2024年上海市嘉定二中高二数学3月份考试卷附答案解析

年上海市嘉定二中高二数学3月份考试卷2024.03一、填空题(本大题共有12小题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.1.若，则______.2.设抛物线的准线方程为______.3.方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______.4.某医疗机构有4名新冠疫情防控志愿者，现要从这4人中选3个人去3个不同的社区进行志愿服务．则不同的选择办法共有______种.5.已知直线，，当时，则直线与之间的距离是______.6.直线被圆所截得的弦长等于，则______.7.已知数列的前项和，则______.8.无穷等比数列满足，则首项的取值范围是______.9.空间内7个点，若其中有且只有4点共面，但无3点共线，可组成个四面体.10.在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为______.11.已知抛物线与椭圆有公共焦点，椭圆的另一焦点为是这两曲线的一个交点，则的面积为______.12.已知点是双曲线右支上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若成立，则的值为______.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.给定空间中的直线与平面，则“直线与平面垂直”是“直线垂直于平面内无数条直线的”（）条件.A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要14.用数学归纳法证明时，在证明等式成立时，此时等式的左边是A．1 B． C． D．15.等差数列的前项和为，若当首项和公差变化时，是一个定值，则下列选项中为定值的是A． B． C． D．16.已知动点的坐标满足方程，则动点的轨迹是A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）某班级在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各两张，“龙”卡三张．每个学生从卡箱中随机抽取4张卡片，其中抽到“龙”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“龙”“迎”“春”4张卡片，则额外获得2分．（1）求学生甲抽到“福”“龙”“迎”“春”4张卡片的不同的抽法种数；（2）求学生乙最终获得7分的不同的抽法种数18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）在长方体中（如图），，点是棱的中点.（1）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.试问四面体是否为鳖臑？并说明理由；（2）求直线与直线所成角的大小.19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知双曲线为双曲线上的任意点（1）求双曲线的两条渐近线方程及渐近线夹角的大小；（2）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数。20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）设各项均为整数的无穷数列满足，且对所有，，均成立．（1）求的所有可能值；（2）若数列使得无穷数列、、、、、是公差为1的等差数列，求数列的通项公式；（3）求证：存在满足条件的数列，使得在该数列中有无穷多项为2024．21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知椭圆的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为2．已知直线与椭圆相交于、两点，且与轴，轴交于、两点．（1）求椭圆的方程；（2）若，求的值；（3）若点的坐标为，求证：为定值答案解析1.7【解析】2.【解析】准线方程为3.【解析】由题意得4.24【解析】从4人中选3个人去3个不同的社区进行志愿服务．不同的选择办法共有：种5.【解析】直线，，，，解得，故，，即，故直线与之间的距离是6.【解析】由于圆的半径为，弦长等于，故弦心距．再根据点到直线的距离公式可得，求得7.448【解析】8.【解析】9.34【解析】根据题意，空间内7个点，从中任选4个，有种选法，其中有且只有4点共面，且无3点共线，则选出4点不共面的情况有种，即可以组成34个四面体10.【解析】以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以平面的一个法向量．点到平面的距离为．11.【解析】因为抛物线的焦点坐标为，所以，解得所以椭圆方程为由，得，解得或（舍去）所以，即点又因为，所以的面积为12.【解析】设△的内切圆半径为，由双曲线的定义得，，，，，由题意得，故，双曲线的，，代入上式得：13.A【解析】反例：无数条直线在平面内是平行线故选A14.D【解析】用数学归纳法证明，在验证时，把当代入，左端．故选：．15.C【解析】因为为定值，故为定值，则为定值，故选：．16.C【解析】方程变形为，表示动点到点和直线的距离相等，所以动点的轨迹是以为焦点的抛物线．故选：．17.（1）24；（2）30【解析】（1）根据题意，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各两张，“龙”卡三张．则学生甲抽中“福”“龙”“迎”“春”4张卡片的情况有种，（2）学生乙最终获得7分，有2种情况，①抽中3张“龙”卡和其他任意一张卡片，有种抽法，②抽中“福”“龙”“迎”“春”4张卡片，有24种抽法，则有种抽法18.（1）是；（2）【解析】（1）在长方体中，，点是棱的中点，，，平面平面，平面，平面，四面体为鳖臑.（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，直线与直线所成角的大小为.19.（1），；（2）【解析】（1）由题意得，双曲线的渐近线为，化为一般式为设渐近线的夹角为，则则渐近线的夹角为（2）设是双曲线上任意一点，可得，该双曲的两条渐近线方程分别是和，点到两条渐近线的距离分别是和，它们的乘积是．点到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数20.（1），3，7．；（2）；（3）见解析【解析】（1），，或，又，当时，或；当时，或．的所有可能取值为，3，7．（2）、、、，、是公差为1的等差数列，，为奇数时，，为偶数时，由，得，，，．（3）证明：由（2）可知，存在、、、、、是公差为1的等差数列，在该数列中，有，记，令，，，，则，，同理，存在满足条件的数列，使得在该数列中有无穷多项为202421.（1）