清华大学五道口金融学院高级微观经济学AMICE04基于

清华大学五道口金融学院高级微观经济学AMICE04基于2024/3/23清华大学五道口金融学院高级微观经济学AMICE04基于1确定需求的边际方程消费者需求的决定：效用最大化利用效用函数u(x)表达：maxu(x)s.tpx=ru(x)

=

p利用拉格朗日乘数法求解：

Rs.t.px=r定理设消费集合

X

满足假设HC，偏好

满足假设HP，效用函数

u(x)

满足假设HU，p

>

0，r

I(

p)及

x

Xº，

为消费者的需求映射。则有下述事实：(x

=

(

p,

r))(

>

0)((u(x)

=

p)

&

(

px

=

r))边际方程：——求解需求

x

=

(

p,

r)。2清华大学五道口金融学院高级微观经济学AMICE04基于1.1例：线性支出系统问题：消费者收入较高，应对基本生活开支绰绰有余，如何将多余收入用在各种商品的消费上？分析：假定共有种商品，并且消费者认为这些商品的额外消费在提高效用水平方面的作用分别为

1,

2,,

(这些

i都是大于零的常数)。基本生活需要：

=(

1,

2,,

)0消费集合：X=

{x

R

|x

}

i

的意义：

i=(xi

i)MUi/TU

——商品

i

的额外消费所增加的效用占总效用的比例，其中MUi为商品

i的边际效用，TU为总效用。这正表达了增加商品

i

的消费在提高效用水平方面所起到的作用大小。

3清华大学五道口金融学院高级微观经济学AMICE04基于1.1.1导出效用函数消费者的效用函数U(x)的推导首先利用效用函数U(x)来表达

i：

i=(xi

i)Ui

/U(x)。求解微分方程

1=(dU/d

x1)[(x1

1)/U

]可得：求解

2=(d

1/d

x2)[(x2

2)/

1]可得：

求解

=(d

1/d

x

)[(x

)/

1]可得：结果：最终形式：4清华大学五道口金融学院高级微观经济学AMICE04基于1.1.2求解边际方程先求导数：边际方程：求解：支出是价格和收入的线性函数——线性支出系统支出分配：消费者把多余收入按照比例

ai分配在商品

i

的消费上。需求函数：5清华大学五道口金融学院高级微观经济学AMICE04基于1.2边际方程的意义与作用消费者均衡：效用最大的选择，即消费者需求。边际方程给出了消费者实现均衡的基本法则边际替代法则：边际替代率=市场交换率MRSij=u

i/u

j

：边际替代率——消费者为增加一单位商品i而愿意放弃的商品j的数量。EXRij=pi/p

j：市场交换率——消费者为增加一单位商品i而实际放弃的商品j的数量。边际效用法则：各项消费支出的边际效用均等均等法则：把一单位收入不论用于增加哪种商品的消费，所增加的效用都是相等的。拉氏乘数：均衡时货币收入的边际效用——增加一单位支出所增加的效用。6清华大学五道口金融学院高级微观经济学AMICE04基于2需求函数的可微性可微性：精打细算——即使因素微小变动，也要能够精确掌握其影响大小。效用最大化带来需求的可微性：即使价格或收入发生微小变动，效用最大化也要让消费者精挑细选，精打细算，精确掌握由此产生的对个人需求的影响，这就意味着需求函数理应是可微的。需求可微性问题研究思路：需求函数是边际方程确定的隐函数，可从隐函数存在定理来提出需求可微所要求的条件，并找出该条件的经济意义。7清华大学五道口金融学院高级微观经济学AMICE04基于对任何x

U，都有

Fi

(x,

(x))=0(i

=

1,2,

,

n)；；

在

U

内连续可微(i

=

1,2,,n)。定理设在点附近，函数Fi(x,y)连续可微，，并且雅克比矩阵

可逆。则存在的邻域

和

的领域，存在唯一的映射(即)满足：2.1隐函数存在定理8清华大学五道口金融学院高级微观经济学AMICE04基于2.2边际方程的雅克比矩阵边际方程：雅克比矩阵J=J(

p,

r,

x,

)结论：只要J可逆，需求映射

(

p,

r)

就可微。看来，我们需要研究让J可逆所需的条件及其经济意义。9清华大学五道口金融学院高级微观经济学AMICE04基于2.3保证雅克比矩阵可逆的条件效用函数u(x)强拟凹：是指对任何

x

X

，海森矩阵(Hessianmatrix)

u(x)

都在切空间

(x)

上负定。切空间：(x)={z

R

|z

u

(x)=0}在切空间上负定：

z(x)，z

0，都有z

u(x)

z<

0。定理A.

在假设HC、HU下，u(x)

强拟凹当且仅当在任何点

x

X

处，都可逆。定理B.在假设HU下，如果u(x)强拟凹，则对任何x

X

及实数

0，都可逆。

T10清华大学五道口金融学院高级微观经济学AMICE04基于2.4可微的需求强拟凹性保证了边际方程的雅克比矩阵可逆，从而需求函数连续可微。这就得到如下定理。定理(需求的可微性)假定假设HC、HP、HU成立并且效用函数

u(x)强拟凹。则需求映射

(

p,

r)连续可微(

p

>>

0&r

>

I(

p))。强拟凹性的经济意义：效用最大化二阶充分条件强拟凹的效用函数是严格拟凹的。效用最大化二阶必要条件：u(x)在

(x)

上半负定。效用最大化二阶充分条件：u(x)在

(x)

上负定。需求可微性是效用最大化的自然要求，故强拟凹性并不是什么苛刻条件，是理性偏好自然会具备的性质。11清华大学五道口金融学院高级微观经济学AMICE04基于2.4强拟凹性的几何意义效用最大化点x是效用函数u在切线

T(x)

上的最大值点，故u(x)在

(x)上是半负定的(微积分知识)。u(x)在

(x)上负定，这是让x成为u在切线

T(x)

上的最大值点的充分条件。强拟凹性是关于偏好的性质：若

u

与

v

等价，则

u

强拟凹当且仅当

v

强拟凹。

pu

(x)=切空间(x)切线T(x)u

(x)x无差异曲线12清华大学五道口金融学院高级微观经济学AMICE04基于3收入与价格变动对需求的影响假定：假设HC、HP、HU全成立，并且消费者的效用函数

u(x)

强拟凹。收入与价格变动收入变动：dr价格变动：引起需求变动需求：x

=

(

p,

r)需求变动：拉氏乘数变动：d

13清华大学五道口金融学院高级微观经济学AMICE04基于3.1需求变动方程边际等式：将

x

=

(

p,

r)代入边际方程后得到的恒等式，即(d

x,

d

)与(d

p,

d

r)的关系：边际等式全微分需求变动矩阵方程：上述方程的矩阵形式(

E

表示单位阵)14清华大学五道口金融学院高级微观经济学AMICE04基于3.1.1斯勒茨基矩阵u

强拟凹&u(x)

=

p&

>

0可逆令，令S=

ZSlutsky’smatrix：S=(sij)=(sij)

斯勒茨基系数：sij基本事实：Sp=0，z

p=1。T15清华大学五道口金融学院高级微观经济学AMICE04基于3.1.2斯勒茨基方程求解需求变动矩阵方程Slutsky’sequation：16清华大学五道口金融学院高级微观经济学AMICE04基于3.1.3需求变动的导数公式微分公式：导数公式：斯勒茨基系数的导数表示即17清华大学五道口金融学院高级微观经济学AMICE04基于3.2变动效应分析实际收入变动：dr

xdp名义收入变动：dr价格变动引起的实际收入水平变动：

xdp收入效应：纯由实际收入变动引起的需求变动。收入效应率：x

/

r收入效应=(dr

xdp)x

/

r

替代效应：纯粹由价格变动引起的需求变动。总效应：总效应

收入效应：从总效应中扣除收入效应后，剩余部分便只能归因于商品替代，即为替代效应。替代效应=dx

(dr

xdp)x

/

r=Sdp18清华大学五道口金融学院高级微观经济学AMICE04基于3.2.1斯勒茨基矩阵的意义实际收入不变时的总效应实际收入不变：dr

xdp=0，记作u=const。总效应：dx=Sdp

+

(dr

xdp)x

/

r=Sdp(替代效应)结论：S=(x

/

p)|u=const，即sij=(xi

/

pj)|u=const斯勒茨基系数

sij的意义：替代效应率sij

=(xi

/

pj)|u=const=

xi

/

pj+xj

xi

/

r意义：商品

j

的价格上涨一单位，引起商品

i

的需求增加

xi

/

pj

单位，但也让实际收入减少xj单位。为了让实际收入不变，给消费者补贴xj单位收入，这让商品

i

的需求进一步增加

xj

xi

/

r

单位，最后总增加

sij

单位。可见，

sij

代表替代效应率——实际收入不变条件下商品i的价格上涨一单位引起的商品

j

的需求增加量。19清华大学五道口金融学院高级微观经济学AMICE04基于例.3.2.2需求映射的替代矩阵替代矩阵：鉴于斯勒茨基系数

sij

的替代效应率意义，斯勒茨基矩阵

S

被称为需求映射

x

=

(

p,

r)

的替代矩阵，并且S=x

/

p

+

(x

/

r)

x。替代矩阵

S

的性质对称性：S=S，即sij=sji(i,

j

=

1,2,

,

)半负定：(w

R)(wSw

0)，从而sij0(i

=

1,2,

,

)。不可祈求

S

负定：比如线性支出系统的

S

就是奇异的。T

T20清华大学五道口金融学院高级微观经济学AMICE04基于3.2.3对生活水平的影响生活水平函数：---间接效用函数一般影响：收入变动的影响率：价格变动的影响率：重要事实：实际收入不变

生活水平不变实际收入不变(dr

xdp

=

0)时的生活水平变化：生活水平不变()时的实际收入变化：dr

xdp

=

0罗伊恒等式：21清华大学五道口金融学院高级微观经济学AMICE04基于3.3收入与价格的同比例变动需求的零阶齐次性：(

t

>

0)(

(tp,

tr)

=

(

p,

r))解释：价格与收入同比例变动，预算集合不会因此受到影响，故消费者需求也不受影响。意义：价格与收入同比例变动不会影响生活水平。消费者方面：收入来自要素报酬。所有商品价格同比例上涨，意味着消费者收入同比例上升。生产者方面：后面的生产者理论也会说明，所有商品价格同比例上升不影响生产选择，产品供应和要素需求不会变化，而生产者的利润要同比例上升。通胀效应：所有商品价格同比例上升，既不影响消费选择，也不影响生产选择，反而使企业利润同比例上升。22清华大学五道口金融学院高级微观经济学AMICE04基于3.4需求法则普通的需求法则：一种商品的需求量与该商品的价格之间呈现反向变动关系。对商品

i

成立吗？可通过的导数

xi

/

pi

=sii

xi

xi

/

r

的正负来判断。正常品：收入效应为正，xi

/

r>0，故xi

/

pi<0。劣质品：收入效应为负，xi

/

r<0，故须比较替代效应sii

与收入效应

xi

xi

/

r

的绝对值大小，才能做出判断。低档品：|sii|>|xi

xi

/

r

|，故xi

/

pi<0。吉芬品：|sii|<|xi

xi

/

r

|，故xi

/

pi>0。结论：吉芬品极其少见，故一般商品都服从“需求量与价格反向变动(

xi

/

pi

<

0)”的需求法则。23清华大学五道口金融学院高级微观经济学AMICE04基于3.4.1需求法则推导示意图正常品价格下跌，替代效应>0，收入效应>0。消费者就要增加对正常品的消费量。正常品x1x2收入效应预算线补偿预算线E1EcE2xc替代效应变动后的预算线E1E2E1E2EcEc替代效应收入效应总效应总效应收入效应替代效应低档品价格下跌消费量总归增加其他品吉芬品低档品其他品其他品吉芬品价格下跌消费量反而下降24清华大学五道口金融学院高级微观经济学AMICE04基于3.4.2需求补偿法则需求补偿法则(一)：若dr

x

d

p

=

0，则d

pdx

0。即在实际收入水平不变的条件下，需求变动与价格变动是反方向的。证明：dx=Sdp，dpdx(内积)=dp

Sdp0。得证。需求补偿法则(二)：若

(q,

s)

(

p,

r)且

q

(

p,

r)

=

s，则

(q

p)(

(q,

s)

(

p,

r))<0。即当价格变化以后，即使给消费者进行收入补偿以使其购买力不变，需求变化也要反向于价格变化。证明：令

x

=

(p,

r)，y

=

(q,

s)。qx

=

s&x

y表明y

x，故py

>

r。由于

px

=

r，因此p(

y

x)>0。既然q

y

=

s

且

qx=s，因此q(

y

x)=0。这样，(q

p)(

y

x)<0。得证。25清华大学五道口金融学院高级微观经济学AMICE04基于4需求映射的特征需求映射

x

=

(

p,

r)

的五个相互独立的本质特征零阶齐次性：

t

>

0，

(t

p,

t

r)

=

(

p,

r)瓦尔拉定律：

p

(

p,

r)

=

r连续可微性：

(

p,

r)连续可微(p

>>

0,r

>

I(

p))替代对称性：

(

p,

r)的替代矩阵

S

是对称的。需求补偿法：若

(q,

s)

(

p,

r)

且

q

(

p,

r)

=

s，

则

(q

p)(

(q,

s)

(

p,

r))

<

0。注释：之所以没有提及替代矩阵的半负定性，是因为这条性质不独立，它可从“瓦尔拉定律、连续可微性、需求补偿法”推出。26清华大学五道口金融学院高级微观经济学AMICE04基于5需求理论中的对偶现象效用最大化：maxu(x)s.t.px=r支出最小化：minpxs.t.u(x)=U对偶性：效用最大化与支出最小化是两个相互对偶的问题，即只要解决其中一个问题，另外一个问题就随之而解了。马歇尔需求：效用最大化问题的解。希克斯需求：支出最小化问题的解。商品1商品2效用最大化支出最小化x27清华大学五道口金融学院高级微观经济学AMICE04基于5.1支出函数效用水平U上的支出集合

E(U

)={x

X|u(x)

U

}支出函数

e(

p,U

)=min{

px|u(x)

U

}支出函数的性质e(

p,U

)I(

p)，e(

p,U

)

+

e(q,U

)e(

p