纸张未折之前的厚度为毫米，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由等比数列的通项公式求解．【详解】由题意数列是等比数列，公比是2，且，∴，故选：C．11.已知是上的奇函数，且，当时，，则（）A.3 B. C.255 D.【答案】B【解析】【分析】利用函数的奇偶性与周期性计算即可.【详解】由题意可知：，即4为的一个周期，所以.故选：B12.已知双曲线的左、右焦点分别为，，A是双曲线C的左顶点，以为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】方法一：根据已知条件分别表示出点A、P、Q的坐标，代入可得b与a的关系式，再由及离心率公式可求得结果.方法二：运用极化恒等式及向量的加法、减法法则计算可得结果.【详解】方法一：依题意，易得以为直径的圆的方程为.又由双曲线，易得双曲线C的渐近线方程为.当时，如图，设，则.联立，解得或，所以，.又因为，所以轴.所以，.所以，所以.因为，所以.同理，当时，亦可得.故双曲线C的离心率为.故选：C.方法二（极化恒等式）：易得坐标原点O为线段PQ的中点，且，所以，所以，所以.故选：C.二、填空题：本大题共4小题.13.已知抛物线上横坐标为3的点到焦点的距离为6，则______.【答案】6【解析】【分析】求出抛物线的准线方程，再利用抛物线定义列式计算即得.【详解】抛物线的准线为，依题意，，解得，所以.故答案为：614.已知向量，，若，则______.【答案】【解析】【分析】利用向量垂直的坐标表示求出，再利用模的坐标表示计算即得.【详解】向量，，由，得，解得，即，，所以.故答案为：15.将平面内等边与等腰直角（其中为斜边），沿公共边折叠成直二面角，若，且点在同一球的球面上，则球的表面积为______.【答案】【解析】【分析】利用空间几何体的外接球及球体表面积公式计算即可.【详解】如图所示取中点，连接，根据题意易知，又为等腰直角三角形，为等边三角形，所以可知，易知点在直线上，设，球半径为R，所以，故外接球的表面积为.故答案：16.若函数在上单调递增，则实数的最大值为______.【答案】2【解析】【分析】先求导得恒成立，分离参数求的最小值即可.【详解】由题意可知时恒成立，即，令，易知，显然时，，此时单调递减，时，，此时单调递增，即，所以，即的最大值为.故答案为：2【点睛】思路点睛：因为函数定义域内单调递增，所以函数的导函数非负，得出，构造函数利用导数求的最小值即可.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：17.在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，．（1）求的值；（2）求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合二倍角公式可得解.（2）根据余弦定理可得，由可得，进而可得面积.【小问1详解】在中，由正弦定理，又，所以，即，解得；【小问2详解】由（1）得，则，又由余弦定理，，解得，所以.18.为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）.测得40只小鼠体重如下（单位：）：（已按从小到大排好）对照组：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.426.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3实验组：546.66.86.97.88.29.410.010.411.214.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0（1）求40只小鼠体重的中位数，并完成下面列联表：合计对照组实验组合计（2）根据列联表，能否有把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.附：，其中.0.100.050.0102.7063.8416.635【答案】（1）中位数，二联表见解析；（2）有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.【解析】【分析】（1）直接根据已知数据计算中位数及填写二联表即可；（2）利用卡方公式及对照表计算即可.【小问1详解】由所给数据可知40只小鼠体重的中位数为，填二联表如下：合计对照组61420实验组14620合计202040【小问2详解】由上表及卡方公式可知:，所以有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.19.如图，在长方体中，，，点在线段上.（1）求证：；（2）当是的中点时，求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接，利用线面垂直的判定、性质推理即得.（2）取的中点，连接，证明，再利用等体积法求解即得.【小问1详解】在长方体中，连接，由，得，由平面，平面，得，而平面，因此平面，又平面，所以.【小问2详解】取的中点，连接，四边形是长方体的对角面，则四边形是矩形，，而是的中点，则，因此，即共面，显然，则，等腰底边上的高，的面积，的面积，设点到平面的距离为，由，得，于是，解得，所以点到平面的距离.20.在平面直角坐标系中，已知椭圆的两焦点分别为，，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在过点的直线与曲线交于不同的两点，，满足.若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由题意得，结合平方关系即可得解.（2）由题意设出直线方程，并与椭圆方程联立，结合韦达定理、弦长公式表示出弦长，结合点到直线距离公式表示可表示出三角形面积，结合已知即可列方程求解参数，由此即可得解.【小问1详解】由题意设椭圆的标准方程为，由题意得，又，解得，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】由题意知直线的斜率不为0，所以设它的方程为，且，联立椭圆方程得，消去并化简整理得，，，所以由弦长公式得，原点到直线的距离为，所以，若，则有，化简并整理得，解得，即，综上所述，满足题意的直线的方程为或.【点睛】关键点睛：第二问的关键是将用参数表示出来，由此即可顺利得解.21.已知函数,其中．（1）当时,求曲线在点处的切线方程;（2）当时,判断的零点个数,并加以证明;（3）当时,证明:存在实数m,使恒成立．【答案】（1）（2）1个（3）证明见解析【解析】【分析】(1)根据代入解析式,求出,根据点斜式写出切线方程即可;(2)对函数求导求单调性,观察到,根据单调性分析零点个数即可;(3)先对函数求导,再通分,令再对新函数求导判断单调性即值域情况,分析的正负,即的正负,进而求出的单调性及最值,若恒成立,只需即可,有最小值,即存在实数m,使恒成立.【小问1详解】解:由题知,,,,故在点处的切线方程为,即;【小问2详解】由题,,,,,故在上单调递增,,故有1个零点;【小问3详解】由题,,令,,即在上单调递增,,且,故,使得,即在上单调递增,即,单调递减,即,单调递增,故,若恒成立,只需,即即可,故存实数m,使恒成立.【点睛】方法点睛:此题考查导数的综合应用,属于难题,应用了隐零点,关于隐零点的方法有:(1)对函数进行求导后,进行因式分解,写成几个因式的乘积;(2)然后将容易判断正负的先进行判断,不好判断的令为一个新的函数;(3)对新的函数进行求导求单调性;(4)取区间内的点代入新函数中判断函数值正负,直到函数值相互异号为止;(5)根新函数的单调性即可判断在区间内有零点,设为,判断左右两侧的新函数的函数值正负,即可判断原函数的单调性求出最值.（二）选考题：考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），点．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，射线l的极坐标方程为．（1）写出曲线的极坐标方程；（2）若l与，分别交于A，B（异于原点）两点，求△PAB的面积．【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）由参数方程可得，，进而即可推得，根据公式即可得出曲线的极坐标方程；（2）将分别代入，的极坐标方程得出，，进而得出弦长.然后求出点到射线的距离，即可得出答案.【小问1详解】由的参