四川省眉山市东坡第二中学高二数学理下学期期末试卷含解析

四川省眉山市东坡第二中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数在区间上存在一个零点，则的取值范围是(

)A．

B．或

C．

D．参考答案：B2.抛物线的焦点到准线的距离为（

）

A.

B.

C.

D.1参考答案：B略3.若的解集为，那么对于函数应有(A)

(B)(C)

(D)参考答案：A4.设集合，则A∩B=（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】分别求出集合A和集合B，利用集合间的交集运算可得答案.【详解】解：故选A.【点睛】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.5.设有一个直线回归方程为=2﹣1.5，则变量x增加一个单位时(

)A．y平均增加1.5个单位 B．y平均增加2个单位C．y平均减少1.5个单位 D．y平均减少2个单位参考答案：C【考点】线性回归方程．【专题】计算题．【分析】根据所给的回归直线方程，把自变量由x变化为x+1，表示出变化后的y的值，两个式子相减，得到y的变化．【解答】解：∵直线回归方程为=2﹣1.5，①∴y=2﹣1.5（x+1）②∴②﹣①=﹣1.5即y平均减少1.5个单位，故选：C．【点评】本题考查线性回归方程的意义，本题解题的关键是在叙述y的变化时，要注意加上平均变化的字样，本题是一个基础题．6.在等差数列中，若，则的值为（

）A．20

B．22

C．24

D．28参考答案：C7.，复数=(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：A略8.已知若，则（

）A、

B、2012

C、0

D、-2012参考答案：C9.若椭圆两准线间的距离等于焦距的倍，则这个椭圆的离心率为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略10.设点P是函数y=﹣图象上的任意一点，点Q（2a，a﹣3）（a∈R），则|PQ|的最小值为（）A．﹣2 B． C．﹣2 D．﹣2参考答案：C【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】综合题；直线与圆．【分析】将函数进行化简，得到函数对应曲线的特点，利用直线和圆的性质，即可得到结论．【解答】解：由函数y=﹣得（x﹣1）2+y2=4，（y≤0），对应的曲线为圆心在C（1，0），半径为2的圆的下部分，∵点Q（2a，a﹣3），∴x=2a，y=a﹣3，消去a得x﹣2y﹣6=0，即Q（2a，a﹣3）在直线x﹣2y﹣6=0上，过圆心C作直线的垂线，垂足为A，则|PQ|min=|CA|﹣2=﹣2=﹣2，故选：C．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据函数的表达式确定对应曲线是解决本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数若在区间[－1,1]上方程只有一个解，则实数m的取值范围为______．参考答案：或【分析】令，则方程等价于有且只有一个实数根，在同一平面直角坐标系中画出函数的图像和的图像，动态平移的图像可得实数的取值范围.【详解】当时，由，得，即；当时，由，得，即.令函数，则问题转化为函数与函数的图像在区间上有且仅有一个交点.在同一平面直角坐标系中画出函数与在区间函数上的大致图象如下图所示：结合图象可知：当，即时，两个函数的图象只有一个交点；当时，两个函数的图象也只有一个交点，故所求实数的取值范围是.【点睛】已知方程的解的个数求参数的取值范围时，要根据方程的特点去判断零点的分布情况（特别是对于分段函数对应的方程），也可以参变分离，把方程的解的问题归结为不同函数的交点的个数问题．12.圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为．参考答案：x2+（y﹣2）2=1【考点】圆的标准方程．【分析】由圆心在y轴上，设出圆心的坐标（0，b），又圆的半径为1，写出圆的标准方程，由所求圆过（1，2），把（1，2）代入圆的方程即可确定出b的值，从而得到圆的方程．【解答】解：由圆心在y轴上，设出圆心坐标为（0，b），又半径为1，∴所求圆的方程为x2+（y﹣b）2=1，由所求圆过（1，2），代入圆的方程得：1+（2﹣b）2=1，解得：b=2，则所求圆的方程为：x2+（y﹣2）2=1．故答案为：x2+（y﹣2）2=113.函数是上的单调函数，则的取值范围为

.参考答案：略14.如果单位圆与圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝4相交，则实数a的取值范围为

.参考答案：或15.关于x的方程有实根时，k的取值范围是．参考答案：[0,1]【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】可化为函数y=1﹣kx与函数y=的图象有交点，作图象求解【解答】解：关于x的方程有实根?函数y=1﹣kx与函数y=的图象有交点，函数y=的图象是圆（x﹣2）2+y2=1（y≥0）的部分，函数y=1﹣kx过定点（0，1），其图象如下：结合图象可得k的取值范围是[0,1]．故答案为：[0,1]【点评】本题考查了函数与方程思想、数形结合的思想应用，属于中档题．16.函数的反函数是则

。参考答案：217.直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a有四个交点，则a的取值范围是

．参考答案：（1，）【考点】二次函数的性质．【专题】作图题；压轴题；数形结合．【分析】在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a的图象，观察求解．【解答】解：如图，在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a，观图可知，a的取值必须满足，解得．故答案为：（1，）【点评】本小题主要考查函数的图象与性质、不等式的解法，着重考查了数形结合的数学思想．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知直线l：与抛物线交于，两点，记抛物线在A，B两点处的切线l1，l2的交点为P．（Ⅰ）求证:；（Ⅱ）求点P的坐标(用k，m表示)；（Ⅲ）若，求△ABP的面积的最小值．参考答案：(Ⅰ)解：由可得，所以，．………………4分(Ⅱ)证明：由已知，所以可设：，由联立可得，由，所以．………5分所以：，同理可得：．………………6分由解得，，所以点的坐标为．…………………8分（Ⅲ）由(Ⅱ)可知点到直线的距离，又，所以△的面积．………………10分因为，，所以，当，取到等号，所以△的面积的最小值为．………………12分

19.已知，，分别为三个内角，，的对边，向量，且．（1）求角的大小；（2）若，且面积为，求边的长．参考答案：（1）；（2）．（1）因为，在三角形中有，从而有，即，则．（2）由，结合正弦定理知，又知，根据余弦定理可知：，解得．20.已知圆C：x2+y2﹣4x﹣5=0．（Ⅰ）判断圆C与圆D：（x﹣5）2+（y﹣4）2=4的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）若过点（5，4）的直线l与圆C相切，求直线l的方程．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；分类讨论；综合法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）利用圆C与圆D的连心线长=圆C与圆D的两半径之和，判断圆C与圆D：（x﹣5）2+（y﹣4）2=4的位置关系；（Ⅱ）分类讨论，利用圆心C（2，0）到直线l的距离=半径，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的标准方程是（x﹣2）2+y2=9∴圆C的圆心坐标是（2，0），半径长r1=3…又圆D的圆心坐标是（5，4），半径长r2=2∴圆C与圆D的连心线长为…又圆C与圆D的两半径之和为r1+r2=5∴圆C与圆D外切…（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=5，符合题意…当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣5）+4，即kx﹣y+4﹣5k=0∵直线l与圆C相切∴圆心C（2，0）到直线l的距离d=3，即，解得…∴此时直线l的方程为，即7x﹣24y+61=0…综上，直线l的方程为x=5或7x﹣24y+61=0…【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21.(本小题满分16分)若数列满足：对于，都有（常数），则称数列是公差为的准等差数列．如：若则是公差为的准等差数列．（1）求上述准等差数列的前项的和；（2）设数列满足：，对于，都有．求证：为准等差数列，并求其通项公式；（3）设（2）中的数列的前项和为，试研究：是否存在实数，使得数列有连续的两项都等于．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）

（2）（）①

②②-①得（）．

所以，为公差为2的准等差数列．

当为偶数时，，

当为奇数时，解法一：；

解法二：；

解法三：先求为奇数时的，再用①求为偶数时的同样给分．

（3）解一：当为偶数时，；

当为奇数时，．

当为偶数时，，得．

由题意，有；

或．

所以，．

解二：当为偶数时，,当为奇数时，．

以下与解法一相同．22.已知递增数列{an}满足：a1a4=18，a2+a3=9．（1）若{an}是等差数列，求{an}通项；（2）若{an}是等比数列，求{an}前n项和Sn．参考答案：【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）若{an}是等差数列由a1a4=18，a2+a3=a1+a4=9，得a1和a4是方程x2﹣9x+18=0的两个根，解方程x2﹣9x+18=0，得a1=3，a4=6，由此能求出{an}通项．（2）若{an}是等比数列，由a1a4=a2a3=18，a2+a3=9，得a2和a3是方程x2﹣9x+18=0的两个根，解方程x2﹣9x+18=0，得a2=3，a3=6，由此能求出{an}前n项和Sn．【解答】解：（1）若{an}是等差数列，设公差为d，由数列{an}递增可得d＞0，∵a1a4=18，a2+a3=a1+a4=9．∴a1和a4是方程x2﹣9x+18=0的两个根，解方程x2﹣9x+18=0，得x1=3，x2=6，∵d＞0，∴